Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K n danej przez ϕ α (x 1,..., x n ) : α 1 x 1 + α 2 x 2 +... + α n x n = β, gdzie α 1, α 2,... α n, β są danymi elementami ciała K. Układ równań liniowych L z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K n, która jest koniunkcją m równań liniowych i oznaczamy a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2 ϕ L (x 1,..., x n ) :. a m1 x 1 + a m2 x 2 +... + a mn x n = b m gdzie i {1,..., m} j {1,..., n} a ij, b i K są danymi elementami., ( ) Współczynnikami układu równań liniowych L nazywamy elementy a ij. Wyrazami wolnymi układu równań liniowych L nazywamy elementy b i. Rozwiązaniem układu równań L nazywamy uporządkowany układ (s 1,..., s n ) K n, który spełnia formę zdaniową ϕ L, czyli taki, że ϕ L (s 1,..., s n ) jest zdaniem prawdziwym. Ćwiczenie 1. Sprawdźmy, czy (0, 0, 1, 7), (1, 1, 1, 5) są rozwiązaniami układu równań 2x 1 2x 2 + x 3 = 1 2x 2 + 4x 3 x 4 = 3? 2x 1 + 5x 3 x 4 = 2 Zbiorem rozwiązań układu równań L nazywamy zbiór wszystkich rozwiązań tego układu V L = { (x 1,..., x n ) K n : ϕ L (x 1,..., x n ) }. Ćwiczenie 2. Jaki jest zbiór rozwiązań układu z Ćwiczenia 1? 1

Postać macierzowa układu równań liniowych Macierzą współczynników układu równań L nazywamy macierz A = [a ij ] M m n (K). Macierzą (lub wektorem) wyrazów wolnych układu równań L nazywamy macierz B = [b i ] M m 1 (K). Ćwiczenie 3. Znajdźmy macierze współczynników i wyrazów wolnych dla układu równań 2x 1 2x 2 + x 3 = 1 2x 2 + 4x 3 x 4 = 3 2x 1 + 5x 3 x 4 = 2 A = B = Macierzą (lub wektorem) niewiadomych układu równań L nazywamy macierz X = [x j ] M n 1 (K). Ćwiczenie 4. Policzmy A X dla macierzy z Ćwiczenia 3. Stwierdzenie 1. Układ równań L dany przez ( ) jest równoważny równaniu macierzowemu A X = B. (1) Wniosek 1. Niech L będzie układem równań liniowych danym przez ( ). Uporządkowany układ (s 1,..., s n ) K n jest rozwiązaniem (L) wtedy i tylko wtedy, gdy A S = B, gdzie S = [s j ] M n 1 (K). Postacią macierzową układu równań liniowych L nazywamy równanie macierzowe (1). Rozwiązaniem w postaci macierzowej układu L nazywamy macierz S z Wniosku 1. Ćwiczenie 5. Sprawdźmy, czy (0, 1, 1, 0), (1, 2, 1, 5) są rozwiązaniami układu równań z Ćwiczenia 3? 2

Rozwiązywanie układów równań metodą Cramera Układem Cramera nazywamy układ równań liniowych L, jeśli 1. liczba równań jest równa liczbie niewiadomych; 2. macierz współczynników układu ma wyznacznik różny od zera. Twierdzenie 1 (Cramera). Niech L będzie układem Cramera równań liniowych danym przez ( ). 1. L ma dokładnie jedno rozwiązanie. 2. Rozwiązanie układu L dane jest wzorami Cramera x 1 = det A (1) det A, x 2 = det A (2) det A,... x n = det A (n) det A. gdzie A jest macierzą współczynników układu L, zaś A (j) jest macierzą otrzymaną z macierzy A poprzez zastąpienie j-tej kolumny macierzy A, kolumną wyrazów wolnych B. Ćwiczenie 6. Rozwiążmy układ równań x 1 x 3 = 2 x 2 x 3 = 1 x 1 + x 2 = 3. 3

Rozwiązywanie układów równań metodą macierzową Twierdzenie 2. Jeżeli układ równań L jest układem Cramera; A jest macierzą współczynników L; B jest macierzą wyrazów wolnych L, to jedyne rozwiązanie L ma postać macierzową X = A 1 B. 5x 1 + 9x 2 3x 3 = 2 Ćwiczenie 7. Rozwiążmy układ równań 2x 2 4x 2 + 2x 3 = 2 x 1 3x 2 + x 3 = 2 1 0 3 5 9 3 0 1 2 2 4 2 = diag(2, 2, 2) 1 3 1 1 3 1, wiedząc, że Macierz rozszerzona układu równań liniowych Macierzą rozszerzoną układu równań L zadanego przez ( ) nazywamy macierz a 11 a 12... a 1n b 1 a 21 a 22... a 2n b 2 A B =.... a m1 a m2... a mn b m Uwaga 1. Z definicji rzędu macierzy widać, że r(a) r(a B). Istotnie, dodanie kolumny do macierzy A zwiększa liczbę minorów, więc każdy niezerowy minor macierzy A jest niezerowym minorem macierzy A B. Uwaga 2. Wykonując jedynie operacje na wierszach możemy jednocześnie znajdować rzędy obu macierzy A i A B. 4

Twierdzenie Kroneckera-Capellego Twierdzenie 3 (Kroneckera-Capellego). Układ równań liniowych L o macierzy rozszerzonej A B ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy r(a) = r(a B) = k. Ponadto 1. jeśli k = n, to L ma dokładnie jedno rozwiązanie; 2. jeśli k < n, to L ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od n k zmiennych. Uwaga 3. Zauważmy, że jeśli układ L, n równań liniowych z n niewiadomymi jest układem Cramera, to r(a) = n jest maksymalny, więc r(a B) = n (większy być nie może). Zatem zgadza się to z powyższym twierdzeniem. Ćwiczenie 8. Sprawdźmy (w bardzo prostych sytuacjach), czy istnieją rozwiązania układów równań liniowych o następujących macierzach rozszerzonych? Jeśli istnieją, to zapiszmy rozwiązanie jako funkcje zależne od odpowiedniej liczby zmiennych wynikającej z twierdzenia Kroneckera-Capellego. 1 2 3 4 5 0 2 0 1 1 0 4 0 2 5 1 0 0 5 0 1 1 3 0 4 2 2 1 0 1 5 0 2 0 4 0 1 0 2 0 3 0 6 0 0 1 5 1 0 1 4 5 0 1 0 1 1 5

Metoda eliminacji rozwiązywania układu równań liniowych Twierdzenie 4. Niech A B będzie macierzą rozszerzoną układu równań liniowych L. Niech A B będzie wynikiem skończonej liczby operacji wierszowych na A B, spośród następujących: 1. pomnożenie wiersza przez stałą różną od zera; 2. zamiana wierszy miejscami; 3. dodanie do wiersza kombinacji liniowej innych wierszy; 4. skreślenie zerowego wiersza; 5. skreślenie wiersza liniowo zależnego od innych wierszy. Jeśli A B jest macierzą rozszerzoną układu L, to zbiory rozwiązań L i L są sobie równe: V L = V L. Uwaga 4. Ponieważ wiersze macierzy A B odpowiadają równaniom układu L, to operacje z powyższego twierdzenia odpowiadają odpowiednim operacjom na równaniach układu L. Wystarczy zamiast odpowiedniej odmiany słowa wiersz wstawić odpowiednią odmianę słowa równanie. Metoda eliminacji rozwiązywania układu równań L polega na sprowadzeniu jego macierzy rozszerzonej A B do jednej z postaci 1. trapezowej (eliminacja Gaussa), do sprawdzenia czy układ ma rozwiązania; 2. wierszowo zredukowanej (eliminacja Gaussa-Jordana), jeśli chcemy znać rozwiązanie. 2x 1 2x 2 + x 3 = 1 Ćwiczenie 9. Rozwiążmy układ równań 2x 2 + 4x 3 x 4 = 3. 2x 1 + 5x 3 x 4 = 2 6

Jednorodne układy równań liniowych Jednorodnym nazywamy układ równań liniowych L, jeśli jego macierz wyrazów wolnych jest zerowa. Innymi jest to układ równań, który ma postać macierzową A X = 0. Niejednorodnym nazywamy układ równań liniowych, który nie jest jednorodny. Uwaga 5. Każdy układ liniowy jednorodny ma co najmniej jedno rozwiązanie. Jest nim rozwiązanie zerowe x 1 =... = x n = 0. Uwaga 6. Jedynym rozwiązaniem jednorodnego układu Cramera jest rozwiązanie zerowe. Stwierdzenie 2. Niech K będzie ciałem i rozważmy K n jako przestrzeń liniową nad K z wektorami o współrzędnych x 1,..., x n w bazie kanonicznej. Niech V K n. Następujące warunki są równoważne: 1. V jest zbiorem rozwiązań jednorodnego układu równań liniowych ze zmiennymi x 1,..., x n. 2. V jest podprzestrzenią liniową w K n. Ponadto, jeśli A M m n (K) jest macierzą współczynników układu L to dim V L = n r(a), gdzie V L jest zbiorem rozwiązań układu L. Wniosek 2. Niech L będzie jednorodnym układem m N równań liniowych z macierzą współczynników A M m n (K). Jeśli r(a) = m, to dim V L = (liczba zmiennych) (liczba równań). Przykład 1. Rozważmy przestrzeń liniową K n. 1. Podprzestrzeń zerowa V = {0 n } jest zbiorem rozwiązań jednorodnego układu Cramera; dim V = n n = 0. 2. Cała przestrzeń K n jest zbiorem rozwiązań równania 0 x 1 +... + 0 x n = 0; dim K n = n r(0 1 n ) = n. 3. Dla 0 (a 1,..., a n ) K n, zbiorem rozwiązań równania a 1 x 1 +... + a n x n = 0 jest podprzestrzeń liniowa wymiaru n r ([ a 1... a n ]) = n 1. 7

Przykład 2. Niech B będzie bazą w K n i weźmy LN układ wektorów A = (u 1,..., u m ) w K n. Wówczas wiemy, że r(m B (A)) = m, gdzie M B (A) jest macierzą współrzędnych wektorów układu A w bazie B. Przyjmijmy A = M B (A) T M m n (K) (transpozycja jest potrzebna by otrzymać układ równań n zmiennych). Wówczas przestrzeń rozwiązań układu równań liniowych o postaci macierzowej A X = 0 m jest wymiaru n m. Należy podkreślić, że przestrzeń rozwiązań tego układu nie jest równa Lin A. Ćwiczenie 10. Jaki jest wymiar przestrzeni rozwiązań układu równań liniowych o postaci macierzowej A X = 0? A = 1 2 3 4 1 0 3 0 1 2 3 4 0 1 0 2 Jądro macierzy Jądro macierzy A M m n (K) definiujemy jako zbiór rozwiązań układu równań liniowych o postaci macierzowej A X = 0. Jądro macierzy A oznaczamy symbolem ker A. Innymi słowy, przyjmując X = [x j ] n 1, ker A = {(x 1,..., x n ) K n : A X = 0} K n. Stwierdzenie 3. Niech K będzie ciałem i niech A M m n (K). Wówczas 1. ker A jest podprzestrzenią liniową w K n ; 2. dim ker A = n r(a). Uwaga 7. Aby znaleźć ker A należy rozwiązać jednorodny układ równań A X = 0. Uwaga 8. Ponieważ ker A jest podprzestrzenią liniową w K n, to istnieje baza tej podprzestrzeni (u 1,..., u d ), gdzie d = dim ker A i z definicji bazy ker A = Lin(u 1,..., u d ). 8

Ćwiczenie 11. Znajdźmy bazę ker A. Znajdźmy bazę przestrzeni rozwiązań układu o postaci macierzowej A X = 0. 1 2 3 4 1 0 3 0 A = 1 2 3 4 0 1 0 2 Niejednorodne układy równań liniowych Rozważmy układ równań liniowych L o postaci macierzowej A X = B. (2) Stwierdzenie 4. Niech K będzie ciałem i niech A M m n (K), B M n 1 (K). Niech s K n będzie szczególnym (czyli pewnym dowolnym) rozwiązaniem układu L o postaci macierzowej (2). Wówczas zbiór rozwiązań L jest dany przez V L = s + ker A = {s + x : x ker A} K n. Wniosek 3. Przy założeniach z powyższego stwierdzenia, jeśli ker A = Lin(u 1,..., u d ), to V L = {s + α 1 u 1 +... + α d u d : α 1,..., α d K} K n. Ćwiczenie 12. Weźmy A z Ćwiczenia 11. Jaki jest zbiór rozwiązań układu o postaci macierzowej A X = B? B = A 17 e 17j 2 17 17 9

Przykłady zastosowania układów równań liniowych Podsumujmy w jakich celach można użyć układów równań liniowych. W poniższych przykładach za każdym razem dojdziemy do układ równań liniowych L o postaci macierzowej A X = B, (3) gdzie A = [a ij ] m n i B = [b i ] m 1 są dane, X = [x j ] n 1 jest szukane. Będziemy zakładać, że a j = (a 1j,..., a mj ) K m oznacza uporządkowany układ elementów z j-tej kolumny macierzy A, oraz b = (b 1,..., b m ) K m. Przykład 3. W poniższych przykładach B = 0, czyli dostajemy układ jednorodny. 1. Sprawdź, czy układ wektorów A = (a 1,..., a n ) jest liniowo niezależny? 2. Sprawdź, czy układ wektorów A = (a 1,..., a n ) jest bazą podprzestrzeni Lin A? W obu przypadkach, jeśli V L = {0}, to odpowiedź jest pozytywna i dim Lin A = n. W przeciwnym razie odpowiedź jest negatywna. 3. Wyznacz jądro macierzy A. Przykład 4. 1. Sprawdź, czy wektor b K m jest kombinacja linową układu wektorów kolumnowych (a 1,..., a n )? 2. Sprawdź, czy wektor b K m należy do podprzestrzeni rozpiętej przez układ wektorów kolumnowych (a 1,..., a n )? W obu przypadkach brak rozwiązania oznacza odpowiedź negatywną. W przeciwnym razie odpowiedź jest pozytywna i rozwiązania (x 1,..., x n ) V L dają współczynniki kombinacji liniowej, czyli b = x 1 a 1 +... + x n a n. 3. Przyjmując, że m = n i układ wektorów B = (a 1,..., a n ) jest bazą K n, znajdź współrzędne (i macierz współrzędnych) wektora b K m w bazie B. Wówczas L jest układem Cramera i rozwiązanie (x 1,..., x n ) V L daje współrzędne wektora b w bazie B, czyli b = x 1 a 1 +... + x n a n. Innymi słowy M B (b) = X = A 1 B. 10

Przykład 5. Uogólnieniem Przykładu 4.3 jest zadanie 1. Znajdź macierz współrzędnych układu wektorów A = (u 1,..., u k ) K n w bazie B. Rozwiązanie znajdujemy zgodnie z metodologią z Przykładu 4.3 podstawiając b {u 1,..., u k }. Ponieważ w tym przypadku mamy układ Cramera, to de facto rozwiązanie można otrzymać hurtowo rozwiązując równanie macierzowe A X = U, gdzie kolumny macierzy U M n k (K) składają się z kolejnych elementów wektorów u 1,..., u k. Dokładniej, jeśli u j = (u 1j,..., u nj ), dla j {1,..., k}, to U = [u ij ] n k. Rozwiązanie jest postaci X = A 1 U, co implikuje, że macierz współrzędnych układu wektorów (u 1,..., u k ) K n w bazie B jest dana przez M B (A) = A 1 U. 11