1 Płaska fala elektromagnetyczna 1.1 Fala w wolnej przestrzeni Rozwiązanie równań Maxwella dla zespolonych amplitud pól przemiennych sinusoidalnie, reprezentujące płaską falę elektromagnetyczną w wolnej przestrzeni (tj. w nieograniczonym, nieprzewodzącym (σ 0) ośrodku o parametrach ɛ 0, µ 0 ), rozchodzącą się w kierunku osi z kartezjańskiego układu współrzędnych, ma postać E 1 x E x 1 x E 0 e jk 0z H 1 y H y 1 y H 0 e jk 0z (1a) (1b) w której przy czym gdzie η 0 k 0 ω ɛ 0 µ 0 (2) E x H y E 0 H 0 η 0 (3) ɛ 0 120π 377Ω (4) oznacza impedancję falową ośrodka, która w rozważanym przypadku jest identyczna z jego impedancją właściwą. Przebiegi czasowe odpowiadające amplitudom zespolonym (1) mają postać E(z, t) 1 x E x (z, t) 1 x Re{E 0 e jk 0z e jωt } 1 x E 0 cos(ωt k 0 z) H(z, t) 1 y H y (z, t) 1 y Re{H 0 e jk 0z e jωt } 1 y H 0 cos(ωt k 0 z) (5a) (5b) Gęstość strumienia mocy niesionej (transportowanej) przez falę charakteryzuje zespolony wektor Poyntinga S zdefiniowany jako S 1 2 E H (6) gdzie gwiazdka ( ) sygnalizuje wielkość zespoloną sprzężoną. Część rzeczywista zespolonego wektora Poyntinga reprezentuje gęstość strumienia mocy uśrednioną za okres przebiegu falowego. Podstawowe właściwości fali opisanej zależnościami (1) - (5): wektory E i H, reprezentujące składowe elektryczną i magnetyczną fali, odpowiednio, są wzajemnie prostopadłe i razem są prostopadłe do kierunku rozchodzenia się fali, amplitudy składowych elektrycznej i magnetycznej są powiązane impedancją falową ośrodka (patrz (3)), powierzchnie jednakowej amplitudy i jednakowej fazy fali są płaszczyznami dlatego rozważaną falę nazywamy falą płaską. Ponieważ płaszczyzny te są równoległe, falę nazywamy jednorodną. Wyrażenia opisujące płaską falę elektromagnetyczną w niemagnetycznym (µ 0 ), nieprzewodzącym ośrodku o przenikalności elektrycznej ɛ ɛ r ɛ 0 są praktycznie identyczne z podanymi wyżej; jedyna różnica polega na tym, że w miejsce ɛ 0 trzeba wstawić do tych wzorów przenikalność ɛ.
1.2 Fala w ośrodku stratnym Przejście od analizy pola w ośrodku bezstratnym (σ 0) do analizy pola w ośrodku stratnym (σ 0) wymaga modyfikacji tylko jednego z dwóch rotacyjnych równań Maxwella tego, które wyraża uogólnione prawo Ampere a. Dla ośrodka bezstratnego ma ono postać natomiast dla ośrodka stratnego Równanie (8) można zapisać w postaci H jωɛe (7) H J + jωɛe σe + jωɛe (8) H jωɛe (9) w której ɛ ɛ j σ ω ɛ rɛ 0 j σ ω ɛ rɛ 0 (10) gdzie ɛ r ɛ r j σ ωɛ 0 (11) oznacza względną (relatywną) zespoloną przenikalność elektryczną ośrodka stratnego. Jako ćwiczenie pozostawiamy Czytelnikowi przekształcenie (11) do postaci ɛ r ɛ r j60λ 0 σ (12) w której λ 0 oznacza długość fali w wolnej przestrzeni, odpowiadającą częstotliwości kątowej ω. Stosunek części urojonej do części rzeczywistej względnej, zespolonej przenikalności elektrycznej określa tzw. tangens kąta δ strat ośrodka, tzn. tg δ 60λ 0σ ɛ r (13) Równania Maxwella opisujące pole w ośrodku stratnym są formalnie identyczne z równaniami opisującymi pole w ośrodku bezstratnym rózni je tylko to, że w równaniach dla ośrodka stratnego występuje zespolona przenikalność elektryczna ɛ, natomiast w równaniach dla ośrodka bezstratnego rzeczywista przenikalność ɛ. W rezultacie fala elektromagnetyczna w ośrodku stratnym jest opisana wzorami formalnie identycznymi z opisującymi falę w ośrodku bezstratnym z tą tylko różnicą, że zamiast ɛ (ɛ 0 w przypadku wolnej przestrzeni) występuje w tych wzorach przenikalność zespolona ɛ. Tak więc odpowiednik np. wzoru (2) ma dla niemagnetycznego ośrodka stratnego postać k ω ɛµ 0 ω ɛ r ɛ 0 µ 0 k 0 (14) Wzór ten określa tzw. liczbę falową, która dla ośrodka stratnego jest jak widać liczbą zespoloną. Zespolony charakter przenikalności elektrycznej ośrodka stratnego sprawia, że jego impedancja właściwa η, identyczna z impedancją falową dla fali płaskiej, jest zespolona η η e jϕη ɛ ɛ r ɛ 0 η 0 (15)
Do opisu fal w ośrodkach stratnych często wprowadza się parametr γ zdefiniowany jak następuje γ α + jβ jk jk 0 (16) nazywany współczynnikiem propagacji. Nietrudno wykazać, że zarówno część rzeczywista α, jak i część urojona β, współczynnika propagacji są dodatnie. Przy użyciu γ i uwzględnieniu, że w ośrodku stratnym E x H y η η e jϕη (17) wzory odpowiednie do (1), wyrażające zespolone amplitudy składowych elektrycznej i magnetycznej fali płaskiej w ośrodku stratnym, można zapisać jako E 1 x E x 1 x E 0 e γz 1 x E 0 e αz e jβz H 1 y H y 1 y H 0 e γz e jϕη 1 y H 0 e αz e j(βz+ϕη) (18a) (18b) przy czym H 0 E 0 η Przebiegi czasowo-przestrzenne odpowiadające zespolonym amplitudom określonym wzorami (18) mają postać (19) E(z, t) 1 x E x (z, t) 1 x Re{E 0 e γz e jωt } 1 x E 0 e αz cos(ωt βz) H(z, t) 1 y H y (z, t) 1 y Re{H 0 e γz e jϕη e jωt } 1 y H 0 e αz cos(ωt βz ϕ η ) (20a) (20b) Ze wzorów (18) i (20) wynika, że fala elektromagnetyczne w osrodku stratnym jest tłumiona, przy czym za tłumienie to odpowiada część rzeczywista α współczynnika propagacji. Z tego powodu α nazywamy współczynnikiem tłumienia fali. Z kolei część urojoną β współczynnika propagacji nazywamy współczynnikiem fazy. Odwrotność współczynnika tłumienia δ 1 α (21) określa tzw. głębokość wnikania. Ma ona sens długości drogi fali w ośrodku, po przebyciu której amplituda fali maleje e razy. Jest to ważny parametr, charakteryzujący zdolność fali elektromagnetycznej do penetracji ośrodka. 1.2.1 Obliczanie parametrów falowych Ważną umiejętnością inżynierską jest wyznaczanie wartości tzw. parametrów falowych, tj. parametrów charakteryzujących ilościowo zjawisko rozchodzenia się fali w danym ośrodku. Przez parametry falowe rozumie się prędkość rozchodzenia się fali, długość fali w ośrodku, współczynnik propagacji fali, itd. Przepiszmy wzór (16) γ α + jβ jk jk 0 (22) i wprowadźmy oznaczenie ɛ r j60λ 0 σ n jp (23)
Przyrównując, odpowiednio, części rzeczywiste i urojone liczb zespolonych po obu stronach (23) otrzymujemy ɛ r n 2 p 2 60λ 0 σ 2np (24a) (24b) Rozwiązaniem tego układu równań są n i p dane wzorem n p } [ ] 1 ±ɛ r + ɛ 2 2 r + (60λ 0σ) 2 w którym znak plus bierzemy przy obliczaniu n, natomiast znak minus przy obliczaniu p. Po obliczeniu n i p otrzymujemy na podstawie wzorów (22) i (23) (25) α k 0 p β k 0 n (26a) (26b) Nietrudno także wyrazić przez n i p wszystkie inne parametry falowe. Dla praktyki obliczeniowej zwykla wygodnie jest wyróżnić dwa przypadki szczególne, tzn. przypadek ośrodka o małych stratach i przypadek ośrodka o dużych stratach. Ośrodek słabo przewodzący, tj. o małych stratach (ɛ r >> 60λ 0 σ) W tym przypadku mamy n ɛ r 1 + 1 ( ) 2 60λ0 σ ɛ r 8 ɛ r p 30λ 0σ (27a) (27b) W rezultacie współczynnik tłumienia α k 0 p 2π 30λ 0 σ λ 0 60πσ (28) współczynnik fazy prędkość fazowa u rozchodzenia się fal w ośrodku u ω β β k 0 n 2π λ 0 (29) ω k 0 n ω ω ɛ r ɛ 0 µ 0 c (30) jest jak widać ɛ r razy mniejsza od prędkości c fali elektromagnetycznej (światła) w próżni. długość fali w ośrodku λ u f c T λ 0 (31) jest podobnie jak prędkość fazowa ɛ r razy mniejsza od długości fali λ 0 w wolnej przestrzeni (próżni).
impedancja falowa (charakterystyczna) ośrodka η η 0 η 0 ɛ r ɛ 0 n jp η ( 0 1 + j 30λ ) 0σ ɛ r (32) jest liczbą zespoloną, skutkiem czego składowe elektryczna i magnetyczna fali są względem siebie przesunięte we fazie (ale ciągle pozostają ortogonalne w przestrzeni!). Ośrodek dobrze przewodzący, tj. o dużych stratach (ɛ r << 60λ 0 σ) W tym przypadku mamy n p 30λ 0 σ (33) i w rezultacie współczynniki tłumienia i fazy α β k 0 30λ 0 σ 2π prędkość fazowa u fali w ośrodku u ω β 30σ λ 0 c 30λ0 σ 2π 30σf c (34) (35) długość fali λ w ośrodku λ u f λ 0 30λ0 σ (36) impedancja falowa (charakterystyczna) ośrodka η η 0 η 0 2 (1 + j) (37) 30λ 0 σ Jak widać, impedancja falowa ośrodka dobrze przewodzącego jest liczbą zespoloną, której części rzeczywista i urojona są równe. wynika stąd, że w ośrodku dobrze przewodzącym składowe elektryczna i magnetyczna fali elektromagnetycznej są względem siebie przesunięte we fazie o 45 (ciągle będąc wzajemnie ortogonalne w przestrzeni!).