Fala elektromagnetyczna prowadzona wzdłuż pojedynczego przewodu
|
|
- Henryk Grzelak
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 napisał Michał Wierzbicki Fala elektromagnetyczna prowadzona wzdłuż pojedynczego przewodu Problem rozchodzenia się fali elektromagnetycznej wzdłuż pojedynczego przewodu został rozwiązany w sposób ścisły po raz pierwszy przez Arnolda Sommerfelda 1. W języku niemieckim taką falę nazywa się Drahtwelle. Zakładamy, że mamy do czynienia z modem TM, w którym pole magnetyczne ma tylko jedną składową B ϕ w układzie cylindrycznym. Pole elektryczne ma składowe E ρ i E z, to znaczy linie sił pola elektrycznego leżą w płaszczyznie zawierającej oś z. Symetria cylindryczna pozwala nam założyć, że pole elektromagnetyczne nie zależy od współrzędnej ϕ. Zależność składowych pól od współrzędnej z w postaci: B ϕ, E ρ, E z e i(kz ωt) (1) oznacza, że fala propaguje się wzdłuż osi z. Prawo Faradaya: E= B t wyrażone we współrzędnych cylindrycznych, można zapisać w postaci (2) ( E ) ϕ = E ρ E z z ρ = iωb ϕ (3) ike ρ gdzie pochodną po z można zastąpić mnożeniem przez czynnik ik, a pochodną po czasie mnożeniem przez czynnik iω. Prawo Ampera z prądem przesunięcia wynosi B=µµ 0 j+ǫǫ 0 E t =α E (4) Gęstość prądu można wyrazić przez różniczkowe prawo Ohma: j=σ E, gdzieσ jest przewodnością własciwą materiału przewodnika. Zamieniając pochodną po czasie przez czynnik iω, prawą stronę prawa Ampera można uprościć, wprowadzając oznaczenie: α=µµ 0 σ iωµµ 0 ǫǫ 0. Równanie (4) zapisane w układzie cylindrycznym dla składowych z iρprzyjmuje postać: 1 A. Sommerfeld, Ueber die Fortpflanzung elektrodynamischer Wellen längs eines Drahtes, Annalen der Physik und Chemie 67 (1899) 233. A. Sommerfeld, Vorlesungen über theoretische Physik, Band III Elektrodynamik, 22. 1
2 ( B ) z = 1 ( ) ρbϕ =αez (5) ρ ρ ( B ) ρ = B ϕ z ikb ϕ = αe ρ (6) Elektryczne prawo Gaussa w układzie cylindrycznym wynosi E= 1 ρ ρ ( ) E z ρeϕ + z = 0 (7) ike z Z powodu symetrii cylindrycznej magnetyczne prawo Gaussa jest spełnione tożsamościowo: B= 1 B ϕ ρ ϕ = 0 (8) Korzystając z równania (6) można wyrazić składową E ρ przez B ϕ : Równanie (3) można przepisać w postaci: E ρ = ik α B ϕ (9) Stąd E z ρ = ike ρ iωb ϕ (10) B ϕ = α E z (k 2 iωα) ρ Wstawiając powyższe wyrażenie na B ϕ do równania (5) otrzymujemy nastepujące równanie różniczkowe dla składowej podłużnej E z : 2 E z ρ ρ (11) E z ρ +κ2 E z = 0 (12) gdzie κ 2 = iωα k 2. Jest to równanie Bessela rzędu 0. Jego rozwiązaniem jest kombinacja liniowa funkcji Bessela pierwszego rodzaju J 0 i drugiego rodzaju Y 0 : E z (ρ)= A J 0 (κρ)+ B Y 0 (κρ) (13) 2
3 Umawiamy się, że przy wyciąganiu pierwiastka zκ 2 wielkośćκ ma część urojoną większą od zera. Zgodnie z równaniami (9) i (11) składowe B ϕ i E ρ są proporcjonalne do pochodnej składowej podłużnej E z : B ϕ = α E z κ 2 ρ, E ρ= ik E z (14) κ 2 ρ Można zauważyć, że elektryczne prawo Gaussa (7) jest automatycznie spełnione. Ponieważ posługujemy się zespoloną reprezentacją pola elektromagnetycznego to możemy zastosować alternatywny zapis dla funkcji Bessela w postaci funkcji Hankela pierwszego i drugiego rodzaju: E z (ρ)= A H (1) 0 (κρ)+ B H(2) 0 (κρ) (15) gdzie funkcje Hankela zdefiniowane są jako: H (1,2) 0 (x)= J 0 (x)±iy 0 (x) (16) Funkcja Bessela drugiego rodzaju Y 0 dla argumentu rzeczywistego lub zespolonego jest rozbieżna wρ=0. Nie ma fizycznego powodu aby na osi przewodu pole elektryczne było nieskończenie duże. Z tego względu wewnątrz przewodu o promieniu R, dlaρ<r wybieramy rozwiązanie równania (12) w postaci E int z (ρ)= A J 0 (κρ) (17) Na zewnątrz przewodu mamy próżnię, dla której przewodnictwo właściwe σ = 0, a względne stałe dielektryczneµ=ǫ= 1. Stałaα dla próżni wynosi: a stała κ przyjmuje wartość: α 0 = iωµ 0 ǫ 0 = iω c 2 (18) ω 2 κ 0 = c 2 k2 (19) Na zewnątrz przewodu (dlaρ>r) składową podłużną E z wyraźmy w postaci (15) kombinacji liniowej funkcji Hankela E z (ρ)= A H (1) 0 (κ 0ρ)+ B H (2) 0 (κ 0ρ) (20) Mogą zachodzić dwa przypadki: 1) k<ω/c stałaκ rzeczywista 2) k>ω/c stałaκ zespolona 2 2 Zgodnie z wcześniejszą umową zakładamy, że jej część urojona jest większa od zera. 3
4 W przypadku pierwszym funkcje Bessela pierwszego J 0 i drugiego rodzaju Y 0 dla argumentu rzeczywistego dążą do zera w nieskończoności. Fizyczny warunek znikania pól w nieskończoności jest więc spełniony przez obie funkcje. Aby zmniejszyć liczbę stałych nieoznaczonych, musimy zastosować silniejszy warunek promieniowania. Zakładamy, że fala elektromagnetyczna prowadzona wzdłuż przewodu przenosi energię tylko wzdłuż przewodu to znaczy że energia nie jest wypromieniowywana radialnie. Składowa radialna zespolonego wektora Poyntinga: ( S ) ρ = 1 2µ 0 Re ( E B ) ρ = 1 2µ 0 Re (E z B ϕ ) (21) wycałkowana po obwodzie okręgu o promieniuρdaje średnią w czasie moc P wypromieniowaną radialnie od przewodu. P(ρ)=2πρ S ρ (ρ) (22) Aby w granicy dlaρ moc P dążyła do zera, składowa S ρ powinna zmierzać do zera szybciej niż 1/ρ. Zgodnie z równaniem (14) składowa B ϕ jest proporcjonalna do pochodnej poρskładowej E z. Okazuje się, że w przypadku 1) warunek promieniowania, dla E z danego równaniem (20) zκ 0 rzeczywistym, nie jest spełniony, co łatwo sprawdzić w programie Mathematica, obliczając pierwszy wyraz rozwinięcia w szereg względem nieskończoności funkcji E z (r) E z(r), gdzie r= κ 0 ρ: f [r ]= A HankelH1[0, r]+ B HankelH2[0, r]; (Series[f [r] Conjugate[f [r]],{r,, 1}]//Normal//Re//ComplexExpand)/.{Arg[r] 0} //PowerExpand//Simplify 4ABCos[2r] πr Pozostaje więc nam przypadek 2) gdyκ 0 jest zespolone. W tym przypadku funkcja Hankela drugiego rodzaju H (2) 0 dla argumentu zespolonego o dodatniej części urojonej jest rozbieżna w nieskończoności: q=1+i; Series[HankelH1[0, q r],{r,, 1}]//Normal//Abs//ComplexExpand 2 1/4 e r π ( r 2 ) 1/4 4
5 Series[HankelH2[0, q r],{r,, 1}]//Normal//Abs//ComplexExpand 2 1/4 e r π ( r 2 ) 1/4 W wyrażeniu (20) pozostawiamy tylko funkcję Hankela pierwszego rodzaju H (1) 0. Dalej przez H m będziemy rozumieć funkcję pierwszego rodzaju H m (1). Łatwo sprawdzić, że funkcja Hankela pierwszego rodzaju spełnia warunek promieniowania: f [r ]=HankelH1[0, q r] Conjugate[q HankelH1[1, q r]]//abs; (Series[ f [r],{r,, 1}]//Normal//ComplexExpand)/.{Arg[r] 0}//Simplify//PowerExpand 2e 2r πr gdzie skorzystaliśmy ze wzoru na pochodną funkcji Hankela: H 0 (x)= H 1(x). Ostatecznie, warunek promieniowania wymaga, aby składowa podłużna pola elektrycznego na zewnątrz przewodu dlaρ>rmiała postać: E ext z (ρ)= B H 0 (κ 0 ρ) (23) gdzie κ 0 zespolone dane jest wzorem (19). Zgodnie ze wzorami (14) składowe B ϕ i E ρ pola elektromagnetycznego wewnątrz przewodu dla ρ < R (int) i na zewnątrz przewodu dlaρ>r(ext) wynoszą odpowiednio oraz B int ϕ (ρ)= α κ A J 1(κρ), E int ρ (ρ)= ik κ A J 1(κρ) (24) B ext ϕ (ρ)= α 0 B H 1 (κ 0 ρ), Eρ ext κ 0 (ρ)= ik κ 0 B H 1 (κ 0 ρ) (25) gdzie skorzystaliśmy ze wzoru na pochodną funkcji Bessela: J 0 (x)= J 1(x). Na powierzchni przewodu muszą być spełnione następujące warunki brzegowe: 1) ciągłość składowej natężenia pola elektrycznego stycznej do powierzchni granicznej: E int z = E ext z (26) oraz 2) ciągłość składowej natężenia pola magnetycznego do powierzchni granicznej: H int ϕ = H ext ϕ (27) 5
6 Ściśle rzecz biorąc, w ogólnym przypadku składowa styczna natężenia pola magnetycznego powinna doznawać skoku równego natężeniu swobodnego prądu powierzchniowegoκ sw płynącego po powierzchni granicznej. W przypadku przewodnika spełniającego różniczkowe prawo Ohma: j = σ E mamy do czynienia tylko z prądem objętościowym. Korzystając z równania materiałowego, natężenie pola magnetycznego H można wyrazić przez indukcję B. Warunki (26) i (27) na powierzchni przewodnika o promieniu R oznaczają więc: E int z (R)= Ez ext (R), 1 µ Bint ϕ (R)= Bext ϕ (R) (28) Korzystając z równań (24) i (25) otrzymujemy układ dwóch równań liniowych jednorodnych z niewiadomymi amplitudami pola elektrycznego A i B wewnątrz i na zewnątrz przewodnika: 1 µ A J 0 (κ R)= B H 0 (κ R) α κ A J 1(κ R)= α 0 B H 1 (κ 0 R) κ 0 Warunkiem koniecznym rozwiązalności układu równań (29) jest znikanie jego wyznacznika µκ R J 0 (κ R) α J 1 (κ R) = κ 0 R H 0 (κ 0 R) (30) α 0 H 1 (κ 0 R) Jest to uwikłane równanie zawierające w sobie relację dyspersji k(ω) dla fali elektromagnetycznej prowadzonej wzdłuż przewodnika. Do obliczeń numerycznych dla konkretnych wartości stałych materiałowych wygodnie jest wprowadzić pewne oznaczenia. Zespolony współczynnik załamania materiału z którego wykonany jest przewód wynosi 3 n 2 =µǫ+ iµσ (31) ǫ 0 ω Parametry α i κ materiału przewodnika, występujące w równaniach można wówczas zapisać jako: α= iω ( ω n ) 2 n 2, κ 2 = k 2 (32) c 2 c Próżnia na zewnątrz przewodu ma oczywiście współczynnik załamania n = 1, stąd α 0 = iω ( ω ) 2, κ 2 c 2 0 = k 2 (33) c Można zauważyć, żeα/α 0 = n 2. Jeśli wprowadzimy następujące oznaczenia bezwymiarowe: 3 Patrz temat: płaska fala elektromagnetyczna w ośrodku przewodzącym (29) 6
7 bezwymiarowa częstość drgań: q = ωr/c bezwymiarowy wektor falowy: h = kr to parametryκ iκ 0 będziemy mogli zastąpić ich bezwymiarowymi odpowiednikami: X 2 = n 2 q 2 h 2, X 2 0 = q2 h 2 (34) Uwikłane równanie (30) można wówczas zapisać w postaci bezwymiarowej jako µ X J 0 (X) n 2 J 1 (X) = X 0 H 0 (X 0 ) H 1 (X 0 ) (35) Gruby przewód miedziany Niech promień przewodu wynosi: R = 1 mm, częstotliwość drgań fali: f = 1 GHz. Przewód jest wykonany z miedzi, dla której przewodnictwo właściwe wynosi σ = 5, (Ω m) 1, a względna przenikalność magnetyczna:µ=1. Zespolony współczynnik załamania (31) ma wówczas dominującą bardzo dużą część urojoną 4 : Bezwymiarowa częstość drgań: n 2 σ i ǫ 0 ω = i 1,0 109 q= ωr = 2, c Szukamy rozwiązania równania (35) dla h q. Argument lewej strony równania (35) jest wówczas bardzo duży X nq=469,0 (1+i) i praktycznie nie zależy od h. Argument prawej strony jest natomiast bardzo mały X 0 q<1. Dokładne rozwiązanie 5 znalezione w Mathematice za pomocą funkcjifindroot wynosi h=q+δ, gdzie δ=(1,62+i 0,78) Wówczas X 0 = (0, 61+i2,67) Bezwymiarowy wektor falowy h ma niewielką część urojoną, co oznacza słabe tłumienie fali. Prędkość fazowa v f =ω/k wyrażona przez wielkości bezwymiarowe wynosi v f c = q Re(h) = 0, i jest mniejsza od prędkości światła jedynie o 7, c. Zmiana amplitudy fali na długości R=1 mm wynosi e Im(h) 1 Im(h), co w przeliczeniu daje znikomą wartość 4 Określenie stałej dielektrycznejǫ materiału przewodzącego jest dość problematyczne z punktu widzenia eksperymentalnego, gdyż fala elektromagnetyczna odbija się od przewodnika. 5 Rozwiązanie przybliżone można otrzymać stosując wyrażenia dla przybliżonej wartości funkcji Bessela dla dużych argumentów i funkcji Hankela dla małych argumentów. 7
8 współczynnika tłumienia 6 fali równą 3,4 db/km. Fala TM prowadzona wzdłuż przewodu porusza się praktycznie bez tłumienia z prędkością światła. Wprowadzając odległość od przewodu mierzoną w jego promieniach: u = ρ/r, możemy napisać następujące wyrażenia bezwymiarowe na składowe pola elektromagnetycznego. Wewnątrz przewodu dla u<1mamy: Ez int (u)= A J 0 (X u) Bϕ int (u)= qn2 cx A J 1(X u) Na zewnątrz przewodu dla u>1 mamy: E int ρ (u)= ih X A J 1(X u) Ez ext (u)= B H 0 (X 0 u) Eρ ext ih (u)= B H 1 (X 0 u) X 0 B ext ϕ (u)= qn2 cx 0 B H 1 (X 0 u) Za wartość stałej A możemy przyjąć 1/J 0 (X), wówczas formalnie wartość składowej pola elektrycznego na powierzchni przewodu 7 wynosi E z (R) = 1. Stała B zgodnie z równaniem (29) będzie wówczas równa B=1/H 0 (X). Zależność między amplitudami składowych poprzecznych pola elektrycznego i magnetycznego fali jest następująca: E ρ = B ϕ hc qn 2 c n 2 Na zewnątrz przewodu współczynnik załamania n=1, stąd stosunek amplitud pól E i B wynosi c, tak jak dla płaskiej fali elektromagnetycznej w próżni. Z analizy numerycznych wartości składowych pól, którą łatwo przeprowadzić w programie Mathematica wynika, że dominujące znaczenie ma składowa E ρ na zewnątrz przewodnika. Na zewnętrznej powierzchni przewodnika, dla podanych wyżej wartości parametrów, wynosi ona Eρ ext(r)=3, Na wewnętrznej powierzchni przewodnika Eρ int(r)=3,2 10 5, a więc praktycznie zero. Mamy więc do czynienia prawie dokładnie z falą poprzeczną TEM. Cała energia przenoszona jest przez falę wzdłuż i na zewnątrz przewodnika. Jak widać na rysunku 2 wewnątrz przewodu mamy do czynienia z silnym efektem naskórkowym. Składowa E z a co za tym idzie i indukowany prąd są różne od zera praktycznie w bardzo cienkiej warstwie przy powierzchni przewodu dla 0,99 R<ρ<R. 6 Fizycznym mechanizmem tłumienia jest przemiana energii fali na ciepło Joule a-lenza wydzielające się w przewodzie 7 Ta składowa jest ciągła na powierzchni przewodu. 8
9 Rysunek 1: Rozkład pola elektromagnetycznego fali wokół przewodnika. Możliwość praktycznego zastosowania fali prowadzonej wzdłuż pojedynczego przewodu ogranicza niestety fakt, iż pole elektromagnetyczne fali rozciąga się daleko poza przewodem. Jak widać z rysunku 3 natężenie pola elektrycznego maleje praktycznie jak 1/ρ wraz z rosnącą odległością od przewodu. 9
10 Rysunek 2: Rozkład pola elektromagnetycznego wewnątrz przewodnika. Rysunek 3: Zależność natężenia pola elektrycznego od odległości od przewodu. 10
Efekt naskórkowy (skin effect)
Efekt naskórkowy (skin effect) Rozważmy cylindryczny przewód o promieniu a i o nieskończonej długości. Przez przewód płynie prąd I = I 0 cos ωt. Dla niezbyt dużych częstości ω możemy zaniedbać prąd przesunięcia,
Bardziej szczegółowo1 Płaska fala elektromagnetyczna
1 Płaska fala elektromagnetyczna 1.1 Fala w wolnej przestrzeni Rozwiązanie równań Maxwella dla zespolonych amplitud pól przemiennych sinusoidalnie, reprezentujące płaską falę elektromagnetyczną w wolnej
Bardziej szczegółowoPrędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie
napisał Michał Wierzbicki Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie Prędkość grupowa paczki falowej Paczka falowa jest superpozycją fal o różnej częstości biegnących wzdłuż osi z.
Bardziej szczegółowoOptyka. Wykład V Krzysztof Golec-Biernat. Fale elektromagnetyczne. Uniwersytet Rzeszowski, 8 listopada 2017
Optyka Wykład V Krzysztof Golec-Biernat Fale elektromagnetyczne Uniwersytet Rzeszowski, 8 listopada 2017 Wykład V Krzysztof Golec-Biernat Optyka 1 / 17 Plan Swobodne równania Maxwella Fale elektromagnetyczne
Bardziej szczegółowoPromieniowanie dipolowe
Promieniowanie dipolowe Potencjały opóźnione φ i A dla promieniowanie punktowego dipola elektrycznego wygodnie jest wyrażać przez wektor Hertza Z φ = ϵ 0 Z, spełniający niejednorodne równanie falowe A
Bardziej szczegółowoZwój nad przewodzącą płytą METODA ROZDZIELENIA ZMIENNYCH
METODA ROZDZIELENIA ZMIENNYCH (2) (3) (10) (11) Modelowanie i symulacje obiektów w polu elektromagnetycznym 1 Rozwiązania równań (10-11) mają ogólną postać: (12) (13) Modelowanie i symulacje obiektów w
Bardziej szczegółowoRównania dla potencjałów zależnych od czasu
Równania dla potencjałów zależnych od czasu Potencjały wektorowy A( r, t i skalarny ϕ( r, t dla zależnych od czasu pola elektrycznego E( r, t i magnetycznego B( r, t definiujemy poprzez następujące zależności
Bardziej szczegółowoPole magnetyczne magnesu w kształcie kuli
napisał Michał Wierzbicki Pole magnetyczne magnesu w kształcie kuli Rozważmy kulę o promieniu R, wykonaną z materiału ferromagnetycznego o stałej magnetyzacji M = const, skierowanej wzdłuż osi z. Gęstość
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA MAXWELLA. Czy pole magnetyczne może stać się źródłem pola elektrycznego? Czy pole elektryczne może stać się źródłem pola magnetycznego?
RÓWNANIA MAXWELLA Czy pole magnetyczne może stać się źródłem pola elektrycznego? Czy pole elektryczne może stać się źródłem pola magnetycznego? Wykład 3 lato 2012 1 Doświadczenia Wykład 3 lato 2012 2 1
Bardziej szczegółowoFotonika. Plan: Wykład 3: Polaryzacja światła
Fotonika Wykład 3: Polaryzacja światła Plan: Równania Maxwella w ośrodku optycznie liniowym Równania Maxwella dla fal monochromatycznych Polaryzacja światła Fala płaska spolaryzowana Polaryzacje liniowe,
Bardziej szczegółowoZastosowanie zespolonego wektora Poyntinga do wyznaczania impedancji
napisał Michał Wierzbicki Zastosowanie zespolonego wektora Poyntinga do wyznaczania impedancji Dla pól elektromagnetycznych harmonicznie zależnych od czasu z czynnikiem e iωt można zdefiniować zespolony
Bardziej szczegółowoMoment pędu fali elektromagnetycznej
napisał Michał Wierzbicki Moment pędu fali elektromagnetycznej Definicja momentu pędu pola elektromagnetycznego Gęstość momentu pędu pola J w elektrodynamice definuje się za pomocą wzoru: J = r P = ɛ 0
Bardziej szczegółowoRównania Maxwella. Wstęp E B H J D
Równania Maxwella E B t, H J D t, D, B 0 Równania materiałowe B 0 H M, D 0 E P, J E, gdzie: 0 przenikalność elektryczną próżni ( 0 8854 10 1 As/Vm), 0 przenikalność magetyczną próżni ( 0 4 10 7 Vs/Am),
Bardziej szczegółowoElektrodynamika Część 8 Fale elektromagnetyczne Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM
Elektrodynamika Część 8 Fale elektromagnetyczne Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM http://zon8.physd.amu.edu.pl/~tanas Spis treści 9 Fale elektromagnetyczne 3 9.1 Fale w jednym wymiarze.................
Bardziej szczegółowoPole elektrostatyczne
Termodynamika 1. Układ termodynamiczny 5 2. Proces termodynamiczny 5 3. Bilans cieplny 5 4. Pierwsza zasada termodynamiki 7 4.1 Pierwsza zasada termodynamiki w postaci różniczkowej 7 5. Praca w procesie
Bardziej szczegółowo- Strumień mocy, który wpływa do obszaru ograniczonego powierzchnią A ( z minusem wpływa z plusem wypływa)
37. Straty na histerezę. Sens fizyczny. Energia dostarczona do cewki ferromagnetykiem jest znacznie większa od energii otrzymanej. Energia ta jest tworzona w ferromagnetyku opisanym pętlą histerezy, stąd
Bardziej szczegółowoRozważania rozpoczniemy od fal elektromagnetycznych w próżni. Dla próżni równania Maxwella w tzw. postaci różniczkowej są następujące:
Rozważania rozpoczniemy od fal elektromagnetycznych w próżni Dla próżni równania Maxwella w tzw postaci różniczkowej są następujące:, gdzie E oznacza pole elektryczne, B indukcję pola magnetycznego a i
Bardziej szczegółowoKATEDRA TELEKOMUNIKACJI I FOTONIKI
ZACHODNIOPOMORSKI UNIWERSYTET TECHNOLOGICZNY W SZCZECINIE WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY KATEDRA TELEKOMUNIKACJI I FOTONIKI OPROGRAMOWANIE DO MODELOWANIA SIECI ŚWIATŁOWODOWYCH PROJEKTOWANIE FALOWODÓW PLANARNYCH (wydrukować
Bardziej szczegółowoRównanie Fresnela. napisał Michał Wierzbicki
napisał Michał Wierzbici Równanie Fresnela W anizotropowych ryształach optycznych zależność między wetorami inducji i natężenia pola eletrycznego (równanie materiałowe) jest następująca = ϵ 0 ˆϵ E (1)
Bardziej szczegółowoFale elektromagnetyczne
Fale elektromagnetyczne dr inż. Ireneusz Owczarek CMF PŁ ireneusz.owczarek@p.lodz.pl http://cmf.p.lodz.pl/iowczarek 2012/13 Plan wykładu Spis treści 1. Analiza pola 2 1.1. Rozkład pola...............................................
Bardziej szczegółowoOPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki
OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki c Adam Bechler 2006 Instytut Fizyki Uniwersytetu Szczecińskiego Równania optyki półklasycznej Posłużymy się teraz równaniem (2.4), i Ψ t = ĤΨ ażeby wyprowadzić
Bardziej szczegółowoPrzedmowa do wydania drugiego Konwencje i ważniejsze oznaczenia... 13
Przedmowa do wydania drugiego... 11 Konwencje i ważniejsze oznaczenia... 13 1. Rachunek i analiza wektorowa... 17 1.1. Wielkości skalarne i wektorowe... 17 1.2. Układy współrzędnych... 20 1.2.1. Układ
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM POMIARY W AKUSTYCE. ĆWICZENIE NR 4 Pomiar współczynników pochłaniania i odbicia dźwięku oraz impedancji akustycznej metodą fali stojącej
LABORATORIUM POMIARY W AKUSTYCE ĆWICZENIE NR 4 Pomiar współczynników pochłaniania i odbicia dźwięku oraz impedancji akustycznej metodą fali stojącej 1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest poznanie metody
Bardziej szczegółowoFale elektromagnetyczne
Rozdział 7 Fale elektromagnetyczne 7.1 Prąd przesunięcia. II równanie Maxwella Poznane dotąd prawa elektrostatyki, magnetostatyki oraz indukcji elektromagnetycznej można sformułować w czterech podstawowych
Bardziej szczegółowoFizyka współczesna. Zmienne pole magnetyczne a prąd. Zjawisko indukcji elektromagnetycznej Powstawanie prądu w wyniku zmian pola magnetycznego
Zmienne pole magnetyczne a prąd Zjawisko indukcji elektromagnetycznej Powstawanie prądu w wyniku zmian pola magnetycznego Zmienne pole magnetyczne a prąd Wnioski (które wyciągnęlibyśmy, wykonując doświadczenia
Bardziej szczegółowoFala elektromagnetyczna o określonej częstotliwości ma inną długość fali w ośrodku niż w próżni. Jako przykłady policzmy:
Rozważania rozpoczniemy od ośrodków jednorodnych. W takich ośrodkach zależność między indukcją pola elektrycznego a natężeniem pola oraz między indukcją pola magnetycznego a natężeniem pola opisana jest
Bardziej szczegółowoWstęp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej
Wstęp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej Część I: Optyka, wykład 6 wykład: Piotr Fita pokazy: Andrzej Wysmołek ćwiczenia: Anna Grochola, Barbara Piętka Wydział Fizyki Uniwersytet Warszawski 2014/15
Bardziej szczegółowoElektrodynamika Część 1 Elektrostatyka Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM
Elektrodynamika Część 1 Elektrostatyka Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM http://zon8.physd.amu.edu.pl/\~tanas Spis treści 1 Literatura 3 2 Elektrostatyka 4 2.1 Pole elektryczne......................
Bardziej szczegółowoIII. Opis falowy. /~bezet
Światłowody III. Opis falowy BERNARD ZIĘTEK http://www.fizyka.umk.pl www.fizyka.umk.pl/~ /~bezet Równanie falowe w próżni Teoria falowa Równanie Helmholtza Równanie bezdyspersyjne fali płaskiej, rozchodzącej
Bardziej szczegółowoElektrodynamika Część 1 Elektrostatyka Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM
Elektrodynamika Część 1 Elektrostatyka Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM http://zon8.physd.amu.edu.pl/~tanas Spis treści 1 Literatura 3 2 Elektrostatyka 4 2.1 Pole elektryczne....................
Bardziej szczegółowoElektrodynamika. Część 6. Elektrodynamika. Ryszard Tanaś. Zakład Optyki Nieliniowej, UAM
Elektrodynamika Część 6 Elektrodynamika Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM http://zon8.physd.amu.edu.pl/\~tanas Spis treści 7 Elektrodynamika 3 7.1 Siła elektromotoryczna.................. 3
Bardziej szczegółowoPodstawy fizyki sezon 2 6. Równania Maxwella
Podstawy fizyki sezon 2 6. Równania Maxwella Agnieszka Obłąkowska-Mucha AGH, WFIiS, Katedra Oddziaływań i Detekcji Cząstek, D11, pok. 111 amucha@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~amucha Dotychczas pokazaliśmy:
Bardziej szczegółowocz. 2. dr inż. Zbigniew Szklarski
Wykład 14: Pole magnetyczne cz.. dr inż. Zbigniew zklarski szkla@agh.edu.pl http://layer.uci.agh.edu.pl/z.zklarski/ Prąd elektryczny jako źródło pola magnetycznego - doświadczenie Oersteda Kiedy przez
Bardziej szczegółowoRodzaje fal. 1. Fale mechaniczne. 2. Fale elektromagnetyczne. 3. Fale materii. dyfrakcja elektronów
Wykład VI Fale t t + Dt Rodzaje fal 1. Fale mechaniczne 2. Fale elektromagnetyczne 3. Fale materii dyfrakcja elektronów Fala podłużna v Przemieszczenia elementów spirali ( w prawo i w lewo) są równoległe
Bardziej szczegółowoFizyka 2 Wróbel Wojciech
Fizyka w poprzednim odcinku 1 Prawo Faradaya Fizyka B Bd S Strumień magnetyczny Jednostka: Wb (Weber) = T m d SEM B Siła elektromotoryczna Praca, przypadająca na jednostkę ładunku, wykonana w celu wytworzenia
Bardziej szczegółowoElektrodynamika Część 6 Elektrodynamika Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM
Elektrodynamika Część 6 Elektrodynamika Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM http://zon8.physd.amu.edu.pl/~tanas Spis treści 7 Elektrodynamika 3 7.1 Siła elektromotoryczna................ 3 7.2
Bardziej szczegółowoLinie sił pola elektrycznego
Wykład 5 5.6. Linie sił pola elektrycznego Pamiętamy, że we wzorze (5.) określiliśmy natężenie pola elektrycznego przy pomocy ładunku próbnego q 0, którego wielkość dążyła do zera. Robiliśmy to po to,
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe II rzędu
Równania różniczkowe liniowe II rzędu Definicja równania różniczkowego liniowego II rzędu Warunki początkowe dla równania różniczkowego II rzędu Równania różniczkowe liniowe II rzędu jednorodne (krótko
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski
Uniwersytet Śląski 23 marca 2012 Ciało liczb zespolonych Rozważmy zbiór C = R R, czyli C = {(x, y) : x, y R}. W zbiorze C definiujemy następujące działania: dodawanie: mnożenie: (a, b) + (c, d) = (a +
Bardziej szczegółowoWyprowadzenie prawa Gaussa z prawa Coulomba
Wyprowadzenie prawa Gaussa z prawa Coulomba Natężenie pola elektrycznego ładunku punktowego q, umieszczonego w początku układu współrzędnych (czyli prawo Coulomba): E = Otoczmy ten ładunek dowolną powierzchnią
Bardziej szczegółowoFizyka 12. Janusz Andrzejewski
Fizyka 1 Janusz Andrzejewski Przypomnienie: Drgania procesy w których pewna wielkość fizyczna na przemian maleje i rośnie Okresowy ruch drgający (periodyczny) - jeżeli wartości wielkości fizycznych zmieniające
Bardziej szczegółowoStrumień Prawo Gaussa Rozkład ładunku Płaszczyzna Płaszczyzny Prawo Gaussa i jego zastosowanie
Problemy elektrodynamiki. Prawo Gaussa i jego zastosowanie przy obliczaniu pól ładunku rozłożonego w sposób ciągły. I LO im. Stefana Żeromskiego w Lęborku 19 marca 2012 Nowe spojrzenie na prawo Coulomba
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4 Obszar określoności równania Jeżeli występująca w równaniu y' f ( x, y) funkcja f jest ciągła, to równanie posiada rozwiązanie. Jeżeli f jest nieokreślona w punkcie (x 0,
Bardziej szczegółowoPole elektromagnetyczne
Pole elektromagnetyczne Pole magnetyczne Strumień pola magnetycznego Jednostką strumienia magnetycznego w układzie SI jest 1 weber (1 Wb) = 1 N m A -1. Zatem, pole magnetyczne B jest czasem nazywane gęstością
Bardziej szczegółowoWspółczynniki pojemności
napisał Micał Wierzbicki Współczynniki pojemności Rozważmy układ N przewodników. Powierzcnia każdego z nic jest powierzcnią ekwipotencjalną: ϕ i = const, i = 1,,..., N. W obszarze między przewodnikami
Bardziej szczegółowoElektrostatyka ŁADUNEK. Ładunek elektryczny. Dr PPotera wyklady fizyka dosw st podypl. n p. Cząstka α
Elektrostatyka ŁADUNEK elektron: -e = -1.610-19 C proton: e = 1.610-19 C neutron: 0 C n p p n Cząstka α Ładunek elektryczny Ładunek jest skwantowany: Jednostką ładunku elektrycznego w układzie SI jest
Bardziej szczegółowoKsięgarnia PWN: David J. Griffiths - Podstawy elektrodynamiki
Księgarnia PWN: David J. Griffiths - Podstawy elektrodynamiki Spis treści Przedmowa... 11 Wstęp: Czym jest elektrodynamika i jakie jest jej miejsce w fizyce?... 13 1. Analiza wektorowa... 19 1.1. Algebra
Bardziej szczegółowoWykład 14: Indukcja cz.2.
Wykład 14: Indukcja cz.. Dr inż. Zbigniew Szklarski Katedra Elektroniki, paw. -1, pok.31 szkla@agh.edu.pl http://layer.uci.agh.edu.pl/z.szklarski/ 10.05.017 Wydział Informatyki, Elektroniki i 1 Przykład
Bardziej szczegółowoElektrodynamika Część 4 Magnetostatyka Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM
Elektrodynamika Część 4 Magnetostatyka Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM http://zon8.physd.amu.edu.pl/\~tanas Spis treści 5 Magnetostatyka 3 5.1 Siła Lorentza........................ 3 5.2 Prawo
Bardziej szczegółowoWykład 15: Indukcja. Dr inż. Zbigniew Szklarski. Katedra Elektroniki, paw. C-1, pok
Wykład 15: Indukcja Dr inż. Zbigniew zklarski Katedra Elektroniki, paw. -1, pok.31 szkla@agh.edu.pl http://layer.uci.agh.edu.pl/z.zklarski/ 1 Pole magnetyczne a prąd elektryczny Do tej pory omawiano skutki
Bardziej szczegółowoFale elektromagnetyczne. Gradient pola. Gradient pola... Gradient pola... Notatki. Notatki. Notatki. Notatki. dr inż. Ireneusz Owczarek 2013/14
dr inż. Ireneusz Owczarek CNMiF PŁ ireneusz.owczarek@p.lodz.pl http://cmf.p.lodz.pl/iowczarek 2013/14 1 dr inż. Ireneusz Owczarek Gradient pola Gradient funkcji pola skalarnego ϕ przypisuje każdemu punktowi
Bardziej szczegółowoModel oscylatorów tłumionych
Inna nazwa: model klasyczny, Lorentza Założenia: - ośrodek jest zbiorem naładowanych oscylatorów oddziałujących z falą elektromagnetyczną - wszystkie występujące siły są izotropowe - wartość siły tłumienia
Bardziej szczegółowoRezonator prostopadłościenny
napisał Michał Wierzbicki Rezonator prostopadłościenny Rozważmy prostopadłościan o bokach a > b > d (pusty w środku), którego scianki wykonane są z idealnego przewodnika. Wewnątrz takiego rezonatora będziemy
Bardziej szczegółowoElektrodynamika Część 2 Specjalne metody elektrostatyki Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM
Elektrodynamika Część 2 Specjalne metody elektrostatyki Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM http://zon8.physd.amu.edu.pl/~tanas Spis treści 3 Specjalne metody elektrostatyki 3 3.1 Równanie Laplace
Bardziej szczegółowoMAGNETYZM, INDUKCJA ELEKTROMAGNETYCZNA. Zadania MODUŁ 11 FIZYKA ZAKRES ROZSZERZONY
MODUŁ MAGNETYZM, INDUKCJA ELEKTROMAGNETYCZNA OPRACOWANE W RAMACH PROJEKTU: FIZYKA ZAKRES ROZSZERZONY WIRTUALNE LABORATORIA FIZYCZNE NOWOCZESNĄ METODĄ NAUCZANIA. PROGRAM NAUCZANIA FIZYKI Z ELEMENTAMI TECHNOLOGII
Bardziej szczegółowoFale elektromagnetyczne
Podstawy elektromagnetyzmu Wykład 11 Fale elektromagnetyczne Równania Maxwella H=J D t E= B t D= B=0 D= E J= E B= H Ruch ładunku jest źródłem pola magnetycznego Zmiana pola magnetycznego w czasie jest
Bardziej szczegółowoFala EM w izotropowym ośrodku absorbującym
Fala EM w izotropowym ośrodku absorbującym Fala EM powoduje generację zmienne pole elektryczne E Zmienne co do kierunku i natężenia, Pole E Nie wywołuje w ośrodku prądu elektrycznego Powoduje ruch elektronów
Bardziej szczegółowoObliczanie indukcyjności cewek
napisał Michał Wierzbicki Obliczanie indukcyjności cewek Indukcyjność dla cewek z prądem powierzchniowym Energia zgromadzona w polu magnetycznym dwóch cewek, przez uzwojenia których płyną prądy I 1 i I
Bardziej szczegółowoCHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE
CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE Do opisu członów i układów automatyki stosuje się, oprócz transmitancji operatorowej (), tzw. transmitancję widmową. Transmitancję widmową () wyznaczyć można na podstawie
Bardziej szczegółowoPolitechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania. Podstawy Automatyki
Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podsta Automatyki Transmitancja operatorowa i widmowa systemu, znajdowanie odpowiedzi w dziedzinie s i w
Bardziej szczegółowoWidmo fal elektromagnetycznych
Czym są fale elektromagnetyczne? Widmo fal elektromagnetycznych dr inż. Romuald Kędzierski Podstawowe pojęcia związane z falami - przypomnienie pole falowe część przestrzeni objęta w danej chwili falą
Bardziej szczegółowoPodstawy elektromagnetyzmu. Wykład 12. Energia PEM
Podstawy elektromagnetyzmu Wykład 12 Energia PEM Energia pola elektromagnetycznego Pole elektryczne W E = V w E dv w E = E D 2 = E 2 2 = D2 2 Pole magnetyczne Całkowita energia W = V w E w H dv = = 1 E
Bardziej szczegółowoLXVII OLIMPIADA FIZYCZNA ZAWODY II STOPNIA
LXVII OLIMPIADA FIZYCZNA ZAWODY II STOPNIA CZĘŚĆ TEORETYCZNA Za każde zadanie można otrzymać maksymalnie 0 punktów. Zadanie 1. przedmiot. Gdzie znajduje się obraz i jakie jest jego powiększenie? Dla jakich
Bardziej szczegółowo3 Podstawy teorii drgań układów o skupionych masach
3 Podstawy teorii drgań układów o skupionych masach 3.1 Drgania układu o jednym stopniu swobody Rozpatrzmy elementarny układ drgający, nazywany też oscylatorem harmonicznym, składający się ze sprężyny
Bardziej szczegółowoPole elektromagnetyczne. Równania Maxwella
Pole elektromagnetyczne (na podstawie Wikipedii) Pole elektromagnetyczne - pole fizyczne, za pośrednictwem którego następuje wzajemne oddziaływanie obiektów fizycznych o właściwościach elektrycznych i
Bardziej szczegółowoZagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych
Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta
Bardziej szczegółowoOptyka. Wykład VII Krzysztof Golec-Biernat. Prawa odbicia i załamania. Uniwersytet Rzeszowski, 22 listopada 2017
Optyka Wykład VII Krzysztof Golec-Biernat Prawa odbicia i załamania Uniwersytet Rzeszowski, 22 listopada 2017 Wykład VII Krzysztof Golec-Biernat Optyka 1 / 20 Plan Zachowanie pola elektromagnetycznego
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.
Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki
Bardziej szczegółowoZwój nad przewodzącą płytą
Zwój nad przewodzącą płytą Z potencjału A można też wyznaczyć napięcie u0 jakie będzie się indukować w pojedynczym zwoju cewki odbiorczej: gdzie: Φ strumień magnetyczny przenikający powierzchnię, której
Bardziej szczegółowoWyznaczanie parametrów linii długiej za pomocą metody elementów skończonych
napisał Michał Wierzbicki Wyznaczanie parametrów linii długiej za pomocą metody elementów skończonych Rozważmy tak zwaną linię Lechera, czyli układ dwóch równoległych, nieskończonych przewodników, o przekroju
Bardziej szczegółowoElektrostatyka. Potencjał pola elektrycznego Prawo Gaussa
Elektrostatyka Potencjał pola elektrycznego Prawo Gaussa 1 Potencjał pola elektrycznego Energia potencjalna zależy od (ładunek próbny) i Q (ładunek który wytwarza pole), ale wielkość definiowana jako:
Bardziej szczegółowoAerodynamika I. wykład 3: Ściśliwy opływ profilu. POLITECHNIKA WARSZAWSKA - wydz. Mechaniczny Energetyki i Lotnictwa A E R O D Y N A M I K A I
Aerodynamika I Ściśliwy opływ profilu transoniczny przepływ wokół RAE-8 M = 0.73, Re = 6.5 10 6, α = 3.19 Ściśliwe przepływy potencjalne Teoria pełnego potencjału Wprowadźmy potencjał prędkości (zakładamy
Bardziej szczegółowoRównania Maxwella i równanie falowe
Równania Maxwella i równanie falowe Prezentacja zawiera kopie folii omawianch na wkładzie. Niniejsze opracowanie chronione jest prawem autorskim. Wkorzstanie niekomercjne dozwolone pod warunkiem podania
Bardziej szczegółowoWykład 14: Indukcja. Dr inż. Zbigniew Szklarski. Katedra Elektroniki, paw. C-1, pok
Wykład 14: Indukcja Dr inż. Zbigniew zklarski Katedra Elektroniki, paw. -1, pok.31 szkla@agh.edu.pl http://layer.uci.agh.edu.pl/z.zklarski/ Pole magnetyczne a prąd elektryczny Do tej pory omawiano skutki
Bardziej szczegółowoFizyka. dr Bohdan Bieg p. 36A. wykład ćwiczenia laboratoryjne ćwiczenia rachunkowe
Fizyka dr Bohdan Bieg p. 36A wykład ćwiczenia laboratoryjne ćwiczenia rachunkowe Literatura Raymond A. Serway, John W. Jewett, Jr. Physics for Scientists and Engineers, Cengage Learning D. Halliday, D.
Bardziej szczegółowoWstęp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej
Wstęp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej Część I: Optyka, wykład 6 wykład: Piotr Fita pokazy: Jacek Szczytko ćwiczenia: Aneta Drabińska, Paweł Kowalczyk, Barbara Piętka, Michał Karpiński Wydział
Bardziej szczegółowo1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2
Temat 1 Pojęcia podstawowe 1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych Równaniem różniczkowym cząstkowym rzędu drugiego o n zmiennych niezależnych nazywamy równanie postaci gdzie u = u (x 1, x,...,
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. x + 2 = 0.
Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą
Bardziej szczegółowoIndukcja magnetyczna pola wokół przewodnika z prądem. dr inż. Romuald Kędzierski
Indukcja magnetyczna pola wokół przewodnika z prądem dr inż. Romuald Kędzierski Pole magnetyczne wokół pojedynczego przewodnika prostoliniowego Założenia wyjściowe: przez nieskończenie długi prostoliniowy
Bardziej szczegółowoRównania Maxwella. roth t
, H wektory natężenia pola elektrycznego i magnetycznego D, B wektory indukcji elektrycznej i magnetycznej J gęstość prądu elektrycznego Równania Maxwella D roth t B rot+ t J Dla ośrodka izotropowego D
Bardziej szczegółowoPodstawy Fizyki IV Optyka z elementami fizyki współczesnej. wykład 6, Radosław Chrapkiewicz, Filip Ozimek
Podstawy Fizyki IV Optyka z elementami fizyki współczesnej wykład 6, 0.03.01 wykład: pokazy: ćwiczenia: Czesław Radzewicz Radosław Chrapkiewicz, Filip Ozimek Ernest Grodner Wykład 5 - przypomnienie ciągłość
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści 1 Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna 1 Geometria analityczna w R 3 3 Liczby zespolone
Bardziej szczegółowoPROMIENIOWANIE CIAŁA DOSKONALE CZARNEGO
PROMIENIOWANIE CIAŁA DOSKONALE CZARNEGO wyprowadzenie bez mechaniki kwantowej. Opracował mgr inż. Herbert S. Mączko Celem jest wyznaczenie objętościowej gęstości energii ρ T promieniowania w równoległościennej,
Bardziej szczegółowoPodstawy fizyki wykład 7
Podstawy fizyki wykład 7 Dr Piotr Sitarek Katedra Fizyki Doświadczalnej, W11, PWr Drgania Drgania i fale Drgania harmoniczne Siła sprężysta Energia drgań Składanie drgań Drgania tłumione i wymuszone Fale
Bardziej szczegółowoRównanie przewodnictwa cieplnego (II)
Wykład 5 Równanie przewodnictwa cieplnego (II) 5.1 Metoda Fouriera dla pręta ograniczonego 5.1.1 Pierwsze zagadnienie brzegowe dla pręta ograniczonego Poszukujemy rozwiązania równania przewodnictwa spełniającego
Bardziej szczegółowoMECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej
MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej Daniel Lewandowski Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny, Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej http://kmim.wm.pwr.edu.pl/lewandowski/
Bardziej szczegółowoPracownia fizyczna i elektroniczna. Wykład lutego Krzysztof Korona
Pracownia fizyczna i elektroniczna Wykład. Obwody prądu stałego i zmiennego 4 lutego 4 Krzysztof Korona Plan wykładu Wstęp. Prąd stały. Podstawowe pojęcia. Prawa Kirchhoffa. Prawo Ohma ().4 Przykłady prostych
Bardziej szczegółowoPodstawy elektrodynamiki / David J. Griffiths. - wyd. 2, dodr. 3. Warszawa, 2011 Spis treści. Przedmowa 11
Podstawy elektrodynamiki / David J. Griffiths. - wyd. 2, dodr. 3. Warszawa, 2011 Spis treści Przedmowa 11 Wstęp: Czym jest elektrodynamika i jakie jest jej miejsce w fizyce? 13 1. Analiza wektorowa 19
Bardziej szczegółowoI. PROMIENIOWANIE CIEPLNE
I. PROMIENIOWANIE CIEPLNE - lata '90 XIX wieku WSTĘP Widmo promieniowania elektromagnetycznego zakres "pokrycia" różnymi rodzajami fal elektromagnetycznych promieniowania zawartego w danej wiązce. rys.i.1.
Bardziej szczegółowoWykład 3 Równania rózniczkowe cd
7 grudnia 2010 Definicja Równanie różniczkowe dy dx + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to równanie (1) czyli równanie dy dx + p (x) y = 0 nazywamy
Bardziej szczegółowo13. Równania różniczkowe - portrety fazowe
13. Równania różniczkowe - portrety fazowe Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - portrety fazowe 1 /
Bardziej szczegółowoLaboratorium komputerowe z wybranych zagadnień mechaniki płynów
FORMOWANIE SIĘ PROFILU PRĘDKOŚCI W NIEŚCIŚLIWYM, LEPKIM PRZEPŁYWIE PRZEZ PRZEWÓD ZAMKNIĘTY Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia będzie analiza formowanie się profilu prędkości w trakcie przepływu płynu przez
Bardziej szczegółowoWykład FIZYKA I. 11. Fale mechaniczne. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Wykład FIZYKA I 11. Fale mechaniczne Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html FALA Falą nazywamy każde rozprzestrzeniające
Bardziej szczegółowoDielektryki polaryzację dielektryka Dipole trwałe Dipole indukowane Polaryzacja kryształów jonowych
Dielektryki Dielektryk- ciało gazowe, ciekłe lub stałe niebędące przewodnikiem prądu elektrycznego (ładunki elektryczne wchodzące w skład każdego ciała są w dielektryku związane ze sobą) Jeżeli do dielektryka
Bardziej szczegółowoVII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
Bardziej szczegółowo= sin. = 2Rsin. R = E m. = sin
Natężenie światła w obrazie dyfrakcyjnym Autorzy: Zbigniew Kąkol, Piotr Morawski Chcemy teraz znaleźć wyrażenie na rozkład natężenia w całym ekranie w funkcji kąta θ. Szczelinę dzielimy na N odcinków i
Bardziej szczegółowoKolokwium 2. Środa 14 czerwca. Zasady takie jak na pierwszym kolokwium
Fizyka Kolokwium Środa 14 czerwca Zasady takie jak na pierwszym kolokwium 1 Fizyka w poprzednim odcinku Prawo Faradaya Fizyka B Bd S Strumień magnetyczny Jednostka: Wb (Weber) = T m d SEM dt B Siła elektromotoryczna
Bardziej szczegółowoElektrodynamika. Część 8. Fale elektromagnetyczne. Ryszard Tanaś. Zakład Optyki Nieliniowej, UAM
Elektrodynamika Część 8 Fale elektromagnetyczne Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM http://zon8.physd.amu.edu.pl/\~tanas Spis treści 9 Fale elektromagnetyczne 3 9.1 Fale w jednym wymiarze.................
Bardziej szczegółowoFale elektromagnetyczne w dielektrykach
Fale elektromagnetyczne w dielektrykach Ryszard J. Barczyński, 2016 Politechnika Gdańska, Wydział FTiMS, Katedra Fizyki Ciała Stałego Materiały dydaktyczne do użytku wewnętrznego Krótka historia odkrycia
Bardziej szczegółowoRozdział 8. Analiza fourierowska. 8.1 Rozwinięcie w szereg Fouriera
Rozdział 8 Analiza fourierowska 8.1 Rozwinięcie w szereg Fouriera Rozważmy funkcję rzeczywistą f określoną na okręgu o promieniu jednostkowym. Parametryzując okrąg przy pomocy kąta φ [, π] otrzymujemy
Bardziej szczegółowo