LINIE TRANSMISYJNE TEM (Repetytorium)
|
|
- Edyta Walczak
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 LINIE TRANSMISYJNE TEM (Repetytorium) Andrzej Karwowski Niniejszy dokument, zawierający przypomnienie i być może niewielkie rozszerzenie wiadomości z teorii linii długiej, zamyka komplet materiałów pomocniczych do wykładu z pól fal elektromagnetycznych wyznaczając tym samym zakres materiaşu obowiązującego do egzaminu.
2 Spis treści 1 Wprowadzenie 3 2 Elementy teorii linii TEM Równania wiążące prąd i napięcie. Parametry jednostkowe linii Ogólne rozwiązania równań opisujących linię Fale w linii. Parametry falowe Zjawiska falowe w linii o skończonej długości Współczynnik odbicia. Dopasowanie falowe linii Rozkłady prądu i napięcia Fala stojąca. Współczynnik fali stojącej Impedancja wejściowa linii
3 Rozdział 1 Wprowadzenie Rzeczywisty obwód elektryczny można uznać za obwód o stałych skupionych, jeżeli prędkość zmian dowolnej wielkości elektrycznej w obwodzie jest na tyle mała, że zmiana tej wielkości w czasie rozchodzenia się fali elektromagnetycznej w dowolnym kierunku obwodu jest dostatecznie mała w porównaniu z całkowitą zmianą tej wielkości w warunkach analizy. W przypadku periodycznych przebiegów elektrycznych oznacza to, że fala elektromagnetyczna zdąży przebiec wzdłuż całego obwodu w czasie znacznie krótszym od okresu przebiegu. Tego rodzaju procesy periodyczne nazywa się procesami kwazistacjonarnymi. Przebiegi elektryczne w obwodzie można uważać za kwazistacjonarne, gdy największy wymiar liniowy obwodu jest znacznie mniejszy od długości fali elektromagnetycznej rozchodzącej się w ośrodku, w którym znajduje się obwód. W praktyce zwykle przyjmuje się, że przebieg periodyczny jest kwazistacjonarny w obwodzie, którego największy wymiar liniowy jest mniejszy od 0.1λ, gdzie λ oznacza długośc fali. Jeśli warunek ten nie jest spełniony, to obwód nie może być traktowany jako obwód o parametrach skupionych, w analizie zaś trzeba uwzględniać fakt, że parametry elektryczne obwodu (pojemność, indukcyjność, itd.) są rozłożone wzdłuż obwodu. Inaczej mówiąc analizę obwodu można prowadzić tylko metodami teorii pola elektromagnetycznego. Zauważmy, że wraz ze wzrostem częstotliwości warunek kwazistacjonarności jest, praktycznie rzecz biorąc, coraz trudniej spełnić. Przykładowo, obwód, którego największy wymiar liniowy wynosi 10 cm, spełnia warunek kwazistacjonarności w zakresie częstotliwości aż do około 300 MHz. Natomiast w pasmie 12 GHz (telewizja satelitarna) warunek ten spełniają obwody, których największy wymiar jest nie większy niż 2.5 mm. W zastosowaniach ważną rolę odgrywają struktury, dla których warunek kwasistacjonarności nie jest spełniony tylko w odniesieniu do jednego wymiaru liniowego, tj. długości. Oczywiście, należy je ogólnie traktować jako struktury o parametrach rozłożonych ze wszystkimi tego konsekwencjami. Można jednak przyjąć, że parametry są rozłożone tylko w jednym kierunku, tzn. wzdłuż struktury, co pozwala prowadzić analizę metodami teorii obwodów. Przykładem takich struktur są linie kablowe o torach współosiowych lub symetrycznych wykorzystywane w telekomunikacji do przesyłania sygnałów ze źródła do odległego odbiornika. Na gruncie teorii pola elektromagnetycznego można wykazać, że fala elektromagnetyczna rozchodząca się w torach bezstratnych jest falą TEM. Z tego powodu struktury, o których mowa wyżej, będziemy dalej nazywać liniami TEM albo nawiązując do terminologii przyjętej w teorii obwodów liniami długimi. 3
4 Rozdział 2 Elementy teorii linii TEM 2.1 Równania wiążące prąd i napięcie. Parametry jednostkowe linii Równania wiążące zespolone amplitudy U(z) i I(z) napięcia i prądu, odpowiednio, w dowolnym przekroju linii (patrz Rys. 2.1) w stanie ustalonym przy pobudzeniu sinusoidalnym mają postać du(z) dz di(z) dz = (R + jωl)i(z) (2.1) = (G + jωc)u(z) (2.2) Występujące w równaniach (2.1) parametry R, L, G i C nazywane są parametrami jednostkowymi linii - jednostkowa rezystancja R (Ω/m) - jednostkowa indukcyjność L (H/m), - jednostkowa konduktancja (upływność) (S/m), - jednostkowa pojemność (F/m) Obrazowo rzecz ujmując parametry jednostkowe określają gęstość, z jaką rezystancja, indukcyjność, upływność i pojemność są rozłożone wzdłuż linii. Wartości tych parametrów zależą od geometrii linii i od właściwości elektrycznych ośrodka zapełniającego przestrzeń między przewodami linii. Można wykazać, że parametry jednostkowe linii wypełnionej materiałem o przenikalności elektrycznej ɛ, przenikalności magnetycznej µ i konduktywności σ są powiązane zależnościami G C = σ ɛ (2.3) LC = µɛ (2.4) Rys Schemat odcinka linii obciążonej impedancją Z L 4
5 Zależności te są bardzo ważne i użyteczne. Z jednej strony, wiążą one jednostkowe parametry linii z parametrami wypełniającego ją ośrodka, z drugiej zaś umożliwiają wyznaczenie jednostkowej indukcyjności i konduktancji linii, gdy znana jest jej pojemność jednostkowa. Jest to pożyteczne spostrzeżenie, ponieważ obliczanie pojemności jest zazwyczaj łatwiejsze niż obliczanie indukcyjności. 2.2 Ogólne rozwiązania równań opisujących linię Różniczkując względem zmiennej z pierwsze równanie układu (2.1) i podstawiając do otrzymanego wyniku drugie równanie otrzymujemy d 2 U(z) dz 2 (R + jωl)(g + jωc)u(z) = 0. (2.5) Z kolei eliminując w analogiczny sposób z układu (2.1) napięcie U(z) dochodzimy do równania d 2 I(z) dz 2 (R + jωl)(g + jωc)i(z) = 0. (2.6) Po wprowadzeniu oznaczenia γ = α + jβ = równania (2.5) i (2.6) przyjmują postać (R + jωl)(g + jωc), (2.7) d 2 U(z) dz 2 γ 2 U(z) = 0 d 2 I(z) dz 2 γ 2 I(z) = 0 (2.8) Ogólne rozwiązania tych równań mają postać U(z) = U + (z) + U (z) = U + 0 e γz + U 0 e γz I(z) = I + (z) + I (z) = I + 0 e γz + I 0 eγz (2.9) gdzie U 0 +, U0, I 0 + i I0 są stałymi całkowania. Ponieważ (2.9) mają być rozwiązaniami układu (2.1), tj. układu dwóch równń różniczkowych zwyczajnych pierwszego rzędu, z których każde może mieć tylko jedną stałą całkowania, więc tylko dwie spośród stałych U 0 +, U0, I 0 + i I0 mogą być niezależne. Rzeczywiście, po zróżniczkowaniu względem z wyrażeń (2.9) i podstawieniu otrzymanych wyników do równań (2.1) otrzymujemy po elementarnych przekształceniach U 0 + = γ G + jωc I+ 0 (2.10) skąd wynika, że U 0 γ = G + jωc I 0 (2.11) U 0 U + 0 = I 0 I + 0 (2.12) 5
6 i Wprowadzając oznaczenie U + 0 I + 0 = U 0 I 0 = γ G + jωc. (2.13) Z 0 = γ G + jωc = R + jωl γ = R + jωl G + jωc (2.14) przepisujemy (2.13) jako U 0 + I 0 + = U 0 I0 = Z 0, (2.15) łącząc zaś (2.14), (2.10) i (2.11) z rozwiązaniami (2.9) przekształcamy te ostatnie do postaci U(z) = U + 0 e γz + U 0 eγz I(z) = 1 Z 0 [ U + 0 e γz U 0 eγz] (2.16) Stałe U + 0 i U 0 można wyznaczyć z warunków granicznych na zaciskach linii, tzn. z warunków pobudzenia i obciążenia linii. 2.3 Fale w linii. Parametry falowe Weźmy pod uwagę składnik U + (z) = U + 0 e γz (2.17) rozwiązania (2.9) równania dla napięcia w linii. Uwzględniając (2.7) możemy przepisać (2.17) jako U + (z) = U + 0 e αz e jβz (2.18) Przebieg czasowo-przestrzenny napięcia U + otrzymamy mnożąc wyrażenie po prawej stronie (2.18) przez exp(jωt) i biorąc część urojoną wyniku. Otrzymujemy w ten sposób u(z, t) = U + 0 e αz sin [ ωt βz + arg U + 0 ]. (2.19) Ze wzoru tego wynika, że przesunięcia fazy napięcia na drodze z jest równe βz. Współczynnik β można więc interpretować jako przesunięcie fazy przypadające na jednostkę długości, co uzasadnia nazwanie β współczynnikiem fazy albo przesuwnością falową. Na podstawie wzoru (2.19) można wyznaczyć prędkość v przemieszczania się wzdłuż linii punktów o tej samej fazie, tzn. prędkość fazową. Stałą fazę mają punkty, dla których ωt βz + arg U + 0 = const. (2.20) Po zróżniczkowaniu obu stron tego równania względem czasu otrzymujemy gdzie dz/dt jest właśnie poszukiwaną prędkością. Ostatecznie mamy więc ω β dz dt = 0, (2.21) v = ω β. (2.22) 6
7 Parametry jednostkowe linii są nieujemne; na podstawie wzoru (2.7) nietrudno zatem stwierdzić, że 0 arg γ π (2.23) 2 skąd wynika, że α 0 i β 0 (2.24) Ponieważ α jest dodatnie, więc amplituda napięcia danego wzorem (2.17) maleje eksponencjalnie ze wzrostem współrzędnej z. Współczynnik α decyduje zatem o tłumieniu napięcia wzdłuż linii. Z tego powodu nazywamy go współczynnikiem tłumienia lub tłumiennością falową linii. Ma on sens tłumienia przypadającego na jednostkę długości linii. Współczynnik γ dany wzorem (2.7) nazywa się współczynnikiem propagacji albo tamownością falową linii. Rozważania powyżej wskazują na to, że przebieg określony zależnością (2.19) można interpretować jako tłumioną falę napięcia rozchodzącą się wzdłuż linii z prędkością v. Falę tę przyjęto nazywać falą padającą (zakładamy, że współrzędna z wzrasta w kierunku od początku linii do jej końca). Analogicznie można zinterpretować drugi składnik rozwiązania równania dla napięcia w linii, tzn. składnik z dodatnim wykładnikiem eksponenty. Mamy tutaj również do czynienia z falą tłumioną, lecz rozchodzącą się w przeciwnym kierunku, tj. w kierunku malejącej współrzędnej z. Falę tę nazywamy falą odbitą (napięcia). Napięcie U(z) (patrz (2.9)) w dowolnym przekroju linii jest więc sumą fal padającej, U + (z), i odbitej U (z), a stałe całkowania U + 0 i U 0 mają sens, odpowiednio, zespolonych amplitud tych fal na początku linii. Zaznaczmy w tym miejscu, że chociaż pojęcie fala odnosi się do przebiegów czasowo-przestrzennych, będziemy je tutaj często odnosić także do samych tylko amplitud zespolonych odpowiednich przebiegów. Długość λ fali w linii można wyznaczyć dzieląc predkość fazową v przez częstotliwość f rozchodzącego się przebiegu λ = v f, (2.25) skąd po uwzględnieniu zależności (2.22) otrzymujemy λ = 2π β. (2.26) Wszystkie rozważania tego rozdziału można powtórzyć dla rozwiązania opisującego prąd w linii, interpretując składniki tego rozwiązania (patrz (2.9)) jako falę padającą i falę odbitą (prądu), odpowiednio. Ponieważ w wyrażeniach opisujących padające i odbite fale prądu i napięcia występuje, w wykładniku eksponenty, ten sam współczynnik γ, więc nietrudno stwierdzić, że wszystkie te fale rozchodzą się w linii z tą samą prędkością v i są w tym samym stopniu tłumione. Ze wzorów (2.9), (2.14) i (2.15) wynika, że w każdym poprzecznym przekroju linii stosunek zespolonych amplitud napięcia i prądu fali padającej jest wielkością stałą i równą Z 0. Dotyczy to również wziętego ze znakiem minus stosunku zespolonych amplitud napięcia i prądu fali odbitej. Parametr Z 0, związany z parametrami jednostkowymi linii wzorem (2.14) i mający wymiar impedancji, będziemy nazywać impedancją charakterystyczną linii. Wszystkie parametry charakteryzujące linię, o których mowa w tym paragrafie, określa się wspólnym mianem parametrów falowych linii. Ich wartości zależą od parametrów jednostkowych linii i częstotliwości roboczej. Ogólne wzory na parametry falowe są, niestety, dość skomplikowane, mało przejrzyste i przez to mało przydatne w rutynowych obliczeniach. 7
8 Przykładowo, obliczenie tłumienności i przesuwności linii wymaga rozdzielenia wyrażenia po prawej stronie wzoru (2.7) na część rzeczywistą i urojoną, po czym otrzymujemy α, β = 1 [R (ωl) 2 ] [G 2 + (ωc) 2 ] ± 1 2 (R G ω2 LC), (2.27) gdzie znak plus bierzemy przy obliczaniu parametru α, natomiast znak minus przy obliczaniu β. W celu uzyskania lepszego wglądu w zjawiska falowe w linii TEM rozważymy szczególny przypadek linii bezstratnej. Linia bezstratna (R = 0, G = 0) Kładąc R = 0 i G = 0 we wzorze (2.7) otrzymujemy γ = α + jβ = jω LC, (2.28) co oznacza, że α = 0 (2.29) β = ω LC (2.30) Prędkość fazowa fali w linii v = ω β = 1 LC. (2.31) Biorć pod uwagę związek (2.4) otrzymujemy v = 1 µɛ, (2.32) a zakładając, że linię wypełnia materiał niemagnetyczny (µ r =1) v = c ɛr, (2.33) gdzie c=1/ µ 0 ɛ 0 jest prędkością światła w wolnej przestrzeni, to znaczy w próżni. Ze wzorów (2.33) i (2.25) wynika, że długość fali w linii λ = λ 0 ɛr, (2.34) gdzie λ 0 = c/f oznacza długość fali w wolnej przestrzeni. Impedancja charakterystyczna linii Z 0 = R 0 + jx 0 = L C, (2.35) skąd wynika R 0 = L C (2.36) X 0 = 0. (2.37) 8
9 2.4 Zjawiska falowe w linii o skończonej długości Współczynnik odbicia. Dopasowanie falowe linii Rozważmy odcinek jednorodnej linii przesyłowej o długości l i parametrach falowych γ i Z 0. Załóżmy, że w przekroju z = 0 linię zasila generator o napięciu źródłowym U g i impedancji wewnętrznej Z g. W przekroju z = l linia jest zakończona obciążeniem impedancyjnym Z L, to znaczy U(z) = U L = Z I(z) L. (2.38) z=l I L Kładąc z = l w równaniach (2.16) otrzymujemy U L = U + 0 e γl + U 0 e γl, (2.39) I L = 1 Z 0 [ U + 0 e γl U 0 e γl]. (2.40) Rozwiązując te równania ze względu na U + 0 i U 0 z uwzględnieniem warunku granicznego (2.38) otrzymujemy U + 0 = 1 2 (U L + I L Z 0 ) e γl, (2.41) U 0 = 1 2 (U L I L Z 0 ) e γl. (2.42) Zauważmy, że stosunek zespolonych amplitud fal napięcia odbitej i padającej na końcu linii gdzie U (l) U + (l) = U 0 e γl U + 0 e γl = U L I L Z 0 U L + I L Z 0 = Z L Z 0 Z L + Z 0 = Γ L, (2.43) Γ L = Z L Z 0 Z L + Z 0 = Γ L e jθ L (2.44) nazywa się napięciowym współczynnikiem odbicia na końcu linii, tzn. przy obciążeniu Z L. Analizując wyrażenie po prawej stronie (2.44) nietrudno stwierdzić, że 0 Γ L 1. (2.45) Moduł współczynnika odbicia linii przyjmuje największą wartość, równą 1, gdy linia jest na końcu zwarta (Z L = 0) lub rozwarta (Z L = ). Jeżeli natomiast impedancja obciążenia linii jest równa impedancji charakterystycznej linii (Z L = Z 0 ), to współczynnik odbicia na końcu linii przyjmuje wartość równą zeru. Stosunek zespolonych amplitud fal odbitej i padającej można obliczać w dowolnym przekroju linii. Można zatem mówić o współczynniku odbicia w dowolnym przekroju Γ = Γ(z) = U (z) U + (z) = U 0 e γz U + 0 e γz = (U L I L Z 0 ) e γ(l z) (U L + I L Z 0 ) e γ(l z). (2.46) Po uwzględnieniu warunku granicznego (2.38) oraz wzoru (2.44) otrzymujemy Γ = Γ L e 2γ(l z) = Γ L e 2α(l z) e j[θ L 2β(l z)]. (2.47) 9
10 Ze wzoru tego wynika, że jeśli napięciowy współczynnik odbicia na końcu linii, Γ L, jest równy zeru, to równy zeru jest także współczynnik odbicia w dowolnym przekroju linii. W linii nie występuje zatem fala odbita, a napięcie w dowolnym przekroju jest równe napięciu fali padającej. Taki stan nazywamy stanem dopasowania falowego linii. Warunkiem dopasowania falowego jest Z L = Z 0, (2.48) a obciążenie spełniające ten warunek nazywamy dopasowanym falowo do linii. W praktyce z reguły bardzo dba się o to, by linie pracowały w stanie dopasowania falowego. Ze wzoru (2.47) wynika także, że moduł współczynnika odbicia w dowolnym przekroju linii bezstratnej (α = 0) jest taki sam jak moduł współczynnika odbicia na końcu linii. Natomiast w linii stratnej (nawet bardzo mało stratnej) moduł współczynnika odbicia w dowolnym przekroju linii jest zawsze mniejszy od modułu tego współczynnika na końcu linii. Nietrudno to objaśnić: wystarczy zauważyć, że amplituda fali odbitej od obciążenia i przemieszczającej się w kierunku zacisków wejściowych linii maleje na skutek tłumienia. Można stąd również wywnioskować, że w linii nieskończenie długiej fala odbita nie występuje; taka hipotetyczna linia jest więc zawsze dopasowana falowo. Na podstawie zależności (2.12) stwierdzamy, że współczynnik odbicia dla prądu, zdefiniowany jako stosunek zespolonych amplitud fal prądu odbitej i padającej, różni się tylko znakiem od napięciowego współczynnika odbicia. Z tego powodu dalej będziemy się posługiwać bez utraty ogólności tylko współczynnikiem odbicia zdefiniowanym dla napięcia Rozkłady prądu i napięcia Po połączeniu (2.9) i (2.12) z (2.38) oraz (2.41) i (2.42) dochodzimy do następujących wyrażeń opisujących rozkład napięcia i prądu wzdłuż linii w funkcji odległości z = l z mierzonej od końca linii U(z ) = U + 0 e γl [ e γz + Γ L e γz ] (2.49) I(z ) = U + 0 Z 0 e γl [ e γz Γ L e γz ], (2.50) gdzie U 0 + jest dane wzorem (2.41). Jeśli we wzorach (2.49) i (2.50) rozwiniemy współczynnik odbicia Γ L według (2.44) i odpowiednio pogrupujemy składniki z mnożnikami eksponencjalnymi, to otrzymamy U(z ) = U L cosh γz + Z 0 I L sinh γz, (2.51) I(z ) = I L cosh γz + U L Z 0 sinh γz. (2.52) Dla linii bezstratnej wzory (2.49) i (2.50) przyjmują, odpowiednio, postać natomiast wzory (2.51) i (2.52) U(z ) = U + 0 e jβl[ e jβz + Γ L e jβz ], (2.53) I(z ) = U + 0 R 0 e jβl[ e jβz Γ L e jβz ], (2.54) U(z ) = U L cos βz + jz 0 I L sin βz, (2.55) I(z ) = I L cos βz + j U L Z 0 sin βz. (2.56) 10
11 2.4.3 Fala stojąca. Współczynnik fali stojącej Weźmy pod uwagę linię bezstratną i zbadajmy rozkłady amplitudy napięcia U(z ) i prądu I(z ) w linii. Amplitudę napięcia obliczymy korzystając z zależności U(z ) = U(z ) U (z ), (2.57) w której gwiazdka oznacza wielkość zespoloną sprzężoną. Podstawiając (2.53) do (2.57) otrzymujemy po elementarnych przekształceniach i uporządkowaniu składników U(z ) = U Γ L Γ L cos(2βz θ L ). (2.58) W analogiczny sposób otrzymujemy rozkład amplitudy prądu w linii I(z ) = U Γ L R 2 2 Γ L cos(2βz θ L ). (2.59) 0 Ze wzoru (2.58) wynika, że amplituda napięcia zmienia się wzdłuż linii osiągając na przemian lokalne minima i maksima. Amplituda napięcia przyjmuje największe wartości w punktach, których współrzędna z spełnia warunek natomiast wartości najmniejsze w punktach U max = U + 0 (1 + Γ L ) (2.60) 2βz θ L = 2nπ (n = 0, 1, 2,...), (2.61) U min = U + 0 (1 Γ L ) (2.62) 2βz θ L = (2n + 1)π (n = 0, 1, 2,...). (2.63) Podobnie zmienia się amplituda prądu wzdłuż linii (patrz (2.59)) oscylując między wartościami I max = U + 0 R 0 (1 + Γ L ) i I min = U + 0 R 0 (1 Γ L ). (2.64) Minima prądu występują w tych przekrojach linii, w których napięcie przyjmuje wartość największą, natomiast maksima prądu tam, gdzie napięcie jest najmniejsze. Z warunków (2.61) i (2.63) wynika, że dwa kolejne lokalne minima (albo maksima) rozkładu amplitudy napięcia leżą w odległości równej połowie długości fali w linii, a przedziela je leżące pośrodku lokalne maksimum (albo minimum, odpowiednio). Położenie lokalnych ekstremów rozkładów (2.58) i (2.59) nie zmienia się w czasie, co uzasadnia nazwanie tych rozkładów falami stojącymi. W linii bezstratnej zwartej na końcu ( Γ L = 1, θ L = π) mamy U(z ) = 2 U + 0 sin βz i I(z ) = 2 U + 0 R 0 cos βz, (2.65) natomiast w linii rozwartej ( Γ L = 1, θ L = 0) U(z ) = 2 U + 0 cos βz i I(z ) = 2 U + 0 R 0 sin βz. (2.66) 11
12 W linii dopasowanej falowo ( Γ L = 0) U(z ) = U + 0 i I(z ) = U + 0 R 0, (2.67) co oznacza, że amplituda napięcia (prądu) w linii bezstratnej nie zmienia się wzdłuż linii i jest równa amplitudzie napięcia (prądu) fali padającej na zaciskach wejściowych linii. Falujące rozkłady amplitudy napięcia i prądu są wynikiem nakładania się fal padającej i odbitej; w tych przekrojach linii, gdzie obie fale mają fazy zgodne, ich amplitudy dodają się, natomiast tam, gdzie fale padająca i odbita spotykają się w przeciwfazie, amplitudy odejmują się. Parametrem, który charakteryzuje stopień nierównomierności rozkładu amplitudy napięcia w linii, jest bezwymiarowy współczynnik fali stojącej (wfs) zdefiniowany jako stosunek sumy amplitud fal padającej i odbitej do różnicy amplitud tych fal w wybranym przekroju linii ρ(z ) = U + (z ) + U (z ) U + (z ) U (z ). (2.68) W linii bezstratnej amplitudy fal padającej i odbitej nie zmieniają się wzdłuż linii, skutkiem czego współczynnik fali stojącej ma wartość stałą, tzn. nie zależy od współrzędnej mierzonej wzdłuż linii. Biorąc pod uwagę, że w dowolnym przekroju linii bezstratnej możemy przekształcić wzór definicyjny (2.68) do postaci albo Ze wzorów (2.60), (2.62) i (2.70) wynika, że U (z ) U + (z ) = Γ L, (2.69) ρ = 1 + Γ L 1 Γ L, (2.70) Γ L = ρ 1 ρ + 1. (2.71) ρ = U max U min. (2.72) Współczynnik fali stojącej jest liczbą dodatnią i może przyjmować wartości z przedziału [1, ). W szczególności mamy Γ L = 0 ρ = 1 gdy Z L = Z 0 (dopasowanie falowe) Γ L = 1 ρ gdy Z L = 0 (linia zwarta) Γ L = +1 ρ gdy Z L (linia rozwarta) Przejdźmy teraz do analizy linii stratnej. Po podstawieniu (2.49) do (2.57) dochodzimy do następującego wyrażenia opisującego rozkład amplitudy napięcia w linii: U(z ) = U + 0 e α(l z ) 1 + Γ L 2 e 4αz + 2 Γ L e 2αz cos(θ L 2βz ). (2.73) 12
13 Z kolei obliczając moduł wyrażenia po prawej stronie (2.50) otrzymujemy I(z ) = U 0 + ) 1 + Γ Z 0 e α(l z L 2 e 4αz 2 Γ L e 2αz cos(θ L 2βz ). (2.74) W warunkach dopasowania falowego linii (Γ L odpowiednio, postać = 0) wyrażenia (2.73) i (2.74) przyjmują, U(z ) = U + 0 e α(l z ) i I(z ) = U + 0 R 0 e α(l z ). (2.75) Jak widać, amplitudy napięcia i prądu w linii stratnej dopasowanej falowo maleją monotonicznie w miarę oddalania się od zacisków wejściowych. Niedopasowanie linii stratnej ma podobne konsekwencje, jak niedopasowanie linii bezstratnej: w linii pojawia się fala odbita, która przemieszczając się od obciążenia w kierunku zacisków wejściowych linii, nakłada się na falę padającą biegnącą w stronę obciążenia. W rezultacie w linii powstają falujące rozkłady napięcia i prądu opisane zależnościami (2.73) i (2.74). O ile w linii bezstratnej wahanie funkcji U(z ) i I(z ) nie zmienia się wzdłuż linii, to w linii ze stratami wahanie tych funkcji zmniejsza się w miarę oddalania się od obciążenia, tj. w miare wzrostu współrzędnej z. W linii o małych stratach lokalne ekstrema rozkładów napięcia i prądu występują w pobliżu punktów spełniających warunki (2.61) i (2.63). Podobnie jak w linii bezstratnej, miarą nierównomierności rozkładów amplitudy napięcia i prądu w linii stratnej jest współczynnik fali stojącej. Na podstawie wzoru definicyjnego (2.68) i przy uwzględnieniu, że w linii stratnej otrzymujemy U (z ) U + (z ) = Γ(z ) = Γ L e 2αz, (2.76) ρ(z ) = 1 + Γ L e 2αz 1 Γ L e 2αz. (2.77) Jak widać, współczynnik fali stojącej w linii stratnej jest funkcją odległości (tutaj mierzonej od obciążenia). Współczynnik fali stojącej, na równi ze współczynnikiem odbicia, charakteryzuje stopień dopasowania obciążenia do linii. W praktyce chętniej posługujemy się współczynnikiem fali stojącej, ponieważ jest on łatwiej dostępny pomiarowo niż współczynnik odbicia. Ponieważ pomiar wfs jest najczęściej wykonywany na zaciskach wejściowych linii warto w tym miejscu zwrócić uwagę na następującą ważną okoliczność. Ze wzoru (2.77) wynika, że wfs na zaciskach wejściowych linii stratnej jest zawsze mniejszy niż wfs na końcu linii. Jeśli więc nie weźmiemy stosownych poprawek na straty w linii, to ocena stopnia dopasowania linii na podstawie wyniku pomiaru wfs na zaciskach wejściowych linii zawsze wypadnie korzystniej niż właściwa ocena na podstawie wyniku pomiaru wfs tuż przy obciążeniu linii Impedancja wejściowa linii Obliczmy stosunek zespolonych amplitud napięcia i prądu w przekroju linii w odległości z od jej końca. Na podstawie wzorów (2.49) i (2.50) otrzymujemy Z(z ) = U(z ) I(z ) = Z 1 + Γ L e 2γz 0. (2.78) 1 Γ L e 2γz 13
14 Jeśli wyjdziemy ze wzorów (2.51) i (2.52), to przy uwzględnieniu warunku granicznego (2.38) otrzymamy Z(z ) = U(z ) I(z ) = Z Z L + Z 0 tanh γz 0. (2.79) Z 0 + Z L tanh γz Wielkość Z(z ) ma sens impedancji widzianej z hipotetycznych zacisków w przekroju z, gdy patrzymy z tych zacisków w stronę obciążenia linii. Inaczej rzecz ujmując można powiedzieć, że jest to impedancja, którą można zastąpić odcinek linii (wraz z jej obciążeniem) na prawo od z. Dla z = l impedancja dana wzorem (2.78) albo (2.79) nabiera sens impedancji wejściowej Z i linii. Mamy zatem albo Z i = Z Γ L e 2γl 1 Γ L e 2γl. (2.80) Z i = Z 0 Z L + Z 0 tanh γl Z 0 + Z L tanh γl. (2.81) W zastosowaniach często mamy do czynienia z liniami w trzech szczególnych stanach obciążenia, mianowicie dopasowania falowego, zwarcia i rozwarcia. W warunkach dopasowania falowego (Z L = Z 0 ) Z i = Z 0. (2.82) Impedancja wejściowa linii dopasowanej falowo jest więc równa impedancji charakterystycznej linii i nie zależy od długości linii. Impedancja wejściowa linii zwartej na końcu (Z L = 0) natomiast impedancja wejściowa linii rozwartej (Z L = ) Ze wzorów (2.83) i (2.84) wynika, że Z i0 = Z 0 tanh γl, (2.83) Z i = Z 0 coth γl. (2.84) Z 0 = Z i0 Z i. (2.85) Zależność ta sugeruje sposób pomiaru impedancji charakterystycznej Z 0 linii o nieznanych parametrach. W celu wyznaczenia tej impedancji wystarczy zmierzyć impedancję wejściową odcinka linii rozwartej i powtórzyć pomiar dla tego samego odcinka linii w stanie zwarcia. Poszukiwana impedancja charakterystyczna jest średnią geometryczną wyników obu pomiarów. Dla linii bezstratnej wzór (2.80) przyjmuje postać natomiast wzór (2.81) Z i = R Γ L e j2βl 1 Γ L e j2βl, (2.86) Z i = R 0 Z L + jz 0 tan βl Z 0 + jz L tan βl. (2.87) Impedancja wejściowa linii bezstratnej dopasowanej falowo jest podobnie jak impedancja wejściowa dopasowanej linii stratnej równa impedancji charakterystycznej linii niezależnie od długości tej ostatniej. Dla linii bezstratnej zwartej na końcu wzór (2.83) przyjmuje postać Z i0 = jr 0 tan βl, (2.88) 14
15 natomiast wzór (2.84) dla linii rozwartej Z i = jr 0 cot βl. (2.89) Obok trzech dyskutowanych wyżej szczególnych przypadków obciążenia linii (zwarcie, rozwarcie, dopasowanie falowe) warto również zwrócić uwagę na linie o dwóch szczególych długościach, tzn. linię półfalową i linię ćwierćfalową. Jeśli fizyczna długość l odcinka linii bezstratnej jest równa połowie długości fali (w linii), to βl = π i wzór (2.87) upraszcza się do postaci Z i = Z L gdy l = λ/2 (2.90) Jak widać, impedancja na zaciskach wejściowych linii półfalowej jest równa impedancji obciążenia linii. Można powiedzieć, że półfalowy odcinek linii jest transformatorem impedancji o przekładni równej 1. Ogólnie, właściwość tę ma każda linia o długości równej całkowitej wielokrotności połowy długości fali. Jeśli długość l jest równa ćwiartce długości fali, to βl = π/2, tg(βl) i w rezultacie albo zamiennie Z i = R2 0 Z L (2.91) Z i Z L = R 2 0 gdy l = λ/4 (2.92) Ogólnie, zależność (2.92) jest słuszna dla linii o długości równej nieparzystej wielokrotności ćwiartek długości fali. Ćwierćfalowe odcinki linii są powszechnie wykorzystywane w technice mikrofalowej jako transformatory impedancji (tzw. transformatory ćwierćfalowe). 15
1 Płaska fala elektromagnetyczna
1 Płaska fala elektromagnetyczna 1.1 Fala w wolnej przestrzeni Rozwiązanie równań Maxwella dla zespolonych amplitud pól przemiennych sinusoidalnie, reprezentujące płaską falę elektromagnetyczną w wolnej
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM POMIARY W AKUSTYCE. ĆWICZENIE NR 4 Pomiar współczynników pochłaniania i odbicia dźwięku oraz impedancji akustycznej metodą fali stojącej
LABORATORIUM POMIARY W AKUSTYCE ĆWICZENIE NR 4 Pomiar współczynników pochłaniania i odbicia dźwięku oraz impedancji akustycznej metodą fali stojącej 1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest poznanie metody
Bardziej szczegółowoObwody prądu zmiennego
Obwody prądu zmiennego Prąd stały ( ) ( ) i t u t const const ( ) u( t) i t Prąd zmienny, dowolne funkcje czasu i( t) t t u ( t) t t Natężenie prądu i umowny kierunek prądu Prąd stały Q t Kierunek poruszania
Bardziej szczegółowoPodpis prowadzącego SPRAWOZDANIE
Imię i nazwisko.. Grupa. Data. Podpis prowadzącego. SPRAWOZDANIE LABORATORIUM POFA/POFAT - ĆWICZENIE NR 1 Zadanie nr 1 (plik strip.pro,nazwa ośrodka wypełniającego prowadnicę - "airlossy") Rozważamy przypadek
Bardziej szczegółowoWSTĘP DO ELEKTRONIKI
WSTĘP DO ELEKTRONIKI Część IV Czwórniki Linia długa Janusz Brzychczyk IF UJ Czwórniki Czwórnik (dwuwrotnik) posiada cztery zaciski elektryczne. Dwa z tych zacisków uważamy za wejście czwórnika, a pozostałe
Bardziej szczegółowo- Strumień mocy, który wpływa do obszaru ograniczonego powierzchnią A ( z minusem wpływa z plusem wypływa)
37. Straty na histerezę. Sens fizyczny. Energia dostarczona do cewki ferromagnetykiem jest znacznie większa od energii otrzymanej. Energia ta jest tworzona w ferromagnetyku opisanym pętlą histerezy, stąd
Bardziej szczegółowoCHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE
CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE Do opisu członów i układów automatyki stosuje się, oprócz transmitancji operatorowej (), tzw. transmitancję widmową. Transmitancję widmową () wyznaczyć można na podstawie
Bardziej szczegółowoPodstawy Elektrotechniki i Elektroniki. Opracował: Mgr inż. Marek Staude
Podstawy Elektrotechniki i Elektroniki Opracował: Mgr inż. Marek Staude Część 2 Analiza obwodów w stanie ustalonym przy wymuszeniu sinusoidalnym Przypomnienie ostatniego wykładu Prąd i napięcie Podstawowe
Bardziej szczegółowoPromieniowanie dipolowe
Promieniowanie dipolowe Potencjały opóźnione φ i A dla promieniowanie punktowego dipola elektrycznego wygodnie jest wyrażać przez wektor Hertza Z φ = ϵ 0 Z, spełniający niejednorodne równanie falowe A
Bardziej szczegółowoWykład Drgania elektromagnetyczne Wstęp Przypomnienie: masa M na sprężynie, bez oporów. Równanie ruchu
Wykład 7 7. Drgania elektromagnetyczne Wstęp Przypomnienie: masa M na sprężynie, bez oporów. Równanie ruchu M d x kx Rozwiązania x = Acost v = dx/ =-Asint a = d x/ = A cost przy warunku = (k/m) 1/. Obwód
Bardziej szczegółowoWłasności i charakterystyki czwórników
Własności i charakterystyki czwórników nstytut Fizyki kademia Pomorska w Słupsku Cel ćwiczenia. Celem ćwiczenia jest poznanie własności i charakterystyk czwórników. Zagadnienia teoretyczne. Pojęcia podstawowe
Bardziej szczegółowoEfekt naskórkowy (skin effect)
Efekt naskórkowy (skin effect) Rozważmy cylindryczny przewód o promieniu a i o nieskończonej długości. Przez przewód płynie prąd I = I 0 cos ωt. Dla niezbyt dużych częstości ω możemy zaniedbać prąd przesunięcia,
Bardziej szczegółowoRozważania rozpoczniemy od fal elektromagnetycznych w próżni. Dla próżni równania Maxwella w tzw. postaci różniczkowej są następujące:
Rozważania rozpoczniemy od fal elektromagnetycznych w próżni Dla próżni równania Maxwella w tzw postaci różniczkowej są następujące:, gdzie E oznacza pole elektryczne, B indukcję pola magnetycznego a i
Bardziej szczegółowoBADANIE PODŁUŻNYCH FAL DŹWIĘKOWYCH W PRĘTACH
Ćwiczenie 4 BADANIE PODŁUŻNYCH FAL DŹWIĘKOWYCH W PRĘTACH 4.1. Wiadomości ogólne 4.1.1. Równanie podłużnej fali dźwiękowej i jej prędkość w prętach Rozważmy pręt o powierzchni A kołowego przekroju poprzecznego.
Bardziej szczegółowoFale elektromagnetyczne
Podstawy elektromagnetyzmu Wykład 11 Fale elektromagnetyczne Równania Maxwella H=J D t E= B t D= B=0 D= E J= E B= H Ruch ładunku jest źródłem pola magnetycznego Zmiana pola magnetycznego w czasie jest
Bardziej szczegółowoW celu obliczenia charakterystyki częstotliwościowej zastosujemy wzór 1. charakterystyka amplitudowa 0,
Bierne obwody RC. Filtr dolnoprzepustowy. Filtr dolnoprzepustowy jest układem przenoszącym sygnały o małej częstotliwości bez zmian, a powodującym tłumienie i opóźnienie fazy sygnałów o większych częstotliwościach.
Bardziej szczegółowou(t)=u R (t)+u L (t)+u C (t)
Szeregowy obwód Źródło napięciowe u( o zmiennej sile elektromotorycznej E(e [u(] Z drugiego prawa Kirchhoffa: u(u (u (u ( ównanie ruchu ładunku elektrycznego: Prąd płynący w obwodzie: di( i t dt u t i
Bardziej szczegółowoVII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
Bardziej szczegółowoPrędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie
napisał Michał Wierzbicki Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie Prędkość grupowa paczki falowej Paczka falowa jest superpozycją fal o różnej częstości biegnących wzdłuż osi z.
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. x + 2 = 0.
Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą
Bardziej szczegółowoĆwiczenie A1 : Linia długa
Ćwiczenie A1 : Linia długa Jacek Grela, Radosław Strzałka 19 kwietnia 2009 1 Wstęp 1.1 Wzory Podstawowe wzory i zależności które wykorzystywaliśmy w trakcie badania linii: 1. Rezystancja falowa Gdzie:
Bardziej szczegółowoRodzaje fal. 1. Fale mechaniczne. 2. Fale elektromagnetyczne. 3. Fale materii. dyfrakcja elektronów
Wykład VI Fale t t + Dt Rodzaje fal 1. Fale mechaniczne 2. Fale elektromagnetyczne 3. Fale materii dyfrakcja elektronów Fala podłużna v Przemieszczenia elementów spirali ( w prawo i w lewo) są równoległe
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA MAXWELLA. Czy pole magnetyczne może stać się źródłem pola elektrycznego? Czy pole elektryczne może stać się źródłem pola magnetycznego?
RÓWNANIA MAXWELLA Czy pole magnetyczne może stać się źródłem pola elektrycznego? Czy pole elektryczne może stać się źródłem pola magnetycznego? Wykład 3 lato 2012 1 Doświadczenia Wykład 3 lato 2012 2 1
Bardziej szczegółowoLaboratorium Wirtualne Obwodów w Stanach Ustalonych i Nieustalonych
ĆWICZENIE 1 Badanie obwodów jednofazowych rozgałęzionych przy wymuszeniu sinusoidalnym Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest Poznanie podstawowych elementów pasywnych R, L, C, wyznaczenie ich wartości na
Bardziej szczegółowo2.6.3 Interferencja fal.
RUCH FALOWY 1.6.3 Interferencja fal. Pojęcie interferencja odnosi się do fizycznych efektów nie zakłóconego nakładania się dwóch lub więcej ciągów falowych. Doświadczenie uczy, że fale mogą przebiegać
Bardziej szczegółowoPOLITECHNIKA POZNAŃSKA
POLITECHNIKA POZNAŃSKA INSTYTUT ELEKTROTECHNIKI I ELEKTRONIKI PRZEMYSŁOWEJ Zakład Elektrotechniki Teoretycznej i Stosowanej Laboratorium Podstaw Telekomunikacji Ćwiczenie nr 6 Temat: Sprzęgacz kierunkowy.
Bardziej szczegółowoPRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO
ĆWICZENIE 53 PRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO Cel ćwiczenia: wyznaczenie wartości indukcyjności cewek i pojemności kondensatorów przy wykorzystaniu prawa Ohma dla prądu przemiennego; sprawdzenie prawa
Bardziej szczegółowolim Np. lim jest wyrażeniem typu /, a
Wykład 3 Pochodna funkcji złożonej, pochodne wyższych rzędów, reguła de l Hospitala, różniczka funkcji i jej zastosowanie, pochodna jako prędkość zmian 3. Pochodna funkcji złożonej. Jeżeli funkcja złożona
Bardziej szczegółowoObwody sprzężone magnetycznie.
POLITECHNIKA ŚLĄSKA WYDZIAŁ INŻYNIERII ŚRODOWISKA I ENERGETYKI INSTYTT MASZYN I RZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH LABORATORIM ELEKTRYCZNE Obwody sprzężone magnetycznie. (E 5) Opracował: Dr inż. Włodzimierz OGLEWICZ
Bardziej szczegółowoPojęcia podstawowe obwodów prądu zmiennego
Pojęcia podstawowe obwodów prądu zmiennego kłady złożone z elementów biernych Bierne elementy elektroniczne to : opór : u ( i( indukcyjność : di( u( dt i pojemność : q u ( i( dt ozważmy obwód złożony z
Bardziej szczegółowoLASERY I ICH ZASTOSOWANIE
LASERY I ICH ZASTOSOWANIE Laboratorium Instrukcja do ćwiczenia nr 3 Temat: Efekt magnetooptyczny 5.1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z metodą modulowania zmiany polaryzacji światła oraz
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 3 BADANIE OBWODÓW PRĄDU SINUSOIDALNEGO Z ELEMENTAMI RLC
Ćwiczenie 3 3.1. Cel ćwiczenia BADANE OBWODÓW PRĄD SNSODANEGO Z EEMENTAM RC Zapoznanie się z własnościami prostych obwodów prądu sinusoidalnego utworzonych z elementów RC. Poznanie zasad rysowania wykresów
Bardziej szczegółowoStatyczne badanie wzmacniacza operacyjnego - ćwiczenie 7
Statyczne badanie wzmacniacza operacyjnego - ćwiczenie 7 1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z podstawowymi zastosowaniami wzmacniacza operacyjnego, poznanie jego charakterystyki przejściowej
Bardziej szczegółowoDrgania w obwodzie LC. Autorzy: Zbigniew Kąkol Kamil Kutorasiński
Drgania w obwodzie L Autorzy: Zbigniew Kąkol Kamil Kutorasiński 016 Drgania w obwodzie L Autorzy: Zbigniew Kąkol, Kamil Kutorasiński Rozpatrzmy obwód złożony z szeregowo połączonych indukcyjności L (cewki)
Bardziej szczegółowoStosując tzw. równania telegraficzne możemy wyznaczyć napięcie i prąd w układzie: x x. x x
WFiIS LABORATORIUM Z ELEKTRONIKI Imię i nazwisko: 1. 2. TEMAT: ROK GRUPA ZESPÓŁ NR ĆWICZENIA Data wykonania: Data oddania: Zwrot do poprawy: Data oddania: Data zliczenia: OCENA WSTĘP TEORETYCZNY Model
Bardziej szczegółoworezonansu rezonansem napięć rezonansem szeregowym rezonansem prądów rezonansem równoległym
Lekcja szósta poświęcona będzie analizie zjawisk rezonansowych w obwodzie RLC. Zjawiskiem rezonansu nazywamy taki stan obwodu RLC przy którym prąd i napięcie są ze sobą w fazie. W stanie rezonansu przesunięcie
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.
Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki
Bardziej szczegółowoRuch falowy. Fala zaburzenie wywoane w jednym punkcie ośrodka, które rozchodzi się w każdym dopuszczalnym kierunku.
Ruch falowy. Fala zaburzenie wywoane w jednym punkcie ośrodka, które rozchodzi się w każdym dopuszczalnym kierunku. Definicje: promień fali kierunek rozchodzenia się fali powierzchnia falowa powierzchnia,
Bardziej szczegółowoBADANIE ELEKTRYCZNEGO OBWODU REZONANSOWEGO RLC
Ćwiczenie 45 BADANE EEKTYZNEGO OBWOD EZONANSOWEGO 45.. Wiadomości ogólne Szeregowy obwód rezonansowy składa się z oporu, indukcyjności i pojemności połączonych szeregowo i dołączonych do źródła napięcia
Bardziej szczegółowoFizyka 12. Janusz Andrzejewski
Fizyka 1 Janusz Andrzejewski Przypomnienie: Drgania procesy w których pewna wielkość fizyczna na przemian maleje i rośnie Okresowy ruch drgający (periodyczny) - jeżeli wartości wielkości fizycznych zmieniające
Bardziej szczegółowo6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).
6. FUNKCJE Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i Y. Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu y Y. Zapisujemy to następująco
Bardziej szczegółowo2.Rezonans w obwodach elektrycznych
2.Rezonans w obwodach elektrycznych Celem ćwiczenia jest doświadczalne sprawdzenie podstawowych właściwości szeregowych i równoległych rezonansowych obwodów elektrycznych. 2.1. Wiadomości ogólne 2.1.1
Bardziej szczegółowoOPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki
OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki c Adam Bechler 006 Instytut Fizyki Uniwersytetu Szczecińskiego Równania (3.7), pomimo swojej prostoty, nie posiadają poza nielicznymi przypadkami ścisłych rozwiązań,
Bardziej szczegółowoZaliczenie wykładu Technika Analogowa Przykładowe pytania (czas zaliczenia minut, liczba pytań 6 8)
Zaliczenie wyładu Technia Analogowa Przyładowe pytania (czas zaliczenia 3 4 minut, liczba pytań 6 8) Postulaty i podstawowe wzory teorii obowdów 1 Sformułuj pierwsze i drugie prawo Kirchhoffa Wyjaśnij
Bardziej szczegółowoW. Guzicki Próbna matura, grudzień 2014 r. poziom rozszerzony 1
W. Guzicki Próbna matura, grudzień 01 r. poziom rozszerzony 1 Próbna matura rozszerzona (jesień 01 r.) Zadanie 18 kilka innych rozwiązań Wojciech Guzicki Zadanie 18. Okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM ELEKTROAKUSTYKI. ĆWICZENIE NR 1 Drgania układów mechanicznych
LABORATORIUM ELEKTROAKUSTYKI ĆWICZENIE NR Drgania układów mechanicznych Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z właściwościami układów drgających oraz metodami pomiaru i analizy drgań. W ramach
Bardziej szczegółowoPRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO
ĆWICZENIE 53 PRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO Cel ćwiczenia: wyznaczenie wartości indukcyjności cewek i pojemności kondensatorów przy wykorzystaniu prawa Ohma dla prądu przemiennego; sprawdzenie prawa
Bardziej szczegółowoBadanie przebiegów falowych w liniach długich
POLITECHNIKA LUBELSKA WYDIAŁ ELEKTROTECHNIKI I INFORMATYKI KATEDRA URĄDEŃ ELEKTRYCNYCH I TWN LABORATORIUM TECHNIKI WYSOKICH NAPIĘĆ Ćw. nr 7 Badanie przebiegów falowych w liniach długich Grupa dziekańska...
Bardziej szczegółowoLASERY I ICH ZASTOSOWANIE W MEDYCYNIE
LASERY I ICH ZASTOSOWANIE W MEDYCYNIE Laboratorium Instrukcja do ćwiczenia nr 4 Temat: Modulacja światła laserowego: efekt magnetooptyczny 5.1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z metodą
Bardziej szczegółowoZADANIE 111 DOŚWIADCZENIE YOUNGA Z UŻYCIEM MIKROFAL
ZADANIE 111 DOŚWIADCZENIE YOUNGA Z UŻYCIEM MIKROFAL X L Rys. 1 Schemat układu doświadczalnego. Fala elektromagnetyczna (światło, mikrofale) po przejściu przez dwie blisko położone (odległe o d) szczeliny
Bardziej szczegółowoINTERFERENCJA WIELOPROMIENIOWA
INTERFERENCJA WIELOPROMIENIOWA prof. dr hab. inż. Krzysztof Patorski W tej części wykładu rozważymy przypadek koherentnej superpozycji większej liczby wiązek niż dwie. Najważniejszym interferometrem wielowiązkowym
Bardziej szczegółowoMoment pędu fali elektromagnetycznej
napisał Michał Wierzbicki Moment pędu fali elektromagnetycznej Definicja momentu pędu pola elektromagnetycznego Gęstość momentu pędu pola J w elektrodynamice definuje się za pomocą wzoru: J = r P = ɛ 0
Bardziej szczegółowoRozważmy nieustalony, adiabatyczny, jednowymiarowy ruch gazu nielepkiego i nieprzewodzącego ciepła. Mamy następujące równania rządzące tym ruchem:
WYKŁAD 13 DYNAMIKA MAŁYCH (AKUSTYCZNYCH) ZABURZEŃ W GAZIE Rozważmy nieustalony, adiabatyczny, jednowymiarowy ruch gazu nielepkiego i nieprzewodzącego ciepła. Mamy następujące równania rządzące tym ruchem:
Bardziej szczegółowo1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2
Temat 1 Pojęcia podstawowe 1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych Równaniem różniczkowym cząstkowym rzędu drugiego o n zmiennych niezależnych nazywamy równanie postaci gdzie u = u (x 1, x,...,
Bardziej szczegółowoImpedancje i moce odbiorników prądu zmiennego
POLITECHNIKA ŚLĄSKA WYDZIAŁ INŻYNIERII ŚRODOWISKA I ENERGETYKI INSTYTUT MASZYN I URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH LABORATORIUM ELEKTRYCZNE Impedancje i moce odbiorników prądu zmiennego (E 6) Opracował: Dr inż.
Bardziej szczegółowoElektrodynamika Część 8 Fale elektromagnetyczne Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM
Elektrodynamika Część 8 Fale elektromagnetyczne Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM http://zon8.physd.amu.edu.pl/~tanas Spis treści 9 Fale elektromagnetyczne 3 9.1 Fale w jednym wymiarze.................
Bardziej szczegółowoPolitechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania. Podstawy Automatyki
Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podsta Automatyki Transmitancja operatorowa i widmowa systemu, znajdowanie odpowiedzi w dziedzinie s i w
Bardziej szczegółowoDRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Rys Model układu
Ćwiczenie 7 DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Cel ćwiczenia Doświadczalne wyznaczenie częstości drgań własnych układu o dwóch stopniach swobody, pokazanie postaci drgań odpowiadających
Bardziej szczegółowo9. METODY SIECIOWE (ALGORYTMICZNE) ANALIZY OBWODÓW LINIOWYCH
OBWOD SGNAŁ 9. METOD SECOWE (ALGORTMCZNE) ANALZ OBWODÓW LNOWCH 9.. WPROWADZENE ANALZA OBWODÓW Jeżeli przy badaniu obwodu elektrycznego dane są parametry elementów i schemat obwodu, a poszukiwane są napięcia
Bardziej szczegółowoLinia długa w obrazkach
Linia dłua w obrazach A. Linia dłua jao czwórni I I I E U U U Rys.1 Tyowa raca linii dłuiej. Podstawowe wielości s imedancja alowa =, s = R + jωl, Y r = G + jωc, Y r dzie R, G, L, C- arametry jednostowe
Bardziej szczegółowoFala elektromagnetyczna o określonej częstotliwości ma inną długość fali w ośrodku niż w próżni. Jako przykłady policzmy:
Rozważania rozpoczniemy od ośrodków jednorodnych. W takich ośrodkach zależność między indukcją pola elektrycznego a natężeniem pola oraz między indukcją pola magnetycznego a natężeniem pola opisana jest
Bardziej szczegółowoψ przedstawia zależność
Ruch falowy 4-4 Ruch falowy Ruch falowy polega na rozchodzeniu się zaburzenia (odkszałcenia) w ośrodku sprężysym Wielkość zaburzenia jes, podobnie jak w przypadku drgań, funkcją czasu () Zaburzenie rozchodzi
Bardziej szczegółowoINSTRUKCJA LABORATORIUM ELEKTROTECHNIKI BADANIE TRANSFORMATORA. Autor: Grzegorz Lenc, Strona 1/11
NSTRKCJA LABORATORM ELEKTROTECHNK BADANE TRANSFORMATORA Autor: Grzegorz Lenc, Strona / Badanie transformatora Celem ćwiczenia jest poznanie zasady działania transformatora oraz wyznaczenie parametrów schematu
Bardziej szczegółowoIndukcyjność. Autorzy: Zbigniew Kąkol Kamil Kutorasiński
Indukcyjność Autorzy: Zbigniew Kąkol Kamil Kutorasiński 2019 Indukcyjność Autorzy: Zbigniew Kąkol, Kamil Kutorasiński Powszechnie stosowanym urządzeniem, w którym wykorzystano zjawisko indukcji elektromagnetycznej
Bardziej szczegółowoIII. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań.
III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań. Analiza stabilności rozwiązań stanowi ważną część jakościowej teorii równań różniczkowych. Jej istotą jest poszukiwanie odpowiedzi
Bardziej szczegółowoBADANIE INTERFERENCJI MIKROFAL PRZY UŻYCIU INTERFEROMETRU MICHELSONA
ZDNIE 11 BDNIE INTERFERENCJI MIKROFL PRZY UŻYCIU INTERFEROMETRU MICHELSON 1. UKŁD DOŚWIDCZLNY nadajnik mikrofal odbiornik mikrofal 2 reflektory płytka półprzepuszczalna prowadnice do ustawienia reflektorów
Bardziej szczegółowoWzmacniacz jako generator. Warunki generacji
Generatory napięcia sinusoidalnego Drgania sinusoidalne można uzyskać Poprzez utworzenie wzmacniacza, który dla jednej częstotliwości miałby wzmocnienie równe nieskończoności. Poprzez odtłumienie rzeczywistego
Bardziej szczegółowoGRUPA A. 1. Klistron dwuwnękowy jest lampą elektronową wzmacniającą czy generującą? Wzmacniającą (pomogł dla dobekfooto)
GRUPA A 1. Klistron dwuwnękowy jest lampą elektronową wzmacniającą czy generującą? Wzmacniającą (pomogł dla dobekfooto) 2. Narysuj charakterystyki klistronu refleksowego częstotliwość i moc wyjściowa w
Bardziej szczegółowoZjawiska w niej występujące, jeśli jest ona linią długą: Definicje współczynników odbicia na początku i końcu linii długiej.
1. Uproszczony schemat bezstratnej (R = 0) linii przesyłowej sygnałów cyfrowych. Zjawiska w niej występujące, jeśli jest ona linią długą: odbicie fali na końcu linii; tłumienie fali; zniekształcenie fali;
Bardziej szczegółowoBadanie przebiegów falowych w liniach długich
Politechnika Lubelska Wydział Elektrotechniki i Informatyki Katedra Urządzeń Elektrycznych i TWN 0-68 Lublin, ul. Nadbystrzycka 38A www.kueitwn.pollub.pl LABORATORIUM TECHNIKI WYSOKICH NAPIĘĆ Instrukcja
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 4 WYZNACZANIE INDUKCYJNOŚCI WŁASNEJ I WZAJEMNEJ
Ćwiczenie 4 WYZNCZNE NDUKCYJNOŚC WŁSNEJ WZJEMNEJ Celem ćwiczenia jest poznanie pośrednich metod wyznaczania indukcyjności własnej i wzajemnej na podstawie pomiarów parametrów elektrycznych obwodu. 4..
Bardziej szczegółowoRównania dla potencjałów zależnych od czasu
Równania dla potencjałów zależnych od czasu Potencjały wektorowy A( r, t i skalarny ϕ( r, t dla zależnych od czasu pola elektrycznego E( r, t i magnetycznego B( r, t definiujemy poprzez następujące zależności
Bardziej szczegółowoLIV OLIMPIADA FIZYCZNA 2004/2005 Zawody II stopnia
LIV OLIMPIADA FIZYCZNA 004/005 Zawody II stopnia Zadanie doświadczalne Masz do dyspozycji: cienki drut z niemagnetycznego metalu, silny magnes stały, ciężarek o masie m=(100,0±0,5) g, statyw, pręty stalowe,
Bardziej szczegółowoR 1 = 20 V J = 4,0 A R 1 = 5,0 Ω R 2 = 3,0 Ω X L = 6,0 Ω X C = 2,5 Ω. Rys. 1.
EROELEKR Ogólnopolska Olimpiada Wiedzy Elektrycznej i Elektronicznej Rok szkolny 9/ Rozwiązania zadań dla grupy elektrycznej na zawody stopnia adanie nr (autor dr inŝ. Eugeniusz RoŜnowski) Stosując twierdzenie
Bardziej szczegółowoPolaryzacja anteny. Polaryzacja pionowa V - linie sił pola. pionowe czyli prostopadłe do powierzchni ziemi.
Parametry anten Polaryzacja anteny W polu dalekim jest przyjęte, że fala ma charakter fali płaskiej. Podstawową właściwością tego rodzaju fali jest to, że wektory natężenia pola elektrycznego i magnetycznego
Bardziej szczegółowoDefinicja i własności wartości bezwzględnej.
Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności
Bardziej szczegółowoWykład 9: Fale cz. 1. dr inż. Zbigniew Szklarski
Wykład 9: Fale cz. 1 dr inż. Zbigniew Szklarski szkla@agh.edu.pl http://layer.uci.agh.edu.pl/z.szklarski/ Klasyfikacja fal fale mechaniczne zaburzenie przemieszczające się w ośrodku sprężystym, fale elektromagnetyczne
Bardziej szczegółowofalowego widoczne w zmianach amplitudy i natęŝenia fal) w którym zachodzi
Zjawisko interferencji fal Interferencja to efekt nakładania się fal (wzmacnianie i osłabianie się ruchu falowego widoczne w zmianach amplitudy i natęŝenia fal) w którym zachodzi stabilne w czasie ich
Bardziej szczegółowoLaboratorium Półprzewodniki Dielektryki Magnetyki Ćwiczenie nr 8
Laboratorium Półprzewodniki Dielektryki Magnetyki Ćwiczenie nr 8 Analiza właściwości zmiennoprądowych materiałów i elementów elektronicznych I. Zagadnienia do przygotowania:. Wykonanie i przedstawienie
Bardziej szczegółowou (0) = 0 i(0) = 0 Obwód RLC Odpowiadający mu schemat operatorowy E s 1 sc t = 0 i(t) w u R (t) E u C (t) C
Obwód RLC t = 0 i(t) R L w u R (t) u L (t) E u C (t) C Odpowiadający mu schemat operatorowy R I Dla zerowych warunków początkowych na cewce i kondensatorze 1 sc sl u (0) = 0 C E s i(0) = 0 Prąd I w obwodzie
Bardziej szczegółowoMetodę poprawnie mierzonego prądu powinno się stosować do pomiaru dużych rezystancji, tzn. wielokrotnie większych od rezystancji amperomierza: (4)
OBWODY JEDNOFAZOWE POMIAR PRĄDÓW, NAPIĘĆ. Obwody prądu stałego.. Pomiary w obwodach nierozgałęzionych wyznaczanie rezystancji metodą techniczną. Metoda techniczna pomiaru rezystancji polega na określeniu
Bardziej szczegółowoWykład FIZYKA I. 11. Fale mechaniczne. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Wykład FIZYKA I 11. Fale mechaniczne Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html FALA Falą nazywamy każde rozprzestrzeniające
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 2 Pojęcia podstawowe obwodów prądu zmiennego
Pracownia Wstępna - - WYKŁAD 2 Pojęcia podstawowe obwodów prądu zmiennego Układy złożone z elementów biernych Bierne elementy elektroniczne to : opór R: u ( = Ri( indukcyjność L: di( u( = L i pojemność
Bardziej szczegółowoWielkości opisujące sygnały okresowe. Sygnał sinusoidalny. Metoda symboliczna (dla obwodów AC) - wprowadzenie. prąd elektryczny
prąd stały (DC) prąd elektryczny zmienny okresowo prąd zmienny (AC) zmienny bezokresowo Wielkości opisujące sygnały okresowe Wartość chwilowa wartość, jaką sygnał przyjmuje w danej chwili: x x(t) Wartość
Bardziej szczegółowoAby nie uszkodzić głowicy dźwiękowej, nie wolno stosować amplitudy większej niż 2000 mv.
Tematy powiązane Fale poprzeczne i podłużne, długość fali, amplituda, częstotliwość, przesunięcie fazowe, interferencja, prędkość dźwięku w powietrzu, głośność, prawo Webera-Fechnera. Podstawy Jeśli fala
Bardziej szczegółowoWykład z równań różnicowych
Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.
Bardziej szczegółowo3 Podstawy teorii drgań układów o skupionych masach
3 Podstawy teorii drgań układów o skupionych masach 3.1 Drgania układu o jednym stopniu swobody Rozpatrzmy elementarny układ drgający, nazywany też oscylatorem harmonicznym, składający się ze sprężyny
Bardziej szczegółowoOptyka. Wykład V Krzysztof Golec-Biernat. Fale elektromagnetyczne. Uniwersytet Rzeszowski, 8 listopada 2017
Optyka Wykład V Krzysztof Golec-Biernat Fale elektromagnetyczne Uniwersytet Rzeszowski, 8 listopada 2017 Wykład V Krzysztof Golec-Biernat Optyka 1 / 17 Plan Swobodne równania Maxwella Fale elektromagnetyczne
Bardziej szczegółowoWzmacniacze operacyjne
Wzmacniacze operacyjne Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest badanie podstawowych układów pracy wzmacniaczy operacyjnych. Wymagania Wstęp 1. Zasada działania wzmacniacza operacyjnego. 2. Ujemne sprzężenie
Bardziej szczegółowoĆwiczenie nr 3 OBWODY LINIOWE PRĄDU SINUSOIDALNEGO
Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki 1. Wstęp st. stacjonarne I st. inżynierskie, Mechatronika (WM) Laboratorium Elektrotechniki Ćwiczenie nr 3 OBWODY LINIOWE PRĄDU SINUSOIDALNEGO
Bardziej szczegółowoTemat: Wzmacniacze operacyjne wprowadzenie
Temat: Wzmacniacze operacyjne wprowadzenie.wzmacniacz operacyjny schemat. Charakterystyka wzmacniacza operacyjnego 3. Podstawowe właściwości wzmacniacza operacyjnego bardzo dużym wzmocnieniem napięciowym
Bardziej szczegółowoPrzedmowa do wydania drugiego Konwencje i ważniejsze oznaczenia... 13
Przedmowa do wydania drugiego... 11 Konwencje i ważniejsze oznaczenia... 13 1. Rachunek i analiza wektorowa... 17 1.1. Wielkości skalarne i wektorowe... 17 1.2. Układy współrzędnych... 20 1.2.1. Układ
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA - WYKRES
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (Postać kierunkowa) Funkcja liniowa jest podstawowym typem funkcji. Jest to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości
Bardziej szczegółowoEUROELEKTRA Ogólnopolska Olimpiada Wiedzy Elektrycznej i Elektronicznej Rok szkolny 2014/2015
EROELEKTR Ogólnopolska Olimpiada Wiedzy Elektrycznej i Elektronicznej Rok szkolny 014/015 Zadania z elektrotechniki na zawody II stopnia (grupa elektryczna) Zadanie 1 W układzie jak na rysunku 1 dane są:,
Bardziej szczegółowoPodstawowe człony dynamiczne
. Człon proporcjonalny 2. Człony całkujący idealny 3. Człon inercyjny Podstawowe człony dynamiczne charakterystyki czasowe = = = + 4. Człony całkujący rzeczywisty () = + 5. Człon różniczkujący rzeczywisty
Bardziej szczegółowoWykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2
Wykład 16 Geometria analityczna Przegląd wiadomości z geometrii analitycznej na płaszczyźnie rtokartezjański układ współrzędnych powstaje przez ustalenie punktu początkowego zwanego początkiem układu współrzędnych
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 42 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWKI CIENKIEJ. Wprowadzenie teoretyczne.
Ćwiczenie 4 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWKI CIENKIEJ Wprowadzenie teoretyczne. Soczewka jest obiektem izycznym wykonanym z materiału przezroczystego o zadanym kształcie i symetrii obrotowej. Interesować
Bardziej szczegółowoDANE: wartość skuteczna międzyprzewodowego napięcia zasilającego E S = 230 V; rezystancja odbiornika R d = 2,7 Ω; indukcyjność odbiornika.
Zadanie 4. Prostownik mostkowy 6-pulsowy z tyrystorami idealnymi o komutacji natychmiastowej zasilany z sieci 3 400 V, 50 Hz pracuje z kątem opóźnienia załączenia tyrystorów α = 60º. Obciążenie prostownika
Bardziej szczegółowoLaboratorium Podstaw Elektrotechniki i Elektroniki
Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i utomatyki 1) Wstęp st. stacjonarne I st. inżynierskie, Energetyka Laboratorium Podstaw Elektrotechniki i Elektroniki Ćwiczenie nr 3 OBWODY LINIOWE PRĄDU SINUSOIDLNEGO
Bardziej szczegółowoPodstawy Elektrotechniki i Elektroniki. Opracował: Mgr inż. Marek Staude
Podstawy Elektrotechniki i Elektroniki Opracował: Mgr inż. Marek Staude Część 1 Podstawowe prawa obwodów elektrycznych Prąd elektryczny definicja fizyczna Prąd elektryczny powstaje jako uporządkowany ruch
Bardziej szczegółowo