Rozdzia l 1. Podstawowe elementy teorii krat 1. Zbiory czȩściowo uporz adkowane Definicja. Relacjȩ binarn a określon a na zbiorze A nazywamy relacj a czȩściowo porz adkuj ac a, gdy jest zwrotna, antysymetryczna i przechodnia na A. Wówczas parȩ <A, > nazywamy zbiorem czȩściowo uporz adkowanym. Twierdzenie 1.1: Niech <A, > bȩdzie zbiorem czȩściowo uporz adkowanym oraz B A. Wówczas relacja (B B) jest relacj a czȩściowo porz adkuj ac a na zbiorze B. Dowód: Jest oczywiste, że warunki zwrotności, antysymetrii oraz przechodniości s a spe lnione dla relacji (B B), gdy s a one spe lnione dla relacji (nawet gdy B = ; relacja na zbiorze jest czȩściowo porz adkuj aca). Uwaga: Gdy <A, > jest zbiorem cz. up. oraz B A, to zbiór cz. up. <B, (B B)> nazywamy podzbiorem zbioru cz. up. <A, >. Oznaczamy go w skrócie w postaci: <B, >. Ponadto zamiast pisać <x, y>, piszemy x y. Definicja. Niech < A, > zbiór cz. up. Element a A nazywamy najwiȩkszym (najmniejszym) w <A, >, gdy x A, x a ( x A, a x). Element a A nazywamy maksymalnym (minimalnym) w < A, >, gdy x A(a x a = x) ( x A(x a x = a)). Twierdzenie 1.2: W dowolnym zbiorze cz. up. <A, > istnieje co najwyżej jeden element najwiȩkszy i co najwyżej jeden element najmniejszy. Dowód: Za lóżmy, że a, b A s a elementami najwiȩkszymi w < A, >. Wówczas x A, x a oraz x A, x b. Zatem b a oraz a b, co wobec antysymetrii relacji daje a = b. Analogicznie dla wykazania jedyności elementu najmniejszego. Twierdzenie 1.3: Jeżeli w zbiorze cz. up. <A, > istnieje element najwiȩkszy (najmniejszy), to jest on jedynym elementem maksymalnym (minimalnym) w <A, >. Dowód: Niech a bȩdzie elementem najwiȩkszym w <A, >. Za lóżmy, że a x dla jakiegoś x A. Ponieważ x a, wiȩc z antysymetrii relacji, a = x co dowodzi, że a jest elementem maksymalnym w < A, >. Za lóżmy, że b jest elementem maksymalnym w <A, >. Z definicji elementu najwiȩkszego mamy: b a, zatem z za lożenia b = a czyli a jest jedynym elementem maksymalnym w <A, >. Analogicznie dla elementu najmniejszego.
1. Zbiory czȩściowo uporz adkowane 2 Przyk lad: d e c a b Diagram Hassego dla skończonego zbioru cz. up. Elementy d, e s a elementami maksymalnymi zaś a, b minimalnymi w zbiorze cz. up. <{a, b, c, d, e}, >, gdzie relacja jest określona diagramem w sposób nastȩpuj acy: dla dowolnych różnych elementów x, y tego zbioru, x y wtw z punktu x można przejść do punktu y wzd luż lamanej, kieruj ac siȩ na każdym jej odcinku z do lu do góry. Zatem a c, a e oraz a d. Identycznie dla elementu b (zamiast a). Natomiast (a b). Ponadto (c a) itd. Zak lada siȩ, czego diagram nie uwidacznia, że każdy z elementów a, b, c, d, e jest sam ze sob a w relacji. Znanym przyk ladem relacji czȩściowo porz adkuj acej jest relacja inkluzji określona na zbiorze potȩgowym danego zbioru: Twierdzenie 1.4: Dla dowolnego zbioru U, < P (U), > jest zbiorem czȩściowo uporz adkowanym, w którym U jest elementem najwiȩkszym oraz jest elementem najmniejszym. Dowód: Oczywisty na mocy twierdzeń: dla dowolnych X, Y, Z P (U), X X, (X Y Y X) X = Y, (X Y Y Z) X Z oraz X P (U)(X U X). Innym znanym przyk ladem relacji czȩściowo porz adkuj acej jest relacja wyznaczona na zbiorze ilorazowym danego zbioru wzglȩdem relacji równoważności indukowanej przez dan a relacjȩ zwrotn a i przechodni a, jak nastȩpuje: Twierdzenie 1.5: Dla dowolnej relacji zwrotnej i przechodniej ρ na zbiorze A, ρ ρ jest relacj a równoważności na A. Relacja określona na zbiorze ilorazowym A/(ρ ρ ) nastȩpuj aco: dla dowolnych x, y A, [x] [y] wtw <x, y> ρ, jest relacj a czȩściowo porz adkuj ac a. Dowód: Niech ρ bȩdzie zwrotna oraz przechodnia na A. Wówczas dla dowolnego x A, <x, x> ρ oraz <x, x> ρ, zatem ρ ρ jest zwrotna. Za lóżmy, że <x, y>, <y, z> ρ ρ dla jakichś x, y, z A. Wówczas <x, y>, <y, z> ρ oraz <y, x>, <z, y> ρ. Zatem z przechodniości relacji ρ mamy: <x, z> ρ oraz <z, x> ρ, czyli <x, z> ρ i ostatecznie <x, z> ρ ρ, co oznacza, że
2. Elementy maksymalne, lańcuchy 3 ρ ρ jest przechodnia. W celu wykazania symetrii, za lóżmy, że <x, y> ρ ρ. Wówczas <x, y> ρ oraz <x, y> ρ, zatem <y, x> ρ oraz <y, x> ρ. Ostatecznie, <y, x> ρ ρ, tzn. ρ ρ jest symetryczna. Aby dowieść drugiej czȩści twierdzenia, najpierw wykażmy, że relacja jest dobrze określona na zbiorze ilorazowym A/(ρ ρ ), tzn. nie zależy od wyboru reprezentantów klas abstrakcji. Niech wiȩc [x] = [a] oraz [y] = [b] dla pewnych a, b A. Wykażemy, że na mocy definicji relacji zachodzi: [x] [y] wtw [a] [b]. Za lóżmy wiȩc, że [x] [y]. Wówczas z definicji relacji, <x, y> ρ. Ponieważ z za lożenia, [x] = [a], wiȩc <x, a> ρ ρ, sk ad <x, a> ρ, czyli <a, x> ρ. Z przechodniości relacji ρ, <a, y> ρ. Jednakże również [y] = [b], czyli <y, b> ρ ρ. St ad <y, b> ρ. Zatem z przechodniości ρ otrzymujemy: <a, b> ρ, czyli [a] [b]. Odwrotn a implikacjȩ dowodzimy analogicznie. Rozważmy dowolny element [x] A/(ρ ρ ). Wówczas [x] [x] skoro <x, x> ρ wobec zwrotności relacji ρ. Zatem relacja jest zwrotna. Za lóżmy, że [x] [y] oraz [y] [x]. Wówczas < x, y > ρ oraz < y, x > ρ, czyli <x, y> ρ, zatem <x, y> ρ ρ, a st ad [x] = [y], co dowodzi antysymetrii relacji. W celu wykazania przechodniości relacji za lóżmy, że [x] [y] oraz [y] [z]. Wówczas < x, y > ρ oraz < y, z > ρ, zatem z przechodniości ρ, <x, z> ρ co daje [x] [z]. 2. Elementy maksymalne, lańcuchy Twierdzenie 1.6: Dowolny niepusty skończony zbiór cz. up. posiada element maksymalny. Dowód: Udowodnimy indukcyjnie wyrażenie: (1) Dla każdego n 1, w dowolnym n-elementowym zbiorze cz. up. <A, > istnieje element maksymalny. Dla n = 1: oczywiście dowolny zbiór cz. up. jednoelementowy posiada element maksymalny. Weźmy dowolne n 1. Za lożenie indukcyjne: (2) w dowolnym n-elementowym zbiorze cz. up. < A, > istnieje element maksymalny. Mamy wykazać: (3) w dowolnym (n + 1)-elementowym zbiorze cz. up. <A, > istnieje element maksymalny. Rozważmy zatem dowolny zbiór cz. up. <A, >, (n + 1)-elementowy. Niech x A. Wówczas <A {x}, > jest zbiorem cz. up. n-elementowym. Na mocy (2), niech a bȩdzie jego elementem maksymalnym. Naturalnie a x. Zachodzi: a x lub (a x). Jeśli a x, to x jest elementem maksymalnym w <A, >. Bowiem gdyby istnia l y A taki, że x y oraz x y, to wobec przechodniości relacji by loby: a y. Ponadto a y, gdyby bowiem a = y, to wobec antysymetrii relacji, a = x, co jest niemożliwe. Zatem wobec maksymalności elementu a w <A {x}, >, by loby: y A {x}, tzn. y = x, sprzeczność.
2. Elementy maksymalne, lańcuchy 4 Jeśli zaś nie jest tak, że a x, to oczywiście a jest elementem maksymalnym w <A, >. Definicja. Niech < A, > zbiór cz. up. Elementy x, y A nazywamy porównywalnymi w <A, >, gdy x y lub y x. Zbiór cz. up. <A, >, w którym dowolne dwa elementy s a porównywalne nazywamy lańcuchem. Zbiór cz. up. <A, >, w którym relacja jest spójna nazywamy zbiorem liniowo uporz adkowanym, zaś relacjȩ relacj a liniowo porz adkuj ac a. Twierdzenie 1.7: uporz adkowany. Zbiór cz. up. <A, > jest lańcuchem wtw jest on liniowo Dowód: Warunek spójności: x, y A(x y lub y x lub x = y), jest równoważny warunkowi porównywalności: x, y A(x y lub y x). Przyk lad: Zbiór cz. up. <N, >, gdzie N zbiór liczb naturalnych oraz jest relacj a bycia liczb a mniejsz a lub równ a, jest lańcuchem maj acym element najmniejszy liczbȩ 0, oraz nie maj acym elementu najwiȩkszego. Liniowo uporz adkowany zbiór <N, > ma ponadto nastȩpuj ac a w lasność: dowolny jego niepusty podzbiór posiada element najmniejszy. Twierdzenie 1.8: Jeżeli w lańcuchu <A, > istnieje element maksymalny (minimalny), to jest on elementem najwiȩkszym (najmniejszym). Dowód: Niech a bȩdzie elementem maksymalym w lańcuchu <A, >. Weźmy x A. a, x s a zatem porównywalne, tzn. x a lub a x. Gdy a x, to wobec maksymalności a: a = x, czyli x a wobec zwrotności relacji. Ostatecznie x a, co dowodzi, wobec dowolności wyboru x, że a jest elementem najwiȩkszym w <A, >. Analogicznie dla elementu minimalnego. Wniosek: Dowolny niepusty skończony lańcuch posiada elementy najwiȩkszy i najmniejszy. Dowód: Oczywisty na mocy Twierdzeń 1.6, 1.8 w przypadku stwierdzania istnienia elementu najwiȩkszego. Aby uzasadnić istnienie elementu najmniejszego można pos lużyć siȩ dualn a wersj a Tw.1.6: dowolny niepusty skończony zbiór cz. up. posiada element minimalny, której dowód jest analogiczny do dowodu Tw.1.6. Definicja. Niech <A, > bȩdzie zbiorem cz. up. oraz niech X A. Element a A nazywamy ograniczeniem górnym (dolnym) zbioru X w <A, >, gdy dla każdego x X, x a (dla każdego x X, a x). Zbiór wszystkich ograniczeń górnych (dolnych) zbioru X bȩdziemy oznaczać Og(X) (Od(X)), czyli Og(X) = {a A : x X, x a}, Od(X) = {a A : x X, a x}.
2. Elementy maksymalne, lańcuchy 5 Przyk lad: Dla zbioru cz. up. < {a, b, c, d, e}, > określonego powyżej diagramem, Og({c, d, e}) =, Od({c, d, e}) = {c, a, b}. Lemat Kuratowskiego-Zorna: Niech <A, > bȩdzie zbiorem cz. up. Jeżeli dla dowolnego niepustego lańcucha L A istnieje w <A, > ograniczenie górne (tzn. Og( L) ), to w <A, > istnieje element maksymalny. Lemat Kuratowskiego-Zorna (sformu lowanie szczegó lowe): Niech <A, > bȩdzie zbiorem cz. up. Jeżeli dla dowolnego niepustego lańcucha L A istnieje w <A, > ograniczenie górne, to dla każdego a A w <A, > istnieje element maksymalny x taki, że a x. Twierdzenie 1.9: równoważne. Oba sformu lowania lematu Kuratowskiego-Zorna s a sobie Dowód: Jest oczywiste, że sformu lowanie szczegó lowe implikuje sformu lowanie pierwsze. Aby dowieść odwrotnej implikacji za lóżmy, że zachodzi pierwsze sformu lowanie lematu oraz że w jakimś ustalonym zbiorze cz. up. <A, > dla dowolnego niepustego lańcucha L A : Og( L). Niech a A. Rozważmy zbiór cz. up. < Og({a}), >, aby zastosować dla niego pierwsze sformu lowanie lematu. Niech wiȩc L Og({a}) bȩdzie niepustym lańcuchem. Wówczas L jest lańcuchem w <A, >, bo Og({a}) A. Zatem z za lożenia istnieje ograniczenie górne zbioru L w <A, >. Niech b bȩdzie tym ograniczeniem górnym. Skoro L, wiȩc dla jakiegoś x L mamy: a x (bo L Og({a})) oraz x b, zatem a b, czyli b Og({a}), tzn. b jest ograniczeniem górnym lańcucha L w <Og({a}), >. Wobec dowolności wyboru lańcucha L w <Og({a}), >, stosuj ac pierwsze sformu lowanie lematu dla zbioru cz. up. <Og({a}), > otrzymujemy: w <Og({a}), > istnieje element maksymalny. Niech z bȩdzie tym elementem maksymalnym. Jest oczywiste, że a z. Pozostaje wykazać, że z jest elementem maksymalnym w <A, >. Przypuśćmy że z nie jest elementem maksymalnym w <A, >. Wówczas dla jakiegoś y A, z y oraz z y. Jednakże wtedy a y, tzn. y Og({a}). Zatem z nie by lby maksymalny w <Og({a}), >. Lemat Kuratowskiego-Zorna jest użyteczny w stwierdzaniu istnienia elementów maksymalnych w nieskończonych zbiorach cz. up. Jednakże pracuje on również dla skończonych zbiorów cz. up. Mianowicie można go zastosować do dowodu Tw.1.6. W tym celu należy wykazać prawdziwość poprzednika implikacji pierwszego sformu lowania lematu, tzn. zdania: w dowolnym niepustym skończonym zbiorze cz. up. każdy niepusty lańcuch ma ograniczenie górne. Można tego dokonać natychmiast w oparciu o Wniosek z Tw.1.8. Rozważaj ac bowiem jakiś niepusty lańcuch w skończonym zbiorze cz. up., wobec skończoności tego lańcucha istnieje w nim element najwiȩkszy, zatem jego ograniczenie górne. Naturalnie, użycie tu Wniosku z Tw.1.8 zak lada, że jest on wcześniej uzasadniony nie w oparciu o Tw.1.6 i Tw.1.8, ale inaczej na przyk lad dziȩki prostemu dowodowi indukcyjnemu.
3. Kraty zupe lne 6 3. Kraty zupe lne W dalszym ci agu elementy najwiȩkszy oraz najmniejszy danego zbioru cz. up. <A, >, o ile te elementy istniej a, bȩdziemy oznaczać odpowiednio 1 oraz 0. Twierdzenie 1.10: Niech <A, > bȩdzie zbiorem cz. up. Wówczas (1) Jeżeli w <A, > istnieje element najwiȩkszy 1, to Og(A) = {1}, (2) Jeżeli w <A, > nie istnieje element najwiȩkszy, to Og(A) =, (3) Jeżeli w <A, > istnieje element najmniejszy 0, to Od(A) = {0}, (4) Jeżeli w <A, > nie istnieje element najmniejszy, to Od(A) =, (5) Og( ) = Od( ) = A. Dowód: dla (1): Za lóżmy, że 1 jest elementem najwiȩkszym w <A, >. ( ): Niech a Og(A), czyli x A, x a. Zatem a jest elementem najwiȩkszym w <A, >, czyli na mocy Tw.1.2, a = 1, tzn. a {1}. ( ): Ponieważ x A, x 1, wiȩc 1 Og(A). dla (2): Za lóżmy, że w < A, > nie ma elementu najwiȩkszego. Gdyby Og(A), to dla jakiegoś a A by loby a Og(A), zatem x A, x a czyli a by lby elementem najwiȩkszym wbrew za lożeniu. dla (3): Analogicznie jak dla (1). dla (4): Analogicznie jak dla (2). dla (5): Jest oczywiste, że Og( ) A. Aby wykazać odwrotn a inkluzjȩ za lóżmy, że a A. Ponieważ a Og( ) wtw x(x x a) oraz warunek x(x x a) jest prawdziwy, wiȩc a Og( ). Identycznie dla Od( ). Definicja. Niech < A, > bȩdzie zbiorem cz. up. oraz X A. Element najmniejszy w <Og(X), > nazywamy kresem górnym zbioru X w <A, > i oznaczamy: supx (supremum zbioru X). Element najwiȩkszy w < Od(X), > nazywamy kresem dolnym zbioru X w <A, > i oznaczamy: infx (infimum zbioru X). Przyk lad: Dla rozważanego powyżej przyk ladu zbioru cz. up. zadanego diagramem, sup{c, d, e} nie istnieje, zaś inf{c, d, e} = c. Twierdzenie 1.11: Niech < A, > bȩdzie zbiorem cz. up. Wówczas (1) Jeżeli w <A, > istnieje element najwiȩkszy 1, to supa = 1 oraz inf = 1, (2) Jeżeli w <A, > nie istnieje element najwiȩkszy, to nie istnieje supa oraz nie istnieje inf, (3) Jeżeli w <A, > istnieje element najmniejszy 0, to inf A = 0 oraz sup = 0, (4) Jeżeli w <A, > nie istnieje element najmniejszy, to nie istnieje inf A oraz nie istnieje sup, (5) Dla dowolnego x A, sup{x} = inf{x} = x, (6) Dla dowolnych x, y A, x y wtw sup{x, y} = y wtw inf{x, y} = x,
3. Kraty zupe lne 7 (7) Jeżeli A ma wiȩcej niż jeden element, to dla dowolnego X A, jeżeli istniej a kresy supx, infx w <A, >, to X wtw infx supx. Dowód: dla (1): Na mocy Tw.1.10(1), Og(A) = {1}, zatem elementem najmniejszym w <{1}, >, czyli supa jest element 1. Na mocy Tw.1.10(5), Od( ) = A, zatem najwiȩkszym elementem w <Od( ), >, czyli inf jest element 1. dla (2): Za lóżmy, że w <A, > nie ma elementu najwiȩkszego. Wówczas na mocy Tw.1.10(2), Og(A) =, zatem w < Og(A), > nie ma elementu najmniejszego, bo nie ma tam żadnego elementu. Dlatego supa nie istnieje. Również na mocy Tw.1.10(5), Od( ) = A, zatem w <Od( ), > nie ma elementu najwiȩkszego czyli nie istnieje inf. dla (3): Analogicznie na mocy Tw.1.10(3),(5). dla (4): Analogicznie na mocy Tw.1.10(4),(5). dla (5): Niech x A. Ponieważ x Og({x}) (relacja jest zwrotna) oraz y Og({x}), x y, wiȩc x jest najmniejszym ograniczeniem górnym zbioru {x}, zatem x = sup{x}. Analogicznie wykazujemy, że x = inf{x}. dla (6): Niech x, y A. ( ): Za lóżmy, że x y. Ponieważ y y, wiȩc y Og({x, y}). Niech z Og({x, y}). Wówczas y z, zatem y jest najmniejszym ograniczeniem górnym zbioru {x, y}, czyli y = sup{x, y}. ( ): Za lóżmy, że y = sup{x, y}. Ponieważ sup{x, y} Og({x, y}), wiȩc x sup{x, y}, st ad x y. Analogicznie dowodzimy drugiej równoważności. dla (7): Niech A ma wiȩcej niż jeden element. Rozważmy X A dla którego istniej a kresy górny i dolny w <A, >. ( ): Za lóżmy, że X. Niech wiȩc a X. Ponieważ infx jest ograniczeniem dolnym zbioru X, wiȩc infx a. Analogicznie: a supx. Zatem z przechodniości relacji uzyskujemy: inf X supx. ( ): Za lóżmy, że infx supx oraz nie wprost, że X =. Wówczas z (2) i (1): infx = 1, oraz z (4) i (3): supx = 0, gdzie 1, 0 s a odpowiednio najwiȩkszym i najmniejszym elementem w <A, >. Z za lożenia mamy wiȩc: 1 0. Oczywiście, 0 1, zatem z antysymetrii relacji uzyskujemy: 0 = 1. Jednakże wówczas, wbrew za lożeniu, A jest zbiorem 1-elementowym, bowiem dla dowolnego a A, 0 a oraz a 0 (skoro 0 = 1), co implikuje a = 0. Definicja. Zbiór cz. up. <A, >, w którym A oraz dla każdego X A istniej a kresy supx, inf X nazywamy krat a zupe ln a. Twierdzenie 1.12: krat a zupe ln a. Dla dowolnego zbioru U, zbiór cz. up. <P (U), > jest Dowód: Niech R P (U). Wykażemy, że R = supr. Naturalnie R P (U), bo skoro R P (U), tzn. A R, A U, wiȩc R U. Ponieważ A R, A R, wiȩc R Og(R). Niech Y Og(R) czyli A R, A Y. Wówczas naturalnie R Y, zatem R jest najmniejszym ograniczeniem
4. Kraty jako zbiory czȩściowo uporz adkowane 8 górnym zbioru R, tzn. R = supr. Gdy R =, to zgodnie z Tw.1.11(1) oraz Tw.1.4, inf(r) = U. Niech R. Wykażemy, że R = inf(r). Naturalnie R P (U), bo dla dowolnego A R, R A, zaś A U. Ponieważ A R, R A, wiȩc R Od(R). Niech Y Od(R), tzn. A R, Y A. Wówczas naturalnie Y R, zatem R jest najwiȩkszym ograniczeniem dolnym zbioru R, czyli R = infr. Twierdzenie 1.13: najmniejszy. W każdej kracie zupe lnej istnieje element najwiȩkszy i Dowód: Niech < A, > bȩdzie krat a zupe ln a. Istnieje wiȩc supa. Zatem na mocy Tw.1.11(2) w < A, > istnieje element najwiȩkszy. Ponieważ inf A również istnieje, wiȩc na mocy Tw.1.11(4) istnieje w < A, > element najmniejszy. Okazuje siȩ, że wystarczy stwierdzić istnienie kresów jednego rodzaju dla wszystkich podzbiorów danego zbioru cz. up., aby uznać go za kratȩ zupe ln a: Twierdzenie 1.14: Niech <A, > bȩdzie zbiorem cz. up. Jeżeli dla każdego X A istnieje w <A, > kres dolny infx, to <A, > jest krat a zupe ln a. Dowód: Za lóżmy, że dla dowolnego X A istnieje inf X. Aby dowieść twierdzenia wystarczy wykazać, że dla każdego X A istnieje supx w <A, >. Rozważmy wiȩc dowolny X A. Wykażemy, że z za lożenia istniej acy w <A, > infog(x) (bo Og(X) A) jest kresem górnym zbioru X w <A, >. Wykażmy najpierw, że infog(x) Og(X) tzn. że x X, x infog(x). Niech wiȩc x X. Wówczas a Og(X), x a, zatem x jest ograniczeniem dolnym zbioru Og(X); wobec tego x inf Og(X), bo inf Og(X) jest najwiȩkszym ograniczeniem dolnym zbioru Og(X). Niech teraz y Og(X). Naturalnie inf Og(X) Od(Og(X)), zatem inf Og(X) y, co dowodzi, że inf Og(X) jest najmniejszym ograniczeniem górnym zbioru X, zatem infog(x) = supx. Analogicznie można dowieść twierdzenia mówi acego o istnieniu kresów górnych, jako warunku wystarczaj acym na to, by zbiór cz. up. by l krat a zupe ln a. 4. Kraty jako zbiory czȩściowo uporz adkowane Definicja. Niepusty zbiór cz. up. <A, > nazywamy krat a, gdy dla dowolnych x, y A istniej a kresy inf{x, y}, sup{x, y}. Naturalnie każda krata zupe lna jest krat a. Twierdzenie 1.15: Każdy niepusty lańcuch <A, > jest krat a. Dowód: Niech < A, > bȩdzie niepustym lańcuchem. Ponieważ x, y A (x y lub y x), wiȩc na mocy Tw.1.11(6), x, y A(sup{x, y} = y
4. Kraty jako zbiory czȩściowo uporz adkowane 9 oraz inf{x, y} = x) lub (sup{x, y} = x oraz inf{x, y} = y). Przyk lad: <N, >, gdzie N zbiór liczb naturalnych oraz relacja bycia liczb a mniejsz a lub równ a, jest krat a, choć nie jest krat a zupe ln a (nie istnieje w < N, > element najwiȩkszy porównaj Tw.1.13). Przyk lad: Rozważmy na zbiorze N {0} konwers relacji podzielności określony nastȩpuj aco: x, y N {0}, x y wtw k N {0}, y = xk (tzn. x y wtw y jest podzielne przez x). Wówczas <N {0}, > jest krat a, w której dla dowolnych x, y N {0}, inf{x, y} = nwp(x, y) (najwiȩkszy wspólny podzielnik liczb x, y) oraz sup{x, y} = nww(x, y) (najmniejsza wspólna wielokrotność liczb x, y). Twierdzenie 1.16: Niech < A, > bȩdzie krat a. Wówczas dla dowolnego niepustego skończonego zbioru X A istniej a inf X oraz supx. Dowód: Za lóżmy, że <A, > jest krat a. Wykażemy indukcyjnie, że dla dowolnego n = 1, 2,..., dla dowolnych x 1, x 2,..., x n A istnieje sup{x 1, x 2,..., x n } w <A, >. Dla n = 1: naturalnie dla dowolnego singletonu {x} A istnieje sup{x} (Tw.1.11(5)). Za lóżmy, że dla jakiegoś n, dla dowolnych x 1, x 2,..., x n A istnieje sup{x 1, x 2,..., x n }. Mamy wykazać, że dla dowolnych x 1,..., x n, x n+1 A, istnieje sup{x 1, x 2,..., x n, x n+1 }. Rozważmy wiȩc dowolne x 1, x 2,..., x n, x n+1 A. Z za lożenia istnieje kres sup{x 1, x 2,..., x n }. Wykażemy, że sup{x 1,..., x n, x n+1 } = sup{sup{x 1,..., x n }, x n+1 } (ponieważ <A, > jest krat a, wiȩc sup{sup{x 1,..., x n }, x n+1 } musi istnieć, jeśli tylko istnieje sup{x 1,..., x n }). Oznaczmy a = sup{sup{x 1,..., x n }, x n+1 }. Ponieważ dla każdego i = 1, 2,..., n, x i sup{x 1,..., x n } a oraz x n+1 a, wiȩc a Og({x 1,..., x n, x n+1 }). Za lóżmy teraz, że x Og({x 1,..., x n, x n+1 }). Wówczas x Og({x 1,..., x n }), zatem sup{x 1,..., x n } x. Naturalnie x n+1 x. Zatem x Og({sup{x 1,..., x n }, x n+1 }). St ad a x, co dowodzi, że a = sup{x 1,..., n, x n+1 }. Analogicznie wykazujemy odpowiednik dowodzonego wyrażenia dla kresów dolnych: dla dowolnego n = 1, 2,..., dla dowolnych x 1, x 2,..., x n A istnieje inf{x 1, x 2,..., x n } w <A, >. Wniosek: Każda krata skończona jest krat a zupe ln a. Dowód: Ponieważ każdy podzbiór kraty skończonej jest skończony, wiȩc wobec Tw.1.16 wystarczy wykazać, że w kracie skończonej istniej a sup oraz inf. Niech < A, > bȩdzie krat a skończon a. Wówczas istnieje supa. Zatem na mocy Tw.1.11(2), w < A, > istnieje element najwiȩkszy 1. St ad wed lug Tw.1.11(1), inf = 1, zatem inf istnieje. Ponadto w <A, > istnieje infa.
5. Kraty jako algebry 10 Zatem na mocy Tw.1.11(4) w <A, > istnieje element najmniejszy 0. St ad, zgodnie z Tw.1.11(3), sup = 0, zatem sup istnieje. W dalszym ci agu, gdy bȩdzie to potrzebne, kratȩ zdefiniowan a powyżej (jako pewien zbiór czȩściowo uporz adkowany) bȩdziemy nazywać p-krat a. 5. Kraty jako algebry Niech bȩdzie dany niepusty zbiór A. Dla dowolnej liczby naturalnej n, symbolem A n oznacza siȩ zbiór wszystkich n-wyrazowych ci agów elementów zbioru A. Jest to szczególny przypadek notacji, wed lug której dla dowolnych zbiorów A, B, symbolem A B oznacza siȩ zbiór wszystkich funkcji przekszta lcaj acych zbiór B w zbiór A. Ponieważ w interpretacji teoriomnogościowej dowolna liczba naturalna n = {0, 1,..., n 1}, przy czym 0 =, wiȩc A n = A {0,1,...,n 1} jest zbiorem wszystkich funkcji przekszta lcaj acych zbiór {0, 1,..., n 1} w zbiór A, zaś każda taka funkcja jest z definicji ci agiem n-wyrazowym elementów zbioru A. W szczególności, zbiór wszystkich ci agów 0-wyrazowych jest jednoelementowy: A 0 = A = { } (formalnie dowolna funkcja f A B jest relacj a binarn a f B A spe lniaj ac a warunki: x B y A, <x, y > f, x B y, z A (<x, y >, <x, z > f y = z), zatem dla B = istnieje dok ladnie jedna funkcja f przekszta lcaj aca zbiór B w A, mianowicie f = ). Definicja. Dla każdej liczby naturalnej n, dowoln a funkcjȩ o : A n A, nazywamy n-argumentow a operacj a na zbiorze A. Zbiór A 1 wszystkich 1-wyrazowych ci agów elementów zbioru A utożsamiamy ze zbiorem A (tzn. każdy 1-wyrazowy ci ag, którego jedynym wyrazem jest element zbioru A utożsamiamy z tym elementem). Zatem każda funkcja przekszta lcaj aca zbiór A w zbiór A jest operacj a 1-argumentow a na zbiorze A. Każda operacja 0-argumentowa o na zbiorze A jest naturalnie funkcj a postaci: o : { } A, i jest utożsamiana ze swoj a jedyn a wartości a: o( ), postrzegan a jako wyróżniony element ze zbioru A. Definicja. Ci ag (A, o 1,..., o n ), gdzie A jest niepustym zbiorem oraz o 1,..., o n s a operacjami na zbiorze A (o dowolnej argumentowości) nazywany jest algebr a (uniwersaln a lub abstrakcyjn a). Mówimy, że algebry A = (A, o 1,..., o m ), B = (B, o 1,..., o k ) s a podobne lub tego samego typu, gdy m = k oraz dla każdego i = 1,..., m, τ(o i ) = τ(o i ), gdzie dla dowolnej operacji o na danym zbiorze, τ(o) jest ilości a argumentów operacji o (ci ag (τ(o 1 ),..., τ(o m )) jest nazywany typem algebry A).
5. Kraty jako algebry 11 Definicja. Algebrȩ (A,, ) typu (2,2) tak a, że dla dowolnych x, y, z A spe lnione s a równości: (1) x x = x, x x = x, (2) x y = y x, x y = y x, (3) x (y z) = (x y) z, x (y z) = (x y) z, (4) x (x y) = x, x (x y) = x, nazywamy krat a (gdy jest to potrzebne, nazywamy j a a-krat a). Twierdzenie 1.17: Jeżeli < A, > jest p-krat a, to algebra (A,, ), w której operacje s a określone nastȩpuj aco: x, y A, x y = inf{x, y}, x y = sup{x, y}, jest a-krat a. Dowód: Wykazujemy że spe lnione s a pierwsze z równości wystȩpuj acych w (1) - (4) (drugie równości dowodzi siȩ analogicznie). Równość (1) jest spe lniona na mocy Tw. 1.11(5). Równość (2) zachodzi na podstawie definicji operacji. Wykazujemy równość (3): inf{x, inf{y, z}} = inf{inf{x, y}, z}. Najpierw dowodzimy, że (*) dla dowolnych x, y, z A : inf{x, inf{y, z}} = inf{x, y, z}. W tym celu oznaczmy: a = inf{x, inf{y, z}} i zauważmy, że a x, a inf{y, z} oraz inf{y, z} y, inf{y, z} z, zatem z przechodniości : a y i a z, czyli a Od({x, y, z}). Niech teraz u Od({x, y, z}). Wówczas u x oraz u inf{y, z}, tzn. u Od({x, inf{y, z}), zatem u a. Ostatecznie, a = inf{x, y, z}. Niech teraz x, y, z A. Wówczas z (*) mamy: inf{inf{x, y}, z} = inf{z, inf{x, y}} = inf{z, x, y} = inf{x, y, z} = inf{x, inf{y, z}}. Wykazujemy równość (4): inf{x, sup{x, y}} = x. Naturalnie x x oraz x sup{x, y}. Gdy u Od({x, sup{x, y}}), to oczywiście u x. Ostatecznie, x = inf{x, sup{x, y}}. Twierdzenie 1.18: Dla dowolnej a-kraty (A,, ) zbiór cz. up. < A, >, gdzie x, y A, x y wtw x y = x, jest p-krat a, w której dla dowolnych x, y A, inf{x, y} = x y, sup{x, y} = x y. Dowód: Niech algebra (A,, ) bȩdzie a-krat a. Zwrotność relacji wynika z równości (1), antysymetria z równości (2). Aby dowieść przechodniości za lóżmy, że x y i y z. Zatem x y = x, y z = y. St ad x z = (x y) z = x (y z) = x y = x, na mocy równości (3), zatem x z. Ponieważ wed lug (1),(2),(3): (x y) x = x y oraz (x y) y = x y, wiȩc x y x oraz x y y. Niech teraz dla jakiegoś u A bȩdzie: u x i u y, tzn. u x = u i u y = u. Wówczas u (x y) = (u x) y = u y = u, zatem u x y. Ostatecznie, x y = inf{x, y}. Zanim wykażemy, że wartość operacji na sekwencji elementów x, y jest kresem górnym zbioru {x, y}, udowodnimy iż w a-kracie (A,, ), dla dowolnych x, y A, (5) x y = x wtw x y = y.
6. Kraty z zerem i jedynk a, kraty dystrybutywne 12 ( ): Za lóżmy, że x y = x. Wówczas na mocy równości (4): x y = (x y) y = y. Implikacjȩ ( ) dowodzi siȩ analogicznie. Ponieważ wed lug równości (4) zachodzi: x (x y) = x oraz y (x y) = y, wiȩc x x y oraz y x y. Niech teraz element u A bȩdzie taki, że x u i y u. Wówczas z definicji relacji na mocy (5) mamy: x u = u oraz y u = u. Zatem (x y) u = x (y u) = x u = u, dlatego, na mocy (5) i definicji : x y u. Ostatecznie x y = sup{x, y}. W dalszym ci agu nie bȩdziemy odróżniać p-kraty od a-kraty. Albowiem, po pierwsze, dysponuj ac dan a p-krat a < A, >, na mocy Tw.1.17 otrzymujemy z niej a-kratȩ (A,, ) tak a, że x y = inf{x, y}, x y = sup{x, y}, zaś z tejże a-kraty, na mocy Tw.1.18 otrzymujemy p-kratȩ <A, 1 > tak a, że x 1 y wtw x y = x wtw inf{x, y} = x wtw x y, na mocy Tw.1.11(6), oraz inf 1 {x, y} = x y = inf{x, y}, sup 1 {x, y} = x y = sup{x, y}, tzn. p-krata < A, 1 > jest tożsama z wyjściow a p-krat a < A, >. Po drugie, dysponuj ac dan a a-krat a (A,, ), na mocy Tw.1.18 otrzymujemy z niej p-kratȩ < A, > tak a, że x y wtw x y = x oraz inf{x, y} = x y, sup{x, y} = x y, zaś z tej p-kraty, na mocy Tw.1.17 otrzymujemy a-kratȩ (A, 1, 1 ) tak a, że x 1 y = inf{x, y} = x y, x 1 y = sup{x, y} = x y, tzn. a-krata (A, 1, 1 ) jest tożsama z wyjściow a a-krat a (A,, ). Relacjȩ, wyjściow a w p-kracie lub definiowan a w a-kracie, nazywamy kratowym porz adkiem w tej kracie. 6. Kraty z zerem i jedynk a, kraty dystrybutywne Definicja. Algebrȩ (A,,, 0, 1) typu (2,2,0,0) nazywamy krat a z zerem: 0 i jedynk a: 1, gdy (A,, ) jest krat a oraz dla każdego x A spe lnione s a równości: (6) x 1 = x, x 0 = x. Naturalnie kratȩ z 0 i 1 można traktować jako p-kratȩ z elementami najwiȩkszym: 1 i najmniejszym: 0. Można również rozważać kratȩ z zerem: (A,,, 0), w której zachodzi: x 0 = x, b adź kratȩ z jedynk a: (A,,, 1), w której zachodzi: x 1 = x. Twierdzenie 1.19: W dowolnej kracie z zerem i jedynk a (A,,, 0, 1) spe lnione s a równości: x 1 = 1, x 0 = 0. Dowód: Oczywisty na podstawie równości (6) i (5). Twierdzenie 1.20: W dowolnej kracie (A,, ), dla dowolnych x, y, z A : (x y) (x z) x (y z). Dowód: Naturalnie x y x oraz x y y y z, zatem x y x (y z). Analogicznie, x z x oraz x z z y z, zatem x z x (y z). Ostatecznie wiȩc, (x y) (x z) x (y z).
6. Kraty z zerem i jedynk a, kraty dystrybutywne 13 Definicja. Krata (A,, ) jest dystrybutywna, gdy dla dowolnych x, y, z A : x (y z) (x y) (x z), tzn. wobec Tw.1.20, gdy spe lniona jest równość: x (y z) = (x y) (x z). Twierdzenie 1.21: W dowolnej kracie dystrybutywnej (A,, ) zachodzi równość: (x y) (x z) = x (y z). Dowód: Z dystrybutywności kraty, (4), (3) i (2) mamy: (x y) (x z) = ((x y) x) ((x y) z) = (x (x y)) (z (x y)) = x ((z x) (z y)) = (x (x z)) (z y) = x (y z). Twierdzenie 1.22: Każdy niepusty lańcuch jest krat a dystrybutywn a. Dowód: Niech < A, > bȩdzie niepustym lańcuchem. Wówczas < A, > jest krat a (Tw.1.15). Niech x, y, z A. Wówczas y z lub z y. Niech y z. Wtedy x (y z) = x z (x y) (x z). Gdy z y, to x (y z) = x y (x y) (x z). Przyk lady krat niedystrybutywnych: 1 x y z 0 x (y z) = x, (x y) (x z) = 0, 1 x z y 0 x (y z) = x, (x y) (x z) = y
7. Specjalne elementy w kratach 14 7. Specjalne elementy w kratach Definicja. Niech (A,,, 0) bȩdzie krat a z zerem. Dla dowolnego a A, najwiȩkszy element w zbiorze cz. up. < {x A : a x = 0}, > (gdzie jest kratowym porz adkiem) nazywamy pseudo-uzupe lnieniem (lub -uzupe lnieniem, lub dolnym uzupe lnieniem) elementu a w tej kracie. Niech (A,,, 1) bȩdzie krat a z jedynk a. Dla dowolnego a A, najmniejszy element w zbiorze cz. up. <{x A : a x = 1}, > nazywamy -uzupe lnieniem lub górnym uzupe lnieniem) elementu a w tej kracie. Niech (A,,, 0, 1) bȩdzie krat a z zerem i jedynk a. Dla dowolnego a A element, który jest jednocześnie pseudo-uzupe lnieniem i -uzupe lnieniem elementu a, nazywamy uzupe lnieniem elementu a. Niech (A,, ) bȩdzie krat a. Dla dowolnych a, b A, element najwiȩkszy w zbiorze cz. up. < {x A : a x b}, > nazywamy relatywnym pseudouzupe lnieniem elementu a wzglȩdem b. Twierdzenie 1.23: W dowolnej kracie z zerem, dla dowolnego jej elementu, jego pseudo-uzupe lnienie jest jego relatywnym pseudo-uzupe lnieniem wzglȩdem zera. Dowód: oczywisty. Przyk lady. 1 a b c 0 {x : a x = 0} = {b, c, 0}, zatem pseudo-uzupe lnienie elementu a nie istnieje, {x : a x = 1} = {b, c, 1}, zatem górne uzupe lnienie elementu a nie istnieje, {x : a x c} = {b, c, 0}, zatem relatywne psudo-uzupe lnienie elementu a wzglȩdem c nie istnieje. 1 a d b c 0 {x : a x = 0} = {0, c, d}, zatem pseudo-uzupe lnieniem elementu a jest d, {x : a x = 1} = {1, d, c}, zatem górnym uzupe lnieniem elementu a jest c, ponieważ c d, wiȩc nie istnieje uzupe lnienie elementu a,
7. Specjalne elementy w kratach 15 {x : a x c} = {0, c, d}, zatem relatywnym pseudo-uzupe lnieniem elementu a wzglȩdem c jest d. 1 a b 0 {x : a x = 0} = {0, b}, zatem pseudo-uzupe lnieniem elementu a jest b, {x : a x = 1} = {1, b}, zatem -uzupe lnieniem elementu a jest b, b jest wiȩc uzupe lnieniem elementu a, latwo sprawdzić, że uzupe lnieniem elementu b jest a. Twierdzenie 1.24: W dowolnej kracie z jedynk a i zerem, uzupe lnieniem jedynki jest zero, zaś uzupe lnieniem zera jest jedynka. Dowód: Niech 1, 0 bȩd a odpowiednio jedynk a i zerem kraty (A,,, 0, 1). Ponieważ dla dowolnego elementu x A : 1 x = x, wiȩc {x A : 1 x = 0} = {0}, zatem 0 jest pseudo-uzupe lnieniem elementu 1. Ponieważ, wed lug Tw.1.19, dla dowolnego x A, 1 x = 1, wiȩc {x A : 1 x = 1} = A, zatem 0 jest -uzupe lnieniem elementu 1. Ostatecznie 0 jest uzupe lnieniem elementu 1. Analogicznie wykazuje siȩ, że 1 jest uzupe lnieniem elementu 0. Twierdzenie 1.25: W dowolnej kracie (A,,, 0, 1), dla dowolnych a, b A, jeżeli b jest uzupe lnieniem elementu a oraz istnieje uzupe lnienie elementu b, to jest nim element a. Dowód: Za lóżmy, że a b = 0 i a b = 1 oraz niech c bȩdzie uzupe lnieniem elementu b. Ponieważ c jest -uzupe lnieniem elementu b, wiȩc a c. Skoro zaś jednocześnie c jest -uzupe lnieniem elementu b, wiȩc c a. Ostatecznie, c = a. Uwaga: W ogólności może być tak, że w kracie (A,,, 0, 1) jakiś element b jest uzupe lnieniem pewnego elementu a, lecz nie istnieje uzupe lnienie elementu b. Na przyk lad w kracie na rysunku poniżej choć a jest -uzupe lnieniem elementu b, to jednak nie istnieje pseudo-uzupe lnienienie elementu b i w konsekwencji nie istnieje jego uzupe lnienie. a 1 b 0
7. Specjalne elementy w kratach 16 Twierdzenie 1.26: W dowolnej kracie dystrybutywnej z zerem i jedynk a (A,,, 0, 1), dla dowolnych a, b A : b jest uzupe lnieniem elementu a wtw a b = 0 oraz a b = 1. Dowód: Za lóżmy dystrybutywność kraty. ( ): oczywisty. ( ): Za lóżmy, że a b = 0 oraz a b = 1. Niech x A bȩdzie taki, że a x = 0. Wówczas, x b = 1 (x b) = (a b) (x b) = (a x) b = 0 b = b, zatem x b, czyli b jest pseudo-uzupe lnieniem elementu a. Weźmy teraz pod uwagȩ taki x A, że a x = 1. Wówczas, x b = 0 (x b) = (a b) (x b) = (a x) b = 1 b = b, zatem b x, tzn. b jest -uzupe lnieniem elementu a. Ostatecznie, b jest uzupe lnieniem elementu a. Wniosek: W kracie dystrybutywnej z zerem i jedynk a, dla dowolnych elementów a, b : b jest uzupe lnieniem elementu a wtw a jest uzupe lnieniem elementu b. Dowód: oczywisty na podstawie Tw.1.26. Twierdzenie 1.27: W dowolnej kracie (A,, ), jeżeli dla pewnego a A istnieje relatywne pseudo-uzupe lnienie a wzglȩdem a, to jest ono elementem najwiȩkszym w tej kracie. Dowód: Za lóżmy, że b jest relatywnym pseudo-uzupe lnieniem elementu a wzglȩdem a, tzn. elementem najwiȩkszym w zbiorze: {x A : a x a}. Niech x A. Skoro a x a, wiȩc x b. Twierdzenie 1.28: W kracie z jedynk a (A,,, 1) dla dowolnego a A, (i) 1 jest relatywnym pseudo-uzupe lnieniem a wzglȩdem a, (ii) 1 jest relatywnym pseudo-uzupe lnieniem a wzglȩdem 1, (iii) a jest relatywnym pseudo-uzupe lnieniem 1 wzglȩdem a. Dowód: (i) wynika z faktu: a 1 a. (ii) wynika z faktu: {x A : a x 1} = A, Dla (iii) : {x A : 1 x a} = {x A : x a}, zaś a jest elementem najwiȩkszym w tym zbiorze.