WEKTOR POYNTINGA W ANALIZIE OSCYLACJI MOCY BIERNEJ W SIECIACH ENERGETYCZNYCH

Pior S. Dębicki Akademia Morska w Gdyni WEKTOR POYNTINGA W ANALIZIE OSCYLACJI MOCY BIERNEJ W SIECIACH ENERGETYCZNYCH Niniejsa publikacja prenacona jes dla elekryków aineresowanych, dyskuowanym osanio, agadnieniem oscylacji mocy biernej w sieciach energeycnych. Niekóre prac sugerują koniecność użycia wekora Poyninga do analiy jawiska. W ym arykule preprowada się Cyelnika w sposób prysępny popre wybrane podsawy eorii pola elekromagneycnego, aby pokaać, dlacego do analiy mocy, presyłanej na cęsoliwości 50 H wdłuż jednorodnego wieloprewodowego oru ransmisyjnego, sosowanie wekora Poyninga jes będne, naomias prydane do określania presrennego rokładu gęsości mocy prenosonej pomiędy prewodami. Arykuł nie analiuje wpływu źródeł i obciążeń. Ich wpływ można uwględnić popre superpoycję rowiąań u uyskanych [9]. Słowa klucowe: moc bierna, oscylacje mocy, wekor Poyninga, równania Maxwella, analia polowa, pola quasi-sacjonarne, propagacja fal/mocy, rokład poprecny pola, równanie Laplace a, linia współosiowa. WSTĘP W osanich laach pojawiło się wiele publikacji doycących jawiska oscylacji mocy biernej w układach energeycnych i jego inerpreacji fiycnych [1 8, 10 15]. Niekóre ych ych publikacji sugerują, że dokładne roumienie achodących jawisk nie jes możliwe be wprowadenia wekora Poyninga, kóry opisuje powierchniową gęsość srumienia mocy i ma wymiar [W/m ] [14]. Wekor Poyninga jes definiowany w eorii pola elekromagneycnego jako ilocyn wekorowy wekorów naężenia pola elekrycnego E [V/m] i naężenia pola magneycnego H [A/m](rys.1.) 1 : S EH. (1) Samo wprowadenie wekora Poyninga jes krokiem w kierunku uwględnienia jawisk eorio-polowych w układach i sysemach, kóre radycyjnie analiuje się prawie wyłącnie meodami obwodowymi. W syuacjach, gdy pojawiają się 1 W ym miejscu nie precyuje się jesce, cy wielkości wysępujące we wore (1) są ampliudami recywisymi lub espolonymi, cy warościami chwilowymi, ip. Jes o syuacja podobna do powiąania napięcia, prądu i mocy we wore P = UI, kóry jes modyfikowany w ależności od analiowanej syuacji.

16 ZESZYTY NAUKOWE AKADEMII MORSKIEJ W GDYNI, nr 95, lisopad 016 niejasności inerpreacyjne, cego dowodem jes prowadona od la dyskusja oferująca odmienne spojrenia na problem oscylacji mocy biernej w sieciach energeycnych [1 8, 10 1], krok w kierunku analiy eorio-polowej jes generalnie słusny, gdyż analia obwodowa w prypadkach skrajnych, granicnych, może prowadić do mylnych inerpreacji fiycnych. W scególności pryjęcie, że romiary L i wsyskich obwodów w sosunku do długości fali λ: L i/λ = 0, co milcąco jes pryjmowane w energeyce, prowadi, daniem auora, do mylnych inerpreacji oscylacji mocy. Problem en osał rowinięy w innej pracy [9], naomias długość fali w sposób decydowanie amierony pojawia się w ym arykule. S E H Rys. 1. Relacja presrenna wekorów S, E i H Fig. 1. The vecors S, E and H space relaions Zasosowanie analiy polowej jes jednak uasadnione ylko wedy, gdy wyjaśnia ona jawiska, kórych opis jes rudny lub niemożliwy meodami obwodowymi. Wprowadanie jej be poreby prowadi jedynie do nieporebnej komplikacji opisu jawisk, kóre można by wyjaśnić prościej. W niniejsym arykule pokaano, w jakich syuacjach asosowanie wekora Poyninga jes korysne, a nawe niebędne, a kiedy jego użycie do analiy oscylacji mocy jes beasadne. Niesey, by osiągnąć en cel, reba użyć meody polowej, ale preprowadono o w sposób możliwie łagodny, wyjaśnieniami sensu fiycnego preprowadanych preksałceń maemaycnych. W kilku miejscach asosowano drobne uproscenia, by nie aburyć jasności presłania fiycnego. Na pocąku prypomniano równania Maxwella ora pokaano ry prypadki scególne, porebne do dalsych roważań: elekrosayka i magneosayka, pobudenie harmonicne i propagacja w jednym kierunku. W ym osanim prypadku akłada się, że mamy do cynienia jednorodną, liniową, wieloprewodową linią ransmisyjną presyłającą moc w jednym kierunku. W prypadku, gdy wymiary poprecne srukury (linii) prowadącej moc są dużo mniejse od długości fali i gdy srukura w prekroju poprecnym do kierunku propagacji jes maemaycnie wielospójna (n. fiycnie: wieloprewodowa, a prynajmniej dwuprewodowa), o rokład pola elekrycnego i magneycnego w ym prekroju srukury jes aki sam jak dla prypadku elekrosayki i pól magneosacjonarnych, nawe wedy, gdy cęsoliwość jes bardo wysoka. Innym prypadkiem worenia mylnych inerpreacji fiycnych w energeyce jes preksałcanie wyrażeń rygonomerycnych na wiele sposobów i prypisywanie powsałym składnikom naw i inerpreacji fiycnych.

P.S. Dębicki, Wekor Poyninga w analiie oscylacji mocy biernej w sieciach energeycnych 17 Pokaano na prosym prykładie, jak presyłana moc jes powiąana wekorami pola elekromagneycnego E i H ora napięciami i prądami. Ponado całkowia presyłana moc jes jednonacnie określona pre napięcia i prądy, a podejście polowe jes porebne jedynie do badania rokładu gęsości mocy wokół cy pomiędy prewodami. Wymienione powyżej ałożenia nie ogranicają ogólności roważań, gdyż inne możliwe prypadki (dowolne źródła i obciążenia, ransmisja w obu kierunkach) mogą być analiowane jako superpoycje orymanego rowiąania i prowadą do jasnych inerpreacji fiycnych, dobre nanych w echnice wysokich cęsoliwości. Syuacje e, jak również problemy wiąane oscylacjami mocy, analiowane są w pracy [9]. Tuaj pokaano jedynie wiąki ogólne pomiędy mocą P, napięciem U i prądem I a wekorami S, E i H be precyowania, cy chodi o moc cynną, bierną, cy poorną, gdyż e prymioniki/cechy mogą być odpowiednio prenosone mocy na wekor Poyninga i odwronie. 1. WYBRANE PRZYPADKI SZCZEGÓLNE RÓWNAŃ MAXWELLA Równania Maxwella predsawia się awycaj albo w posaci całkowej, słusnej dla obsarów skońconych 3 : B d ds, (prawo Faradaya) Dd s Q, (prawo Gaussa) (a, b) E l L S H l J S D d ds, (prawo Ampera) B d s 0, (c,d) L S albo w posaci różnickowej, słusnej dla punku w presreni 4 : B ro E div D (3a, b) S 3 Inerpreacja fiycna posaci całkowej równań Maxwella jes nasępująca: Równanie (a) Napięcie aindukowane w obwodie amknięym L ależy od sybkości mian srumienia pola magneycnego, prenikającego pre obsar S ogranicony ym obwodem; (b) Srumień wekora indukcji elekrycnej wypływający powierchni amknięej S jes równy całkowiemu ładunkowi Q awaremu wewnąr ej powierchni; (c) Całkowiy prąd (prewodenia i presunięcia) prepływający pre powierchnię S ooconą amknięym konurem L, jes równy sumie składowych pola magneycnego H w kierunku konuru L; (d) Srumień wekora indukcji magneycnej wypływający powierchni amknięej S jes równy eru. 4 Zasosowane operaory ro i div są rosereniem pojęcia pochodnej na pola wekorowe; ro (roacja, wirowość) mówi o mianach pola w kierunku prosopadłym do pola, a div (dywergencja, źródłowość) mówi o mianach pola w kierunku pola). Inerpreacja fiycna posaci różnickowej równań jes nasępująca: Równanie (3a) Zmienne w casie pole magneycne wywara wirowe pole elekrycne i odwronie; (3b) Źródłem pola elekrycnego są ładunki; (3c) Zmienne w casie pole elekrycne (prąd presunięcia) i/lub prąd prewodenia wywarają wirowe pole magneycne i odwronie; (3d): Nie ma źródeł pola magneycnego.

18 ZESZYTY NAUKOWE AKADEMII MORSKIEJ W GDYNI, nr 95, lisopad 016 D ro H J (3c, d) W równaniach powyżsych: B [T] jes wekorem indukcji magneycnej wiąanej wekorem H (w ośrodku liniowym, ioropowym) relacją B = H (równanie maeriałowe), gdie [H/m] jes prenikalnością magneycną; D [C/m ] jes wekorem indukcji elekrycnej wiąanej wekorem E (w ośrodku liniowym, ioropowym) relacją D = E (równanie maeriałowe), gdie [F/m] jes prenikalnością elekrycną; J [A/m ] = E (prawo Ohma), jes wekorem gęsości prądu prewodenia, [S/m] jes prewodnością; div B 0 D [C/(m s)=a/m ] jes wekorem gęsości prądu presunięcia, wprowadonym pre Maxwella; Q [C] jes ładunkiem całkowiym w obsare ograniconym powierchnią amknięą S; [C/m 3 ] jes gęsością objęościową ładunku; L jes bregiem powierchni owarej S, elemeny dl i ds są, odpowiednio, nieskońcenie małymi elemenami skierowanymi bregu L i powierchni owarej lub amknięej S. 1.1. Równania Maxwella dla pobudenia harmonicnego i ampliud espolonych Można ałożyć, że w pierwsym podejściu analiowane będie wyłącnie pobudenie harmonicne o pulsacji = f [rd/s]. W prypadku posługiwania się ampliudami espolonymi ależność od casu awara jes w wyrażeniu ( j j 1 ), kóre dalej nie będie uwidacniane. To powala na asąpienie e j pochodnych po casie pre j. Zmieniając w en sposób równania (3a) i (3c) ora podsawiając do nich w. równania maeriałowe, wymienione już wyżej: D = E ora B = H, a akże korysając relacji J = E, naywanej prawem Ohma dla punku w presreni, orymamy: gdie: ro E j H ora ro H j ˆ E, (4a, b) ˆ j (5) naywane jes espoloną prenikalnością elekrycną. W powyżsym apisie widocna jes symeria pól E i H, ulubiona pre fiyków. By ę symerię lepiej uwidocnić, można równania (3b) i (3d) apisać w posaci 5 : 5 Niesey, w równaniu (6b) po prawej sronie wysępuje 0, psujące eseykę symerii, ale w wielu pracach wsawia się am m/, gdie m jes fikcyjną gęsością nieisniejących ładunków magneycnych. Nie ma o sensu fiycnego, ale uławia niekóre oblicenia.

P.S. Dębicki, Wekor Poyninga w analiie oscylacji mocy biernej w sieciach energeycnych 19 div E /, div H 0 Wekory E i H są era ampliudami espolonymi pola.. (6a, b) 1.. Quasi-sacjonarne równania Maxwella dla elekrosayki i pól magneosacjonarnych Prypadek pól quasi-sacjonarnych jes ylko poornie niewiąany analiowanym problemem, gdyż w prypadku w. fal TEM, cyli fal nieposiadających składowych pól E i H w kierunku rochodenia się fali co jes właśnie prypadkiem energeyki rokład poprecny pola jes rokładem elekrosaycnym i magneosacjonarnym, więc nieależnym od cęsoliwości, jak pokaano dalej. W równaniach Maxwella (4) i (6) należy era podsawić = 0, poosawiając prepływ prądu prewodenia. Orymuje się 6 : ro E 0, div E /, (7a, b) ro H J, div B 0. (7c, d) Pole magneycne, kórego linie sił są amknięe, jes wirowe i jes era wywarane wyłącnie pre prąd prewodenia J. Pole elekrycne jes bewirowe i jes wywarane pre gęsość ładunków, n. linie sił acynają się i końcą na ładunkach. Jes o pole poencjalne. To onaca, że isnieje poencjał skalarny U, kórego gradienem 7 jes pole elekrycne: E grad U. (8) Równanie (8) należy podsawić era do równania Gaussa w posaci różnickowej (7b), aby orymać: div grad U U U / U 8. (9) 6 W równaniu (7c) po prawej gęsość prądu J = E doycy ruchu ładunków w ośrodku sranym, a w równaniu (7b) gęsość objęościowa ładunków doycy ładunków nieruchomych, co prowadi do sprecności ak apisanych równań. W każdym punków presreni musi więc być spełniona syuacja, że albo = 0, albo = 0. 7 Gradien wskauje kierunek najsybsych mian pola skalarnego i warość ych mian. Może być użyy wyłącnie do pola skalarnego, a wynikiem jego diałania jes pole wekorowe. 8 Używane wekorowe operaory różnickowe grad, div i ro mogą być apisywane również pry użyciu w. operaora nabla, o posaci: i x i y i, (ix wersor w kier. x, id.). Operaor en x y nie jes wekorem, lec ma pewne cechy wekora, choć nie można dla niego określić ani długości, ani kierunku. Ma ry sposoby diałania. Jeśli diała na pole skalarne, wory pole wekorowe. Diałając na pole wekorowe symbolicnie w posaci ilocynu skalarnego, wory pole skalarne, naomias diałając wekorowo na pole wekorowe, wory nowe pole wekorowe. Np.: grad h = h wekor, div A=A skalar, ro A = x A wekor. W ych wyrażeniach operaor nabla nie mnoży, lec diała na skalar lub wekor na wór ilocynu skalarnego lub wekorowego.

0 ZESZYTY NAUKOWE AKADEMII MORSKIEJ W GDYNI, nr 95, lisopad 016 Jes o równanie różnickowe Poissona, kóre mówi, że źródłem (div) mian (grad) poencjału elekrycnego są ładunki. Zasosowany operaor, będący łożeniem operaorów dywergencji i gradienu, wany laplasjanem ma, w układie karejańskim, posać:. (10) x y Ważnym prypadkiem scególnym równania Poissona, kóre będie predmioem dalsego aineresowania, jes syuacja, gdy analiuje się obsary be ładunków sacjonarnych. Orymujemy wedy nane w bardo wielu asosowaniach fiycnych równanie Laplace a: U 0, (11) kórego rowiąania mają ineresujące właściwości fiycne, predsawione dalej. 1.3. Prypadek propagacji fal/mocy w jednym wybranym kierunku ( 0) 1.3.1. Prypadek ogólny W prypadku ransmisji mocy w jednym wybranym kierunku należy badać oddielnie achowanie się składowych pól skierowanych w kierunku prepływu mocy i do niego prosopadłych. Zakładając, że kierunkiem prepływu mocy w układie karejańskim jes kierunek, można ławo rodielić równania Maxwella na odpowiednie cęści. Każdy wekorów pola E i H można rołożyć na cęść podłużną (E i, H i ) i poprecną (E, H ) np.: E = E + Ei, (1) gdie E = E xi x + E yi y, a i x, i y, i i są wersorami w kierunkach osi x, y, i. Każde równań wekorowych (4a) i (4b) eż może osać rodielone na cęść podłużną skalarną w kierunku i poprecną cęść wekorową. By robić o efekywnie, wygodnie jes również rodielić na cęści operaor nabla, wspomniany w prypisie 8: i x i y i i. (13) x y W kierunku osi ocekuje się rowiąania harmonicnego, więc w rowiąaniu powinna się pojawić albo kombinacja funkcji rygonomerycnych, albo funkcja j ypu e. Jeżeli dopuści się rowiąanie harmonicne łumione, o może ono mieć

P.S. Dębicki, Wekor Poyninga w analiie oscylacji mocy biernej w sieciach energeycnych 1 j wygodną posać e e e. Oblicanie więc pochodnej w kierunku osi sprowada się do pomnożenia pre 9. Wór (13) pryjmie posać:. (14) i Po apisaniu równań (4a) i (4b) a pomocą operaora nabla i rodieleniu na cęści oryma się: A) Cęść podłużną: B) Cęść poprecną: E j H i, H j E i ˆ. (15a,b) i E E i j H, i H H i j ˆ E (16a,b) Scegółowa analia rowiąań równań różnickowych (15) i (16) pokauje, że dla idealnie prewodących srukur presyłających moc, isnienie składowych E i H implikuje isnienie pewnej cęsoliwości granicnej, ylko powyżej kórej możliwa jes propagacja fali/mocy. Są o w. rodaje falowodowe 10. Wspomniana cęsoliwość granicna jes powiąana poprecnymi romiarami srukury prowadącej fale. Jeżeli wymiary poprecne srukury są dużo mniejse od długości fali (co achodi dla 50 H), propagacja e składowymi E i H nie jes możliwa. W prypadku sieci energeycnych należy pryjąć E = 0 i H = 0. Fale, kóre spełniają en warunek, naywa się falami TEM (Transverse Elecromagneic). W prypadku więc propagacji fal TEM w kierunku, równania Maxwella pryjmują posać: E 0, H 0, (15c, d) i E j H, i H j ˆ E. (16c, d) Z równań powyżsych wynika sereg właściwości fal TEM, akich jak prosopadłość wekorów E i H, równość impedancji falowej E/H i impedancji charakerysycnej ośrodka i inne, kóre nie będą u bliżej analiowane. 9 Sała jes naywana sałą propagacji i ma dwie składowe: = + j. jes sałą łumienia, a sałą faową. W wolnej presreni i dla fal TEM jes wiąane długością fali : = /. Pry braku sra = j. 10 W prypadku rodajów falowodowych nie ma jednonacnego powiąania pomiędy mocami a napięciami i prądami. Również, nane eorii linii długich, pojęcie impedancji charakerysycnej jes niejednonacne. Problem en nie wysępuje w prypadku prowadnic rodajem TEM.

ZESZYTY NAUKOWE AKADEMII MORSKIEJ W GDYNI, nr 95, lisopad 016 1.3.. Prypadek małych sra prewodenia i rokład poprecny pola Równania (15) i (16) są równaniami różnickowymi, kóre należy rowiąać określonymi warunkami bregowymi. W prypadku prowadonych fal/mocy warunki e są określone pre powierchnie prewodące srukury. Należy jesce predyskuować syuację, gdy prewodność srukury nie jes idealna. Zgodnie prawem Ohma dla punku w presreni J = E, prepływ prądu wdłuż prewodu (np. w kierunku ) wywoła spadek napięcia wdłuż prewodu, cyli powsanie składowej E (rys. ). Pry danej warości prądu I [A] i wynikającej niego gęsości J [A/m ] warość składowej E będie ym mniejsa, im więksa będie prewodność. Ta maleńka składowa E nie jes wiąana e wspomnianymi rodajami falowodowymi i będie isnieć, ale jedynie uż pry powierchni i wewnąr prewodów. Jeżeli do równania (15b) podsawi się wyrażenie (5) na espoloną prenikalność elekrycną, po prawej sronie pojawi się suma prądów prewodenia J E i presunięcia j : E H j E E i. (17) Podsawienie warości licbowych pokauje, że dla ypowych warości prewodności i cęsoliwości energeycnych prąd presunięcia jes o wiele rędów wielkości mniejsy od prądu prewodenia i może być pominięy. Podsumowując, równania (15) na cęść podłużną pola pryjmują posać: E 0, H J i. (18a,b) Rys.. Geomeria wekorów pola i Poyninga linii dwuprewodowej, pokaująca cęść podłużną i poprecną. Składowa podłużna wekora Poyninga S jes ilocynem wekorowym E i H, a składowa poprecna S powsała jako ilocyn E i H i jes odpowiedialna a sray cieplne w prewodach Fig.. Field and Poyning vecors geomery in wo wire line for he pars ransversal and longiudinal. The longiudinal componen of he Poyning vecor S is a vecor produc of E and H, as well as he ransversal componen S, arisen as a produc of E and H. The las one is responsible for he hermal losses in he wire

P.S. Dębicki, Wekor Poyninga w analiie oscylacji mocy biernej w sieciach energeycnych 3 Treba auważyć, że paradoksalnie, równania na cęść podłużną opisują achowanie się poprecnej cęści pola. Porównując powyżse równania równaniami dla elekrosayki i magneosayki (7a) i (7c), widać, że poprecny rokład pola srukur prowadących moc w posaci fal TEM jes idenycny jak dla elekrosayki i pól magneosacjonarnych be wględu na cęsoliwość. Również w prypadku sieci energeycnych jes o spełnione. 1.3.3. Rokład podłużny pola Należy era preanaliować równania (16a,b). Składnik awierający H nie isnieje (fala TEM), naomias składnik awierający E jes nacnie mniejsy od poosałych i może być pominięy. Po ym abiegu nie są o już równania różnickowe. Równania pryjmą więc posać (16c,d). Informację fiycną awarą w ych równaniach ławo uyskać, wynacając warość H równania (16c) i wsawiając ją do równania (16d): E ˆ E. (19) Z równania ego uyskuje się informację doycącą charakeru propagacji w kierunku osi, opisanej pre wprowadoną wielkość espoloną, naywaną sałą propagacji (por. prypis 8): j ˆ j. (0) Wyrażenie pod pierwiaskiem opisuje paramery elekrycne ośrodka wypełniającego srukurę prowadącą falę/moc. W asosowaniach energeycnych sray można w pierwsym podejściu cęso pominąć i wedy ˆ a = j. Zmiany naężenia pola elekrycnego w kierunku presyłu mocy/fali mają więc posać 11 : j E E e. (1) Analogicne równanie można apisać dla wekora naężenia pola magneycnego. Podsumowując, rołożenie równań Maxwella na cęść podłużną w kierunku presyłu mocy i cęść poprecną powoliło uyskać informację, że: w kierunku poprecnym rokład pola jes aki sam jak dla elekrosayki i rokład poencjału jes dany pre równanie Laplace a (akłada się, że nie ma ładunków pomiędy prewodami) równanie (11); w kierunku podłużnym, pry pominięciu sra, mamy achowanie harmonicne określone pre właściwości ośrodka wypełniającego presreń pomiędy prewodami, równanie (1). 11 Wyrażenie =./ w wykładniku woru (1) w prypadku sieci energeycnych jes niewykle małe i prakycnie do pominięcia pry długości fali 6000 km; ak więc faa pola elekrycnego jes prakycnie wiąana ylko wyrażeniem e j, kóre jes pominięe w apisie.

4 ZESZYTY NAUKOWE AKADEMII MORSKIEJ W GDYNI, nr 95, lisopad 016. WŁAŚCIWOŚCI ROZWIĄZAŃ RÓWNANIA LAPLACE A Poniżej opisano właściwości rowiąań równania Laplace a 1 na prykładie równania (11):, swierdającego, że w analiowanym obsare nie ma źródeł mian poencjału elekrycnego U. Równanie (11) jes równaniem różnickowym cąskowym i jednorodnym. Rowiąuje się je w obsare ograniconym bregiem lub bregami, na kórych są adane warunki bregowe. W ym prypadku bregi e będą prewodnikami. Podcas badania srukur owarych wory się breg, ogranicający obsar rowiąania i presuwa się go do nieskońconości. Prykładowo, powierchnię S 1 na rysunku 3 można roseryć do nieskońconości. Zawycaj wedy pryjmuje się poencjał w nieskońconości u 1 = 0. Jak pokaano na rysunku 3, warunki bregowe są wielospójne i na każdej powierchni S i można pryjąć inny poencjał u i. U 0 Rys. 3. Obsar rowiąywania równania Laplace a (biały) musi być ogranicony powierchniami (Si), na kórych dane są warunki bregowe ui. Powierchnia S1 może być roserona do nieskońconości. Jeśli u jes poencjałem, powierchnie musą być ekwipoencjalne. W prypadku presyłu energii jes o prekrój poprecny linii ransmisyjnej falą TEM Fig. 3. The Laplace equaion soluion area (whie) has o be limied by surfaces (Si) wih boundary condiion ui. Surface S1 may be exended o he infiniy. If u is a poenial, he surfaces Si have o be equipoenial. In he energy ransfer case, he figure is a cross secion of he ransmission line wih he TEM mode wave Jes nieskońcenie wiele możliwości podania warunków bregowych, ale licba rowiąań nieależnych, kórych można uyskać wsyskie inne rowiąania, jes skońcona i wynosi N 1, gdie N jes kronością spójności analiowanego obsaru. Na rysunku 3 N = 5, więc isnieją cery nieależne rowiąania. Każde nich jes jednonacne, n. nie isnieje inne rowiąanie, spełniające e same warunki bregowe. Pry badaniu srukury jednospójnej N 1 = 0, cyli nie ma rowiąań nierywialnych. W elekrosayce np. nie ma pola wewnąr naładowanej kuli. W prypadku prekroju poprecnego srukur prowadących falę/moc onaca o, 1 Dokładne omówienie właściwości równania Laplace a można naleźć w wielu podręcnikach elekrodynamiki, np. akich jak: David J. Griffihs, Podsawy elekrodynamiki, PWN, Warsawa 001.

P.S. Dębicki, Wekor Poyninga w analiie oscylacji mocy biernej w sieciach energeycnych 5 że nie można presłać mocy falą TEM popre np. pojedyncy prewód, rurę, cy falowód. Wedy reba użyć fal nie-tem, np. rodajów falowodowych, posiadających składową E i/lub H pola. Zgodnie wynikami punku 1.3 w prypadku linii presyłowej energeycnej rójfaowej, awierającej ry prewody i prewód erowy (N = 4), należy analiować oddielnie prekrój poprecny i podłużny. Prekrój poprecny rakuje się jako płaski, dwuwymiarowy problem spełniający równanie Laplace a. Ponieważ N = 4, wysępują ry nieależne rowiąania. Isnieją różne sposoby definiowania ych rowiąań, ale dla srukur N > 3 wygodnie jes sosować w. rodaje każdej linii. Polega o na ym, że dla pierwsego rodaju posukuje się rowiąania, gdy pierwsy prewód jes na poencjale 1, a wsyskie poosałe prewody są na poencjale erowym. Nasępnie drugi prewód jes na poencjale 1 i poosałe są uiemione, id. Rowiąanie dla dowolnego pobudenia oryma się, worąc superpoycję ych rech rowiąań odpowiednimi wagami. Rowiąanie dla rodaju pierwsego mnożyć reba pre u 1, drugiego pre u, id. Nasępnie dodaje się wsyskie rowiąania. Kolejną cechą rowiąań równania Laplace a jes fak, że eksrema funkcji, będącej rowiąaniem, mogą wysępować jedynie na bregach obsaru. Gdyby predsawić warunki bregowe na poscególnych powierchniach w posaci słupków o wysokości proporcjonalnej do warości poencjału na ej powierchni, o rowiąanie wyglądałoby jak elasycna membrana rociągnięa na ych słupkach 13. Membrana aka nie będie miała lokalnych maksimów i minimów poa słupkami. 3. PRZYKŁAD PRAKTYCZNY Mając już prygoowanie eoreycne, można pokusić się o próbę rowiąania konkrenego prykładu prakycnego, by badać, jak wygląda ransmisja mocy w wybranej srukure i jej opis a pomocą wekora Poyninga (cyli wekorów pola) ora napięć i prądów. Srukurę należy wybrać na yle prosą, aby analia maemaycna nie presłoniła isoy fiycnej. Wygodnie będie wybrać jako srukurę prowadącą moc linię współosiową o wymiarach pokaanych na rysunku 4. Uyskane wnioski można będie prenieść na wsyskie rodaje prowadnic/linii prowadących falę ypu TEM. Scegółowe rowiąanie rokładu presrennego pola elekrycnego i magneycnego aware jes dalej w Załącniku. Uyskano am nasępujące wory na pola E i H: E E e j U i r e r ln b a 0 j V/m, () 13 Dokładnie rec ujmując, równaniem membrany będie równanie Laplace a ylko wedy, gdy odchylenia membrany od powierchni płaskiej będą dosaecnie małe.

6 ZESZYTY NAUKOWE AKADEMII MORSKIEJ W GDYNI, nr 95, lisopad 016 I0i j j H H e e A/m, (3) π r gdie U 0 i I 0 są, odpowiednio, napięciem i prądem w linii, r i są miennymi walcowego układu współrędnych, odpowiednio, radialną i aymualną, a a i b promieniami prewodów według rysunku 4. Rys. 4. Geomeria linii współosiowej i wekory pola Fig. 4. Coaxial line geomery and he field vecors 3.1. Rokład gęsości mocy cyli wekora Poyninga Pred obliceniem wekora gęsości mocy należy podkreślić, że wysępujące we worach () i (3) ampliudy espolone napięcia i prądu U 0 i I 0 są w faie. W wiąku ym wekory E i H są również w faie. Mamy więc w ym prypadku do cynienia presyłem wyłącnie mocy cynnej. Presunięcie w faie pomiędy U i I, jakie by się pojawiło, spowodowane np. składową reakancyjną w obciążeniu, skukowałoby pojawieniem się fali porusającej się w preciwnym kierunku. Wedy U i I byłyby sumą, odpowiednio, napięć i prądów każdej fal składowych. Analię akich syuacji predsawiono w pracy [9]. Ogólnie gęsość mocy cynnej prenosonej pre pole, dla ampliud espolonych można apisać w posaci: 1 S Re E H *, (4) kóra jes modyfikacją woru (1). Do ej relacji można podsawić era ależności () i (3). Oryma się:

P.S. Dębicki, Wekor Poyninga w analiie oscylacji mocy biernej w sieciach energeycnych 7 U 0I 0 S i b. (5) 4 π r log a Wór (5) opisuje radialną mianę wekora gęsości mocy skierowanego w kierunku osi. Ilusrację woru pokaano na rysunku 5, na kórym podano eż warości asosowanych paramerów. Tu widać prydaność wekora Poyninga. Rys. 5. Rokład gęsości mocy [W/mm ] w funkcji promienia dla linii współosiowej o wymiarach a = mm, b = 6 mm, do kórej pryłożono napięcie o ampliudie 10 V i w kórej płynie prąd o ampliudie 1 A Fig. 5. Power densiy disribuion [W/mm ] vs. radius of he coaxial line wih a = mm, b = 6 mm. The volage beween wire is 10 V and he curren is 1 A Zwraca uwagę ponadsiedmiokrona różnica gęsości mocy pomiędy powierchnią prewodu wewnęrnego i ewnęrnego 14. W podpunkcie 1.3. preprowadono dyskusję wiąaną isnieniem niewielkiej składowej E, wysępującej w wyniku skońconej prewodności prewodów, kórą można aniedbać w pierwsym podejściu. Składowa a, 14 Wór (5) można eż wykorysać do opymaliacji konsrukcji linii ak, aby gęsość mocy pry prewodie wewnęrnym była najmniejsa. Jeśli podsawimy a w miejsce i oblicymy pochodną e wględu na a, można określić opymalny sosunek średnic, apewniający minimalną warość S, kóry wynosi b/a = 3,6, co odpowiada linii o impedancji charakerysycnej ok. 77, a więc bliskiej popularnym kablom 75-omowym. Minimalna warość gęsości mocy dla obliconego sosunku b/a nie onaca, że dla ej samej proporcji orymamy minimalną warość wekora naężenia pola elekrycnego. W ym celu należy użyć równania (), kórego orymamy w analogicny sposób opymalną warość b/a =,71, co odpowiada linii współosiowej o impedancji charakerysycnej 60.

8 ZESZYTY NAUKOWE AKADEMII MORSKIEJ W GDYNI, nr 95, lisopad 016 współdiałając wekorem naężenia pola magneycnego, również wywara wekor Poyninga, kóry skierowany jes w sronę osi prewodu wewnęrnego: 1 Ei Hi EHir 1 S, (6) Można era oblicyć moc wnikającą do prewodu na odcinku jednoskowym. Ponieważ warość wekora na powierchni prewodu jes sała, nie jes koniecne całkowanie. Orymuje się: 1 J I0 P S π a 1 π a π a 1 I0 π a 1 I 0 R, (7) 1 R j gdie π a jes reysancją odcinka prewodu wewnęrnego o długości jednoskowej. Orymany wynik pokauje, że a składowa wekora Poyninga repreenuje sray energii na ciepło. Analogicne roważanie można preprowadić dla prewodu ewnęrnego. Ze wględu na mianę kierunku prądu wekor S będie era skierowany w preciwnym kierunku niż poprednio i będie repreenował sray w prewodie ewnęrnym. Osanim adaniem jes oblicenie całkowiej mocy P presyłanej linią współosiową. W ym celu należy scałkować wyrażenie (6) po powierchni prekroju poprecnego A srukury: U I P Sd A A a b π π b 0 0 d r 1 Sr d r d i d 0 4πlog b r a 0 a j U 0 I 0. (8) Z relacji ej wynika, że w prypadku określania mocy korysanie wekora Poyninga jes byecne, gdyż cała informacja jes awara w napięciach i prądach. Podobny wynik można orymać dla każdej srukury presyłającej moc na cęsoliwościach energeycnych. Dla linii wieloprewodowych, np. dla sieci rójfaowej prewodem erowym wysąpią ry napięcia i ry prądy, kóre musą być definiowane w sposób nieależny. PODSUMOWANIE W pracy roważono jednokierunkowy prypadek propagacji fali/presyłu mocy wdłuż jednorodnej srukury (linii presyłowej), kórej wymiary poprecne są małe w sosunku do długości fali, co jes prypadkiem energeyki. Wychodąc od równań Maxwella, preanaliowano możliwe rokłady pola w płascyźnie prosopadłej do kierunku propagacji ora w kierunku propagacji. Wykaano, że w prypadku prekroju poprecnego rokład pola elekrycnego jes idenycny jak dla elekrosayki, a rokład pola magneycnego jes magneosacjonarny (n. odpowiadający prepływowi prądu sałego).

P.S. Dębicki, Wekor Poyninga w analiie oscylacji mocy biernej w sieciach energeycnych 9 Dla konkrenego prykładu linii współosiowej wyprowadono relacje wiążące pole elekrycne i magneycne w linii napięciami i prądami ora ksałem geomerycnym prekroju poprecnego. Są o wory () i (3) słusne dla prypadku besranego. Uwględnienie małych sra prewodenia sprowadiłoby się do amiany sałej faowej na sałą propagacji. W Załącniku, w komenaru do woru (Z7) objaśniono fiycne inerpreacje elemenów woru (), awierającego opis rokładu poprecnego pola, jak i rokładu podłużnego ależnego od maeriału wypełniającego srukurę. Wymnożenie worów () i (3) według relacji (4) dało poprecny rokład gęsości mocy prowadonej pre srukurę (5). W prypadku ransmisji jednokierunkowej nie ma presunięcia fay pomiędy polem elekrycnym i magneycnym ora napięciem i prądem, kóre są do pól odpowiednio proporcjonalne. Pokaano prydaność ależności (5) do określania powierchniowej gęsości mocy (wekora Poyninga), prenosonej pre srukurę pomiędy prewodami. (Pola wewnąr prewodów są całkowicie amieniane na ciepło). Uyskanie całkowiej mocy prenosonej wymagało scałkowania relacji (5) po powierchni prekroju poprecnego linii. Uyskana wymnożenia i scałkowania pól relacja na moc całkowią jes proporcjonalna do ilocynu prądu i napięcia. Pokauje, że w prypadku energeyki, w kórej isnieje jednonacne powiąanie pól ora napięć i prądów, sosowanie wekora Poyninga do analiy prepływu mocy jes będne. W ransmisji dwukierunkowej może się pojawić presunięcie fay pomiędy napięciem i prądem powodowane pre obciążenie reakancyjne. W podejściu energeycnym wysępuje wedy problem mocy biernej, a w podejściu linii ransmisyjnych wyżsych cęsoliwości pojawia się fala odbia. W ym osanim podejściu nie ma problemu mocy biernej, gdyż są dwie moce cynne porusające się w preciwnych kierunkach. Omówienie ych agadnień wra dyskusją predsawiono w pracy [9]. ZAŁĄCZNIK Określenie rokładu pola elekrycnego i magneycnego w linii współosiowej dla fali TEM Z.1. Rokład pola elekrycnego Rokład pola poprecnego E określa się rokładu poencjału (wór (8)), kóry można uyskać, rowiąując równanie Laplace a nasępującymi warunkami bregowymi: na powierchni ewnęrnej S 1 poencjał u 1 = 0 i na powierchni wewnęrnej S poencjał u = U 0. Ksał srukury (rys. 4) sugeruje asosowanie walcowego układu współrędnych posiadającego mienne r, i. Ponieważ roważa się ylko prekrój poprecny, pomija się składową. Symeria układu powoduje, że nie będie ależności od miennej kąowej. Poosaje więc ylko

30 ZESZYTY NAUKOWE AKADEMII MORSKIEJ W GDYNI, nr 95, lisopad 016 rowiąanie jednowymiarowe e wględu na mienną radialną r. Laplasjan w układie współrędnych walcowych pryjmuje posać: 1 u 1 u u u r r r r r 0 Po opusceniu miennych i ora pryrównaniu do era orymuje się: (Z1) Po scałkowaniu uyska się: d du r 0. (Z) dr dr u C1 ln r C. (Z3) Znaleienie sałych C 1 i C wymaga uwględnienia warunków bregowych: u a) C ln a C U u( b) C ln b C 0. (Z4) ( 1 0 1 Osaecnie orymuje się rokład poencjału w funkcji promienia w posaci: ln r u( r) U b. (Z5) 0 ln a b Rokład pola elekrycnego w linii współosiowej, po wykorysaniu relacji (8): E grad U, kóra wymaga oblicenia pochodnej po r wyrażenia (Z5) i uwględnienia wersora i r ora po uwględnieniu ależności od według woru (1), można apisać w posaci: j U 0i r j E E e e V/m. (Z6) r ln b a W ależności ej, w kórej E jes już era rokładem ampliudy espolonej 15 wekora pola elekrycnego, można uwidocnić sereg elemenów odpowiedialnych a różne efeky fiycne: 1 i r j E U e V/m 0 ln b r A a D, (Z7) C B 15 Należy pamięać o nieuwidocnionej ależności od casu w posaci e j. Ampliuda espolona E lub H jes u licbą espoloną, kórej faa jes określona dla miejsca = 0 i casu = 0. W innym miejscu i casie należy dodać.

P.S. Dębicki, Wekor Poyninga w analiie oscylacji mocy biernej w sieciach energeycnych 31 gdie: A ampliuda espolona napięcia pomiędy prewodami, cyli sała wiąana wielkością pobudenia linii, B sała wiąana ksałem geomerycnym srukury prowadącej falę, C opisuje rokład pola E w płascyźnie prosopadłej do kierunku propagacji, D opisuje miany pola w kierunku propagacji. Moc jes prenosona wyłącnie w kierunku. Nie ma fali porusającej się w kierunku preciwnym. W wyrażeniu ym sała propagacji:, (Z8) gdie λ jes długością fali rochodącej się w kierunku, określoną pre paramery elekrycne i ośrodka wypełniającego srukurę. Z.. Rokład pola magneycnego Określenie rokładu pola magneycnego powinno się ropocąć od równania (18b): H J i. Wykorysuje się o równanie ylko do swierdenia, że jedyną składową poprecną pola wywaraną pre gęsość prądu J jes składowa 16 H. Dalej wygodniej będie skorysać posaci całkowej prawa Ampera (c). Po usunięciu pochodnej po casie ( 0) prawa srona jes ampliudą całkowiego prądu, płynącego prewodem wewnęrnym: dl J ds L H. (Z9) S W równaniu ym powierchnia S jes fragmenem prekroju poprecnego srukury w posaci koła o promieniu r > a (dowolna linia prerywana na rys. 4), a L jes bregiem ego koła. Elemen dl = rdi, jes więc równoległy do H. Całka pryjmuje u posać: π 0 0 I 0 H r d I, (Z10) kórej orymuje się H = I 0/r. Osaecnie pole magneycne wewnąr linii współosiowej, kórego ampliudą espoloną jes H, można apisać jako 17 : 16 Po ropisaniu lewej srony równania pojawią się pochodne H /r i Hr /. Ta druga musi nikać e wględu na osiową symerię srukury. Teoreycnie mogłaby isnieć sała składowa H, ale nie byłaby ona wiąana gęsością prądu J, ylko np. e sałym polem magneycnym, np. gdyby prewód wewnęrny był biegunem N magnesu, a prewód ewnęrny S. J wywara ylko H. 17 Tylko prąd płynący w prewodie wewnęrnym daje wkład do pola magneycnego pomiędy prewodem wewnęrnym i ewnęrnym. Prąd w prewodie ewnęrnym, płynący w preciwnym kierunku, likwiduje ylko na ewnąr linii współosiowej pole magneycne, pochodące od prewodu wewnęrnego.

3 ZESZYTY NAUKOWE AKADEMII MORSKIEJ W GDYNI, nr 95, lisopad 016 I0i j j H H e e A/m. (Z11) π r Mając rokłady presrenne obu wekorów E i H (wory (Z6) i (Z11)), można era określić rokład gęsości mocy presyłanej ą linią, co preprowadono w cęści głównej pracy. LITERATURA 1. Cekareski Z., Emanuel A.E., On he physical meaning of nonacive powers in hree-phase sysems, Power Engineering Review, IEEE, Vol.19, 1999, No. 7, s. 46 47.. Carnecki L.S., Could power properies of hree-phase sysems be described in erms of he Poyning Vecor? IEEE Transacions on Power Delivery, Vol. 1, 006, No. 1, s. 339 344. 3. Carnecki L.S., Currens Physical Componens (CPC) in circuis wih nonsinusoidal volages and currens. Par 1: Single-phase linear circuis, Journal on Elecric Power Qualiy and Uiliaion, Vol. XI, 005, No., s. 37 48. Par : Three-phase linear circuis. 4. Carnecki L.S., Energy flow and power phenomena in elecrical circuis: illusions and realiy, Archiv. für Elekroechnik, 1999, No. 4(8), s. 10 15. 5. Carnecki L.S., Harmonics and power phenomena, Wiley Encyclopedia of Elecrical and Elecronics Engineering, John Wiley & Sons, Supplemen 1, 000, s. 195 18. 6. Carnecki L.S., Misinerpreaions of some power properies of elecric circuis, IEEE Transacions on Power Delivery, Vol. 9, 1994, No. 4, s. 1760 1770. 7. Carnecki L.S., On some misinerpreaions of he Insananeous Reacive Power p-q Theory, IEEE Transacions on Power Elecronics, Vol.10, 004, No. 3, s. 88 836. 8. Carnecki L.S., Oscylacje energii a moce nieakywne w świele Teorii Składowych Fiycnych Prądu (CPC) ora Twierdenia Poyninga, Pregląd Elekroechnicny, 006, nr 6, s. 1 7. 9. Dębicki P.S., Granice echniki mikrofalowej oscylacje mocy biernej w energeyce i fale w obwodach prądu sałego, hps://www.researchgae.ne/publicaion/3008150). 10. Emanuel A.E., Abou he rejecion of Poyning vecor in power sysems analysis, Journal on Elecric Power Qualiy and Uiliaion, Vol. XIII, 007, No. 1. 11. Emanuel A.E., Power definiions and he physical mechanism of power flow, Hoboken, John Wiley, New Jersey 010. 1. Emanuel A.E., Powers in nonsinusoidal siuaions. A review of definiions and physical meaning, IEEE Transacions on Power Delivery, 1990, No. 5(3), 13. Emanuel A.E., Poyning Vecor and physical meaning of nonacive powers, IEEE Transacions on Insrumenaion and Measuremens, Vol. 54, 005, No. 4, s. 1457 146. 14. Ferrero A., Leva S., Morando A.P., An approach o he nonacive power concep in erms of he Poyning-Park Vecor, European Transacions on Elecric Power, ETEP, Vol. 11, 001, No. 5, s. 301 308. 15. Piorowski T.S., Spór o sens fiycny mocy biernej, VI Konferencja Elekroechnika prądy niesinusoidalne, maeriały konferencyjne, Zielona Góra 00, s. 47 54.

P.S. Dębicki, Wekor Poyninga w analiie oscylacji mocy biernej w sieciach energeycnych 33 IS THE POYNTING VECTOR A NECESSERY TOOL TO ANALYSE NONACTIVE POWER? Summary The paper is addressed o he elecrical engineers who are ineresed in a non-acive power analysis in power lines. The Poyning vecor applicaion, as a necessary ool o explain physical phenomenon, has been suggesed in some papers. The reader is guided hrough he chosen problems of he elecromagneic heory in an accessible way, in order o explain o him why in he analysis of 50 H power, which is ransmied along uniform muli-wire line, he applicaion of he Poyning vecor is unnecessary. Neverheless, he Poyning vecor could be useful in he analysis of he 3D densiy disribuion of he power ransferred beween wires of he line. The influence of he sources and loadings is no analysed in his paper. I could be aken ino accoun by creaing a superposiion of soluions obained in his paper, which is discussed in an accompanying paper [9]. Keywords: reacive power, nonacive power, power oscillaing, Poyning vecor, Maxwell s equaions, field analysis, quasi-saionary fields, wave/power propagaion, ransvers field disribuion, Laplace equaion, coaxial line.