WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki

WYKŁA Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2005

Spis treści 1. Przestrzenie metryczne. 4 2. Granica i ciągłość funkcji wielu zmiennych 6 2.1. Własności funkcji ciągłych. 7 3. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych 8 3.1. efinicja i podstawowe własności pochodnej kierunkowej. 8 3.2. efinicja i podstawowe własności pochodnych cząstkowych. 9 3.3. Różniczkowalność funkcji wielu zmiennych. 9 3.4. Pochodne cząstkowe wyższych rzędów. Wzór Taylora dla funkcji wielu zmiennych. 10 3.5. Ekstrema lokalne i globalne funkcji. 11 3.6. Pochodne cząstkowe funkcji wektorowych i funkcji złożonych. 13 3.7. Funkcja uwikłana. 14 3.8. Ekstrema warunkowe. 15 4. Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych 16 4.1. efinicja całki podwójnej w sensie Riemanna. 16 4.2. Własności całki podwójnej. 17 4.3. Metody obliczania całek podwójnych. 19 4.4. Metody obliczania całek potrójnych. 21 4.5. Zastosowania całek wielokrotnych. 22 3

1. PRZESTRZENIE METRYCZNE. 4 1. Przestrzenie metryczne. efinicja 1.1. Przestrzenią metryczną nazywamy parę (X, d), gdzie X oraz funkcja d : X X [0, + ) spełnia następujące warunki: (1) x,y X (2) x,y X (3) x,y,z X [d(x, y) = 0 x = y], d(x, y) = d(y, x), d(x, y) d(x, z) + d(z, y). Elementy zbioru X nazywamy punktami, zas funkcję d metryką na X. Wartość d(x, y) nazywamy odległością punktów x i y w metryce d. Załóżmy dalej, że (X, d) jest dowolną przestrzenią metryczną. efinicja 1.2. Niech A X. Zbiór A nazywamy ograniczonym, gdy jest zawarty w pewnej kuli. Średnicą zbioru A nazywamy liczbę efinicja 1.3. Niech p 0 X oraz A X. δ(a) def = sup{d(x, y) : x, y X}. Kulą (otwartą) o środku w punkcie p 0 i promieniu r > 0 nazywamy zbiór K(p 0, r) def = {p X : d(p, p 0 ) < r}. Punkt p 0 nazywamy punktem wewnętrznym zbioru X, gdy K(p 0, r) X. r>0 Zbiór punktów wewnętrznych zbioru X oznaczamy przez Int(X). Mówimy, że zbiór A jest otwarty, gdy każdy punkt zbioru A jest jego punktem wewnętrznym, tzn. A Int(A). Otoczeniem U(p 0 ) punktu p 0 nazywamy każdy zbiór otwarty zawierający ten punkt. Twierdzenie 1.4. Zbiór A X jest otwarty A = Int(A). Twierdzenie 1.5. Każda kula jest zbiorem otwartym w dowolnej przestrzeni metrycznej. efinicja 1.6. Niech A X. Mówimy, że zbiór A jest domknięty, gdy X \ A jest otwarty. omknięciem zbioru A nazywamy zbiór A = {p 0 X : r>0 K(p 0, r) A }. Twierdzenie 1.7. Zbiór A X jest domknięty A = A.

1. PRZESTRZENIE METRYCZNE. 5 efinicja 1.8. Niech p 0 X oraz A X. Mówimy, że punkt p 0 jest punktem skupienia zbioru A, gdy K(p 0, r) (A \ {p 0 }). r>0 Zbiór punktów skupienia zbioru A oznaczamy przez A d. Punkt p 0 nazywamy punktem izolowanym zbioru A, gdy nie jest punktem skupienia zbioru A. Uwaga 1.9. Można wykazać, że A = A A d. efinicja 1.10. Brzegiem zbioru A X nazywamy zbiór Fr(A) def = A X \ A. Uwaga 1.11. Można wykazać, że Fr(A) = A \ Int(A). efinicja 1.12. Niech p n X dla n N. Ciąg (p n ) n N nazywamy zbieżnym w przestrzeni metrycznej (X, d) do punktu p 0 X, gdy lim d(p n, p 0 ) = 0. n Zapisujemy wówczas: lim p n = p 0 lub p n p 0. n Twierdzenie 1.13. Każdy ciąg zbieżny w przestrzeni metrycznej jest ograniczony. Twierdzenie 1.14. Punkt p 0 X jest punktem skupienia zbioru A X wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ciąg (p n ) n N taki, że p n A \ {p 0 } lim n N n p n = p 0. Twierdzenie 1.15. Niech X = R n, n N. Jeśli p k = (x k 1, x k 2,..., x k n) X dla k N {0}, to lim p k = p 0 k n N lim x k n = x 0 k n. efinicja 1.16. Zbiór A X nazywamy zbiorem spójnym, gdy nie da się przedstawić w postaci sumy (U 1 A) (U 2 A), gdzie U 1, U 2 są zbiorami niepustymi i otwartymi takimi, że U 1 U 2 A =. Uwaga 1.17. Otwarty zbiór A R n jest spójny, jeśli jego dwa dowolne punkty można połączyć łamaną zawartą w A. Na prostej zbiór A jest spójny wtedy i tylko wtedy, gdy A jest przedziałem. efinicja 1.18. Niech n N. Zbiór otwarty i spójny w R n nazywamy obszarem.

2. GRANICA I CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH 6 2. Granica i ciągłość funkcji wielu zmiennych Niech n N. efinicja 2.1. Funkcję f : A R, gdzie A R n, nazywamy funkcją rzeczywistą n zmiennych rzeczywistych. efinicja 2.2. Niech f : R 2 R. Wykresem funkcji f nazywamy zbiór G(f) = {(x, y, z) R 3 : (x, y) f z = f(x, y)}, gdzie f oznacza dziedzinę funkcji f. Poziomicą funkcji f odpowiadającą poziomowi h R nazywamy zbiór {(x, y) f : f(x, y) = h}. efinicja 2.3 (wg Cauchy ego). Niech A R n i p 0 R n. Załóżmy, że f : A R oraz p 0 jest punktem skupienia zbioru A. Liczbę g nazywamy n-krotną granicą właściwą funkcji f w punkcie p 0, gdy ε>0 Zapisujemy lim p p 0 f(p) = g. δ>0 [d(p, p 0) < δ f(p) g < ε]. p A efinicja 2.4 (wg Heinego). Niech A R n i p 0 R n. Załóżmy, że f : A R oraz p 0 jest punktem skupienia zbioru A. Wówczas lim p p 0 f(p) = g, gdy [(p n A \ {p 0 } lim p n = p 0 ) lim f(p n ) = g]. (p n) n n Podobnie jak dla funkcji jednej zmiennej definiujemy granice niewłaściwe w punkcie. Uwaga 2.5. la n-krotnej granicy funkcji zachodzą twierdzenia o arytmetyce granic funkcji, twierdzenie o granicy funkcji złożonej oraz twierdzenie o trzech funkcjach analogicznie jak dla funkcji jednej zmiennej. efinicja 2.6. Niech A R 2 oraz niech (x 0, y 0 ) R 2. Załóżmy, że f : A R, zaś (x 0, y 0 ) jest punktem skupienia zbioru A. Jeśli istnieją granice lim ( lim x x 0 y y0 f(x, y)) oraz y y0 lim ( x x0 lim f(x, y)), to nazywamy je granicami iterowanymi funkcji f w punkcie (x 0, y 0 ). Uwaga 2.7. Istnienie granicy podwójnej w punkcie (x 0, y 0 ) R 2 jest niezależne od istnienia granic iterowanych. Można jedynie wykazać, że jeśli istnieje granica podwójna i przynajmniej jedna granica iterowana funkcji f w punkcie (x 0, y 0 ), to granice te są równe.

2. GRANICA I CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH 7 efinicja 2.8. Niech A R n, f : A R i p 0 R n. Funkcja f jest ciągła w punkcie p 0, gdy p 0 / A d (p 0 A d lim p p 0 f(p) = f(p 0 )). Funkcja f jest ciągła na zbiorze A, gdy jest ciągła w każdym punkcie tego zbioru. Uwaga 2.9. 1. Każda funkcja n-zmiennych jest ciągła w punktach izolowanych dziedziny. 2. Jeśli funkcja n-zmiennych jest ciągła w punkcie, to jest ciągła ze względu na każdą zmienną oddzielnie. Stwierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe. 2.1. Własności funkcji ciągłych. Twierdzenie 2.10. Jeśli funkcje f, g są ciągłe w punkcie p 0 R n, to funkcje f ± g, f g oraz (o ile g(p 0) 0) są również ciągłe w tym punkcie. f g Twierdzenie 2.11. Jeśli funkcje f 1, f 2,..., f n są ciągłe w punkcie p 0 R k, gdzie k N, zaś funkcja g jest ciągła w q 0 = (f 1 (p 0 ), f 2 (p 0 ),..., f n (p 0 )), to funkcja złożona g(f 1 (p), f 2 (p),..., f n (p)) jest ciągła w p 0. Twierdzenie 2.12 (o lokalnym zachowaniu znaku). Niech p 0 f : U(p 0 ) R jest ciągła w punkcie p 0 oraz f(p 0 ) > 0, to S(p 0 ) U(p 0 ) p U(p 0 ) f(p) > 0. R n. Jeśli funkcja Twierdzenie 2.13 (Weierstrassa o osiąganiu najmniejszej i największej wartości). Niech A R n będzie zbiorem domkniętym i ograniczonym. Jeśli f : A R jest ciągła, to jest ograniczona na zbiorze A, przy czym istnieją punkty p 1, p 2 A takie, że f(p 1) f(p) f(p 2 ). p A Twierdzenie 2.14 (arboux o przyjmowaniu wartości pośrednich). Niech A R n będzie zbiorem domkniętym i ograniczonym oraz niech m = inf f[a], M = sup f[a]. Jeśli f : A R jest ciągła, to z [m;m] p A z = f(p). Twierdzenie 2.15 (Cantora o ciągłości jednostajnej). Niech A R n będzie zbiorem domkniętym i ograniczonym. Jeśli f : A R jest ciągła, to f jest jednostajnie ciągła na A, tzn. ε>0 δ>0 [d(p 1, p 2 ) < δ f(p 1 ) f(p 2 ) < ε]. p 1, p 2 A Twierdzenie 2.16. Niech A R n będzie zbiorem spójnym. Jeśli funkcja f : A R jest ciągła, to zbiór f[a] jest spójny w R.

3. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH 8 3. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych Niech n N oraz niech A będzie otwartym podzbiorem R n. 3.1. efinicja i podstawowe własności pochodnej kierunkowej. efinicja 3.1. Niech p 0 A, h R n oraz f : A R. Rozważmy zbiór otwarty w R oraz funkcję F : U R daną wzorem U = {t R \ {0} : p 0 + th A} F (t) def = f(p 0 + th) f(p 0 ) dla t U. t Jeśli istnieje skończona granica limf (t), to nazywamy ją pochodną kierunkową funkcji f t 0 w punkcie p 0 w kierunku wektora h. Zapisujemy f h(p 0 ) def f(p 0 + th) f(p 0 ) = lim. t 0 t efinicja 3.2. Niech h R n oraz f : A R. Niech A będzie zbiorem punktów w których istnieje pochodna kierunkowa funkcji f w kierunku wektora h. Funkcję p f h(p) nazywamy pochodną kierunkową funkcji f w kierunku wektora h. Uwaga 3.3. (Interpretacja geometryczna pochodnej kierunkowej dla n = 2.) Niech h = [h 1, h 2 ] R 2, p 0 = (x 0, y 0 ) A oraz f : A R. Oznaczmy przez k prostą styczną do krzywej otrzymanej w wyniku przekroju powierzchni z = f(x, y) płaszczyzną zawierającą punkt (x 0, y 0, 0) oraz równoległą do wektorów [h 1, h 2, 0] i e 3 = [0, 0, 1]. Wówczas f h(x 0, y 0 ) = tg γ, gdzie γ oznacza kąt nachylenia prostej k do płaszczyzny Oxy. Twierdzenie 3.4. Niech p 0 A oraz f : A R. Weźmy h 1, h 2 R n oraz α R. Wówczas a) jeśli w punkcie p 0 istnieje pochodna w kierunku wektora h 1, to w punkcie tym istnieje również pochodna w kierunku wektora αh 1 i zachodzi równość f αh 1 (p 0 ) = α f h 1 (p 0 ); b) jeśli w punkcie p 0 istnieją pochodne w kierunku wektorów h 1, h 2 oraz przynajmniej jedna z nich jest funkcją ciągłą w p 0, to w punkcie tym istnieje również pochodna w kierunku wektora h 1 + h 2 i zachodzi równość f h 1 +h 2 (p 0 ) = f h 1 (p 0 ) + f h 2 (p 0 ). Uwaga 3.5. Bez założenia ciągłości równość w części b) może nie zachodzić.

3. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH 9 3.2. efinicja i podstawowe własności pochodnych cząstkowych. la ustalonego i {1,..., n} oznaczmy przez e i wersor i-tej osi. Ponadto niech x i umownie oznacza i-tą zmienną funkcji określonej w przestrzeni R n. efinicja 3.6. Niech p 0 A oraz f : A R. Pochodną kierunkową f e i (p 0 ) (o ile istnieje) nazywamy pochodną cząstkową funkcji f w punkcie p 0 względem i-tej zmiennej. Oznaczamy ją przez f x i (p 0 ) lub f x i (p 0 ). Uwaga 3.7. Istnienie pochodnych cząstkowych funkcji f w punkcie nie zapewnia ciągłości funkcji w tym punkcie. efinicja 3.8. Niech p 0 A oraz f : A R. Gradientem funkcji f w punkcie p 0 nazywamy wektor f(p 0 ) def = [f x 1 (p 0 ),..., f xn (p 0)]. Twierdzenie 3.9. Niech p 0 A oraz f : A R. Jeśli pochodne cząstkowe f x i, i {1,..., n}, są ciągłe w punkcie p 0, to istnieje pochodna kierunkowa funkcji f w p 0 w kierunku dowolnego wektora h R n oraz f h(p 0 ) = f(p 0 ) h. Uwaga 3.10. 1. Gradient funkcji w punkcie wskazuje kierunek najszybszego wzrostu funkcji w tym punkcie. 2. la n = 2 gradient funkcji w punkcie jest prostopadły do poziomicy funkcji przechodzącej przez ten punkt. 3.3. Różniczkowalność funkcji wielu zmiennych. la ustalonego wektora h = [h 1,..., h n ] R n niech h def = h 2 i. efinicja 3.11. Niech p 0 A oraz f : A R. Jeśli istnieją pochodne cząstkowe f x i (p 0 ) dla i {1,..., n} oraz f(p 0 + h) f(p 0 ) f(p 0 ) h lim = 0, h 0 h to mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie p 0. efinicja 3.12. Niech p 0 A oraz f : A R. Załóżmy, że funkcja f posiada pochodną kierunkową f h(p 0 ) w kierunku dowolnego wektora h R n. Różniczką funkcji f w punkcie p 0 nazywamy funkcję df(p 0 ) określoną wzorem df(p 0 )(h) def = f h(p 0 ) dla h R n.

3. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH 10 Jeśli f posiada pochodne cząstkowe ciągłe w punkcie p 0, to funkcję df(p 0 ) nazywamy różniczką zupełną i zachodzi równość df(p 0 )(h) = f(p 0 ) h dla h R n. Uwaga 3.13. (Interpretacja geometryczna funkcji różniczkowalnej w punkcie dla n = 2.) Jeśli funkcja f : A R jest różniczkowalna w punkcie p 0 = (x 0, y 0 ) A, to istnieje płaszczyzna styczna do wykresu funkcji w punkcie (x 0, y 0, f(x 0, y 0 )) (płaszczyzna ta jest prostopadła do wektora [f x(x 0, y 0 ), f y(x 0, y 0 ), 1]). Twierdzenie 3.14 (Warunek konieczny różniczkowalności funkcji). Jeśli funkcja f : A R jest różniczkowalna w punkcie p 0 A, to jest ciągła w tym punkcie. Uwaga 3.15. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe. Twierdzenie 3.16 (Warunek wystarczający różniczkowalności funkcji). Jeśli funkcja f : A R posiada na zbiorze A pochodne cząstkowe f x i, i {1,..., n}, ciągłe w punkcie p 0 A, to f jest różniczkowalna w punkcie p 0. Uwaga 3.17. Ciągłość pochodnych cząstkowych nie jest jednak warunkiem koniecznym różniczkowalności funkcji. 3.4. Pochodne cząstkowe wyższych rzędów. Wzór Taylora dla funkcji wielu zmiennych. efinicja 3.18. Niech p 0 A oraz f : A R. Załóżmy, że na pewnym otoczniu punktu p 0 istnieją pochodne cząstkowe f x i, i {1,..., n}. Wówczas pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji f w punkcie p 0 określamy wzorami: Jeśli i = j, to zamiast f x i x j piszemy f x 2 i W przypadku gdy i j, pochodne f x i x j drugiego rzędu. Uwaga 3.19. f x i,j {1,...,n} i x j (p 0 ) def = (f x i ) x j (p 0 ).. Pochodne f x i x j oznaczamy też symbolem 2 f x i x j. nazywamy pochodnymi czątkowymi mieszanymi 1. W analogiczny sposób definiujemy pochodne cząstkowe wyższych rzędów. 2. Niech h 1, h 2 R n. Jeśli funkcja f posiada na pewnym otoczniu punktu p 0 pochodną kierunkową f h 1, to pochodną kierunkową drugiego rzędu w kierunku wektorów h 1, h 2 definiujemy następująco: f h 1,h 2 (p 0 ) def = (f h 1 ) h 2 (p 0 ). Twierdzenie 3.20 (Schwarza). Niech i, j {1,..., n}. Jeśli funkcja f : A R posiada w zbiorze A pochodne cząstkowe drugiego rzędu f xi x j i f xj x i ciągłe w punkcie p 0 A, to f x i x j (p 0 ) = f x j x i (p 0 ).

3. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH 11 efinicja 3.21. Niech p 0 A, f : A R oraz k N. Załóżmy, że funkcja f posiada pochodne cząstkowe k-tego rzędu ciągłe w punkcie p 0. Funkcję d (k) f(p 0 ) określoną wzorem d (k) f(p 0 )(h) def = f (k) h,...,h (p 0) dla h R n, nazywamy różniczką k-tego rzędu funkcji f w punkcie p 0. la ustalonych p, h R n niech [p, p + h] def = {p + th : t [0, 1]}. Twierdzenie 3.22 (wzór Taylora). Niech p 0 A, f : A R oraz k N. Załóżmy, że funkcja f posiada w A ciągłe pochodne cząstkowe k-tego rzędu. Wówczas dla każdego h R n, dla którego [p 0, p 0 + h] A, istnieje θ [0, 1] takie, że f(p 0 + h) = f(p 0 ) + df(p 0)(h) 1! + + d(k 1) f(p 0 )(h) (k 1)! + f (k) (p + θh)(h). k! 3.5. Ekstrema lokalne i globalne funkcji. efinicja 3.23 (ekstrema lokalne). Mówimy, że funkcja f : A R ma w punkcie p 0 A maksimum lokalne, gdy minimum lokalne, gdy S(p 0 ) S(p 0 ) f(p) f(p 0); p S(p 0 ) A f(p) f(p 0). p S(p 0 ) A Jeśli w powyższych warunkach nierówności i zastąpić odpowiednio przez < i >, to otrzymamy definicje maksimum i minimum lokalnego właściwego. efinicja 3.24 (ekstrema globalne). Mówimy, że funkcja f : A R ma w punkcie p 0 A maksimum globalne, gdy minimum globalne, gdy f(p) f(p 0); p A f(p) f(p 0). p A Twierdzenie 3.25 (warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego). Niech p 0 A oraz f : A R. Jeśli funkcja f ma w punkcie p 0 ekstremum lokalne i istnieje pochodna kierunkowa f h(p 0 ) w kierunku wektora h R n, to f h(p 0 ) = 0. Uwaga 3.26. Jeśli funkcja f ma w punkcie p 0 ekstremum lokalne i istnieją wszystkie pochodne cząstkowe f x i (p 0 ), to f x i {1,...,n} i (p 0 ) = 0.

3. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH 12 Twierdzenie 3.27. Niech A będzie ograniczonym i domkniętym podzbiorem R n. Załóżmy, że funkcja f : A R jest ciągła w A i oznaczmy przez A 1 = {p Int(A) : Wówczas f x i {1,...,n} i (p) = 0}, A 2 = {p Int(A) : f x i {1,...,n} i (p) nie istnieje }. sup{f(p) : p A} = sup{f(p) : p Fr(A) A 1 A 2 }, inf{f(p) : p A} = inf{f(p) : p Fr(A) A 1 A 2 }. Twierdzenie 3.28 (warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego). Załóżmy, że funkcja f : A R posiada na pewnym otoczeniu U(p 0 ) punktu p 0 A ciągłe pochodne cząstkowe drugiego rzędu oraz f x i {1,...,n} i (p 0 ) = 0. la ustalonego k {1,..., n} oznaczmy przez w k (p 0 ) def = det[f x i x j (p 0 )] i,j k. Wówczas a) jeśli w k (p 0 ) > 0 dla wszystkich k {1,..., n}, to f ma w p 0 minimum lokalne właściwe; b) jeśli ( 1) k w k (p 0 ) > 0 dla wszystkich k {1,..., n}, to f ma w p 0 maksimum lokalne właściwe; c) jeśli w k0 (p 0 ) < 0 dla pewnego parzystego k 0 {1,..., n}, to f nie posiada w p 0 ekstremum lokalnego. Uwaga 3.29. W pozostałych przypadkach twierdzenie nie rozstrzyga o istnieniu ekstremów lokalnych.

3. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH 13 3.6. Pochodne cząstkowe funkcji wektorowych i funkcji złożonych. Niech n, k N oraz niech A R n będzie zbiorem otwartym. efinicja 3.30. Funkcję F : A R k nazywamy funkcją wektorową. Uwaga 3.31. Każdą funkcję wektorową F : A R k można zapisać w postaci F (p) = [f 1 (p), f 2 (p),..., f k (p)], p A, gdzie f 1, f 2,..., f k : A R. Ponadto dla dowolnego p 0 A d oraz dla dowolnego p 0 A i h R n lim F (p) = [ lim f 1 (p), lim f 2 (p),..., lim f k (p)], p p 0 p p 0 p p 0 p p 0 F h(p 0 ) = [(f 1 ) h(p 0 ), (f 2 ) h(p 0 ),..., (f k ) h(p 0 )]. efinicja 3.32. Niech F : A R k oraz F = [f 1, f 2,..., f k ]. Jeśli funkcje f i, gdzie i {1,..., k}, posiadają w punkcie p 0 A pochodne cząstkowe (f i ) x j (p 0 ) dla j {1,..., n}, to macierz [(f i ) x j (p 0 )] i k, nazywamy macierzą Jacobiego funkcji F w punkcie p 0. j n W przypadku gdy n = k wyznacznik tej macierzy nazywamy jakobianem funkcji F w punkcie p 0 i oznaczamy przez J F (p 0 ) def = det[(f i ) x j (p 0 )] i k,. Twierdzenie 3.33 (o pochodnej funkcji złożonej). Niech R k będzie zbiorem otwartym. Załóżmy, że g : R, [f 1, f 2,..., f k ] = F : (a, b) R k oraz F [(a, b)]. Jeśli funkcja g posiada w ciągłe pochodne cząstkowe g x i dla i {1,..., k}, zaś funkcje f i, gdzie i {1,..., k}, są różniczkowalne na (a, b), to funkcja złożona g F jest różniczkowalna na (a, b), przy czym j n x (a,b) k (g F ) (x) = g x i (F (x))f i (x). i=1 Twierdzenie 3.34 (o pochodnych cząstkowych funkcji złożonej). Niech A R n oraz R k będą zbiorami otwartymi. Załóżmy, że g : R, [f 1, f 2,..., f n ] = F : A R k oraz F [A]. Jeśli funkcja g posiada w ciągłe pochodne cząstkowe g x i dla i {1,..., k}, zaś funkcje f i, gdzie i {1,..., k}, mają w A ciągłe pochodne cząstkowe (f i ) x j dla j {1,..., n}, to funkcja złożona g F ma w A pochodne cząstkowe, przy czym p A j {1,...,n} k (g F ) x j (p) = g x i (F (p))(f i ) x j (p). i=1

3. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH 14 3.7. Funkcja uwikłana. Niech A R 2 będzie zbiorem otwartym. efinicja 3.35. Niech F : A R będzie funkcją ciągłą na A. Każdą funkcję ciągłą f : (a, b) R taką, że dla każdego x (a, b) równanie ( ) F (x, y) = 0, ma rozwiązanie y = f(x) nazywamy funkcją uwikłaną (względem x) wyznaczoną przez równanie ( ). Analogicznie definiujemy funkcję uwikłaną względem y. Twierdzenie 3.36 (o istnieniu i różniczkowalności funkcji uwikłanej). Załóżmy, że funkcja F : A R posiada ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu na pewnym otoczeniu V punktu p 0 = (x 0, y 0 ) takiego, że (1) F (p 0 ) = 0, (2) F y(p 0 ) 0. Wówczas na pewnym otoczeniu U(x 0 ) istnieje jednoznacznie określona funkcja uwikłana f (względem x) spełniająca warunki: a) F (x, f(x)) = 0, x U(x 0 ) b) f(x 0 ) = y 0, c) f (x) = F x(x, f(x)) F y(x, f(x)). x U(x 0 ) Uwaga 3.37. Jeśli ponadto funkcja F posiada ciągłe pochodne cząstkowe drugiego rzędu na otoczeniu V, to funkcja uwikłana f jest dwukrotnie różniczkowalna na U(x 0 ) oraz x U(x 0 ) f (x) = F xx(p)(f y) 2 (p) 2F xy(p)f x(p)f y(p) + F yy(p)(f x) 2 (p), gdzie p =(x, f(x)). (F y) 3 (p) Twierdzenie 3.38 (o ekstremach lokalnych funkcji uwikłanej). Załóżmy, że funkcja F : A R posiada ciągłe pochodne cząstkowe drugiego rzędu na pewnym otoczeniu V punktu p 0 = (x 0, y 0 ) oraz (1) F (p 0 ) = 0, F y(p 0 ) 0, (2) F x(p 0 ) = 0, (3) I(p 0 ) = F xx(p 0 ) F y(p 0 ) 0. Wówczas funkcja uwikłana f wyznaczona przez równanie ( ) posiada w punkcie x 0 ekstremum lokalne o wartości y 0, przy czym jest to minimum lokalne, gdy I(p 0 ) > 0 oraz maksimum lokalne, gdy I(p 0 ) < 0. Uwaga 3.39. Analogiczne twierdzenia zachodzą dla funkcji uwikłanej względem y.

3. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH 15 3.8. Ekstrema warunkowe. Niech A R 2 będzie zbiorem otwartym. efinicja 3.40 (ekstrema warunkowe lokalne). Mówimy, że funkcja f : A R ma w punkcie p 0 A maksimum lokalne z warunkiem g(p) = 0, gdy [g(p) = 0 f(p) f(p 0 )], S(p 0 ) A p S(p 0 ) minimum lokalne z warunkiem g(p) = 0, gdy [g(p) = 0 f(p) f(p 0 )]. S(p 0 ) A p S(p 0 ) Jeśli w powyższych warunkach nierówności i zastąpić odpowiednio przez < i >, to otrzymamy definicje ekstremów lokalnych właściwych. Uwaga 3.41. W podobny sposób definiujemy również ekstrema warunkowe globalne.

4. RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH 16 4. Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych 4.1. efinicja całki podwójnej w sensie Riemanna. Niech I = (a 1, b 1 ) (a 2, b 2 ), gdzie a 1, b 1, a 2, b 2 R oraz a 1 < b 1 i a 2 < b 2. Oznaczenia stosowane w definicji całki podwójnej: Podziałem prostokąta I nazywamy zbiór prostokątów P n = {R i } i n, n N, taki że oraz n I = R i i=1 Int(R i ) Int(R j ) =. i,j {1,2,...,n}, i j Średnicą podziału P n nazywamy liczbę δ(p n ) def = max{δ(r i ) : i {1, 2,..., n}}. Zbiór punktów pośrednich podziału P n : T n = {t i } i n, gdzie i {1,2,...,n} t i R i. efinicja 4.1. Ciąg podziałów (P n ) prostokąta I nazywamy normalnym, gdy lim n δ(p n ) = 0. efinicja 4.2. Niech f : I R będzie funkcją ograniczoną, zaś P n dowolnym podziałem prostokąta I. Sumą całkową odpowiadającą podziałowi P n i zbiorowi punktów pośrednich T n nazywamy liczbę gdzie R i oznacza pole prostokąta R i. S(f, P n, T n ) def = n f(t i ) R i, i=1 efinicja 4.3. Niech f : I R będzie funkcją ograniczoną. Jeśli dla dowolnego normalnego ciągu podziałów (P n ) prostokąta I oraz dowolnego ciągu zbiorów punktów pośrednich (T n ) istnieje właściwa granica lim S(f, P n, T n ) i granica ta nie zależy od sposobu wyboru tych ciągów, n

4. RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH 17 to nazywamy ją całką podwójną w sensie Riemanna z funkcji f na prostokącie I. Zapisujemy f(x, y) dxdy def = lim S(f, P n, T n ) n I i mówimy, że f jest całkowalna w sensie Riemanna na prostokącie I. Uwaga 4.4. efinicja 4.5. Niech R 2 będzie zbiorem ograniczonym, zaś I dowolnym prostokątem zawierającym. Niech f : R będzie funkcją ograniczoną. Mówimy, że f jest całkowalna w sensie Riemanna na zbiorze, jeśli funkcja { f(x, y), (x, y), f (x, y) = 0, (x, y) I \, jest całkowalna w sensie Riemanna na prostokącie I. Uwaga 4.6. Wartość całki f (x, y) dxdy nie zależy od wyboru prostokąta I. Możemy więc przyjąć, że I f(x, y) dxdy def = f (x, y) dxdy. Uwaga 4.7. Niech n N, zaś I n = (a 1, b 1 ) (a 2, b 2 ) (a n, b n ), gdzie a i, b i R oraz a i < b i dla każdego i {1, 2,..., n}. Analogicznie definiujemy całkę n-krotną z funkcji ograniczonej określonej na zbiorze I n, a następnie całkę n-krotną z funkcji ograniczonej określonej na dowolnym ograniczonym zbiorze R n. Uwaga 4.8. Rodzinę funkcji całkowalnych w sensie Riemanna na ograniczonym zbiorze R n oznaczamy przez R(). 4.2. Własności całki podwójnej. Niech R 2 będzie zbiorem ograniczonym. Twierdzenie 4.9 (warunek konieczny całkowalności). Jeśli funkcja f : R jest całkowalna na, to jest na tym zbiorze ograniczona. Twierdzenie 4.10 (liniowość całki Riemanna). Jeśli funkcje f, g R(), to a) f + g R() oraz (f(x, y) + g(x, y)) dxdy = f(x, y) dxdy + g(x, y) dxdy; b) kf R() dla dowolnej liczby k R oraz kf(x, y) dxdy = k I f(x, y) dxdy.

4. RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH 18 Twierdzenie 4.11 (addytywność całki względem obszarów całkowania). Niech = 1 2 oraz Int( 1 ) Int( 2 ) =. Wówczas funkcja f R() wtedy i tylko wtedy, gdy f R( 1 ) R( 2 ), przy czym zachodzi równość f(x, y) dxdy = f(x, y) dxdy + 1 f(x, y) dxdy. 2 Twierdzenie 4.12. Jeśli funkcje f, g R() oraz f(x, y) g(x, y), (x,y) to f(x, y) dxdy g(x, y) dxdy. Twierdzenie 4.13. Jeśli f R(), to f R() oraz f(x, y) dxdy f(x, y) dxdy. Twierdzenie 4.14. Jeśli f R() oraz istnieją liczby m, M R takie, że m f(x, y) M, (x,y) to m f(x, y) dxdy M. Wniosek 4.15. Uwaga 4.16. Analogiczne własności zachodzą dla funkcji n-krotnie całkowalnych określonych na dowolnych ograniczonych zbiorach R n. Twierdzenie 4.17. Jeśli f R() oraz ograniczona funkcja g różni się od funkcji f tylko na zbiorze będącym sumą skończonej ilości łuków zawartych w i będących wykresami ciągłych funkcji y = y(x) lub x = x(y), to g R() oraz g(x, y) dxdy = f(x, y) dxdy.

4. RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH 19 efinicja 4.18. Mówimy, że obszar R 2 jest normalny względem osi Ox, gdy = {(x, y) R 2 : a x b h(x) y g(x)}, gdzie h, g są funkcjami ciągłymi na [a, b] oraz h(x) < g(x) dla każdego x (a, b); normalny względem osi Oy, gdy = {(x, y) R 2 : c y d p(y) x q(y)}, gdzie p, q są funkcjami ciągłymi na [c, d] oraz p(y) < q(y) dla każdego y (c, d); regularny, gdy jest sumą skończonej ilości obszarów normalnych o parami rozłącznych wnętrzach. Twierdzenie 4.19 (warunek wystarczający całkowalności). Jeśli funkcja f : R jest ciągła na regularnym zbiorze, to jest na tym zbiorze całkowalna. Uwaga 4.20. W powyższym twierdzeniu wystarczy założyć, że f jest ciągła na zbiorze z wyjątkiem skończonej ilości łuków zawartych w i będących wykresami ciągłych funkcji y = y(x) lub x = x(y). Twierdzenie 4.21 (całkowe o wartości średniej). Jeśli funkcja f : R jest ciągła na regularnym zbiorze, to f(x 0, y 0 ) = 1 f(x, y) dxdy. Liczbę (x 0,y 0 ) def fśr = 1 f(x, y) dxdy nazywamy wartością średnią funkcji f na zbiorze. 4.3. Metody obliczania całek podwójnych. Twierdzenie 4.22 (o zamianie całki podwójnej na iterowaną). Niech f będzie funkcją ciągłą na zbiorze R 2. Wówczas a) jeśli jest zbiorem normalnym względem osi Ox, to b f(x, y) dxdy = a g(x) h(x) f(x, y)dy dx; b) jeśli jest zbiorem normalnym względem osi Oy, to d q(y) f(x, y) dxdy = f(x, y)dx dy. Wniosek 4.23. c p(y)

4. RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH 20 Twierdzenie 4.24 (o zamianie zmiennych w całce podwójnej). Załóżmy, że (1) R 2 jest obszarem regularnym, (2) funkcje Φ, Ψ posiadają ciągłe pochodne cząstkowe na pewnym zbiorze otwartym U zawierającym, (3) odwzorowanie T = [Φ, Ψ] : U R 2 jest różnowartościowe na zbiorze Int( ), (4) J T (u, v) 0 dla każdego (u, v) Int( ), (5) = T [ ] jest obszarem regularnym, (6) funkcja f : R jest ciągła. Wówczas zachodzi wzór f(x, y) dxdy = f(φ(u, v), Ψ(u, v)) J T (u, v) dudv. efinicja 4.25. Niech p R 2. Parę liczb (r, ϕ) [0, + ) [0, 2π), gdzie r oznacza odległość punktu p od punktu (0, 0), ϕ oznacza miarę kąta między dodatnią półosią Ox a promieniem wodzącym punktu p, nazywamy współrzędnymi biegunowymi punktu p. Uwaga 4.26. Jeśli punkt p ma współrzędne biegunowe (r, ϕ), to jego współrzędne kartezjańskie określone są wzorami: { x = r cos ϕ, y = r sin ϕ. efinicja 4.27. Przekształcenie T B : [0, + ) [0, 2π] R 2 takie, że nazywamy przekształceniem biegunowym. Własności przekształcenia T B : T B (r, ϕ) def = [r cos ϕ, r sin ϕ], Twierdzenie 4.28. Załóżmy, że (1) R 2 jest obszarem regularnym, (2) = T B [ ], (3) funkcja f : R jest ciągła. Wówczas f(x, y) dxdy = f(r cos ϕ, r sin ϕ)r drdϕ.

4. RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH 21 4.4. Metody obliczania całek potrójnych. efinicja 4.29. Mówimy, ze obszar V R 3 jest normalny względem płaszczyzny Oxy, gdy V = {(x, y, z) R 3 : (x, y) xy h(x, y) z g(x, y)}, gdzie h, g są funkcjami ciągłymi na regularnym obszarze xy R 2 oraz h(x, y) < g(x, y) dla każdego (x, y) xy ; normalny względem płaszczyzny Oyz, gdy V = {(x, y, z) R 3 : (y, z) yz p(y, z) x q(y, z)}, gdzie p, q są funkcjami ciągłymi na regularnym obszarze yz R 2 oraz p(y, z) < q(y, z) dla każdego (y, z) yz ; normalny względem płaszczyzny Oxz, gdy......................................... regularny, gdy jest sumą skończonej ilości obszarów normalnych o parami rozłącznych wnętrzach. Twierdzenie 4.30. Jeśli funkcja f : V R jest ciągła, zaś obszar R 3 jest normalny względem płaszczyzny Oxy i określony podobnie jak w definicji 4.29, to g(x,y) f(x, y, z) dxdydz = f(x, y, z) dz dxdy. V xy Analogiczne twierdzenia zachodzą w przypadku, gdy V jest obszarem normalnym względem płaszczyzny Oyz lub Oxz. Wniosek 4.31. h(x,y) Twierdzenie 4.32 (o zamianie zmiennych w całce potrójnej). Załóżmy, że (1) R 3 jest obszarem regularnym, (2) funkcje Φ, Ψ, Γ posiadają ciągłe pochodne cząstkowe na pewnym zbiorze otwartym U, (3) odwzorowanie T = [Φ, Ψ, Γ] : U R 3 jest różnowartościowe na zbiorze Int( ), (4) J T (u, v, t) 0 dla każdego (u, v, t) Int( ), (5) = T [ ] jest obszarem regularnym, (6) funkcja f : R jest ciągła. Wówczas zachodzi wzór f(x, y, z) dxdydz = f(φ(u, v, t), Ψ(u, v, t), Γ(u, v, t)) J T (u, v, t) dudvdt. V

4. RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH 22 efinicja 4.33. Niech p = (z, y, z) R 3. Trójkę liczb (r, ϕ, h) (0, + ) [0, 2π) R, gdzie r oznacza odległość punktu p od punktu (0, 0, 0), ϕ oznacza miarę kąta między dodatnią półosią Ox a promieniem wodzącym punktu p, h = z, nazywamy współrzędnymi walcowymi (cylindrycznymi) punktu p. Uwaga 4.34. Jeśli punkt p ma współrzędne biegunowe (r, ϕ, h), to jego współrzędne kartezjańskie określone są wzorami: x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, z = h. efinicja 4.35. Przekształcenie T W : [0, + ) [0, 2π] R R 3 takie, że nazywamy przekształceniem walcowym. Własności przekształcenia T W : T W (r, ϕ, h) def = [r cos ϕ, r sin ϕ, h] efinicja 4.36. Niech p R 3. Trójkę liczb (r, ϕ, θ) (0, + ) [0, 2π) [ π, π ], gdzie 2 2 r oznacza odległość punktu p od punktu (0, 0, 0), ϕ oznacza miarę kąta między dodatnią półosią Ox a rzutem promienia wodzącego punktu p na płaszczyznę Oxy, θ oznacza miarę kąta między promieniem wodzącym punktu p a płaszczyzną Oxy, nazywamy współrzędnymi sferycznymi punktu p. Uwaga 4.37. Jeśli punkt p ma współrzędne biegunowe (r, ϕ, θ), to jego współrzędne kartezjańskie określone są wzorami: x = r cos ϕ cos θ, y = r sin ϕc cos θ, z = r sin θ. efinicja 4.38. Przekształcenie T S : [0, + ) [0, 2π] [ π 2, π 2 ] R3 takie, że nazywamy przekształceniem sferycznym. Własności przekształcenia T S : T S (r, ϕ, h) def = [r cos ϕ cos θ, r sin ϕ cos θ, r sin θ] 4.5. Zastosowania całek wielokrotnych. Pole obszaru: Jeśli R 2 jest obszarem regularnym, to (P 1) = dxdy.

4. RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH 23 W szczególności, gdy R 2 jest obszarem normalnym względem osi Ox określonym jak w definicji 4.18, to b g(x) b (P 2) = dy dx = (g(x) h(x)) dx. a h(x) Objętość bryły: Jeśli V R 3 jest obszarem regularnym, to (O1) V = dxdydz. V a W szczególności, gdy V jest obszarem normalnym względem płaszczyzny Oxy określonym jak w definicji 4.29, to g(x,y) (O2) V = dz dxdy = (g(x, y) h(x, y))dxdy. xy (O3) xy h(x,y) Jeśli V jest bryłą obrotową powstałą z obrotu dookoła osi Oz trapezu krzywoliniowego = {(x, z) : a x b 0 z f(x)}, gdzie 0 < a < b oraz f : [a, b] jest funkcją ciągłą, to b V = 2π a xf(x) dx. Pole płata: Niech f : R będzie funkcją posiadającą ciągłe pochodne cząstkowe na obszarze regularnym R 2. Wówczas pole płata S będącego wykresem funkcji f wyraża się wzorem: S = 1 + (f x (x, y)) 2 + (f y(x, y)) 2 dxdy. Masa obszaru: Niech σ : R będzie funkcją ciągłą na obszarze regularnym. Wówczas masa m obszaru R 2 o gęstości powierzchniowej masy σ wyraża się wzorem: m = σ(x, y) dxdy. Masa M obszaru R 3 o gęstości objętościowej masy σ wyraża się wzorem: M = σ(x, y, z) dxdydz. Inne zastosowania fizyczne: wyznaczanie momentów statycznych, współrzędnych środka masy, momentów bezwładności, energii kinetycznej i potencjalnej, itd. (Patrz: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 2. efinicje, twierdzenia, wzory.)