3 Szeregi zespolone 3. Szeregi liczbowe Mówimy, że szereg o wyrazach zespolonych jest zbieżny, jeżeli ci ag jego sum czȩściowych {S n }, gdzie S n = z + z +... + jest zbieżny do granicy w laściwej. Granicȩ S = lim S n nazywamy sum a szeregu. Szereg, który nie jest zbieżny, nazywamy rozbieżnym. Niech = x n + jy n, n N. Wówczas szereg zespolony jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżne s a szeregi rzeczywiste x n y n. Zachodzi przy tym jest zbieżny, gdyż jest zbieżny, to Szereg Mówimy, że szereg Jeżeli szereg = n + j 3 n 5 n = x n + j n + j 3 n 5 n ( ) n + j 5 lim = 0. y n. ( ) n 3 = 5 3 + 3 j.
jest zbieżny bezwzglȩdnie, jeżeli szereg jest zbieżny. (kryterium porównawcze) Jeżeli a n dla n n 0 szereg jest zbieżny, to szereg jest zbieżny bezwzglȩdnie. (kryterium d Alemberta) Niech + Wówczas jeśli λ <, to szereg jest zbieżny bezwzglȩdnie, a jeśli λ >, to szereg ten jest rozbieżny. (kryterium Cauchy ego) Niech a n Wówczas jeśli λ <, to szereg n jest zbieżny bezwzglȩdnie, a jeśli λ >, to szereg ten jest rozbieżny. Szereg n(3j ) n jest zbieżny na podstawie kryterium d Alemberta, gdyż (n + )(3j ) n+ 5 n 5 n+ n(3j ) n = = lim (n + )(3j ) 0 5n = n + 0 lim = 5 n 5 5 n <. 3. Szeregi potȩgowe Szeregiem potȩgowym o środku w punkcie z 0 C i wspó lczynnikach c n C, n = 0,,,..., nazywamy szereg postaci
gdzie Promieniem zbieżności szeregu potȩgowego nazywamy liczbȩ rzeczywist a R określon a wzorem 0 gdy λ = R = gdy 0 < λ < λ gdy λ = 0 c n+ c n albo n c n Niech R bȩdzie promieniem zbieżności szeregu potȩgowego. Wtedy zbiór nazywamy ko lem zbieżności tego szeregu. Rozważmy szereg { z C : z z 0 < R } Ponieważ c n =, wiȩc n n n = czyli promień zbieżności tego szeregu wynosi R =, a ko lem zbieżności jest ko lo o środku w punkcie z = 0 i promieniu, czyli z <. Wtedy (Hadamarda) Niech R bȩdzie promieniem zbieżności szeregu potȩgowego n a) jeśli R = 0, to szereg jest zbieżny tylko dla z = z 0 ; b) jeśli 0 < R <, to szereg jest zbieżny bezwzglȩdnie, gdy z z 0 < R, a rozbieżny, gdy z z 0 > R; c) jeśli R =, to szereg jest zbieżny na ca lej p laszczyźnie zespolonej. Uwaga W punktach okrȩgu z z 0 = R szereg może być zbieżny lub rozbieżny. Rozważmy szereg n Pokazaliśmy, że ten szereg jest zbieżny dla z <. Rozważmy punkty leż ace na okrȩgu z =. Można je zapisać w postaci z = e j t, t [0; π]. Szereg liczbowy e nj t n 3
jest zbieżny na podstawie kryterium porównawczego, gdyż e nj t n n szereg jest zbieżny. n Oznacza to, że badany szereg jest zbieżny dla z. 3.3 Szeregi Laurenta Niech dane bȩd a szeregi c n (z z 0 ) n gdzie c n C dla n Z. sumȩ tych szeregów oznaczamy symbolem i nazywamy szeregiem Laurenta o środku w punkcie z 0 i wspó lczynnikach c n. Pierwszy z tych szeregów nazywamy czȩści a regularn a, a drugi czȩści a osobliw a tego szeregu. Mówimy, że szereg Laurenta jest zbieżny, jeśli zarówno szereg stanowi acy jego czȩść regularn a, jak i szereg stanowi acy jego czȩść osobliw a s a zbieżne. Jeśli choć jeden z tych szeregów jest rozbieżny, to mówimy, że szereg Laurenta jest rozbieżny. albo Niech R = lim n c n R = lim c n c n+ Wówczas, jeśli r < R, to szereg Laurenta r = lim r = lim n c n c n c n jest zbieżny w pierścieniu { z C : r < z z 0 < R } i przedstawia w nim funkcjȩ holomorficzn a. Znajdziemy pierścień zbieżności i sumȩ szeregu Laurenta c n 4
jeśli Ponieważ R = c n = lim n n { dla n < 0 dla n 0 n = r = lim wiȩc badany szereg jest zbieżny w pierścieniu < z <. Ponadto n = a zatem = = n z n = ( z ) n = z ( ) n = z = z z z c n = z + z Jeśli funkcja f(z) jest holomorficzna w pierścieniu = z to można j a rozwin ać w szereg Laurenta przy czym P = { z C : r < z z 0 < R } c n = πj C f(ζ) dζ (ζ z 0 ) n+ dla n Z gdzie C jest dowolnym zawartym w pierścieniu P, dodatnio skierowanym okrȩgiem o środku w punkcie z 0. dla każdego z P, to Jeśli c n = πj C f(ζ) dζ (ζ z 0 ) n+ dla n Z gdzie C jest dowolnym zawartym w pierścieniu P, dodatnio skierowanym okrȩgiem o środku w punkcie z 0. Uwaga Wobec powyższego twierdzenia możemy szukać rozwiniȩć funkcji holomorficznych w szereg Laurenta, wykorzystuj ac znane już rozwiniȩcia twierdzenia o szeregach potȩgowych. Jest to z regu ly latwiejsze niż korzystanie z podanych wyżej wzorów na wspó lczynniki. Rozważmy funkcjȩ z 5
Funkcja ta jest holomorficzna na ca lej p laszczyźnie zespolonej z wyj atkiem punktów z = i z =. Wokó l każdego punktu z 0 takiego, że z 0 i z 0 można tȩ funkcjȩ rozwin ać w szereg Laurenta w pierścieniu 0 < z z 0 < R, gdzie R = min{ z 0 +, z 0 } Niech np. z 0 = 0. Rozwiniemy funkcjȩ f w pierścieniu 0 < z <. Zauważmy, że funkcjȩ można roz lożyć na u lamki proste z z + W dalszym ci agu korzystać bȩdziemy ze znanych wzorów na sumȩ ci agu geometrycznego: q n = q q n = q q 0 < q <. Wobec powyższego wzoru mamy dla 0 < z < zatem z = z = z + = ( z) = ( z) n = ( ) n ( ) n = [ + ( ) n ] = [ ( ) n+ ] Zauważmy, że w tym przypadku szereg Laurenta sk lada siȩ tylko z czȩści regularnej, czyli jest po prostu szeregiem potȩgowym. W szereg Laurenta można także rozwin ać tȩ funkcjȩ w takim pierścieniu, dla którego rozwiniȩcie w szereg potȩgowym nie jest możliwe. Podamy przyk lady takich rozwiniȩć: a wiȩc Niech z 0 = 0 < z + <. Wtedy mamy z = (z + ) = z+ = ( ) n z + = (z + n+ )n z + (z + )n n+ czyli dla 0 < z + < szereg Laurenta sk lada siȩ z czȩści regularnej i jednego wyrazu czȩści osobliwej. Niech z 0 = 0 < z <. Wtedy mamy z + = + (z ) = ( z ) = ( ) n (z ) n = n ( ) n (z )n n+ a wiȩc ( ) n n+ (z )n + z 6
czyli dla 0 < z < szereg Laurenta sk lada siȩ z czȩści regularnej i jednego wyrazu czȩści osobliwej. a wiȩc Niech z 0 = < z < 3. Wtedy mamy z + = 3 + (z ) = 3 + z 3 z = (z ) + = z + z = 3 = z ( ) n ( ) n 3 n+ (z )n + 3 n (z ) n = ( ) n (z )n 3n+ ( ) n (z ) = ( ) n+ n (z ) n ( ) n+ (z ) n czyli dla < z < 3 szereg Laurenta sk lada siȩ z czȩści regularnej i osobliwej. a wiȩc Niech teraz z >. Wtedy mamy z + = z + z z = z = z = z ( ) = z z n ( ) n+ = ( z ) n = czyli dla z > szereg Laurenta sk lada siȩ tylko z czȩści osobliwej. ( ) n+ ( ) n+ 7