Prawdopodobieństwo i statystyka

Podobne dokumenty
Statystyka i eksploracja danych

Prawdopodobieństwo i statystyka

Statystyka i eksploracja danych

Prawdopodobieństwo i statystyka

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład

Modelowanie zależności. Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne

Prawdopodobieństwo i statystyka

5 Przegląd najważniejszych rozkładów

Procesy stochastyczne

Prawdopodobieństwo i statystyka

Rachunek Prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne

Procesy stochastyczne

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.

Szkice do zajęć z Przedmiotu Wyrównawczego

Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe

Rozdział 1. Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki. 1.1 Definicja zmiennej losowej

Literatura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III.

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne

Repetytorium z przedmiotu Miara i Prawdopodobieństwo. Adam Jakubowski

Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.

PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA

Rachunek prawdopodobieństwa II

Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe

Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa

Repetytorium z przedmiotu MIARA I PRAWDOPODOBIEŃSTWO dla kierunku Informatyka 2001/2002. Adam Jakubowski

Funkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji 1-go i 2-go rodzaju

Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady

Wartość oczekiwana Mediana i dominanta Wariancja Nierówności związane z momentami. Momenty zmiennych losowych Momenty wektorów losowych

WYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady

Przestrzeń probabilistyczna

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe

12DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych

Prawdopodobieństwo i statystyka

Wykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe.

Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu.

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe

Prawdopodobieństwo i statystyka

Przykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych

1 Elementy kombinatoryki i teorii prawdopodobieństwa

Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015

Rozkłady dwóch zmiennych losowych

1 Zmienne losowe wielowymiarowe.

WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty

Repetytorium z przedmiotu Miara i prawdopodobieństwo dla kierunku Informatyka 2003/2004. Adam Jakubowski

Wykład 11: Martyngały: definicja, twierdzenia o zbieżności

Podstawy metod probabilistycznych. dr Adam Kiersztyn

Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/

Statystyka. Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego

Jednowymiarowa zmienna losowa

Metody probabilistyczne

WYKŁAD 6. Witold Bednorz, Paweł Wolff. Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, Uniwersytet Warszawski. 1 Instytut Matematyki

Dystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5

Statystyka i eksploracja danych

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe

Komputerowa analiza danych doświadczalnych

Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 3

Statystyka i eksploracja danych

WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa

2. P (E) = 1. β B. TSIM W3: Sygnały stochastyczne 1/27

Wykład 3 Momenty zmiennych losowych.

Wykład 3 Momenty zmiennych losowych.

Informacja o przestrzeniach Hilberta

Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA

Matematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/

Prawdopodobieństwo i statystyka

Rozkłady prawdopodobieństwa

Rozkłady łaczne wielu zmiennych losowych

STATYSTYKA MATEMATYCZNA

W2 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie)

KARTA PRZEDMIOTU. Forma prowadzenia zajęć. Odniesienie do efektów dla kierunku studiów K1A_W02

Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie

8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów

1 Wykład 3 Generatory liczb losowych o dowolnych rozkładach.

Proces rezerwy w czasie dyskretnym z losową stopą procentową i losową składką

STATYSTYKA MATEMATYCZNA. rachunek prawdopodobieństwa

PROCESY STOCHASTYCZNE. PEWNE KLASY PROCESÓW STOCHASTYCZNYCH Definicja. Procesem stochastycznym nazywamy rodzinę zmiennych losowych X(t) = X(t, ω)

Rozkłady i ich dystrybuanty 16 marca F X (t) = P (X < t) 0, gdy t 0, F X (t) = 1, gdy t > c, 0, gdy t x 1, 1, gdy t > x 2,

PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek

Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa

Procesy stochastyczne

Rachunek prawdopodobieństwa- wykład 6

Statystyka matematyczna dla leśników

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3.

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych

Zestaw 2: Zmienne losowe. 0, x < 1, 2, 2 x, 1 1 x, 1 x, F 9 (x) =

Definicja 7.4 (Dystrybuanta zmiennej losowej). Dystrybuantą F zmiennej losowej X nazywamy funkcję: Własności dystrybuanty zmiennej losowej:

Prawdopodobieństwo i statystyka

Analiza funkcjonalna 1.

Wykład 1 Próba i populacja. Estymacja parametrów z wykorzystaniem metody bootstrap

Wykład 3 Równania rózniczkowe cd

Procesy Stochastyczne - Zestaw 1

Systemy baz danych. Notatki z wykładu

F t+ := s>t. F s = F t.

Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe

Transkrypt:

Wykład IV: 27 października 2014

Współczynnik korelacji Brak korelacji a niezależność Definicja współczynnika korelacji Współczynnikiem korelacji całkowalnych z kwadratem zmiennych losowych X i Y nazywamy liczbę cov (X, Y ) jeśli D(X ) D(Y ) 0, r(x, Y )(= ρ(x, Y )) = D(X )D(Y ) 1 jeśli D(X ) D(Y ) = 0. Twierdzenie r(x, Y ) = 1 wtedy, i tylko wtedy, gdy istnieją stałe α, β takie, że X = αy + β lub Y = αx + β.

Brak korelacji a niezależność Współczynnik korelacji r(x, Y ) = 0, 013

Brak korelacji a niezależność Współczynnik korelacji r(x 2, Y 2 ) = 0, 035

Brak korelacji a niezależność Współczynnik korelacji r(u, V ) = 0, 127

Brak korelacji a niezależność Współczynnik korelacji r(u 2, V 2 ) = 1

Niezależność zmiennych losowych Brak korelacji a niezależność Definicja niezależności stochastycznej Zmienne losowe X 1, X 2,..., X d są niezależne, jeżeli Ef 1 (X 1 )f 2 (X 2 )... f d (X d ) = Ef 1 (X 1 ) Ef 2 (X 2 )... Ef d (X d ), dla dowolnych funkcji ograniczonych f i takich, że f 1 (X 1 ), f 2 (X 2 ),..., f d (X d ) są zmiennymi losowymi. Uwaga: Jeżeli rodzina {X i } i I jest niezależna, to niezależna jest również każda rodzina postaci {g i (X i )} i I. Definicja Dowolna rodzina zmiennych losowych {X i } i I, określonych na tej samej przestrzeni probabilistycznej, jest niezależna, jeśli dla każdego skończonego podzbioru I 0 I zmienne losowe X i, i I 0 są niezależne.

Niezależność a brak korelacji Brak korelacji a niezależność Twierdzenie (Niezależność pociąga nieskorelowanie) Jeżeli zmienne losowe X i Y są niezależne i całkowalne, to iloczyn XY jest całkowalną zmienną losową i EXY = EX EY. W szczególności niezależne zmienne losowe są nieskorelowane. Uwaga: Bez założenia o niezależności warunek dostateczny dla całkowalności iloczynu XY odwołuje się do nierówności Höldera. Wniosek (Mnożenie wartości oczekiwanych) Niech X 1, X 2,..., X d będą niezależne. Jeżeli funkcje f i sa takie, że f 1 (X 1 ), f 2 (X 2 ),..., f d (X d ) są całkowalnymi zmiennymi losowymi, tj. E f i (X i ) < +, i = 1, 2,..., d, to Ef 1 (X 1 )f 2 (X 2 ) f d (X d ) = Ef 1 (X 1 ) Ef 2 (X 2 ) Ef d (X d ).

Niezależność a rozkład łączny Kryteria niezależności Niezależność zdarzeń Rozkład łączny niezależnych zmiennych losowych Twierdzenie Zmienne losowe X 1, X 2,..., X d są niezależne wtedy, i tylko wtedy, gdy dla dowolnych liczb a 1, a 2,..., a d ma miejsce równość Innymi słowy P(X 1 a 1, X 2 a 2,..., X d a d ) = P(X 1 a 1 )P(X 2 a 2 )... P(X d a d ). F (X1,X 2,...,X d )(a 1, a 2,..., a d ) = F X1 (a 1 ) F X2 (a 2 )... F Xd (a d ), tzn. dystrybuanta rozkładu łącznego niezależnych zmiennych losowych jest iloczynem dystrybuant brzegowych.

Produkt rozkładów Niezależność Niezależność a rozkład łączny Kryteria niezależności Niezależność zdarzeń Definicja Rozkład prawdopodobieństwa µ na R d nazywamy produktem rozkładów µ 1, µ 2,..., µ d na R 1, jeśli dystrybuanta F µ jest iloczynem dystrybuant F µ1, F µ2,..., F µd : F µ (a 1, a 2,..., a d ) = F µ1 (a 1 ) F µ2 (a 2 )... F µd (a d ). Zapisujemy: µ = µ 1 µ 2... µ d. Wniosek Zmienne losowe X 1, X 2,..., X d są niezależne dokładnie wtedy, gdy ich rozkład łączny jest produktem rozkładów brzegowych: P (X1,X 2,...,X d ) = P X1 P X2... P Xd.

Niezależność a rozkład łączny Kryteria niezależności Niezależność zdarzeń Klasyczne prawdopodobieństwo na produkcie Przykład Niech wyniki i-tego eksperymentu będą elementami skończonej przestrzeni Ω i. Połóżmy Ω = Ω 1 Ω 2... Ω d. Niech P będzie klasycznym prawdopodobieństwem na Ω. Wtedy dla dowolnych funkcji f i : Ω i R 1, zmienne losowe są stochastycznie niezależne. X i (ω 1, ω 2,..., ω d ) = f i (ω i ) Uwaga: W tym szczególnym przypadku niezależność stochastyczna pokrywa się z niezależnością funkcyjną (zmienne X i w istocie są funkcjami różnych argumentów). Przewaga niezależności stochastycznej polega na uwolnieniu tej własności od konkretnej przestrzeni funkcyjnej.

Niezależność a rozkład łączny Kryteria niezależności Niezależność zdarzeń Niezależność dyskretnych zmiennych losowych Twierdzenie Niech rozkłady zmiennych X 1, X 2,..., X d będą dyskretne. Zmienne losowe X 1, X 2,..., X d są niezależne dokładnie wtedy, gdy dla dowolnych x 1, x 2,..., x d R 1 ma miejsce związek P(X 1 = x 1, X 2 = x 2,..., X d = x d ) = P(X 1 = x 1 )P(X 2 = x 2 ) P(X d = x d ).

Niezależność a rozkład łączny Kryteria niezależności Niezależność zdarzeń Niezależność absolutnie ciągłych zmiennych losowych Twierdzenie Niech rozkłady zmiennych X 1, X 2,..., X d będą absolutnie ciągłe z gęstościami p 1 (x), p 2 (x),..., p d (x). Zmienne losowe X 1, X 2,..., X d są niezależne dokładnie wtedy, gdy rozkład łączny tych zmiennych jest absolutnie ciągły (tzn. posiada gęstość względem miary Lebesgue a na R d ) i jego gęstość ma postać p X (x 1, x 2,..., x d ) = p 1 (x 1 )p 2 (x 2 ) p d (x d ).

Niezależność zdarzeń Niezależność a rozkład łączny Kryteria niezależności Niezależność zdarzeń Definicja Rodzina zdarzeń {A i } i I F jest niezależna, jeśli dla dowolnego skończonego podzbioru I 0 I ( ) P A i = Π i I0 P(A i ). i I 0 Uwaga: można pokazać, że rodzina zdarzeń jest niezależna, gdy rodzina zmiennych losowych {1I Ai } i I jest niezależna.

Definicja Zmienne losowe {X i } i I są niezależne parami, jeśli dla każdych i, j I, i j, zmienne X i i X j są niezależne. Podobnie, zdarzenia {A i } i I są niezależne parami, jeśli każde dwa zdarzenia A i i A j, i j są niezależne. Zadanie: Podać przykład zdarzeń niezależnych parami, ale zależnych zespołowo (np. przykład Bernsteina).