Systemy baz danych. Notatki z wykładu

Transkrypt

1 Systemy baz danych Notatki z wykładu Notatki własne z wykładu. Są niekompletne, bez bibliografii oraz mogą zawierać błędy i usterki. Z tego powodu niniejszy dokument może być wykorzystywany jedynie do celów własnych, poglądowych, niekomercyjnych. Przedstawione teorie nie mogą być traktowane bezkrytycznie. 1. Relacje 1.1. Pojęcie relacji Definicja (Domena atrybutu). Niech U = {A 1,..., A n } będzie skończonym zbiorem atrybutów A i. Domeną atrybutu A nazywamy zakres wszystkich wartości, jakie przyjmuje ten atrybut, ozn. DOM(A). Definicja (Relacja). Relacją R(U) nazywamy pozbiór iloczynu kartezjańskiego domen atrybutów ze zbioru U: R(U) DOM(A 1 ) DOM(A n ), A i U W praktyce porządek domen nie jest ważny, bo odwołujemy się do atrybutu poprzez jego nazwę. Definicja (Krotka typu U). Krotką typu U nazywamy dowolną funkcję r : U DOM(A) A U 1

2 taką że r(a i ) DOM(A i ), A i U i krótko zapisujemy r(u). Zbiór wszystkich krotek typu U oznaczmy KROT KA(U). Definicja (Wartość prosta, atrybut prosty). Wartość a DOM(A) jest prosta, jeżeli nie jest ona zbiorem ani ciągiem atrybutów należących do A U DOM(A). Atrybut A U nazywamy atrybutem prostym, jeżeli wszystkie jego wartości są proste. Od tej chwili zakładamy, że wszystkie atrybuty są proste. Definicja (1PN). Mówimy, że relacja R(U) jest znormalizowana, lub że jest w pierwszej postaci normalnej (ozn. 1PN), jeżeli każdy atrybut A U jest atrybutem prostym Operacje na krotkach Niech r będzie krotką typu U. Definicja (Ograniczenie krotki). Niech X U. Krotkę r[x] nazywamy ograniczeniem krotki r do zbioru X, gdy dla wszystkich atrybutów A X wartości tych krotek są równe. Definicja (Złączenie krotek). Weźmy X, Y U i krotki r(x), s(y ). Złączeniem krotek r i s nazywamy krotkę t(x Y ), taką że t[x] = r oraz t[y ] = s i oznaczamy r s. Uwaga Złączenie krotek jest przemienne i łączne Operacje na relacjach Definicja (Suma relacji). R(U) S(U) = {t KROT KA(U) : t R(U) t S(U)} Definicja (Różnica relacji). R(U) \ S(U) = {t KROT KA(U) : t R(U) t / S(U)} 2

3 Definicja (Iloczyn relacji). R(U) S(U) = {t KROT KA(U) : t R(U) t S(U)} Definicja (Dopełnienie relacji). R(U) = {t KROT KA(U) : t / R(U)} Dopełnienie jest dobrze zdefiniowane, gdy KROT KA(U) jest zbiorem skończonym. Definicja (Projekcja). Niech R(U) i X U. Relację R[X] nazywamy projekcją (rzutem) relacji R na zbiór atrybutów X, gdy R[X] = {t KROT KA(X) : r R r[x] = t} Definicja (Selekcja). Niech A, B U, v A U DOM(A) (wartość pewnego atrybutu) i niech Θ będzie zbiorem pewnych relacji. Elementarnym warunkiem selekcji nazywamy wyrażenie logiczne AθB lub Aθv gdzie θ Θ. Warunek selekcji definiujemy następująco. Każdy elementalny warunek selekcji jest warunkiem selekcji; ponadto jeżeli E, E są warunkami selekcji to E E, E E i E też są warunkami selekcji. Relację T (U) nazywamy selekcją relacji R(U) z warunkiem selekcji E, gdy jest ona zbiorem tylko tych krotek, które spełniają warunek selekcji. Definicja (Złączenie relacji). R S = {t KROT KA(R S) : t[x] R t[y ] S} Uwaga Złączenie relacji jest przemienne i łączne Zależności funkcyjne W kontekście zależności fukncyjnych rodzinę atrybutów {A, B} będziemy krótko oznaczać AB, a nawet {A} jako A. Definicja (Zależności funkcyjne). Niech X, Y U będą rodzinami atrybutów. Mówimy, że w relacji R(U) zachodzi zależność funkcyjna X Y, gdy dla każdych dwóch krotek r 1, r 2 R zachodzi r 1 [X] = r 2 [X] = r 1 [Y ] = r 2 [Y ] 3

4 Definicja (Dopełnienie zbioru zależności funkcyjnych). Niech F {X Y : X, Y U} będzie zbiorem zależności funkcyjnych. Przez F + oznaczamy najmniejszy zbiór zależności fukncyjnych, który zawiera F oraz jest zamknięty na aksjomaty Armstronga: (F1) Y X = X Y F + (pseudozwrotność) (F2) X Y F + = XZ Y Z F + (poszerzalność) (F3) X Y F + Y Z F + = X Z F + (przechodniość) Twierdzenie Układ aksjomatów Armstronga jest niesprzeczny oraz zupełny. Wniosek Można wyprowadzić z aksjomatów Armstronga następujące zależności: (F4) X Y F + Y W X F + = XW Z F + (pseudoprzechodniość) (F5) X Y F + X Z F + = X Y Z F + (addytywność) (F6) X Y Z F + = X Y F + X Z F + (dekompozycyjność) + (F 2) Dowód. (F4) X Y F XW Y W F + oraz Y W Z F + (z założenia). Stąd z (F3) XW Z F +. (F5) Z poszerzalności mamy XX = X Y X F + oraz XY ZY F +. Stąd na podstawie (F3) X Y Z F +. (F6) Ze zwrotności mamy Y Z Y F + oraz Z Z F +. Skoro X Y Z F + to z przechodniości otrzymujemy X Y F + oraz X Z F +. Definicja (Minimalny generator zależności funkcyjnych). Niech F 0 F będzie takim podzbiorem, że F + 0 = F +. Wówczas najmniejszy zbiór F 0 nazywamy minimalnym generatorem zależności funkcyjnych w F. Jeżeli F 0 jest minimalnym generatorem z lewymi stronami zależności funkcyjnych o mocy 1 to nazywamy go minimalnym zredukowanym generatorem zależności funkcyjnych w F. Definicja (Domknięcie zbioru atrybutów). Niech X U. Domknięciem zbioru atrybutów X nazywamy zbiór X + = {A U : X A F + } Wniosek ) X X + (wynika z F1) 2) (X + ) + = X + 3) X Y = X + Y + 4

5 Twierdzenie Niech X, Y U. Wtedy X Y F + Y X + Dowód. ( ) Y = {A 1,..., A n } X + U. Z definicji X + : X A i F +. Z (F5) mamy X A 1 A 2... A n F +. Stąd X Y F +. ( ) Załóżmy, że X Y F +. Y = A 1,..., A n, więc z (F1): Y A i F +. Teraz (F3): X A i F +. Z definicji X + mamy A i X +, czyli Y = A i X +. Stąd Y X Schematy relacyjne Definicja (Schemat relacyjny). Niech F będzie zbiorem zależności funkcyjnych nad U. Parę R = (U, F ) nazywamy schematem relacyjnym nad U ze zbiorem zależności funkcyjnych F. Definicja (Instancja schematu). Relację R(U) nazywamy instancją (przypadkiem) schematu R = (U, F ) jeżeli zachodzi w niej każda zależność funkcyjna z F. Zbiór wszystkich instancji schematu R oznaczamy IN ST (R). Definicja (Projekcja schematu). Niech X U. Schemat R[X] = (X, G) nazywamy projekcją (rzutem) schematu R na zbiór atrybutów X, jeżeli G + = {Y Z F + : Y Z X} + Definicja (Złączenie schematów). Niech R = (X, F ), S = (Y, G). Schemat T = (X Y, (F G) + ) nazywamy złączeniem schematów relacyjnych Rozkładalność schematów relacyjnych Definicja (Rozkładalność bez straty danych). Mówimy, że schemat R jest rozkładalny bez straty danych na schematy R[X] i R[Y ], gdy 1) X Y = U 2) R INST (R) R = R[X] R[Y ] 5

6 Twierdzenie Jeśli X Y F + to schemat relacyjny R jest rozkładalny bez straty danych na schematy R[XY ] oraz R[XZ], gdzie XY Z = U, Y Z =. Natomiast jeśli schemat relacyjny R jest rozkładalny bez straty danych na schematy R[XY ] i R[XZ] (gdzie XY Z = U, Y Z = ) to X Y F + lub X Z F +. Definicja (Rozkładalność bez straty zależności funkcyjnych). Mówimy, że schemat relacyjny R = (U, F ) jest rozkładalny bez straty zależności funkcyjnych na schematy R 1 = (X, G) oraz R 2 = (Y, H) gdy 1) X Y = U 2) (G H) + = F + Definicja (Rozkładalność bez straty danych i zależności funkcyjnych). Mówimy, że schemat relacyjny R = (U, F ) jest rozkładalny bez straty danych i zależności funkcyjnych na schematy S = (X, G) oraz T = (Y, H) gdy 1) X Y = U 2) (G H) + = F + 3) R INST (R) = R[X] R[Y ] = R Taki rozkład nazywamy rozkładem na składowe niezależne. Twierdzenie Niech X, y U oraz X, Y mają niepusty przekrój. Projekcje S = R[X] = (X, G), T = R[Y ] = (Y, H) są niezależnymi składowym schematu R wtedy i tylko wtedy gdy 1) X Y = U 2) F + = (G H) + 3) X Y X F + lub X Y Y F Normalizacja schematów relacyjnych 2.1. Pojęcie klucza Definicja (Klucz schematu). Zbiór atrybutów K U nazywamy kluczem schematu R gdy 1) K U F + 2) X U F + = X nie jest podzbiorem właściwym zbioru K (minimalność). W literaturze klucz nazywa się często kluczem kandydującym. Definicja (Nadklucz). Każdy zbiór, który zawiera klucz, np. ABK. 6

7 2.2. Sprowadzanie schematów relacyjnych do 2PN Definicja (Pełna zależność funkcyjna). Niech X, Y U, X Y =. Mówimy, że Y jest w pełni zależny od X jeżeli X Y F i nie jest zależny od żadnego właściwiego podzbioru X (zmniejszenie X spowoduje utratę zależności). Definicja (2PN). Mówimy, że schemat R jest w drugiej postaci normalnej (2PN) jeżeli każdy niekluczowy atrybut A U jest w pełni funkcyjnie zależny od każdego klucza tego schematu. Uwaga Jeżeli w schemacie istnieje tylko jeden klucz lub nie ma atrybutów niekluczowych to schemat jest już w 2PN. Uwaga (Algorytm sprowadzania do 2PN). Jeśli istnieje klucz K U, że dla pewnego K K i X U zachodzi K X F + to rozłóż schemat na dwa rzuty: R 1 = R[U 1 ] = (U 1, F 1 ), R 2 = R[U 2 ] = (U 2, F 2 ) gdzie U 1 = K X, U 2 = K (U \ X) oraz F 1, F 2 są generatorami zależności funkcyjnych w tych schematach. Wykonaj algorytm ponownie dla powstałych składowych. Otrzymany rozkład nie jest jednoznacznie określony. Staramy się rozkładać na możliwie najmniejszą liczbę składowych Trzecia postać normalna Definicja (Zależność tranzytywna). Niech A B F + i B C F +. Mówimy, że zbiór atrybutów C jest tranzytywnie zależny od A jeżeli A nie jest zależne ani od B ani od C. Definicja (3PN). Mówimy, że schemat R jest w trzeciej postaci normalnej (3PN) jeżeli jest w 2PN oraz żaden atrybut niekluczowy nie jest tranzytywnie zależny od klucza. Uwaga Jeżeli w schemacie nie ma atrybutów niekluczowych to schemat jest już w 3PN. Uwaga (Sprowadzanie schematu do 3PN). Niech K będzie kluczem schematu R i niech istnieje tranzytywna zależność K X Y (tzn. nie istnieje zależność funkcyjna X K). Aby rozłożyć schemat na składowe będące w 3PN należy rozkładać go, podobnie jak poprzednio, lecz względem zależności X Y. Jeśli składowe nie są w 3PN, rozkładamy je ponownie. 7

8 2.4. Postać normalna Boyce a-codda Definicja (BCNF). Mówimy, że schemat R jest w postaci normalnej Boyce a-codda, jeżeli dla każdej zależności funkcyjnej X Y (gdzie Y nie zawiera się w X) prawdą jest, że X jest kluczem lub nadkluczem. Uwaga Jeśli schemat jest w BCNF to jest w 3PN. Uwaga (Sprowadzanie schematu do BCNF). Jeśli w schemacie relacyjnym istnieje zależność funkcyjna X Y i X nie jest kluczem ani nadkluczem, należy rozkładać go na składowe, podobnie jak poprzednio, lecz względem tej zależności. Jeśli składowe nie są w BCNF, rozkładamy je ponownie Czwarta postać normalna Definicja (Zależność wielowartościowa). Niech R będzie instancją schematu R, atrybuty X, Y, Z U, XY Z = U oraz krotki x R[X], y, y R[Y ], z, z R[Z]. Mówimy, że zachodzi zależność wielowartościowa z X do Y (ozn. X Y ) jeżeli z tego, że wynika x y z R x y z R x y z R x y z R Zależność wielowartościową X Y nazywamy trywialną, gdy XY = U. Uwaga Zależność funkcyjna X Y pociąga za sobą zależność wielowartościową X Y. Definicja (4PN). Mówimy, że schemat R jest w czwartej postaci normalnej, jeżeli każda nietrywialna zależność wielowartościowa wynika z klucza lub nadklucza. Uwaga (Sprowadzanie schematu do 4PN). Jeśli w schemacie relacyjnym istnieje zależność wielowartościowa X Y która nie wynika z klucza ani nadklucza i jeśli istnieje zależność funkcyjna X Y, należy rozkładać schemat na składowe, podobnie jak poprzednio, lecz względem tej zależności. Jeśli składowe nie są w 4PN, rozkładamy je ponownie. 8