6. ZWIĄZKI FIZYCZN 1 6. 6. ZWIĄZKI FIZYCZN 6.1. Wstęp Aby rozwiązać jakiekolwiek zadanie mechaniki ośrodka ciągłego musimy dysponować 15 niezależnymi równaniami, gdyż tyle mamy niewiadomych: trzy składowe wektora przemieszczenia u sześć składowych tensora naprężeń s sześć składowych tensora odkształceń e Znamy już dziewięć równań: trzy równanie różniczkowe równowagi Naviera (związki między naprężeniami) sześć równań geometrycznych Cauchy'ego (związki między odkształceniem a przemieszczeniem) Ostatnie sześć brakujących równań to równania fizyczne zwane także konstytutywnymi lub uogólnionym prawem Hooke'a 6.2. Wyprowadzenie Założenia: związki fizyczne są niezależna od czasu i warunków zewnętrznych, czyli zależności dla każdej chwili i każdej temperatury są takie same zależność s (e) jest liniowa ciała zachowują się sprężyście tzn. s i e zanikają po usunięciu przyczyny Najogólniejszą postać związków fizycznych wiążących ze sobą wartości tensorów naprężenia i odkształcenia, w przypadku trójwymiarowym, w ciałach materialnych zarówno izotropowych jak i anizotropowych liniowo sprężystych można przedstawić następująco: f (6.1) Wskaźnikowo: C ijkl (6.2) Gdzie i, j, k, l,2,3 Tensor C ijkl o walencji 4 nazywamy tensorem sprężystości (sztywności) stałych materiałowych. Tensor ten dla ciał izotropowych jest tensorem izotropowym zatem można go zapisać w następującej postaci:
6. ZWIĄZKI FIZYCZN 2 ik il (6.3) Gdzie i, j, k, l 1, 2, 3; l, m, k -dowolne stałe Jeżeli s ij i e kl są symetryczne to C ijkl również jest symetryczny: C ijkl C jikl (6.4) wykorzystując równanie (6.3) otrzymamy: Zatem: ik il C jilk ji il ik ik il ji il ik Po uporządkowaniu: Równanie to jest spełnione gdy: ik il 0 ik il 0 a) 0 lub b) ik il 0 c) Dla dowolnej kombinacji wskaźników warunek b) nie zawsze będzie spełniony zatem: Uwzględniając warunek (6.5) w równaniu (6.3) otrzymamy: 0 (6.5) ik il (6.6) Podstawiając wyrażenie (6.6) do (6.2) dostaniemy: ik il (6.7) Zauważmy, że: 1) 0 gdy lk, wtedy kk 2) ik 0 gdy ki oraz lj, wtedy ik 3) il 0 gdy kj oraz li, wtedy il ji
6. ZWIĄZKI FIZYCZN 3 4) ji Stąd po podstawieniu tych warunków do (6.7) otrzymamy: 2 kk (6.8) Wzór (6.8) przedstawia skrócony zapis równań fizycznych wiążących ze sobą wartości tensorów naprężenia i odkształcenia w przypadku trójwymiarowym (dla dowolnych osi), w ciałach materialnych izotropowych, liniowo-sprężystych bez uwzględnienia temperatury i czasu. Stałe m i l to tzw. Stałe Lamego. W uzyskanym równaniu fizycznym naprężenia zostały wyrażone przez odkształcenia. Doprowadźmy do zależności odwrotnej. Przyjmijmy ijk: 2 kk kk 2 kk kk kk kk kk 2 3 Wówczas: kk kk 2 3 (6.9) Podstawmy (6.9) do (6.8) kk 2 2 3 Po przekształceniach: 2 ij 22 3 kk ij (6.10) Przyjmując: 4 22 3 Otrzymamy wzór na e ij analogiczny do wzoru na s ij :
6. ZWIĄZKI FIZYCZN 4 2 kk (6.11) Wprowadzamy stałe materiałowe: moduł Younga (sprężystości) G moduł Kirchoffa (Ścinania, odkształcenia postaciowego) n - współczynnik Poissona G 21 (6.12) 1 1 2 Po podstawieniu (6.12) i (6.13) do (6.8) uzyskamy związki fizyczne w postaci : 2G 2G 1 2 2G [ kk ij ij 1 2 ] kk ij 1 [ 1 2 kk ] Po rozpisaniu względem wskaźników i, j, k,2,3 otrzymamy: 11 1 [ 11 1 2 11 22 33 ], 12 1 122G 12 22 1 [ 22 1 2 11 22 33 ], 13 1 132G 13 33 1 [ 33 1 2 11 22 33 ], 23 1 232G 23 (6.13) (6.14) (6.15) 4 G 1 2 (6.16) (6.17) Po podstawieniu (6.16) i (6.17) do (6.11) uzyskamy związki fizyczne w postaci :
6. ZWIĄZKI FIZYCZN 5 2 1 4 G 1 2G 1 kk 2G [ 1 kk ] [ 1 kk ] (6.18) Po rozpisaniu względem wskaźników i, j, k,2,3 otrzymamy: 11 [ 11 1 11 22 33 ] [ 11 1 11 22 33 ] [ 11 22 33 ], 22 [ 22 11 33], 2G 33 [ 33 11 22 ], 12 12 12 2G 13 12 13 23 12 23 2G (6.19) Do opisu stanu w punkcie mamy: 1) ji, j p i 0-3 równania Naviera 6.3. Podsumowanie 2) 2 u i, ju j,i - 6 równań geometrycznych 3) 2 kk - 6 równań fizycznych Jest to pełen komplet równań potrzebnych do opisu 15 niewiadomych.