Bank i Kredy 45(5), 04, 433 466 Modelowanie sysemów skoinegrowanych. Aspeky eoreyczne Michał Majserek Nadesłany: 30 kwienia 04 r. Zaakcepowany: 3 września 04 r. Sreszczenie Analiza ekonomeryczna w przypadku zmiennych niesacjonarnych wymaga zasosowania nieklasycznych echnik, w przeciwnym bowiem przypadku nasępuje idenyfikacja regresji pozornych, uraa pożądanych właściwości przez esymaor paramerów czy ograniczenie możliwości ekonomicznej inerpreacji orzymanych wyników. Część prezenowanych sposobów analizy weszła już do kanonu ekonomerii, niekóre jednak, zwłaszcza echniki esymacji i weryfikacji hipoez w dziedzinie I(), ciągle jeszcze zaliczane są do niesandardowych. W arykule pokazano sandardowe kaegorie ekonomiczne, jak eż zasoby i srumienie w konekście jedno- i wielowymiarowej analizy koinegracyjnej. Klasyczny podział na zasoby i srumienie okazuje się niewysarczający, zwłaszcza w przypadku analizy zmiennych I(). Słowa kluczowe: niesacjonarność, koinegracja, VECM, zasoby, srumienie JEL: C0 C3 C5 * Uniwersye Łódzki, Kaedra Modeli i Prognoz Ekonomerycznych; e-mail: emfmim@uni.lodz.pl.
434 M. Majserek. Wsęp Prawie cała sandardowa wiedza ekonomeryczna, w szczególności meody weryfikacji hipoez saysycznych, przez wiele la opierały się na przyjmowanym implicie (lub ignorowanym) założeniu, że procesy sochasyczne generujące zmienne są sacjonarne. Konsekwencje niesacjonarności (w niniejszym arykule uożsamianej z przyrososacjonarnością, j. zinegrowaniem) dla saysycznej oceny modelu są poważne. Można wykazać (Engle, Granger 99), że sandardowo liczona saysyka, używana zazwyczaj jako sprawdzian w esach isoności, nie ma w przypadku zmiennych niesacjonarnych rozkładu Sudena, ma naomias rozkład skośny, a więc asympoycznie niezbieżny do normalnego. Prawdziwe warości ego rozkładu są co do modułu znacznie większe od klasycznych warości kryycznych esu Sudena. Posługiwanie się ymi osanimi częso prowadzi więc do idenyfikacji zw. regresji pozornych (szerzej: Granger, Newbold 974, w lieraurze polskojęzycznej szerzej mechanizm regresji pozornej omawiali Kufel 00 oraz Majserek 008, rozdział ). Wynika o sąd, że jeżeli warość saysyki esowej znajdzie się pomiędzy warością prawdziwą a nominalną (wzięą z ablic rozkładu Sudena), o wówczas mylnie będzie zakwalifikowana do obszaru odrzucenia hipoezy zerowej, a więc powierdzona zosanie (pozbawiona uzasadnienia saysycznego) relacja przyczynowo-skukowa pomiędzy zmiennymi. Niesacjonarność kórejkolwiek ze zmiennych może eż (jeżeli między zmiennymi nie zachodzi współzinegrowanie) spowodować niesacjonarność składnika losowego, a co za ym idzie niezgodność esymaorów paramerów. W przypadku procesu niesacjonarnego wariancja składnika losowego ma bowiem endencję wzrosową. Celem pracy jes usysemayzowanie eoreycznych aspeków modelowania ekonomerycznego w przypadku niesacjonarności procesów sochasycznych generujących zmienne wykorzysane w modelu. Jeszcze ćwierć wieku emu zjawisko koinegracji znane było nielicznym (Granger 98; Engle, Granger 987). W Polsce podwaliny ej dyscypliny sworzyli Blangiewicz i Charemza (990). Lieraura doycząca analizy koinegracyjnej jes obecnie bardzo bogaa, a wspomniana gałąź ekonomerii dzieli się na jeszcze bardziej szczegółowe subdyscypliny. Nie sposób w jednym, nawe obszernym arykule omówić wszyskiego. Z konieczności w niniejszej publikacji ograniczono się więc do klasycznej koinegracji koncenrującej się na próbie czasowej. Ponado założono, że główną formą niesacjonarności jes zw. przyrososacjonarność (sacjonarność wokół rendu sochasycznego), przy czym wyklucza się procesy eksplodujące oraz koinegrację sezonową (szeroko zagadnienie o omawia Kołowski 006). Pomija się koinegrację ułamkową (w Polsce opisują o m.in. Kwiakowski i Osiewalski 00 oraz Syczewska 00). Nie przekroczono próbkowego paradygmau modelowania ekonomerycznego, w związku z czym pominięo dynamicznie rozwijające się w osanich laach bayesowskie podejście w badaniu koinegracji, zwłaszcza w esowaniu hipoez (szerokie omówienie w pracach Domańskiego i Pruskiej 000, Osiewalskiego 00 oraz Szredera 994). Nie będą podjęe również kwesie związane z koinegracją ze zmiennymi ucięymi (ang. runcaed variable) lub cenzurowanymi (por. Charemza, Majerowska 000; Grabowski 006). W arykule nieobecne są akże aspeky prognosyczne kluczowe z aplikacyjnego punku widzenia (por. Piłaowska 003). Jak wskazuje yuł, arykuł ma charaker eoreyczny. Przykładów zasosowania klasycznej (w sensie zdefiniowanym powyżej) analizy koinegracyjnej, również w odniesieniu do polskiej gospodarki jes już jednak bardzo wiele. Coraz częssze są również bardziej zaawansowane analizy. Przykładowo, pełną wielowymiarową analizę koinegracyjną I() sosują (z nakładaniem odpowiednich resrykcji oraz
Modelowanie sysemów skoinegrowanych... 435 z uwzględnieniem związków koinegracji wielomianowej) Juselius (999; 004), Juselius i Vuojosevic (003), Rahbek, Jorgensen i Kongsed (999), a w odniesieniu do gospodarki polskiej (bez relacji koinegracji wielomianowej: Vosroknuova (003), Kelm (03) oraz Majserek i Welfe 03b). Srukura arykułu jes nasępująca. W części drugiej omawiane są saysyczne i ekonomiczne konsekwencje niesacjonarności procesów generujących zmienne oraz meody esowania niesacjonarności. Skoncenrowano się na procesach z długą pamięcią, a więc zw. przyrososacjonarności. W części rzeciej rozważane jes skoinegrowanie procesów generujących zmienne, zarówno w przypadku jedno-, jak i wielowymiarowym. Wyróżniono przypadek, gdy w modelu wysępują zmienne I(). Pokazane zosały meody esymacji paramerów relacji koinegracyjnych, a akże esowania wymiaru przesrzeni koinegracyjnej oraz (przez dopełnienie) przesrzeni wspólnych rendów sochasycznych. W części czwarej skupiono się na ekonomicznej sronie zagadnienia. W szczególności wcześniej przeprowadzona analiza rozparywana jes w ogólnie znanym konekście zasobów i srumieni. Na określenie kaegorii sacjonarnych w dziedzinie I(0) zaproponowano kaegorię akceleranów (przyrososrumieni). Rozważania w ej części ponownie doyczą zarówno zależności dośrodkowych (równowagi), jak i odśrodkowych szoków sochasycznych. Osanią część arykułu sanowi krókie podsumowanie.. Niesacjonarność procesów generujących zmienne Proces sochasyczny jes sacjonarny (Banerjee i in. 993), jeśli łączny rozkład zmiennych losowych jes sały, zn. dla każdego podzbioru (,, 3,... ) zbioru oraz dowolnego, całkowiego h akiego, że i +h, i=,...,, łączny rozkład zmiennych losowych jes sały. Po przełożeniu ej zmaemayzowanej definicji na język ekonomiczny oznacza o, że proces sochaysyczny sacjonarny jes ciągiem akich samych zmiennych losowych. Założenie o jes bardzo resrykcyjne (a przez o rudne do spełnienia), w dodaku z ekonomicznego punku widzenia wysarczy analiza dwóch pierwszych momenów rozkładów wspomnianych zmiennych losowych. Definiuje się więc zw. sacjonarność słabą, kóra wymaga jedynie sałości dwóch pierwszych momenów (ang. weak saionariy, second order saionariy, covariance saionariy): E E( Y ) = E( Y ) = μ < i i + h (a) E( Y μ) = E[( Y μ) ] = < i i + h σ (b) μ)( Y μ) E[( Y μ)( Y μ)] = cov( Y, Y < (c) ( Y = ) i j i + h j + h i j Dla rozkładów normalnych słaba sacjonarność jes równoznaczna ze ścisłą, gdyż sałość dwóch pierwszych momenów implikuje, w przypadku rozkładów gaussowskich, sałość wszyskich momenów wyższego rzędu. Proces sochasyczny, kóry nie spełnia kóregokolwiek z warunków (a) (c), jes procesem niesacjonarnym. Waro zwrócić uwagę, że w świele przedsawionej definicji zdecydowana większość kaegorii ekonomicznych jes niesacjonarna, co jes przyczyną wspomnianej niekonkluzywności sandardowej analizy ekonomerycznej. Niezależnie od rudności, jakie pociąga za sobą analiza z użyciem zmiennych generowanych przez procesy niesacjonarne (w skrócie: zmiennych niesacjonarnych), niesacjonarności procesów socha-
436 M. Majserek sycznych nie należy posrzegać negaywnie. Oznacza bowiem rozwój, podczas gdy sacjonarność marazm (wszelkie szoki innowacyjne w życiu społecznym, ekonomicznym mają przejściowy, a więc nierwały charaker). Przypadek, gdy zmiany mają charaker nieprzypadkowy, oznacza isnienie deerminisycznej endencji rozwojowej, kóra powoduje, że warość oczekiwana procesu generującego zmienną jes zmienna w czasie. Jes o zw. rendosacjonarność (ang. rend saionariy, S). Przykładem zmiennej sacjonarnej wokół rendu deerminisycznego jes klasyczna zmienna czasowa, kóra częso pełni funkcję aproksymany posępu echniczno-ekonomicznego. Oznacza o, że szoki nasilające ę endencję (rosnącą, ale w odniesieniu do niekórych zmiennych: malejącą) mają charaker przejściowy. rend deerminisyczny może dobrze opisywać dynamikę zmiennej, jednak za jego pomocą nie można wyjaśnić mechanizmów zmian. Przypadek en nie wydaje się zby ineresujący w konekście analizy poliyki gospodarczej. Znacznie ciekawsza inerpreacyjnie jes przyrososacjonarność (ang. difference s aionariy, DS), kóra wysępuje, gdy niesałe w czasie są drugie momeny rozkładu. Oznacza o, że wprawdzie w procesie generującym zmienną nie ma zdeerminowanej endencji do zmian (oczekiwane jes zachowanie saus quo), ale pamięć (wrażliwość) zmiennej na szoki sochasyczne jes nieporównywalnie dłuższa niż w przypadku procesów o sałej wariancji. Oznacza o, że choć na poziomie warości oczekiwanej nie ma endencji do zmian, o jednak pojedynczy szok może być pierwszym impulsem zw. rendu sochasycznego, kóry może wyrwać zmienną ze sanu równowagi. Wprawdzie wpływ ego szoku usanie w długim (lub bardzo długim) okresie, ale w przypadku próby o sandardowym horyzoncie zmienne rendosacjonarne mogą być rudne do odróżnienia od kaegorii przyrososacjonarnych. akie wyodrębnienie nie musi eż być niezbędne z punku widzenia esymacji lub prognozy o niezby długim horyzoncie. Należy ylko pamięać, że w przypadku zmiennej przyrososacjonarnej można się liczyć z ym, że w każdej chwili wysąpi kolejny szok sochasyczny, kóry może nasilić lub odwrócić doychczasowy rend sochasyczny. Z punku widzenia analizy ekonomicznej przypadek en jes jednak znacznie ciekawszy inerpreacyjnie. Wydaje się również, że nie będzie błędem rakowanie rendu deerminisycznego jako szczególnego przypadku rendu sochasycznego (czyli przy założeniu niezmienniczości kierunku szoku). Wnioski ekonomiczne mogą być ciekawsze. Przykładowo, dezinflację mającą miejsce w laach 90. oraz na począku bieżącego sulecia można rakować jako endencję (i w próbie obejmującej ylko e laa byłoby o prawidłowe). Ciekawiej jednak inerpreować ją jako wynik szoku sochasycznego rwale oddziałującego na inflację (w kierunku jej obniżenia). Właśnie aka analiza pozwala idenyfikować źródła szoków. Koncenrując uwagę na niesacjonarności w sensie rendów sochasycznych, waro zdefiniować procesy zinegrowane. Wiele szeregów saysycznych można uczynić sacjonarnymi, używając nieskomplikowanych filrów sacjonaryzujących, z kórych szczególną popularnością cieszy się filr różnicowy. W przypadku użycia ego operaora proces wyjściowy saje się procesem sumacyjnym (zinegrowanym) w sosunku do procesu spełniającego warunki sacjonarności, o sopniu inegracji równym liczbie powórzeń operacji różnicowania koniecznych do osiągnięcia sacjonarności. Proces generujący szereg saysyczny y nazywa się zinegrowanym w sopniu d, jeśli daje się przedsawić jako sacjonarny, odwracalny, niedeerminisyczny proces ARMA po d-kronym zróżnicowaniu (Engle, Granger 987). Dla uproszczenia definicji zmienna y jes zinegrowana w sopniu d, jeśli jej d-a różnica jes sacjonarna, naomias różnica (d ) jeszcze nie. Zwyczajowo szereg zinegrowany w danym sopniu d oznacza się: y ~ I(d). W szczególnym przypadku y ~ I(0) oznacza szereg generowany przez proces sacjonarny.
Modelowanie sysemów skoinegrowanych... 437 W klasycznej lieraurze przedmiou (np. Engle, Granger 987) przez laa koncenrowano się na porównaniu szeregów I(0) oraz I(). W osanim ćwierćwieczu coraz popularniejsza jes jednak analiza procesów I(). W rzeczywisości gospodarczej bardzo rzadko spoyka się procesy I(3), dlaego nie poświęca się im zby wiele uwagi (zarys modelu I(3) przedsawia Majserek 008, podrozdział 3.). Wykorzysanie operaorów opóźnień i uznanie procesu białego szumu za modelowy przykład procesu sacjonarnego I(0) prowadzi do nasępujących wniosków. Po pierwsze, najczysszym procesem I() jes popularny m.in. w analizie i prognozowaniu rynków finansowych (Makridakis, Wheelwrigh 989), proces błądzenia losowego (ang. random walk): y ε = y + () gdzie składnik losowy jes białym szumem. Jego rozwiązaniem względem białoszumowych szoków jes bowiem: y = ε j (3) j= 0 Wynika z ego, że zmienna o ej posaci kumuluje w sobie wszyskie zakłócenia z przeszłości, a więc worzy się rend sochasyczny. Ze wzoru () wynika eż, że sacjonarne są pierwsze różnice błądzenia losowego. Przez analogię proces I() oznacza: gdzie składnik losowy jes białym szumem. y + ε = y (4) Jego rozwiązaniem względem białoszumowych szoków jes bowiem: lub: y = ε j j= 0 (5) s y = ε j s = j= 0 (6) Wiąże się o z podwójną kumulacją szoków. Oznacza o rwałość skuków szoku oddziałującego nie ylko na poziomy, ale na przyrosy oraz empo wzrosu zmiennej. Wykorzysując odpowiednie przekszałcenia, model (4) można zapisać jako: + ε y = y y (7) czyli szczególny przypadek modelu AR(). Φ Θ ε Uogólniając, warunkiem koniecznym (ale niewysarczającym) isnienia procesu I(d) jes generowanie odpowiedniej zmiennej przez proces auoregresyjny sopnia co najmniej (d).
438 M. Majserek W przypadku bardzo dużej liczby obserwacji własności procesu zmieniają się skokowo. Na przykład warunkiem sacjonarności procesu ARMA o posaci: Φ ( L ) y = Θ( L) (8) gdzie L oznacza operaor opóźnień, a Φ ( L), Θ ( αl) są wielomianowymi ε funkcjami operaora L, odpowiednio, sopnia p oraz q, jes o, że wszyskie pierwiaski wielomianu Φ( L) leżą na zewnąrz koła jednoskowego, a proces zinegrowany w sopniu d powinien mieć d pierwiasków jednoskowych (Cuhberson, Hall, aylor 99, s. 83 86). Przykładowo, dla procesu AR(), przez analogię do zbieżności szeregu geomerycznego, warunkiem sacjonarności jes o, aby w procesie: ε α ε y = y + (9) paramer inercji był co do modułu mniejszy od jedności. α Z ekonomicznego punku widzenia w próbie skończonej wiele procesów spełniających powyższe założenie sacjonarności zachowuje się jak procesy z długą pamięcią. Są o zw. procesy prawie zinegrowane (Banerjee i in. 993, s. 95 98). Ze wspomnianej własności wynika możliwość sosowania esów saysycznych sacjonarności lub zinegrowania. Wygodnie jes analizować półokres wygaszania szoku, kóry jes z definicji kaegorią ciągłą, a nie skokową (Juselius 006, w lieraurze polskojęzycznej analizy akie prowadzili Rubaszek i Serwa 009). Należy odróżnić procesy prawie zinegrowane (ang. near inegraed) od zjawiska inegracji ułamkowej (ang. fracional inegraion), kóra nie jes przedmioem rozważań. O ile pierwsze procesy są generowane przez ARMA (AR), o yle drugie wiążą się ze znacznie bardziej skomplikowanymi procesami ARFIMA. W analogiczny sposób można wyróżnić procesy prawie I(). Jednocześnie jednak w przypadku bardzo dużej liczby obserwacji różnice między własnościami zmiennych generowanych przez procesy I() oraz prawie I() zanikają, gdyż wraz ze wzrosem próby procesy prawie I() coraz bardziej przypominają I(). Wynika o sąd, że na skuek uwzględnienia procesów I() rozróżnia się aż rzy rodzaje składników sochasycznych (por. wykres ): ) szoki srice długookresowe I() uożsamiane w dziedzinie I() z rendem sochasycznym, ) szoki średniookresowe I() uożsamiane przez Juselius (006) ze sochasyczną cyklicznością wokół rendów sochasycznych I(), 3) szoki srice krókookresowe I(0). Najważniejszym skukiem isnienia procesów prawie zinegrowanych jes o, że zamias mechanicznej analizy pierwiasków celowe saje się esowanie, czy proces isonie różni się od zinegrowanego (czyli: czy jes prawie zinegrowany, gdyż czyse procesy błądzenia losowego lub I() nie wysępują w prakyce). Najprosszym esem pierwiaska jednoskowego jes es DF opary na regresji: y = ( α )y + ε (0) lub w wersji uwzględniającej poprawkę auokorelacyjną ADF:
Modelowanie sysemów skoinegrowanych... 439 Wykres Odchylenia od rendów i cykli sochasycznych 5 0-5 5 9 3 7 5 9 33 37 4 45 49 53 57 6 65 69 73 77 8 85 89 93 97-0 -5-0 -5 I(0) I() I() Źródło: Majserek (0). y S = ( α )y γs y s s = + + ε () es en doczekał się uogólnień, umożliwiających uwzględnienie współwysępowania rendu sochasycznego i deerminisycznego, np. esu Saida i Dickeya (por. Nelson, Plosser 98) oparego na regresji: = + ( α + + ε () y α 0 )y α gdzie paramery α 0 oraz α pozwalają αuniknąć pominięcia ważnej zmiennej objaśniającej. α 0 W każdej z wersji esów (0) (), jeżeli badana zmienna jes I(), wówczas paramer inercyjny α jes nieisonie mniejszy od jedności, a więc nie ma podsaw do odrzucenia hipoezy, że ( α ) = 0 na rzecz H : α < 0, równoznacznej ze sacjonarnością lub rendosacjonarnością procesu generującego zmienną. Obszar kryyczny akiego esu powinien więc być lewosronny. Już sama posać hipoezy zerowej sugeruje zasosowanie saysyki = α ˆ σˆ ˆ jako sprawdzianu esu. Zasadnicza różnica α polega na ym, że w przypadku prawdziwości hipoezy zerowej zakładającej niesacjonarność powyższa saysyka nie ma rozkładu Sudena (wiąże się o ze wspomnianym we wsępie zjawiskiem regresji pozornej). Należy się więc posługiwać warościami kryycznymi podanymi przez Dickeya i Fullera (979). Saysyka (0) sugeruje, że zmienna generowana jes przez proces AR(), co a priori wyklucza isnienie rendów sochasycznych I(). Jeżeli są ekonomiczne lub saysyczne przesłanki oczekiwania akich procesów, wówczas możliwe są dwa sposoby posępowania. Po pierwsze, można powórzyć procedurę esową (załóżmy, że za pomocą esu (0)) dla pierwszych przyrosów:
440 M. Majserek gdzie () α y ( y + (3) () = α ) oznacza paramer z drugiego kroku esu DF. () Jeżeli α ( α ) < 0, wówczas pierwsze przyrosy są sacjonarne (a więc zmienna jes I()). W przeciwnym przypadku wiadomo, że sopień zinegrowania wynosi co najmniej (dokładnie przy braku rendów sochasycznych α I(3)). Dickey i Panula (987) zauważyli, że w przypadku sosowania esu DF w sosunku do zmiennej I() częso rzeczywise prawdopodobieńswo popełnienia błędu I rodzaju jes wyższe (niekiedy znacznie) od nominalnego poziomu isoności. Zaproponowali więc alernaywny porządek esowania sopnia inegracji w przypadku uzasadnionych podejrzeń, że wynosi on. Najpierw esuje się hipoezę zerową ( α () ) = 0 dla parameru z modelu (3). Dopiero w przypadku jej odrzucenia przeprowadza się es opary na przekszałconym modelu AR() (w przeciwieńswie do wszyskich wcześniej opisanych, bazujących θ na AR()): y () ε = y + y + θ θ ε = θ (4) Liczba zerowych paramerów θ θ ( p ( =, ) ) p odpowiada w nim liczbie pierwiasków jednoskowych Φ (L), a więc sopniowi zinegrowania. Paramer z modelu w poprzedniej ieracji (θ ) był już esowany w poprzednim kroku i ujemność a zosała powierdzona, skoro procedura esowa jes konynuowana. Nie ma jednak gwarancji, że po rozszerzeniu modelu o przyros niższego sopnia nadal ak będzie. Wybór hipoezy zerowej (I(0) lub I()) może silnie wpłynąć na końcową konkluzję (Maddala 99, s. 585). Z naury esów isoności wynika bowiem, że do odrzucenia hipoezy zerowej muszą isnieć bardzo mocne podsawy (zw. konserwayzm esów). Z kolei nieprawdziwa hipoeza zerowa jes niekiedy odrzucana, ale na rzecz jeszcze bardziej nonsensownej hipoezy alernaywnej (skłoniło o Dickeya i Panulę do sworzenia alernaywnej procedury esowej). esy, w kórych hipoeza zerowa wiąże się ze sacjonarnością, a alernaywa z I() (w drugim kroku: I() przeciw I()), opierają się na wspomnianym już sposrzeżeniu, że najczysszym procesem I(0) jes biały szum. Przez analogię do esowania sferyczności składnika losowego można wyróżnić esy opare na braku auokorelacji oraz na homoskedasyczności długookresowej. Do pierwszej grupy należą: ) inegracyjny es Durbina-Wasona (IDW) wykorzysujący saysykę: IDW = = ( y y = ( y y) ) (5) gdzie y oznacza średnią arymeyczną;
Modelowanie sysemów skoinegrowanych... 44 ) es opary na współczynniku von Neumanna: VN = ( y α = = ( y y) y ) (6) w isocie będący uogólnieniem (5). Hipoeza zerowa w obydwu przypadkach zakłada białoszumowość (a więc I(0)), a hipoeza alernaywna zinegrowanie w sopniu pierwszym. Bliskie zera warości IDW przemawiają za odrzuceniem hipoezy zerowej o sacjonarności badanego szeregu, wyższe warości sprawdzianu sugerują brak pierwiaska jednoskowego. Problem komplikuje się w przypadku auokorelacji ujemnej, kóra jednak nie wiąże się ze sandardowo rozumianymi procesami zinegrowanymi. Bardzo wysokie warości saysyki IDW mogą świadczyć o isnieniu pierwiaska jednoskowego co do modułu (niesacjonarności badanej zmiennej), ale wiążą się raczej z zachowaniami cyklicznymi niż ze zinegrowaniem w sopniu pierwszym. Rozkład saysyki VN podali Sargan i Bhargava (983). Jego sosowanie ogranicza się jednak do przypadku, gdy zakładamy rozkład normalny. Wadą esów ej klasy jes o, że odrzucenie hipoezy zerowej niekoniecznie oznacza niesacjonarność procesu generującego dane, isnieją bowiem auoregresyjne procesy sacjonarne. Do grupy esów oparych na homoskedasyczności długookresowej należy przede wszyskim es KPSS, kórego sprawdzianem jes: gdzie: KPSS S = = s (7) s = S = ( i i= e ) 8 (7a) e + w( j) ee j (7b) = w ( j) j = 9 j= = j+ (7c) e reszy empiryczne z regresji: yˆ = β + β+ e β 0 β lub yˆ = β 0 + e, w zależności od przyjęych założeń doyczących poencjalnej obecności rendu deerminisycznego. Wzór (7b) definiuje przybliżenie długookresowej wariancji składnika losowego z ych regresji, a (7c) zw. okno Barlea, zapewniające nieujemność ego przybliżenia. Liczba 8 jes wyznaczoną przez Neweya i Wesa (987) opymalną długością zw. pasma przenoszenia dla ego esu. Odrzucenie hipoezy zerowej nasępuje, gdy warość saysyki KPSS jes większa od warości kryycznych. Warości e wyznaczyli Kwiakowski, Philips, Schmid i Shin (99). Waro zauważyć, że niesacjonarność procesu generującego zmienną wiąże się właśnie z rosnącą warością długookresowej wariancji, sąd np. auoregresyjna warunkowa heeroskedasyczność nie oznacza procesu zinegrowanego.
44 M. Majserek Charemza oraz Syczewska (998) zaproponowali łączny rozkład saysyk KPSS oraz ADF jako próbę rozwiązania poencjalnych sprzeczności pomiędzy wskazaniami esów inegracji oraz esów sacjonarności. Przy założeniu prawdziwości hipoezy o sacjonarności esowanej zmiennej sworzone zosały symeryczne warości kryyczne (pary warości kryycznych ADF oraz KPSS), kóre zrównują poziom isoności esu ADF z mocą esu KPSS, a więc: ADF = KPSS ADF KPSS α β α + β = (8) Sanowi o punk wyjścia do wyznaczenia łącznego prawdopodobieńswa przyjęcia hipoezy o sacjonarności. Doychczasowe podejścia umożliwiały bowiem jedynie arbiralne wyznaczenie prawdopodobieńswa przyjęcia ej hipoezy, gdy jes ona fałszywa (α ADF ), lub jej odrzucenia, gdy jes prawdziwa (α KPSS ), przy czym równość (8) nie była spełniona. Łączny es ADF-KPSS pozwala na weryfikowanie hipoezy o sacjonarności wobec alernaywy, że zmienna jes generowana przez proces zinegrowany w sopniu pierwszym. Obszar kryyczny jes prawosronny. Na podsawie esu ADF-KPSS można z łącznym prawdopodobieńswem przyjąć hipoezę zerową o sacjonarności, jeżeli warość sprawdzianu esu ADF znajduje się w obszarze odrzucenia i jednocześnie warość saysyki esu KPSS jes w obszarze przyjęcia. Novum w sosunku do esów rozłącznych polega więc, po pierwsze, na znajomości akiego łącznego prawdopodobieńswa, a po drugie na sosowaniu symerycznych warości kryycznych (ciekawa ilusracja ego pojęcia w: Syczewska 999). Powyższe rozumowanie można uogólnić przez wyznaczenie łącznego prawdopodobieńswa przyjęcia hipoezy o sopniu inegracji. W ym przypadku hipoeza zerowa ma posać (analogicznie, jak w esach ADF) H 0 : y ~ I( d), wobec alernaywy H : y ~ I( d ). Eksperymeny Mone Carlo Kębłowskiego (003) oraz Kębłowskiego i Welfe (004) wykazały, że łączny es ADF-KPSS odznacza się wysoką mocą jedynie w przypadku szeregów, w kórych nie nasąpiła zmiana srukuralna. W przeciwnym przypadku uwidoczniają się wady ego esu, podobne np. jak w ekście Dickeya i Panuli, prowadzące do zawyżania fakycznego sopnia inegracji. 3. Koinegracja Liniowy, jednorównaniowy model ekonomeryczny można przedsawić w posaci funkcji uwikłanej: ε = Zβ (9) gdzie: Z macierz o wymiarach (K + ), zawierająca wszyskie zmienne użye w modelu (zarówno objaśnianą, jak i objaśniające), = K liczba zmiennych objaśniających po ewenualnej, dowolnej normalizacji, β pewien nieznormalizowany wekor paramerów o liczbie elemenów K +, ε -elemenowy wekor zakłóceń. Między zmiennymi zachodzi skoinegrowanie (współzinegrowanie) CI(d, b), jeżeli poszczególne = zmienne (objaśniające i zmienna objaśniana) worzące macierz Z są zinegrowane w sopniu p ( p = 0,,.., d), ale ich nierywialna kombinacja ε jes zinegrowana w sopniu d b, gdzie b o liczba +
Modelowanie sysemów skoinegrowanych... 443 dodania. Wekor β o niezerowych elemenach, zmniejszający sopień zinegrowania składnika losowego w sosunku do najwyższego ze sopni zinegrowania zmiennych, nazywany jes wekorem koinegrującym. Wekor en można uożsamiać z wekorem paramerów akiego modelu, w kórym składnik losowy generowany jes przez proces o sopniu inegracji niższym niż najwyższy ze sopni zinegrowania zmiennych uwzględnionych w modelu. Zwraca uwagę, że począkowo, w klasycznej definicji koinegracji Engle a i Grangera (987) zakładano, iż wszyskie zmienne zaware w macierzy Z są I(d), jednak później warunek en złagodzono. + Granger (983) wykazał, że dla każdej pary I(d), I(d-i) ( i 0 ) esymaor KMNK jes zawsze niezgodny, ponieważ zmienne zinegrowane w różnym sopniu = są zawsze nieskoinegrowane, a ich kombinacja będzie zawsze I(d). wierdzenie o jes prawdziwe akże dla modelu o większej liczbie składowych (zmiennych objaśniających) oraz wówczas, gdy w równaniu wysępuje odosobniona zmienna I(d), kóra na mocy powyższych własności nie może się skoinegrować z żadną zmienną. W dziedzinie I() jedyną możliwą formą koinegracji jes CI(, ), co z kolei oznacza, że składnik losowy jes sacjonarny, a więc problem niezgodności esymaora znika. Co więcej, Sock (987) wykazał, że dla zmiennych skoinegrowanych CI(, ): p lim( ( β β)) = 0 W przypadku zmiennych sacjonarnych zbieżność esymaora MNK jes wolniejsza, gdyż: (0) p lim( 0,5 ( β β)) = 0 = Oznacza o, że esymaor wekora koinegrującego jes superzgodny. Dzięki emu można osiągnąć korzyści ze zgodności już w znacznie mniejszej, a więc bardziej realisycznej próbie. W przypadku zmiennych I() oprócz radycyjnej bezpośredniej koinegracji CI(, ), zapewniającej sacjonarność, możliwa jes koinegracja, gdzie d > b > 0. Jes o zw. koinegracja niebezpośrednia CI(, ). Wekor β jes nadal wekorem koinegrującym, ale składniki losowe są I(). Pozornie aka koinegracja nie powinna zapewniać zgodności esymaora wekora koinegrującego, ponieważ składnik losowy oprócz szoków przejściowych zawiera rendy sochasyczne I(). Należy jednak pamięać, że w dziedzinie I() szoki I() nie mają charakeru długookresowego, ale raczej charaker sochasycznej cykliczności (Juselius 006, szerzej: Majserek 008, rozdział 3). Biorąc pod uwagę fak, że dla zgodności esymaora niebezpieczna jes rosnąca wariancja długookresowa, a nie sochasyczna cykliczność, nie dziwi, iż esymaor relacji koinegrującej CI(, ) jes (podobnie jak zależności CI(, )) super superzgodny (dowód pokazuje Juselius 006). Wówczas: p lim( () ( Bˆ B)) = 0 () Oznacza o jeszcze szybsze (czyli przy mniejszej minimalnej próbie) osiągnięcie pożądanych właściwości asympoycznych niż w przypadku koinegracji pomiędzy zmiennymi I(). Relację koinegracyjną CI(, ) w dziedzinie I() oraz relacje koinegracyjne CI(, ) i/lub CI(, ) dziedzinie I() można uożsamiać ze związkami długookresowej równowagi. Związki równowagi w sensie Grangera (Engle, Granger 987) implikują isnienie długookresowych mechanizmów dososowawczych w sysemie, kóre mogą prowadzić do osiągnięcia sanu równowagi dynamicznej. Na mocy wierdzenia
444 M. Majserek Grangera o reprezenacji warunkiem koniecznym i wysarczającym isnienia akich związków równowagi długookresowej jes działanie właśnie sił dososowawczych, czyli mechanizmu koreky błędem. Ściślejszej inerpreacji ekonomicznej zależności koinegracyjnych będzie poświęcona nasępna część arykułu. W ym miejscu należy ylko dodać, że koinegracja bezpośrednia CI(, ) nasępuje szczególnie szybko już w średnim, a nie dopiero w długim okresie. en yp koinegracji można więc określać mianem związku długo- i średniookresowej równowagi w ekonomii. Esymacja wekora koinegrującego ze względu na superzgodność esymaora (a w dziedzinie I() nawe super superzgodność) pozornie nie jes zadaniem rudnym. W przypadku jednorównaniowego modelu saycznego właściwości akie ma nawe esymaor KMNK. Problem polega na ym, że w przypadku modelowania oparego na zmiennych niesacjonarnych z powodu niebezpieczeńswa idenyfikacji regresji pozornych nie wiadomo, czy orzymana zależność jes inerpreowalną ekonomicznie relacją koinegracyjną (w dodaku z oszacowaniami o wysokiej precyzji dzięki wspomnianym własnościom) czy bezwarościową regresją pozorną. Najpopularniejszą propozycją rozwiązania ego problemu w przypadku jednorównaniowym jes dwusopniowa esymacja nosząca nazwę procedury Engle a i Grangera (987). Najpierw za pomocą KMNK szacuje się paramery jednorównaniowego modelu saycznego z pełną świadomością, że esymaor en będzie superzgodny (a jeżeli jes o relacja koinegracyjna CI(, ) lub CI(, ) nawe supersuperzgodny) ylko pod warunkiem pozyywnego przejścia przez es skoinegrowania. Przejście do drugiego kroku poprzedzone jes więc ważnym eapem esowania koinegracji. esy e są analogonem esów inegracji lub sacjonarności z ą różnicą, że zamias obserwowalnej zmiennej ekonomicznej analizie sopnia inegracji poddawany jes nieobserwowalny składnik losowy. Zamias niego rzeba więc użyć obserwowalnych resz empirycznych, ale obciążenie szacowania resz wymusza pewną modyfikację warości kryycznych zarówno esów z rodziny ADF, jak i KPSS. Przykładowo, dla esu DF(ADF) wykorzysuje się regresję (z oczywisych powodów nie uwzględnia się wyrazu wolnego ani rendu deerminisycznego): Δ + (3a) e = (α ) e ε lub Δe = ( α )e + S Σ s = γ Δ + ε (3b) s e s gdzie e o reszy empiryczne z regresji długookresowej. Odrzucenie hipoezy zerowej oznacza, że pomiędzy zmiennymi zachodzi sacjonarny związek koinegracyjny i można przejść do nasępnego (drugiego) kroku analizy. W przypadku braku podsaw do odrzucenia w dziedzinie I() należy respecyfikować model, gdyż analizowana regresja sayczna nie jes zależnością koinegracyjną. W dziedzinie I() (co przez wiele la zaniedbywano w lieraurze poświęconej podejściu Engle a i Grangera) brak podsaw do odrzucenia hipoezy zerowej powinien jednak skłonić do weryfikacji hipoezy, czy składnik losowy jes I() czy I(). Należy więc rozparywać model: lub ~ Δ e = ( α ) Δe ~ + ε (4a)
Modelowanie sysemów skoinegrowanych... 445 Δ e = ( ~α ) e + S ~ Σ γ s Δ e s = s ~ + ε (4b) Odrzucenie hipoezy zerowej oznacza, że pomiędzy zmiennymi zachodzi związek CI(, ), a brak podsaw do odrzucenia dyskwalifikuje badany model długookresowy. W analogiczny sposób (dwueapowo) należy sosować esy ypu KPSS czy koinegracyjny es Durbina-Wasona CRDW. W przypadku powierdzenia, że zależność prowadząca do wyznaczenia mnożników długookresowych jes rzeczywiście związkiem długookresowej równowagi (koinegracyjnym), oszacowania mnożników długookresowych z regresji saycznej podsawia się do składnika koreky błędem ( y δ δ x ) w modelu koreky błędem (ECM): 0 Δy = β δ δ ) ξ (5) 0 Δx + ( α )( y 0 x + W rezulacie w modelu wysępują wyłącznie zmienne sacjonarne. Dzieje się ak, ponieważ opóźnione poziomy znikają, a składnik EC jes sacjonarny, gdyż można go inerpreowć w kaegorii sacjonarnych resz z regresji długookresowej. Procedury esowe w odniesieniu do modelu (5) są więc konkluzywne. Zaleą podejścia Engle a i Grangera jes jego prosoa. Procedura a nie jes jednak pozbawiona wad (szerzej: Majserek, Welfe 03a). Engle i Yoo (989) zaproponowali wzbogacenie procedury Engle a i Grangera o rzeci krok, w kórym koryguje się pierwone oszacowania wekora koinegrującego. Engle i Yoo oszacowali paramery zależności, kóra przy założeniu ylko jednego regresora ma posać: ξ ˆ = a ( ^ ˆ α)x + τ (6) gdzie: ξˆ reszy empiryczne z drugiego kroku (modelu ECM), ( αˆ ) oszacowanie parameru koreky błędem z drugiego kroku wzięe ze znakiem przeciwnym, τ białoszumowy składnik losowy. Zakłada się dodakowo, że składniki losowe zarówno w modelu ECM, jak i w regresji (6) mają rozkład normalny. Oszacowanie parameru a z równania (6) służy do skorygowania pierwonej warości oszacowania mnożnika długookresowego δ z relacji saycznej: EY δˆ = δ ˆ + aˆ (7) Wbrew inencjom wórców rójsopniową procedurę Engle a i Yoo sosuje się raczej w modelach z jedną zmienną objaśniającą (Cuhberson, Hall, aylor 99, s. 40). W osanim ćwierćwieczu znaczenie meod jednorównaniowych znacznie osłabło, choć są niekiedy sosowane w wielkich srukuralnych modelach ekonomerycznych ze względu na ich niesysemowość, a przez o niewielką paramerochłonność. Coraz większą popularnością cieszy się jednak podejście wielowymiarowe, kórego podwaliny sworzył Johansen (988). Udowodnił on, że gdy liczba wszyskich
446 M. Majserek zmiennych obecnych w modelu wynosi M, wówczas możliwe jes isnienie od zera (oznacza o isnienie jedynie związków krókookresowych pomiędzy zmiennymi) do M liniowo niezależnych związków koinegracyjnych. Procedura Engle a i Grangera pozwala ymczasem na wyznaczenie ylko jednego, przypadkowego wekora koinegrującego. Jes również arbiralna w ym sensie, że modelujący a priori przydziela jednej ze zmiennych rolę zmiennej objaśnianej, a pozosałym regresorów. W przypadku zasosowania opisanych wcześniej procedur nie jes możliwe wyznaczenie rzędu koinegracji, czyli liczby liniowo niezależnych (bazowych) zależności koinegracyjnych, a ym samym wyznaczenie pełnej przesrzeni związków długookresowych. Przechodząc od ogółu do szczegółu, należałoby zacząć właśnie od wyznaczenia akiej przesrzeni, a dopiero po powierdzeniu, że jes o przesrzeń jednowymiarowa (linia prosa), zredukować analizę ekonomiczną do jednego równania. Jak widać, rząd koinegracji oznaczany jako R wyznacza liczbę inerpreowalnych ekonomicznie zależności długookresowych w sysemie i dlaego jes aki ważny. Punkem wyjścia do jego wyznaczenia powinien być model wielorównaniowy (załóżmy, że liczba równań wynosi M), zwany modelem wekorowej auoregresji VAR (ang. vecor auoregression model): y = Π y y... Π y ε (8) () () ( s ) + Π + + s + ( m) gdzie: y s Π (s) M-elemenowy wekor kolumnowy obserwacji wszyskich zmiennych użyych w modelu w okresie s; warości y dla < 0 przyjmuje się jako nielosowe i z góry usalone; macierz o wymiarach M M paramerów; ( m) wekor składników losowych w danym okresie (mają one niezależny, idenyczny M-wymiarowy rozkład normalny). W analizie koinegracyjnej w dziedzinie I() wygodniej jednak korzysać z jego izomorficznej ransformacji zwanej wekorowym modelem koreky błędem (VECM): ΔY = ΠY S Σ + Γ ΔY + s s s = (9) gdzie: S Σ Π = ( Π Γ s = s = (s) S (j ) j=s + I) (30a) Σ Π (30b) Macierz Π nazywana jes macierzą mnożników całkowiych (ang. oal i mpac m uliplier). Macierze Γ s odzwierciedlają przejściowy wpływ zmian przeszłych warości zmiennych, są więc podobnie jak macierze Π (s) mnożnikami quasi-pośrednimi. W analizie koinegracyjnej w dziedzinie I() wygodnie z kolei posłużyć się jeszcze dalszym przekszałceniem izomorficznym: S Δ Y = ΠY + ΓΔY + Σ Ψs Y s + Σ (3) s = Σ
Modelowanie sysemów skoinegrowanych... 447 S Macierz Γ = Σ Γ s I o wymiarach M M nazywana jes macierzą średniego opóźnienia s = (ang. mean lag marix). Wydaje się jednak, że lepszym określeniem będzie macierz związków średniookresowych (podobnie jak macierz Π definiuje paramery związków długookresowych). Ze względu na o, że o macierz Π opisuje zależności długookresowe w modelach VECM, należy ją rakować jako macierz koinegracyjną. Jes o więc uogólnienie na przypadek M-równaniowy wekora koinegrującego β. Analiza rzędu macierzy Π będzie równoznaczna z wyznaczeniem rzędu koinegracji. Możliwe są rzy przypadki.. Macierz Π ma pełny rząd. Oznacza o, że M-wymiarowa przesrzeń zmiennych musi zmieścić M-wymiarową przesrzeń koinegracyjną, co jes możliwe wedy i ylko wedy, gdy e przesrzenie są ożsame. o z kolei wysępuje wówczas, gdy wszyskie zmienne w modelu są sacjonarne (w sensie zinegrowania w sopniu zerowym). en przypadek nie jes ineresujący, gdyż oznacza powró do podręcznikowo rozumianej ekonomerii. Rozwiązaniem modelu VECM względem bieżących i przeszłych zakłóceń jes: () Y = (I Π L... Π ( s ) L S ) Σ (3) () ) gdyż macierz ( I L... Π Π ( s L S ) jes nieosobliwa na mocy założenia o pełnym rzędzie Π.. Macierz Π ma zerowy rząd. Oznacza o, że macierz a jes zerowa, a więc model (9) redukuje się do modelu VAR (8) dla pierwszych przyrosów. Między zmiennymi zachodzą zaem najwyżej związki krókookresowe (w dziedzinie I() niekiedy akże średniookresowe). Niepełny (konkrenie: zerowy) rząd Π powoduje konieczność zasąpienia reprezenacji średniej ruchomej (3) przez (Engle, Granger 987) przez reprezenację wspólnych rendów sochasycznych I(): gdzie: Y = C Σ Σ + C( L) Σ (33) i= i S C = B ( A ( Σ s I) B ) A (33a) s = A = [ a ij ], kóra może być inerpreowana jako macierz definiująca wspólne bazowe rendy sochasyczne I(), oraz B = [ b ij ] są dopełnieniami orogonalnymi, odpowiednio, macierzy A, B o wymiarach M ( M R). Zakłada się przy ym pełny rząd kolumnowy obydwu macierzy (liczba kolumn ych macierzy jes więc ożsama z liczbą wspólnych bazowych rendów sochasycznych I()). Wyprowadzenie (33) podaje Johansen (995a, s. 40). Rozwiązanie o isnieje jednak ylko wówczas, gdy rząd S ( M R) (M R) macierzy A ( Σ Γs I) B jes pełny. Jeżeli założenie o nie jes spełnione, wówczas s = rozwiązaniem VECM jes model wspólnych rendów sochasycznych I(): Σ Y = C Σ Σ i + C Σ + C( L) Σ (34) Σ Σ j i = j = i = gdzie C jes macierzą paramerów przy rendach sochasycznych I() o posaci i Σ Σ j Σ i j = i =.
448 M. Majserek Ze względu na brak ekonomicznego uzasadnienia isnienia rendów sochasycznych ypu I(3) lub bardziej złożonych nie będzie rozważany skomplikowany warunek konieczny isnienia rozwiązania (34). Macierz C można zdekomponować nasępująco: S C = Γ Γ B ( A ( B( B B) ( A A) A Ψs ) B ) A Σ s = (34a) A Macierze:, kóra może być inerpreowana jako macierz definiująca wspólne bazowe rendy sochasyczne I(), oraz macierz B mają wymiary M P, gdzie P oznacza liczbę wspólnych bazowych rendów sochasycznych I(). Zakłada się, że P + P = M R, gdzie P oznacza liczbę wspólnych bazowych rendów sochasycznych I() w dziedzinie I(). 3. Rząd macierzy Π jes równy 0 < R < M. Oznacza 0 o R obecność M co najmniej jednego rendu sochasycznego. Wszyskie rozważania doyczące isnienia rozwiązania w posaci modelu wspólnych rendów sochasycznych pozosają w mocy. Różnica polega na ym, że w przeciwieńswie do drugiego przypadku) w sysemie oprócz długookresowych sił naruszających równowagę ekonomiczną (odśrodkowych) isnieją dośrodkowe siły dososowawcze, na yle silne, że układ powraca do równowagi w skończonym okresie. Z algebry liniowej wynika, że możliwa jes dekompozycja: Π = AB (35) gdzie: A macierz dososowań (zwana eż macierzą sprzężeń lub wag) o wymiarach M R, B macierz o wymiarach M R, składająca się z bazowych wekorów koinegrujących; obie macierze mają eż pełny rząd kolumnowy. Problem esymacji paramerów modelu VECM zarówno o posaci (9), jak i (3) jes banalny, jeżeli badacza ineresuje jedynie esymacja ych macierzy paramerów, kóre są am widoczne explicie. Ze względu na o, że modele VECM są posacią zredukowaną, wysarcza sysemowa KMNK, popularnie zwana SUR (ang. seemingly unrelaed regressions). Uwzględnia ona fak, że usunięcie jednoczesnych sprzężeń zwronych z części sysemaycznej modelu VECM prowadzi do ego, że pojawiają się one w części sochasycznej, a więc macierz wariancji kowariancji jednoczesnych pomiędzy składnikami losowymi jes niediagonalna. Esymacja paramerów modelu VECM saje się wyzwaniem badawczym wówczas, gdy celem esymacji są również macierze, na kóre na mocy (35) można zdekomponować macierz mnożników długookresowych. W ym momencie należy sobie uświadomić, dlaczego a informacja jes ekonomiście porzebna. Najisoniejsze informacje o związkach długookresowej równowagi zaware są bowiem w macierzy Π, kóra definiuje niebazowe związki koinegracyjne. W jej wierszach są opymalne (z punku widzenia ej zmiennej w sysemie, kóra rządzi danym wierszem) kombinacje bazowych wekorów koinegrujących. e osanie nie mają bezpośredniej inerpreacji ekonomicznej. Dekompozycja (35) ma jednak fundamenalne znaczenie ekonomiczne. Po pierwsze, pozwala zdefiniować całą przesrzeń koinegracyjną jako podprzesrzeń przesrzeni zmiennych. W szczególności pozwala wyznaczyć wymiar ej przesrzeni, co z kolei sugeruje liczbę liniowo niezależnych związków długookresowej równowagi, a o liczbę zmiennych endogenicznych. Po drugie, umożliwia analizę sił dososowywania do związków długookresowej równowagi, a w szczególności nakładanie resrykcji na ego ypu siły i ich eso-
Modelowanie sysemów skoinegrowanych... 449 wanie. W szczególności zerowy wiersz macierzy A oznacza, że odpowiednia zmienna nie dososowuje się do żadnych bazowych związków koinegracyjnych. Musi o oznaczać, że zmienna aka jes egzogeniczna. ym samym analiza rzędu koinegracji pozwala zidenyfikować poencjalną liczbę zmiennych egzogenicznych równą dopełnieniu M R. Z kolei analiza resrykcji nakładanych na macierz wag (dososowań) umożliwia idenyfikację konkrenych zmiennych egzogenicznych. Rozwiązanie (35) nie jes możliwe bez nałożenia pewnych dodakowych resrykcji na paramery zaware w macierzy bazowych wekorów koinegrujących oraz w macierzy wag. Łączna liczba ych resrykcji, przez analogię ze znanym z podsaw ekonomerii warunkiem wymiaru, powinna wynosić (R). Rozwiązanie zaproponowane przez Johansena umożliwia o naychmias dzięki wykorzysaniu (35) w akiej posaci, jak o zosało zdefiniowane. Dzięki przyjęciu założenia, że wekory zaware w macierzy są bazowe, spełnione są między nimi resrykcje orogonalności (jes ich R(R )). Reszę resrykcji niezbędnych do spełnienia warunku jednoznacznej idenyfikowalności zapewniają resrykcje normalizacji. Procedura Johansena wykorzysuje zamias wspomnianej już MNK z pełną informacją MNW z pełną informacją, głównie dlaego, że esymaor MNW jes niezmienniczy. Jednocześnie procedura Johansena polega na sukcesywnym przekszałcaniu modelu VECM (9) ak, aby pozornie coraz bardziej komplikować posać użyych w nim zmiennych, ale w zamian orzymywać coraz mniej macierzy paramerów niezbędnych do oszacowania. Każdorazowo oznacza o budowę coraz mniej skomplikowanych, zw. skoncenrowanych funkcji wiarygodności. W pierwszym kroku upraszcza się zapis modelu (9) do: gdzie Ψ = [ Γ... Γ ] k. Z 0 = AB Z + ΨZ + Σ (36) Zlogarymowana funkcja wiarygodności dla modelu (36) jes nasępująca: Ψˆ ˆ ˆ Ωˆ ln L(, A, B, ) = ln Ωˆ + ( Z A ˆ B ˆ Z Ψˆ Z ) Ωˆ ( AˆB ˆ Z Ψˆ Z ) Σ 0 Z 0 (36a) gdzie Ωˆ n Σ Σ oznacza ocenę wyznacznika macierzy wariancji-kowariancji składników losowych. Funkcja a jes więc bardzo skomplikowana. Dzięki definicji macierzy iloczynów momenów z próby (ang. produc m omen m arix), kórych elemeny będące macierzami kwadraowymi M M określone są nasępująco: M ij = Σ Z iz j Σ i, j = 0,, (37) Po odpowiednich przekszałceniach (szczegółowy opis: Majserek 998) możliwe jes zdefiniowanie: Ψ ˆ ˆ, ˆ ) ˆ ˆ ( A B M M AB M M M M ˆ = = M (38) 0 0 M
450 M. Majserek a nasępnie uproszczenie funkcji wiarygodności do posaci: ( ( ln L(Â, ˆB, ˆ ) = ln ˆ (R 0 Â ˆB R ) Ω Ω Σ Ωˆ (R 0 Â ˆB R ) (39) gdzie R = i Z i M M i Z i = 0, (40) Posępując analogicznie, definiuje się: ˆ ( ˆ ) ˆ ( ˆ ˆ ) A B = S 0B B SB (4a) - Ω ( Bˆ ) = S 00 S 0B ˆ ( Bˆ SBˆ ) Bˆ S0 (4b) gdzie: S ij = Σ R i R j i, j= 0, (4) Oznacza o uproszczenie funkcji wiarygodności do posaci: Ω ln L B ˆ ˆ ln S 00 S 0B(B ˆ ˆ SB) ˆ Bˆ max ( ) = ln = S 0 (43) Na mocy lemau Rao (973) (zob. eż Johansen 995a, s. 4) ak zdefiniowana funkcja wiarygodności osiąga maksimum (lub, co jes równoważne, wyznacznik macierzy zdefiniowanej wzorem (43) osiąga minimum), jeżeli kolumnami macierzy koinegrującej są wekory własne v i, odpowiadające pierwiaskom charakerysycznym orzymanym z równania: alernaywnie zapisanego w posaci: ρ S ( S S S ) = 0 (44) 0 00S0 0,5 0,5 0 00 0S ( ρ ) I S S S S = 0 (44a) W en sposób można eż oszacować jednocześnie macierz liniowo niezależnych wekorów koinegrujących, znormalizowanych względem konkrenej zmiennej y m ( m =,..., M ). Spełniają one warunki R (R ) resrykcji orogonalizujących: oraz R warunków normalizacji: v j 0 S0 S 00S v i = 0 i j (45a) v i 0 S0 S 00S v i = ρ i (45b) Wyznaczanie macierzy koinegrującej umożliwia, na mocy (4), oszacowanie macierzy wag oraz macierzy wariancji-kowariancji jednoczesnych. Nasępnie zgodnie z (38) oszacowana zosaje macierz związków krókookresowych. Na ym eapie bezcenna jes niezmienniczość esymaora MNW.
Modelowanie sysemów skoinegrowanych... 45 0,5 0,5 Macierze I S S0S 00S 0S lub I SS0S 00S 0 mają wymiary M M. Może więc mieć M pierwiasków charakerysycznych i yle samo wekorów własnych. Należy zaem usalić, kóre wekory własne saną się kolumnami macierzy koinegrującej Bˆ, a kóre kolumnami macierzy dopełnień orogonalnych Bˆ. Pierwiaski charakerysyczne λ r można inerpreować jako kwadray współczynników korelacji kanonicznej pomiędzy R 0 oraz R (Spanos 986, s. 34). Oznacza o, że jeżeli λ r = 0, o relacja opisana za pomocą wekora własnego odpowiadającego emu pierwiaskowi jes niesacjonarna. Jednocześnie nie wnosi ona nowych reści ekonomicznych, nie należy więc rozszerzać przesrzeni koinegracyjnej o ę relację. Macierz Bˆ składa się zaem z R wekorów własnych v r odpowiadających największym pierwiaskom charakerysycznym S 0,5 0,5 S0S 00S 0S. Osaecznie najbardziej skoncenrowana funkcja wiarygodności przyjmuje posać: M L Ω Π λ max ( B ˆ ) = ˆ ( Bˆ ) = { S ( ˆ 00 r )} (46) r= es rzędu koinegracji można więc sprowadzić do esu isoności dla pierwiasków charakerysycznych macierzy I S S0S 00S 0S. Z oczywisych powodów może o być es opary na ilorazie 0,5 0,5 wiarygodności. Jego sprawdzianem jes saysyka: M LR = Σ ln( r = R0 + λˆ ) r (47) Rozkład ej saysyki nie jes zbieżny, przy założeniu prawdziwości hipoezy zerowej, do żadnego ze sandardowych rozkładów (hipoeza zerowa zakłada R = R 0 ). Wynika o sąd, że przy ym założeniu warości własne λ r ( r = R0 +,..., M) związane są z wekorami, kóre nie powinny się znaleźć w bazie. Nie ma więc gwarancji, że jes o suma niezależnych rozkładów U ; en osani rozkład jes konsekwencją sposrzeżenia Spanosa (986) o kwadraach współczynników korelacji kanonicznej. Obszar odrzucenia esu LR jes więc prawosronny, gdyż isonie dodanie warości LR świadczą o ym, że kóryś z pierwiasków charakerysycznych (przynajmniej en o największej warości) nie powinien być usunięy z bazy. Warości kryyczne rozkładu (47) podali Johansen (988) oraz Oserwald i Lenum (990). Wspomniany es nosi nazwę esu śladu. Alernaywnie rozważa się sekwencyjne (dla każdej warości własnej z osobna) esowanie wymiaru przesrzeni koinegrującej za pomocą esu największej warości własnej, również oparego na ilorazie wiarygodności: MAX = ln( λ ) (48) R 0 + Obszar odrzucenia pozosaje prawosronny, warości kryyczne podał Johansen (988). W przypadku sosowania esów rzędu koinegracji należy pamięać, że wskazania esu śladu sugerują częso zawyżony rząd koinegracji, podczas gdy alernaywnego przeciwnie. Zwykle sosuje się więc obydwa, przy czym nieco większym zaufaniem obdarza się wyniki esu śladu (Kębłowski 008). Procedurę wielosopniową rozpoczyna się od esowania zespołu hipoez H 0: R = 0 wobec alernayw H M : R = M (es śladu) H : R = lub (za pomocą esu największej warości własnej). Do nasępnego kroku przechodzi się każdorazowo w przypadku odrzucenia hipoezy zerowej.
45 M. Majserek W dziedzinie I() prosa procedura Johansena nie wysarcza. Wynika o sąd, że w macierzy koinegrującej Bˆ mogą się znaleźć zarówno zależności koinegracyjne CI(, ), jak i CI(, ), a ich inerpreacja ekonomiczna jes inna (por. część 4). Celowy jes więc dodakowy podział przesrzeni koinegrującej wyznaczonej zgodnie ze sandardową procedurą Johansena na odpowiednie podprzesrzenie. Służą emu nasępujące wzory (Juselius 004): B = BΛ (49a) B 0 = BΛ (49b) gdzie: Λ = ( A A) A ΓB ( B B ) jes macierzą o wymiarach R M R P A A A Ξ = A (49c) B N = B (49d) A ΓBΓ = ΞN (49e) Ξ, N są macierzami ( M R) P, P < M R, a (49e) przypomina dekompozycję (35). Niezależnie od niepełnego rzędu macierzy Π (R < M) zakłada się jednak dodakowo niepełny rząd A Σ Γs I) B mniejszy od M R. ( S s= Σ Z kolei macierz B jes macierzą o wymiarach M R 0 0, opisującą wyłącznie bazowe związki koinegracji bezpośredniej CI(, ), a B o wymiarach M R bazowe związki koinegracji niebezpośredniej CI(, ). Zachodzi przy ym R 0 + R = R. Analogicznie można zdekomponować macierze reakcji dososowawczych: A = A( A A) A ΓB ( B B ) B K( K K) (50a) A = ( A A) A ΓB ( B B ) B K ( K A K = A( A A) A ΓB ( B B ) B K ( K K K 0 ) (50b) B ΛΛ K M P ) ( = B ΛΛ Równie isona jes dekompozycja przesrzeni wspólnych bazowych rendów sochasycznych. Ma ona wymiar M R, ale mieści się am zarówno P wspólnych bazowych rendów sochasycznych I(), jak i P oznaczające liczbę wspólnych bazowych rendów sochasycznych I() P + P = M R. Niezbędne jes więc rzuowanie (Paruolo 000): A ( A A ) Ξ = A ) (50c) (5a) A A Ξ A= A (5b) B ( B B ) N B (5c) = B N = B (5d) Kończy o definiowanie podsawowych zależności dośrodkowych i odśrodkowych w dziedzinie I(). Procedura Johansena musi zosać uzupełniona o kolejny krok, w kórym możliwe będzie oszacowanie powyższych macierzy. Dwusopniowa procedura Johansena (995b) począkowo bardzo przypo-
Modelowanie sysemów skoinegrowanych... 453 mina swoją wersję dla modelu ze zmiennymi I() z ą różnicą, że podsawą esymacji są paramery modelu VECM w wariancie (3), a nie (9). Na ym eapie jes nieco bardziej czasochłonna, gdyż punkem saru jes model: Z Γ Ψ Σ (5) 0 = Z + AB Z + Z 3 + Oznacza o, że pierwszy z modeli regresji reszowej jes nasępujący: R ~ Γ Σ (53) 0 = R + AB R + Na drodze do esymacji poszukiwanej macierzy koinegrującej dochodzi więc dodakowy eap. rzeba wyznaczyć, nie ylko macierze związków krókookresowych, ale i nieobecną w dziedzinie I() macierz związków średniookresowych. Drugi krok dwusopniowej procedury Johansena (szczegółowy opis procedury: Majserek 003) opiera się na rezulaach poprzedniego, co jes pewną niedoskonałością procedury. W szczególności jednym z sympomów I() w modelu I() (szczegółowy opis: Juselius 006) jes o, że obecność rendów I() w przypadku sosowania radycyjnych meod esymacji i esowania rzędu koinegracji może prowadzić do zawyżenia liczby wspólnych rendów, a ym samym do niedoszacowania rzędu koinegracji. Niezależnie od wspomnianych zasrzeżeń w drugim eapie procedurę Johansena sosuje się ponownie, ym razem w sosunku do modelu (3) zmodyfikowanego do posaci: ˆ A Δ = ˆ ˆ )( ˆ ˆ ˆ ) + ( ˆ ( ˆ )( ˆ ˆ A ΓB B B B Y A ΓB B B ) B ΔY + Y ˆ S + ˆ A Σ Ψi i= + ˆ Y i A Σ (54a) ożsamej na mocy (49e) z: ˆ A Δ = ˆ ˆ ˆ + ˆ ( ) ( ˆ )( ˆ ˆ ΞN B B B ΔY A ΓB B B ) B ΔY + Y ˆ + A ˆ S Σ i= ΨΔ i + ˆ Y i A Σ (54b) Przez analogię do pierwszego Γ eapu, gdzie szacowano kolejno macierz koinegrującą B, macierz wag A, macierz średniookresową Γ, a nasępnie Ψ (obydwie przy założeniu pełnego rzędu A ΓB ), na drugim szacuje się odpowiednio N, Ξ, oraz Ψ, a nasępnie ponownie macierz średniookresową Γ, Γ ym razem z warunkiem pobocznym niepełnego rzędu A Γ B. a osania macierz ulega modyfikacji w związku z ym, że w drugim kroku jes inna (podobny jes mechanizm zmiany posaci macierzy związków długookresowych Π w przypadku jej pełnego oraz niepełnego rzędu). Wzory (49) (5) są już ławe do zasosowania i dzięki niezmienniczości MNW można orzymać wszyskie macierze paramerów wysępujące w dziedzinie I(). Wspomniane zasrzeżenia w odniesieniu do meod wyznaczania rzędu koinegracji w dziedzinie I() sprawiają, że nie poleca się dwusopniowej procedury weryfikacji wymiaru przesrzeni koinegrują-