Grupa obrotów - grupa smetr kul R - wsstke możlwe obrot o dowolne kąt wokół os prechodącch pre środek kul nacej O 3 grupa obrotów właścwch - grupa cągła - każd obrót określa sę pre podane os l kąta obrotu α C l α - obrót C l α defnuje sę pre podane wektora α α α α wdłuż os l o długośc α α α α π R C R h tn. dodane nwersj do R twor tw. pełną grupę ortogonalną każda skońcona grupa punktowa jest podgrupą grup ortogonalnej
obrot o neskońcene małe kąt obrót o dowoln kąt - cąg obrotów o dowolne małe kąt φ dla małego φ X ' tu X onaca dowoln wektor r o 3 składowch gde φ można łożć 3 obrotów o kąt φ φ φ wokół os odpowedno obacm jak mena sę funkcja różnckowalna pr neskońcene małm obroce o φ D ' rokładając w sereg Talora achowując tlko wra lnowe Y
1.. D pomnąłem chwlowo dalse wra.. gde tu X r jest dokładnoścą do stałej Plancka operatorem momentu pędu a tu nawa sę operatorem neskońcene małego obrotu można dość łatwo pokaać że pełne rownęce Y daje...!... 1 n e n D * wdm wąk: grupa translacj - operator pędu grupa obrotów - operator momentu pędu wąek maceram Paulego spnem
nech kula ma promeń jednostkow środek w każdemu punktow P kul prporądkowujem pewen punkt płascn P o współrędnch ζη lub ζ η jako lcbę espoloną każd obrót kul preprowadając punkt P w M preprowada P w M tn. ζη w ζ η ; jest to pewne prekstałcene płascn można pokaać że α β ' γ δ s1 espolonm współcnnkam ależnm od składowch wektora obrotu to prekstałcene płascn można opsać a pomocą macer untarnej u gdż dwe składowe: ζ η u α γ β δ s det u 1 uwaga: untarność U T U -1 tn. UU T I
każdemu obrotow można węc prporądkować macer untarną o dm macere te tworą grupę - tw. grupę untarną U stneje odpowedność męd U a grupą sfercną ale ne omorfm gdż jednemu obrotow kul odpowadają dwa prekstałcena płascn u ora -u jądrem homomorfmu jest tu podgrupa składająca sę macer jednostkowej I ora -I recwśce s1 s wnka źe I -I prowadą do tego samego Z macer u odpowadająca obrotow o składowch ma postać be dowodu [ / ] ep[ / ] u ep gde - macere Paulego 1 1 1 1 pamętam że obrotow w O 3 odpowada e φ korstając * można pokaać że u I cos sn wra o potęgach parstch korstając własnośc macer 1 wjają sę do cos a neparste do sn obrotom wokół os Z odpowada: u / I cos sn / e e
stąd wdać że obrot o π mają macere różnące sę nakem kontnuując wąk: grupa untarna - operator spnu Grupa SU grupa macer untarnch postac aa * bb * 1 ab espolone a b * b a * własnoścą stneje wąek męd SU a O 3 pełną grupą obrotów właścwch fragment dowodu: 1. prpomnjm macere Paulego 1 1 1 1. defnujm macer r macer ta jest hermtowska o nkającm ślade 3. dokonajm transformacj podobeństwa na r a pomocą u SU u r u 1 można pokaać na ćwcenach że wnk jest też macerą hermtowską o Tr atem mus odpowadać mu macer tpu
' ' ' ' ' ' r ' dla r atem powżsej transformacj podobeństwa a pomocą u odpowada jakaś R u która w O 3 odpowada jakemuś obrotow preprowadającemu wektor r w wektor r. Odworowane SU -> O 3 jest homomorfcne jądrem tego homomorfmu są dwe macere 1 1 1 1 każdemu R u O 3 odpowadają dwe: u -u SU def. Grupa podwójna grup punktowej bór macer SU odpowadającch operacjom danej grup punktowej będącej podgrupą O 3