Podróże po Imperium Liczb Część 13 Nierówności Andrzej Nowicki

Podróże po Imperium Liczb Część 3 Nierówości Adrzej Nowicki Wydie drugie, uzupełioe i rozszerzoe Olszty, Toruń, 03

NRW - 4350) - 04.05.03

Spis treści Wstęp Nierówości i fukcje wypukłe 5. Fukcje wypukłe i ich włsości.............................. 5. Fukcje J-wypukłe...................................... 0.3 Fukcje wypukłe i ciągłość..................................4 Fukcje wypukłe i drug pochod.............................5 Nierówość Krmty.................................... 3 Klsycze ierówości 7. Średi rytmetycz i średi geometrycz....................... 7. Średi hrmoicz i średi kwdrtow.........................3 Średie złożoe....................................... 3.4 Średie potęgowe...................................... 3.5 Nierówość Beroulliego.................................. 5.6 Nierówość Cuchy ego................................... 6.7 Róże klsycze ierówości................................ 9 3 Twierdzeie Muirhed 33 3. Podziły........................................... 33 3. Wielomi symetryczy stowrzyszoy z podziłem................... 36 3.3 Twierdzeie Muirhed i jego dowód........................... 38 3.4 Twierdzeie Muirhed dl podziłów liczb cłkowitych................. 4 3.5 Twierdzeie Muirhed dl podziłów liczb wymierych................. 4 3.6 Nierówości cyklicze.................................... 43 4 Jedorode ierówości wielomiowe 47 4. Jedorode ierówości wielomiowe zmieych................... 47 4. Problem Jous...................................... 49 4.3 Jedorode ierówości wielomiowe dwóch zmieych................ 5 4.4 Jedorode ierówości wielomiowe trzech zmieych stopi........... 5 4.5 Jedorode ierówości wielomiowe trzech zmieych stopi 3........... 53 4.6 Jedorode ierówości wielomiowe trzech zmieych stopi 4........... 55 4.7 Jedorode ierówości wielomiowe trzech zmieych stopi 5........... 56 4.8 Jedorode ierówości wielomiowe trzech zmieych stopi 6........... 56 4.9 Jedorode ierówości wielomiowe trzech zmieych stopi > 6......... 57 4.0 Jedorode ierówości wielomiowe trzech zmieych stopi........... 57 4. Jedorode ierówości wielomiowe czterech zmieych............... 58 5 Niejedorode ierówości wielomiowe 59 5. Nierówości wielomiowe zmieych.......................... 59 5. Nierówości wielomiowe jedej zmieej........................ 60 5.3 Nierówości wielomiowe dwóch zmieych....................... 60 5.4 Nierówości wielomiowe trzech zmieych....................... 6 5.5 Nierówości wielomiowe dl boków trójkąt...................... 64 5.6 Nierówości wielomiowe czterech zmieych...................... 65 5.7 Nierówości z liczbmi + b............................... 66 5.8 Nierówości wielomiowe dl liczb cłkowitych..................... 67 5.9 Róże ierówości wielomiowe.............................. 7 i

6 Jedorode ierówości wymiere 73 6. Jedorode ierówości wymiere zmieych...................... 73 6. Nierówość Nesbitt i jej uogóliei........................... 76 6.3 Jedorode ierówości wymiere dwóch zmieych................... 79 6.4 Jedorode ierówości wymiere trzech zmieych................... 79 6.5 Jedorode ierówości wymiere czterech zmieych.................. 86 7 Róże ierówości wymiere 89 7. Nierówości wymiere ze stłym iloczyem........................ 89 7. Nierówości wymiere zmieych............................ 93 7.3 Nierówości wymiere jedej zmieej.......................... 95 7.4 Nierówości wymiere dwóch zmieych......................... 95 7.5 Nierówości wymiere trzech zmieych......................... 97 7.6 Nierówości wymiere czterech zmieych........................ 0 7.7 Nierówości wymiere dl liczb cłkowitych....................... 03 8 Nierówości z pierwistkmi 09 8. Nierówości z pierwistkmi zmieych......................... 09 8. Nierówości z pierwistkmi dwóch zmieych...................... 0 8.3 Jedorode ierówości z pierwistkmi trzech zmieych............... 0 8.4 Niejedorode ierówości z pierwistkmi trzech zmieych.............. 5 8.5 Nierówości z pierwistkmi czterech zmieych..................... 8 8.6 Nierówości z pierwistkmi i liczbmi turlymi................... 8 8.7 Róże ierówości z pierwistkmi............................. 0 9 Róże ierówości 9. Pochod i ierówości................................... 9. Nierówości z mx i mi.................................. 9.3 Nierówości z bezwzględą wrtością........................... 4 9.4 Nierówości z częścią cłkowitą.............................. 4 9.5 Nierówości z częścią ułmkową.............................. 6 9.6 Nierówości potęgowe.................................... 7 9.7 Nierówości z logrytmmi................................. 8 9.8 Nierówości z sumą lub iloczyem cyfr.......................... 9 9.9 Nierówości z silimi.................................... 30 9.0 Nierówości z symbolmi Newto............................. 3 9. Nierówości z wd i ww.................................. 33 9. Nierówości z liczbmi pierwszymi............................. 36 9.3 Nierówości z klsyczymi fukcjmi rytmetyczymi.................. 38 9.4 Nierówości i ciągi rekurecyje.............................. 43 9.5 Nierówości z fukcjmi trygoometryczymi....................... 44 9.6 Ie ierówości....................................... 45 Spis cytowej litertury 46 Skorowidz zwisk 53 Skorowidz 56 ii

Wstęp Główym temtem prezetowej serii książek są liczby i ich przeróże włsości. Autor od jmłodszych lt zbierł wszelkie fkty i ciekwostki dotyczące jpierw liczb cłkowitych i wielomiów o współczyikch cłkowitych, stępie dotyczące rówież liczb wymierych, rzeczywistych, zespoloych orz wielomiów d tymi zbiormi liczbowymi. Nzbierło się sporo iteresującego mteriłu, którego wybre frgmety będą tu przedstwioe. Mterił pochodzi z wielu różych źródeł. Są tu zdi i problemy, które zjdziemy w populrych czsopismch mtemtyczych. Wśród tych czsopism jest wychodzące od 894 roku przewżie 0 umerów w roku) The Americ Mthemticl Mothly. Są wśród tych czsopism rówież: gielskie czsopismo Mthemticl Gzette,, kdyjskie Crux Mthemticorum, rosyjskie Kwt, chińskie Mthemticl Exclibur, itp. Godymi uwgi są rówież polskie czsopism populro-ukowe: Delt, czsopismo dl uczycieli Mtemtyk orz ie. Istotą rolę w prezetowym mterile odegrły zdi z olimpid i kokursów mtemtyczych cłego świt. Kżdego roku pojwiją się oprcowi, książki orz rtykuły dotyczące zdń z różych zwodów mtemtyczych. Wspomijmy tylko o prestiżowych serich książek z zwodów Itertiol Mthemticl Olympid IMO) orz Putm Mthemticl Competitio. Sporo orygilych zdń zjduje się w oprcowich dotyczących olimpid mtemtyczych w Rosji lub w pństwch byłego Związku Rdzieckiego. Polsk rówież m wrtościowe serie tego rodzju książek. Zebry mterił pochodzi rówież z różych strych orz współczesych podręczików i książek z teorii liczb. Wykorzysto licze książki populro-ukowe orz prce ukowe publikowe w różych czsopismch specjlistyczych. Są tu też pewe teksty pochodzące z iteretu. Większość prezetowych fktów m swoje odośiki do odpowiediej litertury. Odośiki te wskzują tylko wybre miejsc, w których moż zleźć lbo iformcje o dym zgdieiu, lbo rozwiązie zdi, lbo odpowiedi dowód. Brdzo często omwiy temt jest powtrzy w różych pozycjch litertury i często trudo jest wskzć orygile źródł. Jeśli przy dym zgdieiu ie m żdego odośik do litertury, to ozcz to, że lbo omwiy fkt jest oczywisty i powszechie zy, lbo jest to włsy wymysł utor. Elemetr teori liczb jest wspiłym źródłem temtów zchęcjących do pisi włsych progrmów komputerowych, dzięki którym moż dokłdiej pozć bde problemy. Moż wykorzystć ze komputerowe pkiety mtemtycze: MuPd, Mthemtic, CoCoA, Derive, Mple i ie. W prezetowej serii książek zjdziemy sporo wyików i tbel uzyskych główie dzięki pkietowi Mple. We wszystkich książkch z serii Podróże po Imperium Liczb stosowć będziemy jedolite ozczei. Zkłdmy, że zero ie jest liczbą turlą i zbiór {,, 3,... }, wszystkich liczb turlych, ozczmy przez N. Przez N 0 ozczmy zbiór wszystkich ieujemych liczb cłkowitych, czyli zbiór N wzbogcoy o zero. Zbiory liczb cłkowitych, wymierych, rzeczywistych i zespoloych ozczmy odpowiedio przez Z, Q, R orz C. Zbiór wszystkich liczb pierwszych ozczmy przez P.

Njwiększy wspóly dzielik liczb cłkowitych,..., ozczmy przez wd,..., ) lub, w przypdkch gdy to ie prowdzi do ieporozumiei, przez,..., ). Ntomist jmiejszą wspólą wielokrotość tych liczb ozczmy przez ww,..., ) lub [,..., ]. Zpis b ozcz, że liczb dzieli liczbę b. Piszemy b w przypdku, gdy ie dzieli b. Część cłkowitą liczby rzeczywistej x ozczmy przez [x]. Jeśli m jest liczbą turlą, to ϕm) jest liczbą wszystkich liczb turlych miejszych lub rówych m i względie pierwszych z liczbą m. Liczbę elemetów skończoego zbioru A ozczmy przez A. Pewe zmieszczoe tutj fkty przedstwioe są wrz z ich dowodmi. Początek dowodu ozczoo przez D.. Pojwiją się rówież symbole R., U., W. orz O. iformujące odpowiedio o początku rozwiązi, uwgi, wskzówki i odpowiedzi. Wszystkie tego rodzju teksty zkończoe są symbolem. Skrót Odp. rówież ozcz odpowiedź. Spis cytowej litertury zjduje się końcu tej książki przed skorowidzmi). Liczby pomiędzy wismi orz, występujące w tym spisie, ozczją stroy, których d pozycj jest cytow. W pewych podrozdziłch podo rówież literturę dodtkową lub uzupełijącą. Iformuje o tym symbol. Seri Podróże po Imperium Liczb skłd się z piętstu stpujących książek. 0. Liczby wymiere; 0. Cyfry liczb turlych; 03. Liczby kwdrtowe; 04. Liczby pierwsze; 05. Fukcje rytmetycze; 06. Podzielość w zbiorze liczb cłkowitych; 07. Ciągi rekurecyje; 08. Liczby Mersee, Fermt i ie liczby; 09. Sześciy, bikwdrty i wyższe potęgi; 0. Liczby i fukcje rzeczywiste;. Silie i symbole Newto;. Wielomiy; 3. Nierówości; 4. Rówie Pell; 5. Liczby, fukcje, zbiory, geometri. Wszystkie książki z serii Podróże po Imperium Liczb piso w edytorze L A TEX. Spisy treści tych książek orz pewe wybre rozdziły moż zleźć iteretowej stroie utor: http://www.mt.ui.toru.pl/~ow. Wszystkie książki z serii Podróże po Imperium Liczb zostły wyde przez Wydwictwo Nukowe Olsztyńskiej Wyższej Szkoły Iformtyki i Zrządzi im. prof. Tdeusz Kotrbińskiego. Pierwsze wydi tych książek pojwiły się w ltch 008 0. Autor otrzymł sporo iteresujących listów z uwgmi i kometrzmi dotyczącymi omwiych zgdień. Były też listy, w których wytkięto szereg pomyłek, błędów i iedokłdości. Autorom tych wszystkich listów leżą się szczere i serdecze podziękowi. Terz, w tym drugim wydiu książek serii Podróże po Imperium Liczb, przesłe uwgi zostły uwzględioe. Nprwioo błędy, dołączoo pewe dowody orz podo ową ktulą literturę. Wydie to jest rozszerzoe, uzupełioe i wzbogcoe o pewe owe rozdziły lub podrozdziły.

o o o o o W trzystej książce z serii Podróże po Imperium Liczb zjmujemy się różymi ierówościmi liczbowymi. Książk skłd się z dziewięciu rozdziłów. W rozdzile pierwszym podjemy, wrz z istotymi dowodmi, podstwowe iformcje o fukcjch wypukłych. Iformcje te odgrywć będą wżą rolę w dowodch wielu ierówości podych we wszystkich stępych rozdziłch. W szczególości zjmujemy się ierówościmi Krmty. W rozdzile drugim mow jest o powszechie zych ierówościch klsyczych. Mówimy tu o ierówościch pomiędzy wszelkiego rodzju średimi orz mówimy o ierówościch: Beroulliego, Cuchy ego, Hölder, Mikowskiego, Czebyszew i różych iych. Do klsyczych ierówości zlicz się rówież pewe ierówości wyikjące z twierdzei Muirhed z 903 roku. Tym zgdieiem zjmujemy się szczegółowo w rozdzile trzecim. Wszystkie stępe rozdziły, od czwrtego do osttiego włączie, zwierją licze serie przykłdów zych i miej zych ierówości. Przykłdy te posortowo i podzieloo pewe grupy. Oddziele grupy stowią ierówości wielomiowe i ierówości wymiere. W tych grupch wyróżi się jeszcze ierówości jedorode, posegregowe względem stopi jedorodości. Jest też grup dotycząc ierówości z pierwistkmi, któr zjmuje cły rozdził ósmy. W osttim rozdzile są, między iymi, ierówości potęgowe orz ierówości z bezwzględymi wrtościmi i logrytmmi. Pewymi ierówościmi zjmowliśmy się już w iych książkch z serii Podróże po Imperium Liczb. W książce [N-] jest podrozdził o ierówościch z summi cyfr liczb turlych. W książce [N-5] są trzy podrozdziły poświęcoe ierówościom dl podstwowych fukcji rytmetyczych. Podrozdził o ierówościch dl jwiększych wspólych dzielików i jmiejszych wspólych wielokrotości zjdziemy w książce [N-6]. Nierówości są rówież w [N-7] ptrz, przykłd, podrozdził o ierówościch dl liczb Fibocciego). Sporo różych ierówości zjdziemy w książce [N0]. Są tm ierówości z częścimi cłkowitymi i ułmkowymi orz różego rodzju ierówości trygoometrycze. W książce [N] są oddziele podrozdziły o ierówościch z silimi i symbolmi Newto. Wymieiliśmy tylko kilk książek. We wszystkich pozostłych książkch prezetowej serii rówież pojwiją się ierówości. 3

Nierówości i fukcje wypukłe. Fukcje wypukłe i ich włsości We wszystkich książkch serii Podróże po Imperium Liczb przez R ozczmy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych. Pewe szeczególe podzbiory tego zbioru zywją się przedziłmi. Niech, b R, < b. Zbiory [, b] = {x R; x b},, b) = {x R; < x < b}, to odpowiedio przedził domkięty i przedził otwrty. Są też przedziły półotwrte lub półdomkięte):, b] = {x R; < x b}, [, b) = {x R; x < b}. Mmy rówież przedziły ieskończoe: [, ) = {x R; x},, ] = {x R; x },, ) = {x R; < x},, ) = {x R; x < } orz, ) = R. Przedził [0 ), czyli zbiór wszystkich ieujemych liczb rzeczywistych, ozczć będziemy przez R +. Wymieioe podzbiory zbioru liczb rzeczywistych mją pewą wspólą cechę pozwljącą przyjąć stępującą defiicję. Przedziłem liczb rzeczywistych zywmy kżdy iepusty zbiór I R tki, że jeśli, b I, to [, b] I. Niech < b. Liczby leżące do przedziłu [, b] posidją stępującą szczególą włsość.... Jeśli liczb x leży do przedziłu [, b], to istieją jedozczie wyzczoe liczby rzeczywiste α 0 i β 0 tkie, że α + β = orz x = α + βb. Liczbmi tymi są: α = b x b, β = x b. D. Niech α = b x b, β = x b x + x. Wtedy α 0, β 0, α + β = b b α + βb = ) b x) + x )b = ) xb ) = x. b b Złóżmy terz, że x = α + βb, gdzie α 0, β 0, α + β =. Wtedy i stąd α = b x b. Podto, b x = b α + βb) = β)b α = αb α = αb ) x = α + βb = βb α) = βb β = βb ) i stąd β = x. Liczby α i β są więc wyzczoe jedozczie. b Z tej uwgi wyikją stępujące rówości.... [, b] = { α + βb; α 0, β 0, α + β = } = { } λ + λ)b; λ [0, ]. = b b = orz 5

6 Nierówości. Nierówości i fukcje wypukłe Niech I R będzie dowolym przedziłem. Mówimy, że fukcj f : I R jest wypukł, jeśli dl dowolych x, y I i dl dowolych α 0 i β 0 tkich, że α + β =, zchodzi ierówość fαx + βy) αfx) + βfy). Jeśli powyższ ierówość jest ostr w przypdku gdy liczby α i β są większe od zer), to mówimy, że fukcj f jest ściśle wypukł. Mówimy, że fukcj f : I R jest wklęsł, jeśli dl dowolych x, y I i dl dowolych α 0 i β 0 tkich, że α + β =, zchodzi ierówość fαx + βy) αfx) + βfy). Jeśli powyższ ierówość jest ostr w przypdku gdy liczby α i β są większe od zer), to mówimy, że fukcj f jest ściśle wklęsł. Przez f ozczmy fukcję przeciwą do fukcji f. Jej dziedzią jest dziedzi fukcji f orz dl wszystkich x z dziedziy mmy: f)x) = fx). Jest oczywiste, że fukcj f jest wklęsł odpowiedio ściśle wklęsł) wtedy i tylko wtedy, gdy fukcj f jest wypukł odp. ściśle wypukł). T prost uwg pozwl m w wielu wypdkch ogriczyć się do bdi tylko fukcji wypukłych lub ściśle wypukłych. Przykłdem fukcji wypukłej jest kżd fukcj liiow, tz. fukcj h : I R gdzie I jest przedziłem) tk, że hx) = ux + v dl x I, gdzie u i v są ustloymi liczbmi rzeczywistymi. Jeśli bowiem, b I, α, β R, α 0, β 0 orz α + β =, to Mmy tu wet rówość hα + βb) = uα + βb)u + v = αu + v) αv + βub + v) βv + v = αh) + βhb) + α + β)v v = αh) + βhb). hα + βb) = αh) + βhb). Fukcj h jest więc wypukł i jedocześie wklęsł. Moż udowodić:..3. Niech I R będzie przedziłem. Jeśli fukcj h : I R jest jedocześie wypukł i wklęsł, to istieją liczby rzeczywiste u, v tkie, że dl wszystkich x I. [Bul] 5). hx) = ux + v, W szczególym przypdku, gdy u = 0, rozwże h jest fukcją stłą. Kżd więc fukcj stł jest jedocześie wypukł i wklęsł.

Nierówości. Nierówości i fukcje wypukłe 7..4. Niech I R będzie przedziłem. Jeśli fukcj f : I R ie jest różowrtościow i jest jedocześie wypukł i wklęsł, to jest fukcją stłą. Podmy terz stępe przykłdy fukcji wypukłych. W dowodch dotyczących wruku wypukłości korzystć będziemy tylko z defiicji...5. Fukcj f : R R, określo wzorem fx) = x dl x R, jest wypukł. D. Niech, b, α, β R, α 0, β 0, α + β =. Wtedy: αf) + βfb) fα + βb) = α + βb α + βb) ztem fα + βb) αf) + βfb). = α + βb α β b αβb = α α ) + β β )b αβb = α α) + β β)b αβb = αβ + βαb αβb = αβ b + b ) = αβ b) 0,..6. Fukcj f : 0, ) R, określo wzorem dl x 0, ), jest wypukł. fx) = x D. Niech, b, α, β R, > 0, b > 0, α 0, β 0, α + β =. Wtedy: αf) + βfb) fα + βb) = α + β b αbα + βb) + α + βb) b = α + βb bα + βb) = ) α b + αβb + αβ + β b b bα + βb) = ) α b + αβb + αβ + β b α + β)b bα + βb) = ) α α)b + αβb + αβ + β β)b bα + βb) = ) αα )b + αβb + αβ + ββ )b bα + βb) = ) αβb + αβb + αβ βαb bα + βb) = αβ b + b ) αβ b) = 0, bα + βb) bα + βb) ztem fα + βb) αf) + βfb). Sum fukcji wypukłych jest oczywiście fukcją wypukłą. Ntomist iloczy fukcji wypukłych ie musi być fukcją wypukłą. Jk już wiemy fukcje fx) = x i gx) = są wypukłe. Ich iloczyem f g jest fukcj hx) = x, któr ie jest wypukł.

8 Nierówości. Nierówości i fukcje wypukłe..7. Jeśli f, g są fukcjmi wypukłymi i g jest fukcją rosącą, to złożeie g f jest fukcją wypukłą. Złóżmy, że I jest przedziłem. W defiicji wypukłości fukcji f : I R są ierówości, w których występują dwie ieujeme liczby rzeczywiste α i β. W prosty sposób otrzymujemy stąd ierówości z trzem ieujemymi liczbmi rzeczywistymi. Niech f : I R będzie fukcją wypukłą i iech x, y, z I orz iech α, β, γ będą ieujemymi liczbmi rzeczywistymi tkimi, że α + β + γ =. Wtedy fαx + βy + γz) αfx) + βfy) + γfz). Podobe ierówości zchodzą dl czterech, pięciu, sześciu i większej liczby ieujemych liczb rzeczywistych z sumą rówą jede. Mówi o tym stępujące twierdzeie Jese...8 Jese). Niech I R będzie przedziłem. Jeśli f : I R jest fukcją wypukłą, to dl dowolych liczb x,..., x leżących do I gdzie ) orz dl dowolych ieujemych liczb α,..., α tkich, że α + + α = zchodzi ierówość fα x + + α x ) α fx ) + + α fx ). Nierówość t jest często zyw ierówością Jese. D. Idukcj z względu ). Dl = wyik to wprost z defiicji fukcji wypukłej. Niech i złóżmy, że dl jest już to udowodioe. Niech x,..., x + I i iech α,..., α + będą ieujemymi liczbmi rzeczywistymi, których sum jest rów. Ozczmy: α = α + orz β = α = α + + α. Jeśli α =, to α = = α = 0 i ie m czego dowodzić. Złóżmy więc, że α <. Ozczmy rówież: γ i = α i /β dl i =,...,. Wtedy γ,..., γ są ieujemymi liczbmi rzeczywistymi, γ i = orz i= + α j x j = βu + αx +, gdzie u = γ i x i. j= i= Mmy ztem: + f α j x j = fβu + αx + ) βfu) + αfx + ) j= i to kończy dowód. ) = βf γ i x i + αfx + ) β = i= + α j fx j ) j= Podmy terz kilk włsości fukcji wypukłych. i= α i β fx i) ) + αfx + )..9. Niech f : I R będzie fukcją gdzie I R jest przedziłem). Fukcj f jest wypukł wtedy i tylko wtedy, gdy dl dowolych x, x, x 3 I, tkich że x < x < x 3, zchodzi ierówość fx ) x 3 x fx ) + x x fx 3 ) x x x 3 x

Nierówości. Nierówości i fukcje wypukłe 9 lub rówowżie, w brdziej symetryczej postci fx ) x x )x x 3 ) + fx ) x x 3 )x x ) + fx 3 ) x 3 x )x 3 x ) 0 lub w postci wyzczikowej [Fich], [MiV] s.5, [Bul] s.6). x fx ) x fx ) x 3 fx 3 ) 0. D. Wyik to z rówości x = αx + βx 3, gdzie α = x 3 x, β = x x. Oczywiście α > 0, x 3 x x 3 x β > 0 i α + β = )...0. Niech f : I R będzie fukcją wypukłą. Jeśli z < y < x, to fy) fz) y z fx) fz) x z fx) fy). x y ) D. Poiewż y = y z x z x + x y y z z, więc fy) x z x z fx) + x y fz), czyli x z x z)fy) y z)fx) + x y)fz). Stąd mmy x z)fy) x y) x y))fx) + x y)fz), czyli x y)fx) fz)) x z)fx) fy)) fx) fz) fx) fy) i stąd. x z x y Zpisując ierówość ) w postci x z)fy) y z)fx)+x z) y z))fz) otrzymujemy: x z)fy) fz)) y z)fx) fz)), czyli fy) fz) y z fx) fz). x z.. [Khr]). Niech f : I R gdzie I R jest przedziłem) będzie fukcją wypukłą. Jeśli x x, y y, x y i x y, to fx ) fy ) x y fx ) fy ) x y. D. Zmieijąc ewetulie x y orz x y, możemy złożyć, że x > y. Mmy wtedy x > y y. Zchodzi wówczs jede z stępujących 8 przypdków. ) x = x > y > y, 5) x > x = y > y, ) x = x > y = y, 6) x > y > x > y, 3) x > x > y > y, 7) x > y = y > x, 4) x > x > y = y, 8) x > y > y > x. Dl kżdego z tych przypdków rozptrujemy ierówości pode w..0 i otrzymujemy tezę.

0 Nierówości. Nierówości i fukcje wypukłe... Niech I R będzie przedziłem, f : I R fukcją wypukłą orz A odcikiem domkiętym zwrtym we wętrzu przedziłu I. Spełioy jest wówczs wruek Lipschitz, tz. istieje dodti liczb M tk, że dl wszystkich x, y A. [Bul] s.7). fy) fx) < M y x,..3. Jeśli f,..., f : I R + są fukcjmi wklęsłymi, to ich średi geometrycz f = f f rówież jest fukcją wklęsłą. [IMO] Loglist 978). E. F. Beckebch, A iequlity of Jese, [Mo] 539)946) 50-505. J. Góricki, Fukcje wypukłe i ierówość Jese, [Gor], 8-. O. Izboldi, L. Kurldczyk, Nierówość Jese, [Kw] 4/990 57-6. Hojoo Lee, Jese s iequlity, [LeH] 4-44. D. S. Mitriović, J. E. Pećrić, A. M. Fic, Covex fuct. d Jese s iequlity, [M-pf].. Fukcje J-wypukłe Niech I R będzie przedziłem. Mówimy, że fukcj f : I R jest J-wypukł lub wypukł w sesie Jese, jeśli dl wszystkich x, y I zchodzi ierówość ) x + y f fx) + fy). Mówimy, że fukcj f : I R jest J-wklęsł lub wklęsł w sesie Jese, jeśli fukcj f jest J-wypukł. Tkie defiicje mmy, przykłd, w: [MiV] s., [Mitr], [Mit] s.54... Jese 905, [MiV] s.). Jeśli f : I R jest fukcją J-wypukłą, to dl dowolych liczb x,..., x leżących do I gdzie ) orz dl dowolych ieujemych liczb wymierych α,..., α tkich, że α + + α =, zchodzi ierówość fα x + + α x ) α fx ) + + α fx ).... Jeśli J-wypukł fukcj jest ciągł, to jest wypukł...3 Jese 905). Jeśli I jest odcikiem domkiętym, to kżd ogriczo J-wypukł fukcj f : I R jest ciągł. [MiV] s.5).

Nierówości. Nierówości i fukcje wypukłe W 893 roku J. Hdmrd zjmowł się stępującą ierówością, zwą dzisij ierówością Hdmrd...4. Jeśli f : [, b] R jest fukcją wypukłą, to ) + b f b fx)dx b f) + fb). B. G. Pchptte, Hdmrd s iequlities, [Pch] 53-64..3 Fukcje wypukłe i ciągłość W ogólości fukcje wypukłe ie muszą być ciągłe..3.. Fukcj f : [0, ] R, okrślo wzorem jest wypukł i ie jest ciągł. fx) = { 0, gdy x [0, ),, gdy x =, Dl przedziłów otwrtych tk sytucj już się ie może zdrzyć..3.. Jeśli I R jest przedziłem otwrtym, to kżd fukcj wypukł f : I R jest ciągł. Ptrz przykłd [Krs] 36). G. H. Hrdy, J. E. Littlewood, G. Poly, Cotiuous covex fuctios, [H-5], 7-7. G. H. Hrdy, J. E. Littlewood, G. Poly, Discotiuous covex fuctios, [H-5], 96-0. D. S. Mitriović, P. M. Vsić, Cotiuity of Jese covex fuctios, [MiV], 4-5..4 Fukcje wypukłe i drug pochod.4.. Niech f : I R będzie fukcją gdzie I R jest przedziłem) posidjącą w I drugą pochodą. Jeśli f x) 0 dl wszystkich x I, to f jest fukcją wypukłą. D. Niech x, x I, x < x i iech 0 < λ <. Ozczmy x = λx + λ)x. Wtedy x I orz x < x < x. Rozwżmy przedziły [x, x] i [x, x ]. Z twierdzei Lgrge o wrtości średiej) istieją c x, x), c x, x ) tkie, że f c ) = fx) fx ), f c ) = fx ) fx). x x x x Oczywiście c < c. Poiewż f x) 0, fukcj f jest iemlejąc. Ztem f c ) f c ), czyli fx) fx ) x x fx ) fx). x x

Nierówości. Nierówości i fukcje wypukłe Stąd otrzymujemy ierówość x x)fx) fx )) x x )fx ) fx)) i stępie ierówość x x )fx) x x )fx ) + x x)fx ), czyli fx) x x x x fx ) + x x x x fx ). Zuwżmy terz, że λ = x x x x orz λ = x x x x. Ztem to ozcz, że f jest fukcją wypukłą. fλx + λ)x ) < λfx ) + λ)fx ), W te sm sposób dowodzimy stępe twierdzeie..4.. Niech f : I R będzie dowolą fukcją gdzie I R jest przedziłem) posidjącą w I drugą pochodą. Jeśli f x) > 0 dl wszystkich x I, to f jest fukcją ściśle wypukłą..4.3. Niech f : I R będzie dowolą fukcją gdzie I R jest przedziłem) różiczkowlą w I. Nstępujące wruki są rówowże. ) Fukcj f jest wypukł. ) Pochod f jest fukcją iemlejącą. 3) fx) fx 0 ) + f x 0 )x x 0 ) dl dowolych x, x 0 I. Jeśli dodtkowo fukcj f posid drugą pochodą, to dochodzi jeszcze wruek 4) f x) 0 dl dowolego x I. Ptrz p. [Stee] 90, [Krs] 34). Korzystjąc z powyższych twierdzeń łtwo moż podć stępe przykłdy fukcji wypukłych..4.4. Przykłdy wypukłych fukcji f : R R : ) fx) = x ; ) fx) = e x i ogóliej fx) = x dl > 0; 3) fx) = x, gdy jest przystą liczbą turlą..4.5. Przykłdy wypukłych fukcji f : 0, ) R : ) fx) = x dl N; ) fx) = x dl ; 3) fx) = x..4.6. Fukcj fx) = si x jest wypukł odciku [0, π]. Stąd w szczególości wyikją stępujące ierówości.

Nierówości. Nierówości i fukcje wypukłe 3.4.7. ) e x+y ex + e y, dl x, y R. ) x + y 5 ) x5 + y 5, dl x, y > 0..4.8. x 3 + + x 3 ) x + + x ) 3, dl x,..., x > 0. Ptrz 4..6)..4.9. Niech I R będzie przedziłem i iech f : I R będzie fukcją tką, że fx) > 0 dl x I. Złóżmy, że fukcj f jest rosąc lub wypukł. Wtedy fx)x y)x z) + fy)y z)y x) + fz)z x)x y) > 0 dl wszystkich x, y, z I z wyjątkiem przypdku x = y = z. Ptrz 4.5.6). T. Adreescu, B. Eescu, Iequlities with covex fuctios, [AE] -5. P. S. Bulle, Covex fuctios, [Bul], 5-59. P. S. Bulle, D. S. Mitriović, P. M. Vsić, Covex fuctios, [B-mv], -33. J. Góricki, Nierówości, wypukłość i ekstrem, [Ms], 993), 44-49. G. H. Hrdy, J. E. Littlewood, G. Poly, Covex fuctios, [H-5], 70-7. G. H. Hrdy, J. E. Littlewood, G. Poly, Further geerl prop. of covex fuctios, [H-5]. D. S. Mitriović, Fukcje wypukłe, [Mitr], [Mit] 54-6. D. S. Mitriović, P. M. Vsić, Covex fuctios, [MiV], 0-6. B. G. Pchptte, Iequlities ivolvig covex fuctios, [Pch] -. Podstwowe włsości fukcji wypukłych przedstwioe są w wielu książkch z lizy mtemtyczej ptrz przykłd: [Fich], [Kurt], [Mu]). Godymi polecei są współczese książki: [Druz], [Krs], [Kry], [Plos]..5 Nierówość Krmty N podstwie [Khr] orz [Khr]. Niech A R będzie przedziłem. Dl kżdej liczby turlej ozczmy przez A ) zbiór wszystkich ciągów x,..., x ) tkich, że x,..., x A orz x x x. Wprowdzmy w zbiorze A ) częściowy porządek, określoy w stępujący sposób. Niech x = x,..., x ) orz y = y,..., y ) będą ciągmi leżącymi do zbioru S ). Wówczs x y jeśli: x y, x + x y + y, x + x + x 3 y + y + y 3,. x + + x y + + y, x + + x = y + + y. Jeśli x y i x y, to piszemy x y. Stosowć będziemy rówież ozczei y x orz y x, w przypdkch gdy odpowiedio x y orz x y. Spójrzmy kilk przykłdów..5.., 0,..., 0),, 0,..., 0) 3, 3, 3, 0,..., 0),,..., ).

4 Nierówości. Nierówości i fukcje wypukłe.5.. Niech A = [0, ]. Jeśli x = x,..., x ) A ) i x + x + + x =, to, 0,..., 0) x ),...,..5.3. Jeśli x = x,..., x ) A ) i y = y,..., y ), gdzie y = y = = y = x + x + + x, to y A ) orz x y..5.4. Rozwży porządek ie jest ogół porządkiem liiowym, tz. jeśli x, y A ), to ie musi być prwdą, że x y lub y x. Tk jest przykłd dl x = 5, 5, 0), y = 6,, )..5.5 Twierdzeie Krmty). [Khr], [Khr]). Niech A R będzie dowolym przedziłem i iech f : A R będzie fukcją wypukłą. Jeśli x = x,..., x ) i y = y,..., y ) są tkimi ciągmi leżącymi do A ), że x y, to fx ) + fx ) + + fx ) fy ) + fy ) + + fy ). D. [Khr]). Korzystmy z tożsmości Abel: k b k = u k b k b k+ ) + u b, k= k= gdzie u k = + + k. Tutj,...,, b,..., b są dowolymi liczbmi). Jeśli dl pewego k {,..., } zchodzi rówość x k = y k, to x k i y k możemy wyelimiowć, gdyż fx k ) i fy k ) występują po obu stroch dowodzoej ierówości. Możemy ztem złożyć, że x k y k dl wszystkich k =,...,. Ozczmy: X k = x + + x k, Y k = y + + y k, D k = fx k) fy k ) x k y k, dl wszystkich k =,..., k. Poiewż x y, więc X k Y k dl wszystkich k <, X = Y orz mocy..) D k D k+ dl k <. Mmy ztem oczywistą ierówość ) X k Y k )D k D k+ ) + X Y )D 0. k= Niech k = x k y k, b k = D k, dl k =,...,. Wówczs z tożsmości Abel i ierówości ) otrzymujemy: czyli x k y k )D k = k= x k y k )D k 0. Ztem, k= 0 i mmy: fx k ) k= = k b k = u k b k b k+ ) + u b k= k= X k Y k )D k D k+ ) + X Y )D 0, k= fx k ) fy k )) = k= fy k ). k= x k y k ) fx k) fy k ) = x k y k Powyższą ierówość moż uogólić w stępujący sposób. k= x k y k )D k k=

Nierówości. Nierówości i fukcje wypukłe 5.5.6 [Fu47], [Khr]). Niech f : A R będzie fukcją wypukłą gdzie A R jest przedziłem) i iech p,..., p będą dodtimi liczbmi. Niech x,..., x ), y,..., y ) będą ciągmi o wyrzch leżących do A tkimi, że x x x, y y y orz k k p i x i p i y i dl k =,..., i i= i= p i x i = p i y i. Wtedy i= i= p fx ) + p fx ) + + p fx ) p fy ) + p fy ) + + p fy ). Przedstwimy terz kilk zstosowń ierówości Krmty..5.7.[Khr], [Khr]). Niech f : A R będzie fukcją wypukłą gdzie A R jest przedziłem). Wówczs dl dowolych, b, c A zchodzi ierówość f + b) + fb + c) + fc + ) f) + fb) + fc). D. Niech, b, c A. Możemy złożyć, że b c. Wtedy i tez wyik z.5.5., b, c) + b, + c, b + c).5.8. Niech f : 0, ) R będzie fukcją wypukłą. Jeśli, b, c są długościmi boków trójkąt, to [Khr], [Khr]). f) + fb) + fc) f + b c) + fb + c ) + fc + b). D. Niech x = b + c ), y = + c b), z = + b c). Wtedy x + y = c, x + z = c, y + z =. Wówczs, mocy.5.7, mmy: fx + y) + fy + z) + fz + ) fx) + fy) + fz), czyli f) + fb) + fc) f + b c) + fb + c ) + fc + b)..5.9 Szegö 950). Niech f : A R będzie fukcją wypukłą gdzie A R jest przedziłem). Jeśli 0 są liczbmi leżącymi do A, to f ) f ) + f 3 ) + f ) f + 3 + ). [Khr], [Khr], [AE] s.3).

6 Nierówości. Nierówości i fukcje wypukłe D. Niech b = + 3 +. Wtedy ierówość t m postć f ) + f 3 ) + + f ) fb) + f ) + + f ) i to wyik z ierówości.5.5, gdyż, 3,..., ), 4,...,, b). Jov Krmt żył w ltch 90 967; mtemtyk jugosłowiński. Nzwie ierówości z twierdzei.5.5 ierówością Krmty jest jk czytmy w [Khr] i [Khr]) sprwą sporą. Nierówość t zostł udowodio w 93 roku przez Krmtę w prcy [Kr], w której podo rówież pewe jej uogóliei. Trzy lt wcześiej Hrdy, Littlewood i Poly udowodili ją w [H-lp]. Podob ierówość pojwił się jeszcze wcześiej I. Schur 93). E. F. Beckebch, R. Bellm, Nierówość Krmty, [BeB], 48-50. S. Guero, Substitutios, iequlities, d history, [Crux], 00, 88-90. S. Guero, R. Tessler, Mjoriztio t the Krmt iequlity, Etgr-Gilioot Mthemtic, 48-49999), 4-0.

Klsycze ierówości. Średi rytmetycz i średi geometrycz Średią rytmetyczą liczb x,..., x zywmy liczbę x + + x. Średią geometryczą dodtich liczb x,..., x zywmy liczbę x x.... Dl dowolych dodtich liczb rzeczywistych x,..., x, zchodzi ierówość x + x + + x x x x. Rówość zchodzi wtedy i tylko wtedy, gdy x = x = = x. Istieje wiele przeróżych dowodów powyższej ierówości. Przedstwimy terz jede ze zych dowodów. W tym celu udowodimy jpierw:... Jeśli,..., s są dodtimi liczbmi rzeczywistymi tkimi, że =, to + + +. Rówość zchodzi wtedy i tylko wtedy, gdy = = =. D. [JeL], idukcj mtemtycz względem ). Dl jest to oczywiste. Złóżmy, że dl pewego sum dowolych liczb dodtich jest ie miejsz od, gdy ich iloczy jest rówy. Mmy wykzć, że jeżeli > 0, > 0,..., + > 0 orz + =, to + + + + + +. Liczby,..., + moż tk poumerowć, by +. Mmy. Istotie, gdyby >, to iloczy + byłby większy od, wbrew złożeiu. Podobie wykzujemy, że +. Poiewż 3 + ) =, więc mocy złożei + 3 + + + +. Mmy ztem: + + + + + ) = + 3 + + + + ) + + + + + ) + + + + = ) + ) 0, gdyż, jk zuwżyliśmy,, +. W te sposób ierówość + + + + + + zostł udowodio. Z dowodu wyik, że rówość + + + + = + zjdzie wtedy i tylko wtedy, gdy = + =, więc gdy wszystkie liczby,..., + są rówe. 7

8 Nierówości. Klsycze ierówości Dowód ierówości... Niech i = x i g, dl i =,...,, gdzie g = x x. Wtedy,..., są dodtimi liczbmi rzeczywistymi tkimi, że =. Korzystjąc z.., mmy + +, więc x + x + + x x x x. Rówość zchodzi wtedy i tylko wtedy, gdy + + =, czyli tylko wtedy gdy = = = ptrz..), to implikuje, że x = = x. Iteresujący dowód ierówości.. podł Słwomir Cyk w [Dlt] 8/99 ptrz [CiCP] -3). Wykorzystł o tk zwą idukcję wsteczą. Drugi dowód ierówości... ). Udowodimy jpierw, że z prwdziwości ierówości.. dl wyik jej prwdziwość dl. Niech bowiem x,..., x będą liczbmi dodtimi. Przyjmijmy: x = x x x. Korzystjąc z prwdziwości dl mmy ierówość x + + x x x. Ale więc x + + x x i wobec tego x x = x x = x, x + x x = x, x. b). Terz wykżemy, że ierówość.. jest prwdziw gdy = s jest potęgą dwójki. Dl s = jest to dobrze z ierówoć dl dwóch dodtich liczb. Niech s i złóżmy, że ierówość.. jest prwdziw dl = s. Niech x,..., x będą liczbmi dodtimi. Przyjmijmy: y k = x k + x k, z k = x k x k, dl k =,,...,. Oczywiście y k z k dl wszystkich k =,...,. Mmy wtedy: x x..., x = z z z = z z z z + + z y + + y = x +x + x3+x4 + + x +x = x + x + x i stąd wyik tez. Ie dowody ierówości.. zjdziemy w stępych rozdziłch tej książki. Udowodiliśmy ierówość.. przy pomocy ierówości... Zuwżmy, że te dwie ierówości są rówowże. Nierówość.. wyik tychmist z ierówości... Nierówość.. jest szczególym przypdkiem stępującej ogóliejszej ierówości...3. Niech p,..., p będą liczbmi dodtimi tkimi, że p i =. Wówczs i= p x + p x + + p x x p xp xp, dl x,..., x > 0. Rówość zchodzi wtedy i tylko wtedy, gdy x = x = = x. Ptrz, przykłd, [Fich], [Stee] ).

Nierówości. Klsycze ierówości 9..4. α α + β xα+β + β α + β yα+β x α y β, dl α, β, x, y > 0. D. [Stee] 3, 3). Podstwimy: p = α α + β, p = β α + β, = x α+β, = y α+β. Wtedy p + p = i mmy: Wykorzystliśmy ierówość..3. α α + β xα+β + β α + β yα+β = p + p p p = xα y β...5. x p+ + y p+ x p y + xy p, dl p, x, y > 0. D. Wyik to z ierówości..4: p x p y + xy p p + xp+ + ) p + yp+ + p + xp+ + p ) p + yp+ = x p+ + y p+. Z ierówości.. wyikją ierówości:..6...7. b + b, dl, b > 0. b + b c + c 3, dl, b, c > 0...8. Dl dowolych dodtich liczb rzeczywistych x,..., x zchodzi ierówość x x + x x 3 + + x x Rówość zchodzi wtedy i tylko wtedy, gdy x = = x...9. Z ierówości..8 wyik ierówość... + x x. D. Niech,..., będą dodtimi liczbmi rzeczywistymi, których iloczy jest rówy. Niech Wtedy x x =, x i = i i+, dl i =,...,. x x 3 =,..., x x = orz x = = x =. Mmy więc mocy..8): = + = x x + + x x. Zotujmy kilk ierówości wyikjących w prosty sposób z ierówości.....0. b + bc + c 3, dl, b, c > 0, bc =.... b + ) + bc + ) + c + ) 6, dl, b, c > 0, bc =. [OMm] 996/997).

0 Nierówości. Klsycze ierówości... + b + c + d + b + c + d + bc + bd + dc 0, dl, b, c, d > 0, bcd =. [OM] Rosj)...3. Jeśli x,..., x są liczbmi dodtimi tkimi, że x x =, to: ) + +. x x ) x α + + x α, dl dowolej liczby rzeczywistej α. Nstęp ierówość rówież wyik z ierówości.....4. Jeśli x,..., x są dodtimi liczbmi tkimi, że x x =, to + x ) + x ) + x ). [IMO] Loglist 959-960, [Djmp] s.36, [OM] Rosj 984/985). D. Sposób I). Wyik to z ierówości.., gdyż iloczy + x ) + x ) + x ) jest sumą skłdików, których iloczy jest rówy. Sposób II. [Ris]). Korzystjąc z ierówości pomiędzy średimi, otrzymujemy ciąg ierówości: + x x, + x x,..., + x x. Możymy te wszystkie ierówości stromi przez siebie i otrzymujemy tezę. Nierówość..4 jest szczególym przypdkiem stępującej ogóliejszej ierówości Huyges...5. Dl dowolych dodtich liczb rzeczywistych x,..., x zchodzi ierówość + x x ) + x ) + x ) + x ). [IMO] Loglist 97). Z tej ierówośći wyik stęp ierówość...6. Jeśli x,..., x są dodtimi liczbmi tkimi, że x x =, to 3 + x ) + x ) + x ). [OM] Chiy 989/990, [Liu] 30-3). D. + x ) + x ) + x ) = ) ) + + x ) + + x ) + + x ) + x ) + x ) + ) = 3. ) Wykorzystliśmy dw rzy ierówość..5. W ierówości..5 występuje średi geometrycz. Średią rytmetyczą też tu moż dodć.

Nierówości. Klsycze ierówości..7. Dl dowolych dodtich liczb rzeczywistych x,..., x zchodzą ierówości + ) x x + x ) + x ) + x ) + x ) + + x. [IMO] Loglist 97, [Djmp] s.77)...8. Dl dowolych dodtich liczb rzeczywistych orz x,..., x zchodzą ierówości + ) x x + x ) + x ) + x ) + x ) + + x. T. Mitev, [Crux] z.938). D. Prw ierówość wyik z ierówości pomiędzy średimi: + x + + x = + x ) + + + x ) Terz wykzujemy ierówość po lewej stroie: + x ) + x ) = + x ) + x ) Wykorzystliśmy ierówość Huyges..5. + x ) + x ). x ) + x = + ). x x Niech x = x ) będzie ieskończoym ciągiem liczb dodtich. Jeśli jest liczbą turlą, to przez A x) i G x) ozczmy odpowiedio średią rytmetyczą i geometryczą liczb x,..., x, tz.:..9. A x) = G x) A x) = x + + x, G x) = x x. ) A ) x) G x) + G x) ), dl. [Mit] s.0). G x)..0. G x) + G x) + + G x) A x)a x) A x). Iymi słowy, dl dowolych dodtich liczb rzeczywistych x,..., x zchodzi ierówość Kir Kedly, [Mild]). x + x x + + x x x x x + x x + + x.... A x) G x)) ) A x) G x)), dl. Stąd wyik, że jeśli m, to A x) G x)) m A m x) G m x)). [MM] 453)97) 7-73, [Mit] s.9).... ) G x) A x) ) G x), dl. [Mit] s.73). A x)

Nierówości. Klsycze ierówości..3. Niech, b, c > 0, A = + b + c, G = 3 bc, H = 3 ) A 3 G 4 + 3A 4H. [IMO] Loglist 99). 3 + b. Wtedy + c P. S. Bulle, The geometric me-rithmetic me iequlity, [Bul], 7-4. P. S. Bulle, Refiemets of the geometric me-rithmetic me iequlity, [Bul], 5-54. G. H. Hrdy, J. E. Littlewood, G. Poly, The theorem of the rithm. d geom. mes, [H-5]. L. Kurldczyk, Średi rytmetycz i geometrycz, [Ko00], 7-35. N. Lord, O iequlities equivlet to the iequlity of the mes, [MG] 55008) 59-533. H. Pwłowski, Nierówość o średich i jej uogólieie, [Dlt] /994 8-. R. M. Youg, Aother simple proof of the theorem of the mes, [MG] 50007) 07-09.. Średi hrmoicz i średi kwdrtow Jeśli x = x,..., x ) jest ciągiem liczb dodtich, to przez Hx), Gx), Ax) i Kx) ozczmy odpowiedio średie hrmoiczą, geometryczą, rytmetyczą i kwdrtową tego ciągu. Średie te defiiuje się stępująco. Hx) = + + + ), x x x Gx) = x x x, Ax) = x + x + + x ), Kx) = x + x + + x ).... Pomiędzy tymi średimi zchodzą ierówości: Hx) Gx) Ax) Kx). W kżdej z tych ierówości rówość m miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy x = x = = x... Sierpiński 909). Ax)Hx) Gx) Ax) Hx). [M-pf] )...3. Ax) + Gx) Kx). [MM] 633)990) 93)...4. Hx +,..., x + ) Hx, x,..., x ) +, dl x,..., x > 0. [OM] Mołdwi 00). P. S. Bulle, The rithmetic, geometric d hrmoic mes, [Bul], 60-74. P. S. Bulle, D. S. Mitriović, P. M. Vsić, The rithm., geom. d hrmoic mes, [B-mv]. D. S. Mitriović, Nierówości zchodzące dl podstwowych średich, [Mit], 9-7. L. Kurldczyk, Klsycze ierówości pomiędzy średimi, [Ko00], 38-4.

Nierówości. Klsycze ierówości 3.3 Średie złożoe.3.. Dl dych liczb ieujemych i b defiiujemy dw ieskończoe ciągi ) i g ) w stępujący sposób: = + b, g = b, + = + g, g + = g. Wtedy dl kżdej liczby turlej zchodzą ierówości mi, b) g g g mx, b). Rówości zchodzą wtedy i tylko wtedy, gdy = b. [Mit] s.8)..3.. Dl dych liczb ieujemych i b defiiujemy dw ieskończoe ciągi ) i h ) w stępujący sposób: = + b, h = + b, + = + h, h + = Wtedy dl kżdej liczby turlej zchodzą ierówości +. h mi, b) h h h mx, b). Rówości zchodzą wtedy i tylko wtedy, gdy = b. [Mit] s.9). D. S. Mitriović, Średie złożoe, [Mit], 7-9..4 Średie potęgowe Jeśli x = x,..., x ) jest ciągiem liczb dodtich i t R {, + }, to przez M t x) ozczmy liczbę rzeczywistą, zwą średią potęgową stopi t ciągu x, zdefiiową stępująco ) xt + x t + + x t t ), gdy 0 t R, M t x) = x x x, gdy t = 0, mi{x,..., x } gdy t =, mx{x,..., x } gdy t = +. W szczególości: M x) = Hx) M 0 x) = Gx) M x) = Ax) M x) = Kx) średi hrmoicz, średi geometrycz, średi rytmetycz, średi kwdrtow.

4 Nierówości. Klsycze ierówości Ztem, ptrz..). M x) M 0 x) M x) M x) Określeie średiej potęgowej stopi zero, jko średiej geometryczej, jest turle, gdyż:.4.. Jeśli x = x,..., x ) jest ustloym ciągiem liczb dodtich, to [B-mv], [Bul]). lim M tx) = M 0 x). t 0 To smo dotyczy średich M x) i M x):.4.. lim t M tx) = M x), lim t M t x) = M x). [B-mv], [Bul])..4.3. Niech x = x,..., x ) będzie ustloym ciągiem liczb dodtich i iech t, s będą dowolymi liczbmi rzeczywistymi. Wtedy: ) mix) M t x) mxx); ) jeśli s < t, to M s x) M t x); 3) jeśli s < t, to M s x) = M t x) x = x = = x. [B-mv], [Bul]). Powyższe fkty były już ze w dziewiętstym wieku ptrz [B-mv], [Bul] s.03). W szczególości mmy:.4.4. Jeśli x,..., x > 0, to x + x + + x ) 3 x3 + x3 + + x3 ) 4 x4 + x4 + + x4 ).....4.5. x + x + + x 3 x 3 + x3 + + x3. [Nord] 990)..4.6. m x m + y m x + y, dl x, y > 0, gdy m. [OM] Moskw 997/998, [Ko03] 46). P. S. Bulle, The power mes, [Bul], 75-65. P. S. Bulle, D. S. Mitriović, P. M. Vsić, The power mes, [B-mv], 3-4. G. H. Hrdy, J. E. Littlewood, G. Poly, Geerl properties of the mes, [H-5], 6-30. L. Kurldczyk, Nierówości pomiędzy średimi potęgowymi, [Ko00], 4-46. Hojoo Lee, Power mes, [LeH] 45-46. D. S. Mitriović, Nierówości dl średich rzędu r, [Mitr], [Mit] 43-45. D. S. Mitriović, J. E. Pećrić, A. M. Fic, Some recet results ivolvig mes, [M-pf], -63. D. S. Mitriović, P. M. Vsić, Mes, [MiV], 74-95. J. M. Steele, The ldder of power mes, [Stee] 0-34.

Nierówości. Klsycze ierówości 5.5 Nierówość Beroulliego Nierówością Beroulliego zyw się kżdą z stępujących ierówości..5.. Jeśli x, α są liczbmi rzeczywistymi, to + x) α + αx, dl 0 < α <, x >. + x) α + αx, dl α >, x >. W obu ierówościch rówość zchodzi wtedy i tylko wtedy, gdy x = 0. Gdy α = jest liczbą turlą i x 0, ierówość Beroulliego + x) + x wyik tychmist z dwumiu Newto: ) ) + x) = + x + x + + x. Stąd wyikją stępe ierówości, które rówież są zywe ierówościmi Beroulliego..5.. + x) + x +.5.3. + x) + x + ) x, dl x 0, 0. ) x + ) ) x 3, dl x >, 0. [JeL]). 6 W dowodch podych iżej ierówości wykorzystuje się ierówości Beroulliego..5.4. + ) 3, dl. D. [JeL]). Korzystmy z ierówości.5.3: + ) = = ztem ) + ) ) ) + + ) 6 + ) 3 = 3 + 9 + 7 + 6 6 + ) 3 3 + 6 + 6 + 6 + ) 3 = 3, + ) 3..5.5. + /, dl. D. [JeL]). Przyjmijmy = + x. Wówczs oczywiście x 0. Stosując ierówość.5. otrzymujemy = + x) ) + x + x ) + x, skąd x /, ztem = + x + /.

6 Nierówości. Klsycze ierówości.5.6. + ), dl. D. [JeL]). Korzystmy z ierówości.5.: skąd + ) = + ) + + = +, ). ) = ) =, J. Góricki, Nierówość Beroulliego, [Gor], -5. L. Kurldczyk, Nierówość Beroulliego, [Ko00], 35-38. D. S. Mitriović, Nierówość Beroulliego, [Mitr], [Mit] 3-33. D. S. Mitriović, J. E. Pećrić, A. M. Fic, Beroulli s iequlity, [M-pf], 65-8. D. S. Mitriović, P. M. Vsić, Beroulli s iequlity d its geerliztios, [MiV], 34-36..6 Nierówość Cuchy ego.6. Cuchy). Dl dowolych liczb rzeczywistych x,..., x, y,..., y zchodzi ierówość ) x y + + x y x + + x ) y + + y ) Jeśli wszystkie liczby x,..., x są róże od zer, to rówość zchodzi wtedy i tylko wtedy, gdy y x = y x = = y x. Nierówość.6. zyw się ierówością Cuchy ego lub ierówością Cuchy ego-buikowskiego lub ierówością Cuchy ego-schwrz lub ierówością Cuchy ego-buikowskiego-schwrz. Zych jest wiele różych dowodów ierówości.6.. D. I). Ozczmy A = x i, B = i= Strtujemy od oczywistej ierówości x i y i, C = i= yi. Nleży udowodić, że i=. B AC. x i ty i ) 0, zchodzącej dl kżdej liczby rzeczywistej t. i= Po przeksztłceiu ierówość t m postć Ct Bt + A 0. To ozcz, że = 4B 4AC 0, czyli B AC.

Nierówości. Klsycze ierówości 7 D. II). Niech A = x i, B = yi. Podstwijąc w ierówości x + y xy liczby i= x = x i /A, y = y i /B otrzymujemy i= x i y i AB ) x i A + y i B, dl i =,...,. Sumując te ierówości stromi mmy i= x iy i i= x i AB A + czyli x i y i AB. i= D. III). [Ko00], z ierówości Jese). Poiewż x i y i x i y i = i= i= i= y i B x i y i, i= ) =, wystrczy udowodić to tylko dl dodtich liczb x,..., x, y,..., y. Niech i = x i /y i, B = yi, λ i = yi /B, dl i =,...,. Wtedy λ,..., λ są liczbmi dodtimi i ich sum jest rów. Z ierówości Jese..8, dl wypukłej fukcji fx) = x, mmy: ) ) ) x i y i = λ i i B = f λ i i B czyli ) x i y i i= i= i= x i ) i= y i = i= i= ) λ i f i ) B = i= i= x i ) Z ierówości.6. wyikją stępujące ze ierówości. )..6.. Dl dowolych ieujemych liczb rzeczywistych,...,, b,..., b : b + + b ) + + ) b + + b ) i= y i ), i= x i ) B i= D. Podstwimy: x =,..., x =, y = b,..., y = b i korzystmy z ierówości.6...6.3 Nierówość trójkąt). Dl dowolych liczb rzeczywistych x,..., x, y,..., y : x + y ) + + x + y ) x + + x + y + + y.

8 Nierówości. Klsycze ierówości D. xi + y i ) = x i + x i y i + y i x i + x i y i + y i = x i + ) y i. i stąd wyik tez. Wykorzystliśmy ierówość.6...6.4 Nierówość trójkąt). Dl dowlych liczb rzeczywistych x,..., x, y,..., y, orz z,..., z, zchodzi ierówość x z ) + + x z ) x y ) + + x y ) + y z ) + + y z ). D. W ierówości.6.3 wstwimy zmist x i, y i odpowiedio x i y i, orz y i z i..6.5. Dl dowolych liczb rzeczywistych,..., : ) ) ) 3 + + 3 + + 4 + + 4 D. W ierówości.6. wstwimy: x =,..., x =, y =,..., y =..6.6. Jeśli szeregi Podto, orz b są zbieże, to zbieży jest rówież szereg = = b b. [Stee] 4-5). = = = b. =.6.7. + 4 b + c 6, dl, b, c > 0. + b + c D. Wykorzystujemy ierówość.6.: + b + c) + 4 b + ) ) + 4 + = 4 = 6. c.6.8. + b + 4 c + 6 d 64. [Fom] 47/88, [Mild]). + b + c + d D. Wykorzystujemy ierówość.6.: + b + c + d) + b + 4 c + 6 ) ) + + 4 + 6 = 8 = 64. d.6.9. Niech fx) będzie wielomiem o ieujemych współczyikch. Jeśli f), to f x) fx) dl x > 0. Iymi słowy, jeśli powyższ ierówość zchodzi dl x =, to zchodzi dl wszystkich x > 0. [Mild]).

Nierówości. Klsycze ierówości 9 D. [Mild]). Niech fx) = x + x + + x+ 0. Korzystjąc z ierówości Cuchy ego mmy: fx)f ) x = ) x + x + + x + 0 x + + x + ) + + + 0 ) = f) i stąd wyik tez. Nierówość Cuchy ego m stępujące uogólieie dl liczb zespoloych..6.0 Cuchy). Dl dowolych liczb zespoloych x,..., x, y,..., y zchodzi ierówość x y + + x y x + + x ) y + + y ). [Khr3]). E. F. Beckebch, R. Bellm, Nierówość Cuchy ego, [BeB] 0-. W. K. Cmyszljew, Zstosowie ierówości Buikowskiego-Cuchy do rozwiązywi pewych zdń, [Kw] /97 33-35. L. Kurldczyk, Nierówość Cuchy ego, [Ko00], 46-5. D. S. Mitriović, Nierówość Cuchy ego, [Mitr], [Mit] 36-38. D. S. Mitriović, J. E. Pećrić, A. M. Fic, Cuchy s d relted iequlities, [M-pf], 83-98. D. S. Mitriović, P. M. Vsić, Cuchy s iequlity, [MiV], 30-3. D. S. Mitriović, P. M. Vsić, Cuchy s d relted iequlities, [MiV], 4-44. J. M. Steele, Strtig with Cuchy, [Stee] -8..7 Róże klsycze ierówości W tym podrozdzile przedstwimy pewe stre i dobrze ze ierówości. Kżd z tych ierówości m wiele przeróżych elemetrych dowodów. Dowodmi ie będziemy się zjmowć. Istieje obszer litertur te temt; są licze książki, rtykuły i oprcowi. Róże dowody przedstwioych tu ierówości zjdziemy, przykłd, w: [H-5], [Mitr], [Mit], [M-pf], [MiV], [Ko00], [BeB], [LeH], [Mild]. Pewym uogólieiem ierówości Cuchy ego.6. jest stępując ierówość Hölder..7.. Jeśli p > 0, q > 0 są liczbmi tkimi, że p + q =, to x y + + x y dl dowolych ieujemych liczb x,..., x, y,..., y. x p + + x p ) /p /q, y q + + y) q Jeśli, w szczególości, p = q =, to ierówość Hölder stje się ierówością Cuchy ego. Stosując odpowiedio dw rzy ierówość Hölder, łtwo moż otrzymć stępujące uogólieie ierówości Cuchy ego..7.. Dl dowolych dodtich liczb rzeczywistych x,..., x, y,..., y, z,..., z zchodzi ierówość x y z + + x y z ) 3 x 3 + + x 3 )y 3 + + y 3 )z 3 + + z 3 ).

30 Nierówości. Klsycze ierówości T ierówość jest szczególym przypdkiem stępującej ogóliejszej ierówości, któr rówież wyik z ierówości Hölder..7.3. Niech x i, x i,..., x si, dl i =,,...,, będą liczbmi dodtimi i iech p,..., p s będą liczbmi dodtimi, których sum odwrotości jest rów. Wtedy: s ) /pk x i x i x si x p k ki. i= k= i= Nstępe dwie ierówości zywe są są ierówościmi Mikowskiego..7.4. Jeśli x,..., x, y,..., y są liczbmi dodtimi, to x x x + y y y x + y )x + y ) x + y ). Rówość zchodzi wtedy i tylko wtedy, gdy D. [Stee] 34). y x = y x = = y x. x x + y y x + y ) x + y ) = x x + y x + + x ) + x + y x + y Wykorzystliśmy dw rzy ierówość pomiędzy średimi. x + x + y y x + y + + y x + y y x + y y ) =. x + y.7.5. Jeśli x,..., x, y,..., y są liczbmi dodtimi i p >, to ) /p ) x i + y i ) p /p ) x p /p i + y p i. i= i= i= Koleje dwie ierówości zywe są ierówościmi Czebyszew..7.6. Jeśli x x x, y y y, to x + + x )y + + y ) x y + + x y ). Jeśli x x x, y y y, to x + + x )y + + y ) x y + + x y ). Nstęp ierówość dotyczy dwóch skończoych ciągów jedkowo uporządkowych. Jej gielsk populr zw, to rerrgemet iequlity.

Nierówości. Klsycze ierówości 3.7.7. Niech x,..., x, y,..., y będą dodtimi liczbmi rzeczywistymi tkimi, że x x x orz y y y. Wtedy, dl dowolej permutcji τ zbioru {,,..., }, zchodzą ierówości: x y + + x y x y τ) + + x y τ) x y + x y + + x y. Zotujmy jeszcze kilk iych klsyczych ierówości..7.8. Jeśli, b, c, d > 0, b < c d, to b < + c b + d < c d..7.9. Jeśli,, 3, b, b, b 3 > 0, b < b < 3 b 3, to b < + + 3 b + b + b 3 < 3 b 3. [Ismj] J.)..7.0. Jeśli,..., są dowolymi liczbmi rzeczywistymi orz b,..., b są liczbmi dodtimi, to zchodzi ierówość mi,..., ) + + mx,..., ). b b b + + b b b [Mit] s.4, [Stee] 8, 43). W 960 roku Z. Opil udowodił stępującą ierówość, zwą dzisij ierówością Opil..7.. Jeśli f : [0, b] R jest fukcją klsy C tką, że fx) > 0 w przedzile 0, b) orz f0) = fb) = 0, to b 0 fx)f x) dx b 4 b 0 f x) dx. I. Ashib, M. Nihei, O uified method of solvig some iequlities, [MG] 5004) 9-98. P. S. Bulle, A Dictiory of Iequlities, [Bull]. P. Hjłsz, O pewej metodzie dowodzei ierówości, [Dlt] 3/986-5. A. I. Khrbrov, Clssicl iequlities d its reversls, Russi). Appedix to: St Petersburg mthemticl olympid, 000. Izdt. St Petersburg Stte Uiv., St Petersburg, 000. A. I. Khrbrov, Proofs of iequlities usig qusilieriztio method, Russi). Appedix to: St Petersburg mthemticl olympid, 999. Izdt. St Petersburg Stte Uiv., St Petersburg, 999. Hojoo Lee, Dowodzeie ierówości, [Dlt], 6/00, 9-. V. Levi, Prbol i ierówości, [Kw] 4/976 4-8. G. Łukszewicz Wokół ierówości Youg, [Dlt] 7/995 4-7. B. G. Pchptte, Opil type iequlities, [Pch] 63-380. J. M. Steele, Hölder iequlity, [Stee] 35-55. M. Siebriuk, Wricje temt klsyczych ierówości, [Kw] 5/979 8-.

3 Nierówości. Klsycze ierówości

3 Twierdzeie Muirhed Jeśli x, y, z, t są dodtimi liczbmi rzeczywistymi, to: x + y xy, x 5 + y 5 x 3 y + y 3 x, x + y + z xy + yz + zx, x 3 + y 3 + z 3 3xyz, x y + y z + z x x yz + xy z + xyz, x 3 + y 3 + z 3 + t 3 xyz + xyt + xzt + yzt. Pewe z tych ierówości są prwdziwe wet dl dowolych liczb rzeczywistych iekoieczie dodtich). Rozwżć będziemy jedk tylko liczby dodtie. Pokżemy, że wszystkie powyższe ierówości są szczególymi przypdkmi pewego twierdzei udowodioego w 903 roku przez R. E. Muirhed Przed wysłowieiem tego twierdzei wprowdzimy jpierw kilk owych pojęć i ozczeń. 3. Podziły Podziłem długości k liczby turlej zywmy kżdy ciąg α = α,..., α k ) ieujemych liczb cłkowitych spełijących stępujące dw wruki: ) α α α k, ) α + α + + α k =. Zbiór wszystkich podziłów długości k liczby ozczć będziemy przez P, k). W szczególości zbiór P4, 3) skłd się z 4 elemetów: Ntomist zbiór P7, 4) m elemetów: 4, 0, 0), 3,, 0),,, 0),,, ). 7, 0, 0, 0), 6,, 0, 0), 5,, 0, 0), 5,,, 0), 4, 3, 0, 0), 4,,, 0), 4,,, ), 3, 3,, 0), 3,,, 0), 3,,, ),,,, ). Jeśli < 0, to elemety zbioru P, k) zpisywć będziemy bez wisów i bez przecików. Elemetmi zbioru P4, 3) są więc podziły: 400, 30, 0,, elemetmi zbioru P7, 4) podziły: 7000, 600, 500, 50, 4300, 40 4, 330, 30, 3,. 33

34 Nierówości 3. Twierdzeie Muirhed Złóżmy, że α = α,..., α k ), β = β,..., β k ) są podziłmi leżącymi do zbioru P, k). Mówić będziemy, że podził α jest większy lub rówy od podziłu β, co zpisywć będziemy jko α β, jeśli: α β, α + α β + β, α + α + α 3 β + β + β 3,. α + α + α 3 + + α k β + β + β 3 + + β k, α + α + α 3 + + α k + α k β + β + β 3 + + β k + β k. T ostti ierówość jest oczywiście rówością. Spójrzmy przykłdy. Ciągi 4 i 3 są podziłmi długości 3 liczby 7. Zchodzi ierówość 4 3, gdyż: W te sm sposób sprwdzmy, że: Łtwo udowodić: 4 > 3, 4 + > 3 +, 4 + + = 3 + +. 70 5, 5 43, 500 4300, 0. 3... Niech α, β, γ będą podziłmi leżącymi do zbioru P, k). Wtedy: ) α α; ) jeśli α β i β α, to α = β; 3) jeśli α β i β γ, to α γ. W zbiorze P3, 3) mmy elemety 300, 0, i zchodzi: 300 0. Wszystkie elemety zbioru P4, 3) uporządkowe są stępująco: 400 30 0. Podobie jest w zbiorze P5, 3): 500 40 30 3. Widzimy tutj, że kżde dw elemety α, β zbioru P, k) są w relcji: lbo α β lbo β α. N ogół tk jedk ie musi być. Elemety α = 4 i β = 330 zbioru P6, 3) ie są w żdej relcji; ie jest prwdą, że α β i ie jest prwdą, że β α. Niech α = α,..., α k ), β = β,..., β k ) będą podziłmi leżącymi do zbioru P, k). Jeśli podziły te są róże, to istieje co jmiej jedo i {,,..., k} tkie, że α i β i. Ozczmy przez Aα, β) zbiór tych wszystkich ideksów i {,,..., k}, dl których zchodzi ierówość α i β i. Dl przykłdu, jeśli α = 4, 3, 3,, ), β = 5, 4, 3,, 0) są podziłmi liczby 3, to Aα, β) = {,, 4, 5}, gdyż podziły te różią się miejscch,, 4 i 5.