Modelowanie ryzyka kredytowego MODELOWANIE ZA POMOCA FUNKCJI HAZARDU cz.i Mariusz Niewęgłowski Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych, Politechniki Warszawskiej Warszawa 214 hazardu Warszawa 214 1 / 45
Elementarny model rynku 1 Obligacje zero-kuponowe o deterministycznej chwilowej stopie procentowej (r(u), u ) sa jedynymi aktywami w które możemy inwestować. ( ) T B(t, T ) = exp r(u)du = B(t) B(T ), gdzie t ( t ) B t = exp r(u)du jest wartościa rachunku oszczędnościowego w momencie t. 2 Moment default u jest dodatnia zmienna losowa na (Ω, G, Q). F(t) := Q(τ t) = t f (u)du hazardu Warszawa 214 2 / 45
Elementarny model rynku Założenie A : Zakładamy, że F(t) < 1 dla każdego t >. 1 Wypłaty 1 {T <τ} nie da się dokładnie zabezpieczyć na takim rynku. 2 Wzór wyceny arbitrażowej jest więc postulowany. 3 W praktyce rozkład τ przy Q- mierze martyngałowej jest wyznaczany na podstawie cen rynkowych instrumentów na rynku. hazardu Warszawa 214 3 / 45
Funkcja Hazardu i jej własności Definicja Funkcja hazardu momentu losowego τ nazywamy funkcję Γ(t) = ln(1 F(t)) Funkcja Γ : R + R + ma następujace własności 1 niemalejaca, 2 Γ() = oraz 3 lim Γ(t) = +. t hazardu Warszawa 214 4 / 45
Funkcja Hazardu i jej intensywność Lemat Załóżmy że F jest absolutnie ciagła względem miary Lebesgue a o gęstości f. Wtedy funkcja hazardu Γ jest absolutnie ciagła tzn. Γ t = t γ(u)du, gdzie γ(t) = f (u) 1 F(u) t R +. Definicja Funkcję γ nazywamy funkcja intensywności momentu τ (intensity lub hazard rate) hazardu Warszawa 214 5 / 45
Intensywność 1 Mamy wzór 2 Interpretacja Q(τ > t) = 1 F(t) = e Γ(t) = e t γ(u)du, γ(t) = lim Q(t < τ t + h τ > t). h h 1 3 Niech τ będzie momentem pierwszego skoku procesu Poissona N z deterministyczna funkcja intensywności (λ(t), t ). Wtedy N t t λ(u)du jest FN -martyngałem. 4 Przez zastopowanie także 1 {τ t} t τ λ(u)du jest F N -martyngałem. hazardu Warszawa 214 6 / 45
Rozgrzewka 1 Niech H będzie procesem indykatora defaultu tzn H t := 1 {t τ}, 2 Przez H oznaczamy naturalna filtrację dla H tzn. H t = σ{{s τ} : s t} 3 H jest najmniejsza filtracja względem której τ jest momentem stopu. 4 Kluczowa obserwacja: Dla X L 1 (Q) mamy E(X H t )1 {τ>t} = E(X τ > t)1 {τ>t} = E(X1 {τ>t}) Q(τ > t) 1 {τ>t} hazardu Warszawa 214 7 / 45
Stały odzysk w terminie wykupu Obligacja (L = 1) bez kuponów (DZC -Defaultable-Zero-Coupon Bond) o terminie wykupu T i odzyskiwanej wartości δ płaconej w T jest reprezentowana przez dwa przepływy. Płatności jednostki pieniężnej L = 1 w T jeżeli {τ > T } Płatność δ [, 1] jednostek pieniężnych dokonywana w T jeżeli {τ T } Cena takiej obligacji jest (formalnie) wartościa oczekiwana przy Q D δ ( ) (, T ) = B(, T )E Q 1{T <τ} + δ1 {τ T } Z tego otrzymujemy D δ (, T ) = B(, T ) }{{} (1 δ)b(, T )F(T ). }{{} Obligacja skarbowa Oczekiwana strata przy Q hazardu Warszawa 214 8 / 45
Wycena dla t [, T ) Na zbiorze {t τ} mamy pewna płatność δ w T której wartość w t wynosi δb(t, T ) Na zbiorze {t < τ} mamy pewna wartość D δ (t, T ), Mamy więc D δ (t, T ) = 1 {t τ} δb(t, T ) + 1 {t<τ} Dδ (t, T ) gdzie D δ (t, T ) dla t [, T ] jest tzw. wartościa przed defaultem Z kluczowej uwagi mamy D δ (t, T ) = E Q (B(t, T )(1 {T <τ} + δ1 {τ T } ) t < τ). hazardu Warszawa 214 9 / 45
Policzmy D δ (t, T ): D δ (t, T ) = B(t, T ) (1 (1 δ)q(τ T t < τ)) ( = B(t, T ) 1 (1 δ) Q(t < τ T ) ) Q(t < τ) ( ) G(t) G(T ) = B(t, T ) 1 (1 δ), G(t) gdzie G(t) = 1 F(t) jest funkcja przeżycia (survival function). Zdefiniujmy dla t [, T ] funkcję ( B γ (t, T ) := B(t, T ) G(T ) G(t) = exp T t r(u) + γ(u)du ). hazardu Warszawa 214 1 / 45
Wtedy wartość przed defaultem można zapisać D δ (t, T ) = B γ (t, T ) + δ (B(t, T ) B γ (t, T )). W szczególności dla δ = (obligacja bez odzysku - zero recovery) mamy D (t, T ) = B γ (t, T ) i dlatego D (t, T ) = 1 {t<τ} D (t, T ) = 1 {t<τ} B γ (t, T ) D δ jest nieciagła w τ, ponieważ na zbiorze {τ T } mamy D δ (τ, T ) D δ (τ, T ) = δb(τ, T ) D δ (τ, T ) = (δ 1)B γ (t, T ) < hazardu Warszawa 214 11 / 45
Reprezentacja ceny Zauważmy, że wartość przed defaultem ma strukturę D δ (t, T ) = B(t, T )(1 LGD DP) gdzie LGD (loss-given-default) i DP (default probability) sa zdefiniowane wzorami LGD := 1 δ, DP := Q(t < τ T ) Q(t < τ) = Q(τ T t < τ) hazardu Warszawa 214 12 / 45
Spready kredytowe Załóżmy że γ(t) = const wtedy mamy S(t, T ) := 1 B(t, T ) ln T t D δ (t, T ) = γ 1 ( ) T t ln 1 + δ(e γ(t t) 1). Krótko terminowy spread jest lim S(t, T ) = γ(1 δ) > gdy γ > i δ < 1. T t Zadanie Czy spready sa dodatnie dla każdego t [, T ]? hazardu Warszawa 214 13 / 45
Spready kredytowe Gdy γ nie jest stała to w przypadku δ = mamy D (t, T ) = B γ (t, T ) = exp( T t ˆr(u)du) gdzie ˆr = r + γ - to tzw. stopa procentowa uwzględniajaca ryzyko kredytowe(deafult-risk-adjusted interest rate). Wtedy S(t, T ) := 1 B(t, T ) ln T t D (t, T ) = 1 T t T Widzimy, że ˆr > r jeżeli γ > co odpowiada jeżeli P(τ T t < τ) >. D (t, T ) < B(t, T ). t γ(u)du > gdy γ >. hazardu Warszawa 214 14 / 45
Ogólny odzysk w terminie wykupu Załóżmy, że płatność w terminie wykupu jest deterministyczna funkcja o momentu τ oznaczana δ : R + R. Wtedy wartość w chwili takiej obligacji jest dana wzorem lub dokładniej D δ (, T ) = B(, T )E Q ( 1{T <τ} + δ(τ)1 {τ T } ), D δ (, T ) = B(, T ) ( G(T ) + T δ(s)f (s)ds Jak poprzednio cena ex-dividend dla t [, T ) jest dana wzorem D δ (t, T ) = B(t, T )E Q ( 1{T <τ} + δ(τ)1 {τ T } H t ) ). hazardu Warszawa 214 15 / 45
Lemat Cena obligacji dla t [, T ) jest dana D δ (t, T ) = 1 Dδ {t<τ} (t, T ) + 1 {t τ} δ(τ)b(t, T ) gdzie wartość przed defaultem D δ (t, T ) jest dana D δ ( (t, T ) := B(t, T )E Q 1{T <τ} + δ(τ)1 {τ T } t < τ ) = B γ (t, T ) + B γ (t, T ) T t δ(u)γ(u)e T u γ(v)dv du. Dynamika procesu ( D δ (t, T ), t [, T ]) jest d D δ (t, T ) = (r(t) + γ(t)) D δ (t, T )dt B(t, T )γ(t)δ(t)dt. Dowód. Na ćwiczeniach : skorzystać z db γ (t, T ) = (r(t) + γ(t))b γ (t, T )dt. hazardu Warszawa 214 16 / 45
Wypłata zastępcza (odzysk) w momencie defaultu Posiadacz otrzymuje jednostkę pieniężna w chwili T jeżeli default jeszcze (do chwili T) nie nastapił, Lub płatność δ(τ) jednostek pieniężnych w momencie τ jeżeli τ T, gdzie δ jest funkcja deterministyczna. Cena w chwili takiej obligacji jest równa D δ (, T ) = E Q ( B(, T )1{T <τ} + B(, τ)δ(τ)1 {τ T } ) = B(, T )Q(T < τ) + T B(, u)δ(u)df(u) T = G(T )B(, T ) + B(, u)δ(u)f (u)du hazardu Warszawa 214 17 / 45
Lemat Cena obligacji dla t [, T ) jest dana D δ (t, T ) = 1 Dδ {t<τ} (t, T ) gdzie wartość przed defaultem D δ (t, T ) jest dana D δ ( (t, T ) := B(t, T )E Q 1{T <τ} + B(t, τ)δ(τ)1 {τ T } t < τ ) = B γ (t, T ) + T t B γ (t, u)δ(u)γ(u)du. Dynamika procesu ( D δ (t, T ), t [, T ]) jest d D δ (t, T ) = (r(t) + γ(t)) D δ (t, T )dt γ(t)δ(t)dt. Dowód. Na ćwiczeniach hazardu Warszawa 214 18 / 45
Konwencje odzysku/wypłaty zastępczej W praktyce spotyka się następujace konwencje odzysku Fractional recovery of Par Value - obligacja płaci stała kwotę δ w momencie τ. Wartość przed defaultem pokrywa się z wartościa przed defaultem dla obligacji z odzyskiem w momencie wykupu z funkcja δb 1 (t, T ) Fractional recovery of Treasury Value - obligacja płaci δ(t) = δb(t, T ) w momencie defaultu. Wartość przed defaultem jest wtedy taka sama jak dla obligacji ze stałym odzyskiem w momencie wykupu T. D δ (t, T ) = e T t (r(u)+γ(u))du + δb(t, T ) G(t) = D (t, T ) + δb(t, T ) T t T t γ(u)e u γ(v)dv du γ(u)e u t γ(v)dv du hazardu Warszawa 214 19 / 45
Częściowy odzysk wartości rynkowej Fractional recovery of Market Value - obligacja płaci w momencie defaultu odzysk równy δ(t) D δ (t, T ), gdzie δ jest deterministyczna funkcja. Wartość przed defaultem ma wtedy dynamikę d D δ (t, T ) = (r(t) + γ(t)(1 δ(t))) D δ (t, T )dt, Dδ (T, T ) = 1 z czego otrzymujemy dla każdego t [, T ] ( ) T D δ (t, T ) = exp r(u) + γ(u)(1 δ(u)))du t hazardu Warszawa 214 2 / 45
Warunkowe wartości oczekiwane zwiazane z H 1 Niech H będzie procesem indykatora defaultu tzn H t := 1 {t τ}, 2 Przez H oznaczamy naturalna filtrację dla H tzn. 3 Własności filtracji H H t = σ{h s : s t}, H = σ{h s : s R + }, H.1 : H t = σ{{s τ} : s t}, H.2 : H t = σ{σ(τ) {τ t}}, H.3 : H t = σ(τ t) {τ > t}, H.4 : H t = H t+, H.5 : H = σ(τ), H.6 : Dla każdego A H mamy A {τ t} H t. hazardu Warszawa 214 21 / 45
Lemat-KLUCZ Lemat Niech Y z.l. G-mierzalna. Wtedy mamy 1 {τ t} E Q (Y H t ) = E Q (Y 1 {τ t} H ) = 1 {τ t} E Q (Y τ), oraz 1 {τ>t} E Q (Y H t ) = 1 {τ>t} E(Y 1 {τ>t} ) Q(τ > t). hazardu Warszawa 214 22 / 45
Kluczowe wnioski Wniosek Niech Y z.l. G-mierzalna. Wtedy mamy E Q (Y H t ) = 1 {τ t} E Q (Y τ) + 1 {τ>t} E(Y 1 {τ>t} ) Q(τ > t). Wniosek Jeżeli Y jest H t mierzalna Y = 1 {τ t} E Q (Y τ) + 1 {τ>t} E(Y 1 {τ>t} ) Q(τ > t). hazardu Warszawa 214 23 / 45
Kluczowe wnioski Wniosek Niech Y z.l. H -mierzalna tzn. Y = h(τ) dla pewnej funkcji borelowskiej h : R + R. Wtedy: Jeżeli funkcja hazardu Γ jest ciagła to mamy E Q (Y H t ) = 1 {τ t} h(τ) + 1 {τ>t} h(u)e Γ(t) Γ(u) dγ(u). Jeżeli τ ma funkcję intensywności γ to E Q (Y H t ) = 1 {τ t} h(τ) + 1 {τ>t} W szczególności dla s > t mamy Q(τ > s H t ) = 1 {τ>t} e s t γ(v)dv t t h(u)γ(u)e u t γ(v)dv du. hazardu s γ(v)dv Warszawa 214 24 / 45
Martyngały zwiazane z momentem defaultu τ Lemat Procesy dane wzorami sa H-martyngałami. L t = (1 H t )e Γ(t), t, df(u) M t = H t (,t τ] 1 F(u ), t, hazardu Warszawa 214 25 / 45
Martyngały zwiazane z momentem defaultu τ Wniosek Załóżmy że funkcja hazardu Γ jest ciagła. Wtedy jest H-martyngałem. Ponadto L t = 1 M t = H t Γ(t τ), t (,t] L u dm u Jeżeli τ ma intensywność to mamy t τ M t = H t γ(u)du = H t t (1 H u )γ(u)du hazardu Warszawa 214 26 / 45
Wzór na całkowanie przez części Lemat Niech g i h będa funkcjami cadlag. Jeżeli g i h maja skończone wachanie na [, t] to wtedy mamy g(t)h(t) = g()h() + g(u )dh(u) + h(u)dg(u) = g()h() + = g()h() + (,t] (,t] (,t] + u t g(u) h(u) g(u)dh(u) + (,t] g(u )dh(u) + (,t] (,t] h(u )dg(u) h(u )dg(u) hazardu Warszawa 214 27 / 45
Dynamiki cen DZC Załóżmy że τ ma funkcję intensywności γ. Wtedy DZC z wypłata zastępcza δ(τ) w momencie defaultu τ ma dynamikę dd δ (t, T ) = (r(t)d δ (t, T ) δ(t)γ(t)(1 H t ))dt D δ (t, T )dm t gdzie M jest H-martyngałem danym wzorem M t = H t t τ γ(u)du = H t t (1 H u )γ(u)du. Widzimy że proces D δ (t, T )B 1 (t) nie jest H-martyngałem. Analogicznie DZC z wypłata zastępcza δ(τ) w momencie wykupu obligacji ma dynamikę dd δ (t, T ) = r(t)d δ (t, T )dt + (δ(t)b(t, T ) D δ (t, T ))dm t hazardu Warszawa 214 28 / 45
Twierdzenie o reprezentacji martyngałowej Theorem Niech h będzię funkcja borelowska E( h(τ) ) = h(u) df(u) <. Wtedy H-martyngał M h zdefinowany wzorem Mt h = E(h(τ) H t ), t ma reprezentację M h t = E(h(τ)) + t τ (h(u) g(u))dm u, t, gdzie g(u) := u h(s)dg(s) G(u) = E(h(τ) τ > u) hazardu Warszawa 214 29 / 45
Twierdzenie o reprezentacji Ponadto g jest ciagł a funkcja i zachodzi g(u) = M h u na zbiorze {τ > u} Stad możemy zapisać martyngał M h nastepujaco M h t = E(h(τ)) + t τ Wniosek Każdy H-martyngał X ma reprezentację (h(u) M h u )dm u, t, t X t = X + ξ u dm u, t, gdzie ξ jest procesem H-prognozowalnym. hazardu Warszawa 214 3 / 45
Zamiana miary Niech P będzie miara probabilistyczna na (Ω, H ) taka, że P < Q Wtedy istnieje η H taka że P(A) = ηdq, A dp dq = η, Ponieważ η = h(τ) to τ ma (wszędzie zdefiniowana) funkcję hazardu jeżeli P(τ > t) = h(u)df (u) >, t. (t, ) Zakładamy że warunek powyżej jest spełniony! Niech F(t) := P(τ t), Γ(t) := ln(1 F(t)), t. hazardu Warszawa 214 31 / 45
Zamiana miary - Twierdzenie Girsanova Lemat Załóżmy, że F jest ciagła. Wtedy F jest ciagła oraz mamy t Γ(t) = ĥ(u)dγ(u), gdzie ĥ(u) = h(t) g(t), g(t) = eγ(t) (t, ) h(u)df(u). Stad proces M dany wzorami t τ M t = H t ĥ(u)dγ(u) = M t jest H martyngałem przy P. t τ (ĥ(u) 1)dΓ(u) hazardu Warszawa 214 32 / 45
Zamiana miary Można pójść w druga stronę, tzn. jeżeli dla pewnej funkcji ĥ funkcja t Γ(t) := ĥ(u)dγ(u), jest funkcja ciagł a taka, że lim Γ(t) = + t to można znaleźć miarę P < Q taka że Γ jest funkcja hazardu τ przy mierze P. Forma tego twierdzenia może nie być wygodna w zastosowaniach. Bardziej przydatna może być postać twierdzenia Girsanova w języku procesu gęstości i eksponenty stochastycznej. hazardu Warszawa 214 33 / 45
Zamiana miary - proces gęstości RN jako eksponenta stochastyczna Niech η t := dp dq H t = E Q (h(τ) H t ) Theorem Niech F bedzie ciagł a funkcja, E oznacza eksponentę stochastyczna. Wtedy t η t = 1 + η u (ĥ(u) 1)dM u, t, lub równoważnie η t = E t ( (, ](ĥ(u) 1)dM u ), t. hazardu Warszawa 214 34 / 45
Zamiana miary - eksponenta stochastyczna Niech κ mierzalna funkcja taka że κ 1, oraz Wtedy t κ(u)dγ(u) <, t, ( ) η t := E t κ(u)dm u, t. (, ] jest nieujemnym H-martyngałem przy mierze Q. Czy można wykorzystać η do konstrukcji miary P < Q takiej że t Γ(t) = (1 + κ(u))dγ(u), t. TAK! Ale tylko jeżeli dodatkowo mamy (1 + κ(u))dγ(u) = hazardu Warszawa 214 35 / 45
Zamiana miary - eksponenta stochastyczna Wtedy η t = E Q (η H t ), gdzie η := lim η t. t Można wtedy wprowadzić miarę probabilistyczna P < Q kładac dp dq := η, Wtedy funkcja hazardu przy P jest dobrze zdefinowana i ma postać t Γ(t) = (1 + κ(u))dγ(u), t. Stad procesy M t = M t t τ κ(u)dγ(u) = H t sa H-martyngałami przy mierze P. t τ (1 + κ(u))dγ(u) hazardu Warszawa 214 36 / 45
Niezupełność Elementarnego Modelu W elementarnym modelu rynku możemy inwestować w obligacje bez ryzyka o deterministycznej stopie procentowej. Zdyskontowane ceny sa stałymi, stad zbiór Q równoważnych miar martyngałowych jest zbiorem miar równoważnych mierze rzeczywistej. Dlatego istnieje nieskończenie wiele miar martyngałowych i mamy doczynienia z rynkiem niezupełnym. Dla dowolnej Q Q, niech F Q (t) := Q(τ t) Przedział cen bezarbitrażowych. Dla DZC o stałym odzysku płaconym w momencie wykupu jest Przedział cen jest równy {E Q (B(, T )(1 {T <τ} + δ1 τ T )); Q Q} (δb(, T ), B(, T )) hazardu Warszawa 214 37 / 45
Równoważne miary martyngałowe/wyceniajace Brak arbitrażu jest zazwyczaj interpretowany jako istnienie równoważej miary martyngałowej. Jeżeli DZC sa instrumentami dostępnymi na rynku to ich ceny sa dane przez rynek. Miara martyngałowa wybrana przez rynek jest taka miara Q, że na zbiorze {t < τ} D(t, T ) = B(t, T )E Q (1 {T <τ} + δ1 τ T t < τ) Można więc rozkład τ przy Q wyciagn ać z cen rynkowych DZC hazardu Warszawa 214 38 / 45
Obligacje bez odzysku Jeżeli DZC bez odzysku sa handlowane na rynku po cenach D(t, T ) to należa one do przedziału (, B(, T )) Zdyskonotwane ceny B(, t)d(t, T ) sa Q martyngałami i ich ceny spełniaja D(t, T )B(, t) = E Q (B(, T )1 {T <τ} H t ) = 1 {t<τ} e T t γ Q (s)ds B(, T ) gdzie γ Q (s) = f Q(s) 1 F Q (s). Stad intensywność przy mierze Q można by otrzymać z cen DZC za pomoca wzoru r(t) + γ Q (t) = T ln D(t, T ) T =t hazardu Warszawa 214 39 / 45
Obligacje bez odzysku W praktyce jednak kalibruje się względem zmieniajacego się T w chwili t = B(, T ) D(, T ) F Q (T ) = B(, T ) Jeżeli δ i ceny DZC o różnych maturity sa znane, to F Q (T ) = B(, T ) D(, T ) B(, T )(1 δ) Rozkład τ przy Q jest więc znany! hazardu Warszawa 214 4 / 45
Obligacje z odzyskiem w momencie defaultu Niech T D oznacza pochodna DZC względem maturity cen w chwili zero D(, T ) Mamy T D(, T ) = g(t )B(, T ) G(T )B(, T )r(t ) δ(t )g(t )B(, T ), gdzie g(t) = G (t). Stad, rozwiazuj ac to równanie różniczkowe otrzymujemy [ t Q(τ > y) = G(t) = (t) 1+ gdzie ( t (t) = exp ] 1 T D(, s) B(, s)(1 δ(s)) ( (s)) 1 ds ) r(u) 1 δ(u) du hazardu Warszawa 214 41 / 45
Cena ex-dividend wypłat narażonych na ryzyko Ogólna wypłata narażona na ryzyko kredytowe (X, X, A, Z, τ) składa się z: Przyrzeczona wypłata X - zobowiazanie do spłacenia w momencie wykupu T < T Przyrzeczone dywidendy A - zobowiazania (kupony) płacone w sposób cigły lub dyskretny. Wypłata zastępcza X wypłacana w T jeżeli default nastapił przed lub w momencie wykupu T. Proces wypłaty zastępczęj (odzysku) Z - wypłata zastępcza wypłacana w momencie defaultu. Momen defaultu τ. hazardu Warszawa 214 42 / 45
Proces dywidend i ceny ex-dividend Definicja Procesem dywidend D wypłaty narażonej na ryzyko kredytowe (X, A, X, Z, τ) o terminie wykupu T definujemy dla każdego t R + wzorem D t = XT d 1 [T, [(t) + (1 H u )da u + Z u dh u, (,t] (,t] gdzie X d T := X1 {τ<t } + X1 {τ T }. Definicja Dla każdego t [[, T ]] cena ex-dividend wypłaty (X, A, X, Z, τ) ( ) S t := B t E Q Bu 1 dd u F t. (t,t ] hazardu Warszawa 214 43 / 45
Dynamiki cen kontraktów na przetrwanie: (X,,,, τ) Założenie A : Zakładamy, że rynek wybrał miarę martyngałowa Q. Założenie B : Zakładamy, że chwilowa stopa procentowa r jest stała. Niech (X,,,, τ) będzie kontratem na dożycie/przetrwanie (survival claim) chwili T. Wypłata w T jest postaci 1 {T <τ} X Cena w chwili t jest dana wzorem Y t = e rt E Q (1 {T <τ} e rt X H t ) Dynamika cen jest natomiast dana wzorem dy t = ry t dt Y t dm t hazardu Warszawa 214 44 / 45
Dynamiki cen wypłat zastępczych: (,,, Z, τ) Niech (,,, Z, τ) będzie wypłata zastępcza (recovery claim). Wypłata w τ jest równa Z (τ)1 {τ T } Cena ex-dividend w chwili t jest dana wzorem S t = e rt E Q (1 {t<τ T } e rτ Z (τ) H t ) Dynamika cen ex-dividend jest natomiast dana wzorem ds t = (1 H t )(rs t Z t )dt S t dm t Cena skumulownaych dividend w chwili t jest dana wzorem oraz Y t = e rt E Q (1 {τ T } e rτ Z (τ) H t ) ( ) Z (t) dy t = ry t dt + B(t) Y t dm t hazardu Warszawa 214 45 / 45