Funkcje jednej zmiennej - ćwiczenia 1. Narysuj relacje. Które z nich są funkcjami?

Podobne dokumenty
ZADANIA Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ dla I roku kierunku informatyka WSZiB

Arkusz 1 - karta pracy Całka oznaczona i jej zastosowania. Całka niewłaściwa

Pochodna funkcji. 0 punktu x. iloraz różnicowy w punkcie x. dla przyrostu x. x. jest granicą (o ile istnieje) ilorazu różnicowego przy x 0 tzn.

Analiza Matematyczna

Powtórka dotychczasowego materiału.

Rozwiązanie. Metoda I Stosujemy twierdzenie, mówiące że rzuty prędkości dwóch punktów ciała sztywnego na prostą łączącą te punkty są sobie równe.

Analiza obwodów elektrycznych z przebiegami stochastycznymi. Dariusz Grabowski

ZADANIA Z GEOMETRII RÓŻNICZKOWEJ NA PIERWSZE KOLOKWIUM

Zadania z analizy matematycznej - sem. II Całki oznaczone i zastosowania

takimi, że W każdym przedziale k 1 x k wybieramy punkt k ) i tworzymy sumę gdzie jest długością przedziału, x ). 1 k

sin b) Wyznaczyć taką funkcję pierwotną do funkcji sin ( =, która przechodzi przez punkt (0,0)

MMF ćwiczenia nr 1 - Równania różnicowe

Całka oznaczona i całka niewłaściwa Zastosowania rachunku całkowego w geometrii

7. Szeregi funkcyjne

a a = 2 S n = 2 = r - constans > 0 - ciąg jest malejący q = b1, dla q 1 S n 1 CIĄGI jest rosnący (niemalejący), jeżeli dla każdego n a n

Całkowanie. dx d) x 3 x+ 4 x. + x4 big)dx g) e x 4 3 x +a x b x. dx k) 2x ; x 0. 2x 2 ; x 1. (x 2 +3) 6 j) 6x 2. x 3 +3 dx k) xe x2 dx l) 6 1 x dx

Wykład 8: Całka oznanczona

Scenariusz lekcji matematyki w klasie II LO

MODEL EKONOMETRYCZNY KLASYFIKACJA MODELI EKONOMETRYCZNYCH

5. CIĄGI. 5.1 Definicja ciągu. Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję przyporządkowującą każdej liczbie naturalnej n liczbę rzeczywistej.

( t) dt. ( t) = ( t)

1. Określ monotoniczność podanych funkcji, miejsce zerowe oraz punkt przecięcia się jej wykresu z osią OY

lim lim 4) lim lim lim lim lim x 3 e e lim lim x lim lim 2 lim lim lim Zadanie 1 Wyznacz dziedziny następujących funkcji: log x x 6x

4) lim. lim. lim. lim. lim. x 3. e e. lim. lim x. lim. lim. lim. lim 2. lim. lim. lim. Zadanie 1 Wyznacz dziedziny następujących funkcji: log x.

15. CAŁKA NIEOZNACZONA cz. I

Równania róniczkowe liniowe. = 2. dx x. dy dy. dx y. y dx. dy y. dy 2

MATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 2. (poziom rozszerzony) Rozwiązania zadań

Automatyka i Robotyka Analiza Wykład 23 dr Adam Ćmiel

Prognozowanie na podstawie modelu ekonometrycznego

ż ż ć ż ż ż ć Ć ć ż ż ć ż


Ą ć

21. CAŁKA KRZYWOLINIOWA NIESKIEROWANA. x = x(t), y = y(t), a < t < b,

i interpretowanie reprezentacji wykorzystanie i tworzenie reprezentacji wykorzystanie wykorzystanie i tworzenie reprezentacji

Główka pracuje - zadania wymagające myślenia... czyli TOP TRENDY nowej matury.

Szeregi trygonometryczne Fouriera. sin(

Granica cigu punktów. ), jest zbieny do punktu P 0 = ( x0. n n. ) n. Zadania. Przykłady funkcji dwu zmiennych

1.1 Pochodna funkcji w punkcie

CAŁKA OZNACZONA JAKO SUMA SZEREGU

Matematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 Wykład 1

1 Definicja całki oznaczonej

Wykład 1 Pojęcie funkcji, nieskończone ciągi liczbowe, dziedzina funkcji, wykres funkcji, funkcje elementarne, funkcje złożone, funkcje odwrotne.

ZASTOSOWANIA POCHODNEJ

Analiza Matematyczna. Lista zadań 10

Rachunek operatorowy. Akademia Morska w Gdyni Katedra Automatyki Okrętowej Teoria sterowania. Mirosław Tomera 1. TRANSFORMATA LAPLACE'A

Całka Riemanna. Analiza Matematyczna. Alexander Denisjuk

Matematyka finansowa r.

Reguła de L Hospitala. Reguła de L Hospitala - odpowiedzi. Różniczka funkcji. Różniczka funkcji - odpowiedzi. Styczna i normalna

Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 15. CAŁKI OZNACZONE. Egzaminy I termin poniedziałek :00 Aula B sala 12B Wydział Informatyki

1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia

- Wydział Fizyki Zestaw nr 5. Powierzchnie 2-go stopnia

Macierze w MS Excel 2007

Informatyka Stosowana-egzamin z Analizy Matematycznej Każde zadanie należy rozwiązać na oddzielnej, podpisanej kartce!

MATHCAD Obliczenia iteracyjne, macierze i wektory

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13 III etap zawodów (wojewódzki) 12 stycznia 2013 r.

Ciągi i szeregi funkcyjne

DŁUGOŚĆ OKRĘGU. POLE KOŁA

2009 ZARZĄDZANIE. LUTY 2009

( ) Lista 2 / Granica i ciągłość funkcji ( z przykładowymi rozwiązaniami)

Opracowanie: mgr Jerzy Pietraszko

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 1 POZIOM ROZSZERZONY

UWAGI O ROZKŁADZIE FUNKCJI ZMIENNEJ LOSOWEJ.

Ź Ć Ż Ż Ź Ź ż ż Ć Ć

Teoria Sygnałów. II rok Geofizyki III rok Informatyki Stosowanej. Wykład 2. Układy liniowe i niezmienne w czasie (układy LTI) y[n] x[n]

Ż ć

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 1 POZIOM ROZSZERZONY

Ż ć Ż ż ć ż Ż Ż Ż ć ż Ż Ż ć

ZADANIA NA POCZA n(n + 1) = 1 3n(n + 1)(n + 2).

ć ż ż ć ż Ł ć ż ć

Pochodna funkcji jednej zmiennej

Całka oznaczona. Matematyka. Aleksander Denisiuk. Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza Elblag.

Ą

Ź Ź Ą Ą

RACHUNEK CAŁKOWY. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I R, jeżeli. F (x) = f (x), dla każdego x I.

ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ

Analiza matematyczna v.1.6 egzamin mgr inf niestacj 1. x p. , przy założeniu, że istnieją lim

Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11



Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III A i III B Liceum Plastycznego 2019/2020

nazywamy n -tym wyrazem ciągu ( f n

Rozszerzenie znaczenia symbolu całki Riemanna

Całki krzywoliniowe skierowane

I. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE. odwzorowań zbioru X w zbiór R [lub C] nazywamy ciągiem funkcyjnym.

Analiza Matematyczna część 3

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji

Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem. 2. CAŁKA PODWÓJNA Całka podwójna po prostokącie

PRÓBNY ARKUSZ MATURALNY Z MATEMATYKI

CIĄGI LICZBOWE N = zbiór liczb naturalnych. R zbiór liczb rzeczywistych (zbiór reprezentowany przez punkty osi liczbowej).

Zestaw zadań z Analizy Matematycznej II 18/19. Konwencja: pierwsze litery alfabetu są parametrami, do tego zazwyczaj dodatnimi

Długo łuku krzywej., klasy. t ; t oraz łuk nie ma czci wielokrotnych, to długo łuku. wyraa si wzorem

Zastosowanie matematyki w ekonomii

Bezpłatny Internet dla mieszkańców Radomia zagrożonych wykluczeniem cyfrowym

Zaświadczenie. Nr 41/CB/2012. Niniejszym zaświadczam, iŝ Pan/Pani

Wykład 6 Całka oznaczona: obliczanie pól obszarów płaskich. Całki niewłaściwe.

ZADANIA PRZED EGZAMINEM KLASA I LICEUM

f(x + x) f(x) . x Pochodne ważniejszych funkcji elementarnych (c) = 0 (x α ) = αx α 1, gdzie α R \ Z (sin x) = cos x (cos x) = sin x

ZADANIA Układy nieliniowe. s 2

Collegium Novum Akademia Maturalna

3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas

Transkrypt:

Fukcj jdj zmij - ćwiczi. Nrysuj rlcj. Kór z ich są fukcjmi? A = (.y) R : y = A = (.y) R : y = A = (.y) R : y = A = (.y) R : y = - A 5 = (.y) R : y = ( + A 6 = (.y) R : y +. Zlźć dzidzię fukcji okrśloj wzorm: ). f ( ) b). f ( ) rccos( ) c). f ( ) rcsi(log ) d). f ( ) rcsi ). f ( ) lrcsi( ) f). f ( ) si cos lo 6 ) g). f ( ) h). y i). y log log ( ) j). y lrcsi( ) si z k). y rccos l). h( z) m). p( ) log ( ) z 6 ) f ( ) o) f ( ) p ) f ( ) l( ) r ) f ( ) 5 ). Podj okrs podswowy fukcji: y y g si y si 6 g y si si y si si si ).Zbdć przysość fukcji: f ( ) cos ) 5 h( ) log k( ) 5). Z jkich fukcji zbudow są poiższ fukcj złożo: ) f ( si ) f ( ( ) ) f ( l g) f ( si ( )) 6). ). f ( ) ). Wyzcz f og i g o f b). f ( ) ) g. Wyzcz f o g c). d) ) f ( ) f ( ) ) ) Wyzcz Wyzcz f ( )) ( g f )( ) f ( )) ( g f )( ) f ( ) lo ) ) Wyzcz f ( )) ( g f )( ) 5 f) f ( ) 5 ) Wyzcz f ( )) ( g f )( ) g). f ( ) si ) log h( ). Wyzcz g o f oh orz g oh o f 7). D są fukcj: f ( ) k( u) u h( ) g. Zlźć: ). f ( f ( )) b). f ( h( )) c). h( k( u)) d). k( h( )) ). k( k( k( ))) f). f ( k( h( ))) g). f ( k( h( ))). 8). D są fukcj: f : y, g: y si. Obliczyć: f ( )) f ( )) f ( )) f ( )) f ( f ( )) f ( f ( f ( ))) 9). D js fukcj: f ( ). Zlźć: f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f f ( ).

). Obliczyć: 8rcsi rccos ( rcg rc ) rccos( ) rc g ) rcsi(si ) ). Zlźć fukcję odwroą f, jżli fukcj f js okrślo wzorm: rcsi( ) ). y log b). y rcg c). y rcsil d). y rcsi ). y u f). y si g). y lo ) h). y rcg i). y rcg j). w u k ) f ( ) l) f ( ) m ) f ( ) ) f ( ) 6 b) Zbdć czy poiższ fukcj są różowrościow. ) f ( ) ) ( ) b f c) f ( ) d) f ( ) ) f ( ) 5 c) Wyzczyć sumę, iloczy, ilorz fukcji. ) f ( ) ) b ) f ( ) ) d) Nrysowć wykrsy fukcji ) ( ) f 9 b ) f ( ) ( ) c) f ( ) d ) f ( ) d ) f ( ) ) f ( ) cos f ) f ( ) cos() ) ( ) g f g ) f ( ) 5 ). Wyzcz z rówi: ). y rcsi b). y l rccos ). Rozłożyć fukcj wymir ułmki pros: f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) 5 5 6 ). Obliczyć gric: ). 5... ( ) b). c). 5 d)... lim lim lim lim rcg g ). lim f). g). h). lim i). + si ` lim lim lim l). lim m si j ). lim k). lim 5). Obliczyć pochod podswi dfiicji: ). y b). y c). y si d). y. 6). Obliczyć pochod fukcji: ). y( ), l( ) rcsi y ( )? b). y l c). y = l g si d). y l si ). rcsi f). r( ) cos si g). y rcg h). y i). y y f 7). Zbdć różiczkowlość fukcji: ). f ( ) ( ) b). f ( ) si 8). Sprwdzić, ż fukcj:,,, ). y si spłi rówi: y y y.

dc b). C( ) spłi rówi: kc. k d, c). y p( k) spłi rówi: y ky. 9) Obliczyć pochodą rzcigo rzędu fukcji: ). y b). y si c). y. ) D js krzyw y f ( ) ( ) orz puk A(,+ - ), Zlźć syczą i ormlą do dj krzywj w pukci A. ). Zlźć rówi syczych i ormlych do krzywych o dych rówich ). f ( ) g w pukci O(,) b). ) rcsi w pukci przcięci się ) z osią O 8 c). p( u) w pukci o odcięj u u d). f ( ) w pukci (, f ()) ). Obliczyć długość podsyczj i podormlj liii y w pukci =. ). Zlźć ką przcięci się krzywych: ). y l z osią O b). y i prosj y =. ). Wykzć. ż f ( ) rcg rcsi js sł w przdzil (, + ). 5). Wyzczyć przdziły moooiczości i ksrm fukcji okrśloych wzormi: ). f ( ) l b). f ( ) l c). h( u) u l u d). ) ). f ( ) f). y l( ) g) y h) y 8 i) y j) y 6). Wykzć irówości: ( ) ). dl b). l dl 7). Wyzczyć ksrm fukcji: ). f ( ) 6 9 b). y c). y rccg d) y ). f ( ) l( ) f). f ( ) g) ' f ( ) ( 8) (ksrm w i 8 gdzi pochod i isij i w gdzi f () ) 8). Wyzczyć krs góry i doly zbioru wrości fukcji: ). f ( ) w przdzil, b). f ( ) w przdzil -, ` 9). Prkm o długości m. lży ogrodzić przylgjący do domu prosokąy r o jwiększym polu. Wyzczyć rozmiry prku. ). W półkol o promiiu R wpiso prosoką o jwiększym polu. Wyzczyć rozmiry. ). Jki powii być sosuk wymirów puszki do kosrw o kszłci wlc, by przy dj objęości V zużyć jk jmij blchy.

b) Pichur zjduj się w pukci A oddloym od prosj drogi o 6 km i do puku doclowgo B drodz oddlogo o km. Pichur m przbyć drogę z puku A do puku B ruchm jdosjym po odcikch AC i CB.. N odciku AC porusz się z prędkością km/h odciku CB z prędkością km/h. Wyzczyć puk.c drodz by pichur przbył drogę w jkrószym czsi. Odp.,6, 598 ). Wyzczyć przdziły wypukłości i wklęsłości wykrsów fukcji: ). f ( ) b). ) c). h( u) u u ). Wykorzysując rgułę d L Hospil obliczyć: lim g si lim l cos lim lim ( ) g lim si lim lim si lim lcos g lim l + lim lim lim l lim lim cos ). Wyzczyć sympoy krzywych: lim ). 5 6 y( ) b). y c). y d) y ) y rccos 6 5). Zbdć przbig i szkicowć wykrs fukcji: ). y b). y rccg c). y d). y ). y rcg f ) y l 6). Wyzczyć różiczki: d( si ) d( d rcg 7). Oszcowć z pomocą różiczki błąd bzwzględy i względy przy oblicziu objęości kuli, gdy promiń R =, cm.. 8). Npisć wzór Tylor ( przy = ) dl fukcji f ( ) w pukci. 9). Npisć wzór Mcluri dl fukcji: f ( ) si f ( ) cos f ( ) ( ) s. ). Oszcowć błędy bzwzględ wzorów przybliżoych: ). dl b). dl.!!! 8 Fukcj wilu zmiych: ). Wyzczyć dzidzię fukcji, zzczyć płszczyźi: ). z y y b). z y y c). z l( y) d). z rccos b ). z y l( y) f). z l( - y ) + l( y -) g). z rcsi( ) y 9 ). Obliczyć pochod cząskow pirwszgo rzędu fukcji z powyższgo zdi orz fukcji: y u z z u rcg y z rcg y u y z v ( ) cos( ). y

). Zlźć wskz pochod cząskow: ). R( u, ) l( u Au ) R, R,, b). D(, ) Rb k R D,, D,,. u AT c). p v m k v (, ) p,,, p,, d). w( R, T) AR w ''. v vv y r ). Zlźć df jżli: ). f (, y) b). f ( r, ) rcsi c). f (,,..., ) i l 5). Zlźć błąd bzwzględy T dl T i l, 5, g, g 6). Długość wysokości sożk h = cm. promiń podswy r = cm.. O il zmii się objęość sożk, jżli powiększyć długość wysokoąści o cm. i zmijszyć promiń o cm.. 7). Zlźć ksrm fukcji: ). z 6y y y b). z y y 6y c). z y y 8). Zlźć jmijszą i jwiększą wrość fukcji: ). z y w kol y b). z y w kol y 9). Zlźć ksrm wrukow fukcji f (, y) przy dym wruku, y) = : y ). f (, y) y, y) y b). f (, y) y, y) y c). f (, y) y, y) y,, y 5). Wyzczyć pochodą dy d fukcji uwikłj z rówi: ). y y w pukci = b). y y w pukci = c) cos y cos y cos y. dl y d). y y y dl y TT i Cłki. Obliczyć cłki iozczo: d d d d d d ) 5 b) ( ) c) d) ) ( ) f) cos g d d g ) l h) i) d j) d k) d si cos si +. Posługując się cłkowim przz części obliczyć cłki: h) i) j) k) m) ) ) cosd b) ld c) ld d) d ) ld f) d g) ld si d cos d cos d rcsi d l) rccos d ( ) d l ( ) d. Posługując się cłkowim przz podswii obliczyć cłki: ) cos d b) si d c) d d) d ) ( ) d d d b f ) g) d h) i) cos si d j) d ( ) cos (8 )

k) si l d d d g d si cos l) m) ) o) cos cos d p) g d r) cos d. Posługując się wzorm cłkowi f '( ) f d l ( ) f ( ) C obliczyć cłki: cgd gd d d ) b) c) si d si d) l ) d d d f ) g) h) ( ) rcg rcsi 5. Obliczyć cłki fukcji wymirych: 6 ) d b) d c) d 5 6 d) d widząc, ż ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6. Wyprowdź wzór rkurcyjy: ( g) g d g d N ( ) \ { } i podswi wzoru obliczyć cłki: ) g d b) g 5 d 7. Obliczyć cłki iozczo: + d dc - d d 9 (+ ) d 8 si + cos + 5 l - si cos d d 5/ l d rcg d d d ) + (- cos 8. Obliczyć z dfiicji cłki ozczo: b d sid d b 9. Obliczyć cłki ozczo wykorzysując fukcję pirwoą fukcji podcłkowj. - d d d ( ) d cosd d d ( b ) + cos l d si d - d ( ) d d d 6. Obliczyć pol obszru ogriczogo krzywą y = - i osią OX.. Obliczyć pol obszru ogriczogo krzywą y = prosą y = i osią OY.. Obliczyć pol obszru ogriczogo krzywą y = l prosą = i osią OX.. Obliczyć pol obszru ogriczogo krzywymi y = i y =.. Obliczyć pol obszru ogriczogo krzywą y = 6 i prosą +y-7 =. 5. Wykorzysując zmię zmiych i cłkowi przz części obliczyć cłki: /b / - / 9

d d d dz cos si d + d + + 7 cos cos si si d rcsi d d d l d d d (- ) y 6. Obliczyć objęość bryły powsłj przz obró lipsy dokoł osi OX. i pol j lipsy. b 7. Obliczyć objęość bryly powsłj przz obró dokoł osi OX obszru ogriczogo krzyw y = prosymi = i = i osią OX. 8. Obliczyć objęość i pol powirzchi sożk powsłgo przz obró dokoł osi OX obszru ogriczogo prosą y = dl, prosą = h dl h orz osią OX. 9. Obliczyć objęość bryly powsłj przz obró dokoł osi OY obszru ogriczogo prbolą y = i prosą = orz długość łuku j prboli ogriczoą ą prosą... Obliczyć długość łuku krzywj y = l w przdzil <, > y. Obliczyć obwód lipsy. dl = b ( czy moż obliczyć dl b? ). Zdi b rozwiązć bz prmryzcji i z pomocą przdswii prmryczgo.. Obliczyć pol figury ogriczoj osią OX i łukim cykloidy orz długość łuku cykloidy okrśloj prmryczi: = ( si) y = ( - cos),.. Wyzczyć puky ksrml fukcji ) ) = ( 5) d b) h() = ( )( ) d. Obliczyć cłki (o il isiją ) lub swirdzić: zbiżość, rozbiżość, iisii: + - + + + p si d cosd d d d d d l - 9 7 si d