Pochodna funkcji. 0 punktu x. iloraz różnicowy w punkcie x. dla przyrostu x. x. jest granicą (o ile istnieje) ilorazu różnicowego przy x 0 tzn.

Transkrypt

1 Pochod kcji Nich kcj : Y ędzi okrślo w pwm ooczi U pk i U przros wrości kcji odpowidjącm przrosowi rgm ilorz różicow w pkci dl przros Pochod kcji w pkci js gricą o il isij ilorz różicowgo prz z d d ' ' d d D Js o pochod pirwszgo rzęd kcji w pkci Pochod kcji w pkci rów się współczikowi kirkowm sczj do wkrs z gsowi ką międz sczą osią O j kcji przprowdzoj w pkci o odcięj Zm jżli o rówi sczj płszczźi OY m posć ormlj prosopdłj do ' sczj m posć ' Pochod kcji js mirą szkości zmi wrości względm rgm Np: Jżli s js dłgością drogi przą przz pojzd w czsi o s' js prędkością porszi się pojzd w momci js wrością wskzwą przz liczik prędkości pojzd Jżli js sężim ziczszczń w ziorik wodm w czsi o ' js szkością oczszczi się ziorik wodgo Jżli ogriczm się w diicji pochodj do przrosów dodich jmch zdiijm pochodą prwosroą ' lwosroą ' Pochod kcji w pkci zgodi z diicją js liczą Jżli kcj m pochodą w kżdm pkci o kcję ' zwm pochodą kcji króko pochodą i ozczm smolm ' Pochod wższch rzędów go rzęd Diij się idkcji : ' D i ' iv Piszm kż " ''' zmis Wd p: " '' ''' ''' I zpis pochodj -go rzęd d D d W przdswioch powżj przkłdch s' ' '' ozcz przśpiszi w czsi oddziłwjąc pojzd oczszczi się ziorik Ms pomożo przz przśpiszi dj siłę oddziłwjąc pojzd w czsi D D

2 gł oliczi pochodch różiczkowi Jżli pochod ' i g ' isiją o: g ' ' g' g ' ' g' g ' g g ' A ' A ' A ' g g' dl g ' g g ' g g l l g 7 ' ' 8 log g ' l 9 Jżli F g i kcj g posid pochodą w pkci orz kcj posid pochodą w pkci g o F' ' g' ' g g' Pochod wżijszch kcji lmrch iliok pochodch c ' c k k ' k k i dl dl kórch js ' ' ' l dl l ' 7 log ' l 8 si ' 9 ' si g' g k k Z cg ' cg si k k Z rcsi ' rc ' rcg ' rccg ' okrlo k

3 Oliczi pochodch polg przkszłci kcji do posci dl kórj moż zsosowć rgł różiczkowi przdswio w pkch 9 i oliczi pochodch skłdowch kosrkcji kcji przkszłcoj z pomocą ilioki pochodch zwrch w pkch óżiczk kcji óżiczką kcji w pkci dl przros zwm d d ' D Dl kcji idczościowj mm d d ' sąd ' d ' d Biorąc kż o d mm d d d d d ' d sąd d Ozcz o ż o d ' d dl młch przrosów d óżiczk kcji rzęd Twirdzi Lgrg d d d d gdzi d d D Jżli kcj js ciągł w przdzil < > posid pochodą w przdzil o isij pk c ki ż ' c Sosjąc o wirdzi dl przdził mm ' c dl pwgo c sąd: Wiosk Jżli kcj spłi złożi wirdzi Lgrg o Jżli ' dl kzdgo o kcj js sł w przdzil Jżli ' dl kzdgo o kcj js rosąc w przdzil cjżli ' dl kzdgo o kcj js mljąc w przdzil Wioski i c pozwlją wzczi przdziłów moooiczości kcji Eksrm kcji Mówim ż kcj m w pkci mksimm miimm lokl jżli isij sąsidzwo S o o o o o ε pk o ki ż dl kżdgo S mm Mksim i miim zwm o ksrmmi j kcji Twirdzi Jżli kcj js ciągł w pkci i posid pochodą w pwm ooczi S orz o ' dl i ' dl dl pwgo o kcj m w pkci mksimm lokl i ozczm m Twirdzi Jżli kcj js ciągł w pkci i posid pochodą w pwm ooczi S orz o ' dl i ' dl dl pwgo o kcj m w pkci miimm lokl i ozczm mi

4 Twirdzi Jżli kcj posid pochodą -go rzęd w pwm ooczi pk orz ' '' '' js ciągł w pkci o kcj m w pkci ksrmm lokl Jżli '' o wsępj mksimm Jżli '' o wsępj miimm Twirdzi Jżli isij ksrmm w pkci orz isij ' o ' Wpkłość i wklęsłość i pk przgięci Mówim ż kcj js wpkł wklęsł w pkci jżli isij sąsidzwo S o pk ki ż dl kżdgo S o pk j krzwj lżą powżjpoiżj sczj do krzwj poprowdzoj w pkci o odcięj Krzwą kór js wpkł wklęsł w kżdm pkci pwgo przdził zwć ędzim wpkł wklęsł w m przdzil Twirdzi Jżli pochod drgigo rzęd kcji js dodi jm w przdzil o krzw js wpkł wklęsł w m przdzil Twirdzi Jżli pochod drgigo rzęd kcji zmii zk prz przjści przz o pk js pkm przgięci wkrs Gd isij pochod drgigo rzęd w pkci przgięci o '' gł d L Hospil Twirdzi Jżli kcj i g posidją pochod w pwm sąsidzwi g l g pk orz orz isij ' ' o isij rówiż gric prz czm g' g g g' Asmpo Fkcj posid smpoę lwosro prwosroą w pkci jżli Fkcj posid smpoę osroą w pkci jżli w pkci wsępj smpo lwosro i prwosro Pros js smpoą skośą w jżli W przpdk gd smpo skoś js smpoą poziomą Twirdzi Pros js smpoą skośą w Wzór Tlor i Mclri Twirdzi Jżli kcj posid go rzęd pochod w pwm ooczi pk orz js różm od pkm go ooczi o isij pk c lżąc międz i ż zchodzi wzór:

5 c!!! ''! ' Wzór zw się wzorm Tlor Dl orzmjm wzór Mclri pwgo dl!!! ''! ' Uwg hciłm przdswio wzor w szczgólości rgł różiczkowi i iliokę pochodch kżd sd mił ćwiczich Przkłd Oliczć pochod kcji: l l l l l l l l l c 7 d g g g l l l l l l l l Przkłd Wzczć przdził moooiczości i ksrm kcji Nlż wzczć pochodą j kcji i zdć w kórch przdziłch pochod js dodi w kórch przdziłch jm Eksrm wsąpią w pkch zmi rodzj moooiczości kcji \ D

6 w m przdzil kcj rosąc w ch przdziłch kcj js mljąc Zmi moooiczości więc ksrm lokl wsępją w pkch i z wirdzi o ksrmm wik ż mi i m 7 Przkłd W di pwj wilkości w wik doświdczń zsko wrości W prkc zsępj się wrość wrością dl kórj sm kwdrów jj różic z liczmi m wrość jmijszą Wzczć wrość spłijącą ą włsość Smę kwdrów różic z liczmi wrości moż zpisć z pomocą kcji Wzczjąc ksrm Sąd dl wsępj miimm Śrdi rmcz js jlpsz wrością do szcowi dj wrości Js wzczo zw modą jmijszch kwdrów MNK Licz s js wricją szcowi i js jmijsz z względ wszski wrości Podo i ką włsość lko śrdi rmcz Przdswio powżj oliczi mją iso zczi w ssc mmczj Przkłd Wkorzsjąc rgłę d L Hospil oliczć: l l

7 si c l l d l l si si l l l Sąd Przkłd Wzczć przdził wpkłości i wklęsłości wkrsów kcji: D Zgodi z wirdzim o przdziłch wpkłości i wklęsłości wkrsów kcji lż oliczć pochod kcji drgigo rzęd i wzczć przdził w kórch pochod przjmj wrości dodi w kórch jm iorąc pod wgę dzidzię kcji - w m przdzil kcj wpkł - w m przdzil kcj wklęsł D Poiwż końc przdziłów są pirwiskmi rówi kwdrowgo proli zwrócoj do gór i wrości są dodi dl wszskich rgmów W ch przdziłch wkrs kcji js wpkł W m przdzil kcj js wklęsł Przkłd Wzczć smpo krzwj: \ D Poiwż kcj js ciągł wszędzi poz pkm o gric dl Sąd smpo pioow moż ć lko dl

8 Wsępj smpo prwosro dl dl Bdjąc smpoę skośą posci Ni wsępj smpo lwosro dm gric: A więc wsępj smpo kór js smpoą poziomą w A więc wsępj smpo kór js smpoą poziomą w Z orzmch wików moż ę kcję rozszrzć do kcji okrśloj dl wszskich licz rzczwisch : Fkcj k okrślo js ciągł lwosroi i js ciągł prwosroi dl rgm Sąd js ciągł wszędzi poz rgmm Przkłd Zdć przig i szkicowć wkrs kcji: p A skczi zroić wkrs kcji i posidć jwięcj iormcji o kcji lż o il możliwi wzczć sępjąc zgdii: o dzidzię o gricę kcji rzgch dzidzi o c - mijsc zrow o d- przsość iprzsość o smpo o - przdził moooiczości i ksrm o przdził wklęsłości i wklęsłości i pk przgięci o sporządzić lę zskch wików i podswi li rsowć wkrs kcji

9 o D o o c Poiwż wrości poęgowi są wszski dodi mijsc zrowch rk o d Poiwż kcj js przs o Poiwż kcj js ciągł dl wszskich jko złożi kcji ciągłch o i wsępj smpo pioow Pros O js smpoą poziomą w i o W m przdzil kcj rośi l W m przdzil kcj mlj l Dl rgm wsępj zmi moooiczości wkrs kcji co ozcz ż wsępj mksimm o m przdziłch kcj js wpkł l wklęsł l W ch W m przdzil kcj js Dl rgmów wsępj zmi wpkłości i wklęsłości więc w - - pkch wsępją pk przgięci o W pirwszm wirsz li wprowdzm rgm chrkrscz wkrs i przdził międz mi rgmmi W drgim wirsz wprowdzm zk pochodj w poszczgólch przdziłch więc rodzj moooiczości W rzcim wirsz wprowdzm zk pochodj -go rzęd wic rodzj wpkłości i wklęsłości W czwrm wirsz wprowdzm wrości kcji w wróżioch rgmch i zchowi się wkrs w wróżioch przdziłch W wik k zroioj lki i po wprowdzi wzczo smpo sporządzm wkrs kcji 7 m 7 N podswi j lki i iorąc pod wgę smpoę orzmm jdozczi sporządzo wkrs kcji

10 m Alogicz wkrs mją kcj g m dl kórj mksimm wsępj dl rgm m g m m i pk przgięci wsępją dl rgmów m Fkcj m podswową włsość pol międz wkrsm kcji i osią O js rów M o dż zsosowi w ssc mmczj kór wsępj prwi w wszskich dzidzich czi i dziłlości gospodrczj dl sloch prmrów Uwg Wkrs kcji m m w sosk do wkrs kcji js w poziom: przsięcim o wrość m sępi rozciągięcim gd ściągięcim gd względm wrości m w pioi : ściągięcim gd rozciągięcim gd względm sępi przsięcim o wrość Oprcj przprowdzją mksim miim pk przgięci przdził moooiczości rosącj przdził moooiczości mljącj przdził wklęsłości przdził wpkłości pk ciągłości pk iciągłości smpo odpowidio mksim miim pk przgięci przdził moooiczości rosącj przdził moooiczości mljącj przdził wklęsłości przdził wpkłości pk ciągłości pk iciągłości smpo czli zchowją rodzj włsości W powższm przkłdzi kcj g powsj z kcji iorąc sł m m łki izczo Nich ędzi przdziłm w ziorz licz rzczwisch Diicj Fkcję F : różiczkowlą posidjącą pochodą w ziorz zwm kcję pirwoą kcji : jżli dl kżdgo F' Twirdzi Nich F ędzi kcją pirwoą kcji w przdzil Fkcj F js kcją pirwoą kcji w przdzil wd i lko wd isij sł k ż dl kżdgo F F Z go wirdzi wik ż wszski kcj pirwo kcji w przdzil różią się o słą Twirdzi Kżd kcj ciągł w przdzil posid kcję pirwoą

11 Diicj cłki iozczoj łkę izczoą kcji w przdzil zwm ziór wszskich kcji pirwoch j kcji w przdzil ozczm smolm d Z powższgo wik ż: d F F' dl kżdgo - zwm kcję podcłkową - zmią cłkowi F - kcj pirwo sł cłkowi gł cłkowi Twirdzi Jżli kcj i g mją kcj pirwo o g d d g d d A d A d A g d g d sl łkowi przz części Jżli kcj i g mją ciągł pochod w przdzil o g' d g ' g d łkowi przz podswii Jżli kcj g m ciągłą pochodą w przdzil i kcj js ciągł w przdzil J g o g g' d d F F g g podswii Biliok cłk iozczoch d sl d l l d l d d przdził w kórmwkol js poęoęgow d 7 d l 8 si d 9 d si gd l k k cgd l si k k k Z ' d l D w kórm k Z

12 Z k k k g d Z k k k cg d si d rcg d l l l 7 d rcsi 8 d d l 9 rcsi d d l D d dl i ' Oliczi cłk polg przkszłci kcji podcłkowj do posci dl kórj moż zsosowć rgł cłkowi przdswio w pkch i oliczi cłk skłdowch kosrkcji kcji przkszłcoj z pomocą ilioki cłk zwrch w pkch Isiją rówiż z skcz podswii dl pwch pów kcji podcłkowch sprowdzjąc do oliczi cłk prosszj posci Przkłd d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d c si si si si c si si Wkorzs ł przkszłci kcji podcłkowj i rgł cłkowi O O O orz cłki ilioki O O 8 O 9 O

13 Przkłd: łkowi przz części d d v v' ' d l l l l l l Przkłd: łkowi przz podswii d d d d d g d si ' si ' si si Nich ędzi Uwg W wzorz rgł cłkowi w cłkowi przz podswii moż sosowć dowol podswii g Prz plik : Pochod cząskow Fkcj wikł Moż związk przkszłcić do rówowżj zlżości s h międz mi zmimi Dj o rówi s h F dl kórj kcj podswii g js kcją wikłą go rówi z g F Wd ' h F ' s F więc ' ' ' h s d d g czli ' ' ' s g h i d s d h ' ' d h g g d s d h s h g d s Birzm podswii g ki dl kórgo zsk cłk z zmią cłkowi js prossz do policzi d d d d d d d d ' ' d d d d zd z z d d d d d d d c ' '

14 z zdz z z dz z z dz z z dz z rcgz rcg rcg rcg Moż sprwdzić ż oliczliśm cłkę dorz oliczjąc pochodą z oliczoj cłki: rcg rcg Pochod z oliczoj cłki rów się kcji podcłkowj więc cłk js wzczo dorz Powższą cłkę moż oliczć prościj sosjąc lpsz podswii c d d d d d d d d rcg rcg Isiją z skcz i jlpsz podswii dl pwch pów kcji podcłkowch sprowdzjąc do oliczi cłk prosszj posci p dl cłki posci: Fsi d gdzi F v js kcją wmirą zmich v z w posci ilorz wilomiów zmich v o skczm podswiim są podswii posci: si v Wrk Podswii Dodkow iormcj v F si d d v F si d d v F g si F v F v F v W ogólości d d g d d si Sprowdzm w sposó do oliczi cłki kcji wmirj gdzi isij lgorm posępowi i ką cłkę możm skczi wrchowć Uwg Ni kżdą cłkę moż przdswić w posci kcji lmrch pomimo ż kcj pirwo isij Np d si d d Twirdzi Kżd kcj wmir z ędąc ilorzm dwóch wilomiów js smą wilomi i łmków pirwszgo i drgigo rodzj

15 łki łmków pirwszgo rodzj: A d Al A A d łki łmków drgigo rodzj: B B p Bp d d d p q p q p q p q p q js podswiim dl oliczi pirwszj cłki p js podswiim dl drgij cłki kór sprowdz do oliczi cłki posci: d d łki posci: si d d si si d oliczm sosjąc wzor: si si si si si si Wzor rkrcj si d si si d si g d g g d Przd wzor rgoomrcz si d d łk ozczo Nich ędzi kcją okrśloą w przdzil < > Nich pk worzą podził przdził ki ż Nich i i i i i ozcz podził Nich m i ędzi śrdicą podził W kżdm przdzil i i wirzm dowol pk i i i i wórzm smę częściową s i i i i

16 Diicj ciąg ormlgo podziłów iąg podziłów zwm ciągim js ormlm podziłów przdził < > jżli odpowidjąc ciąg śrdic ziż do zr Diicj cłki ozczoj Jżli ciąg sm częściowch s js ziż do j smj gric prz kżdm ciąg ormlm podziłów izlżi od worów pków o gricę ę zwm cłkę ozczoą im kcji w przdzil < > i i ozczm smolm d < > - przdził cłkowi - dol gric cłkowi - gór gric cłkowi Podo d d d - kcj podcłkow Twirdzi Kżd kcj ciągł w przdzil < > js cłkowl w m przdzil Twirdzi Kżd kcj ogriczo w przdzil < > o skończoj liczi iciągłości js cłkowl w m przdzil Twirdzi Kżd kcj moooicz w przdzil < > js cłkowl w m przdzil TwirdziI podswow z rchk cłkowi Jżli kcj js cłkowl w przdzil < > o kcj F d js różiczkowl w przdzil < > i F' dl kżdgo TwirdziII podswow z rchk cłkowi Jżli kcj F js jkikolwik kcj pirwoą kcji ciągłj w przdzil < > z d F w przdzil < > o d F F F Js o wzór Nwo-Liiz Wzór pozwl skczi oliczć cłki ozczo gł cłkowi ozczogo są logicz rgłom cłkowi iozczogo Jżli d g d isiją o g d d g d g d d A d A d A g d łkowi przz części Jżli kcj i g mją ciągł pochod w przdz <> o g' d g ' g d

17 łkowi przz podswii Jżli kcj g m ciągłą pochodą w przdzil <> i kcj js ciągł w przdzil J g o g g' d g g d Irprcj gomrcz cłki ozczoj Jżli dl kżdgo o pol P ogriczo wkrsm kcji prosmi i orz osią O js rów P d Jżli dl kżdgo o pol P ogriczo wkrsm kcji prosmi i orz osią O js rów P d Jżli cłk d isij o dl kżdgo c d c + c d = Twirdzi o śrdij wrości kcji Jżli kcj js ciągł w przdzil o isij pk c ki ż d c Wrość d c sr d js wrością śrdi kcji w przdzil Np jżli wrością kcji js mprr powirz w przciąg di o wrość śrdi kcji js śrdią mprrą w przciąg di Twirdzi Jżli dl kcji i g okrśloch przdzil mm g dl o pol P ogriczo wkrsmi ch kcji i prosmi i rów się P g d Twirdzi Jżli kcj m ciągłą pochodą w przdzil o dłgość krzwj L : wrż się wzorm dl ' d Twirdzi Jżli oszr F js ogriczo osią O wkrsm kcji ciągłj o słm zk w przdzil orz prosmi i o ojęość V rł worzoj przz oró oszr F dookoł osi O wrż się wzorm V d ojęość V rł worzoj przz oró oszr F dl dookoł osi OY wrż się wzorm V d Podo jżli kcj m ciągłą pochodą w przdzil o

18 c pol powirzchi oczj S rł worzoj przz oró oszr F dookoł osi O wrż się wzorm d S ' d pol powirzchi oczj S rł worzoj przz oró oszr F dl dookoł OY wrż się wzorm d S ' Przkłd d poiwż d Sąd pol zwr międz wkrsm kcji prosmi i i osią O wosi jdosk kwdrowch Oliczć * ** d Sposó I d d d d d d d d *** Sposó II d d d d d d d 8 8

19 si d d d si d si d d d ' d si si d si v' v d si si si si Oliczć ojęość rł powsłj przz oró dokoł osi O oszr ogriczogo krzw prosmi i i osią O V d d j d Wprowdzić wzór ojęość kli o promii js rówim okręg o promii Sąd wkrs kcji dl js górm półkolm okręg Klę orzmm orcjąc oszr ogriczo górm półkolm okręg prosmi i i osią O wokół osi O Sąd ojęość kli V V kl d d łki iwłściw pirwszgo rodzj Jżli dl kcji : isij cłk d dl kżdgo orz isij gric d o powim ż cłk js ziż i wd piszm d d d

20 Alogiczi okrślm cłkę ówiż d d d d d dl kcji : d d dl kcji : i slom łki iwłściw drgigo rodzj Jżli dl kcji : c isij cłk d dl kżdgo c orz isij gric d o powim ż cłk js ziż i c c wd piszm d d Alogiczi okrślm cłkę d c c d d dl kcji : c d c W pkci c kcj moż ć iokrślo l moż mić ig W przpdk gd kcj przjmj lko wrości ijm o irprcj cłki iwłściwj pirwszgo i drgigo rodzj js sępjąc - js rów pol zwrm międz wkrsm kcji i osią O i zjdjącm się d przdziłm cłkowi Jżli gric diijąc cłki i isiją o mówim ż cłk js roziż Przkłd Oliczć cłkę d d d rcg rcg rcg rcg l krócj d rcg rcg rcg d d rcg rcg rcg rcg Sąd d d d więc pol zwr międz wkrsm kcji podcłkowj osią O js rów Zmis gric cłkowi moż wziąć dowoli ią liczę i wik orzmliśm ki sm Przkłd Oliczć cłkę l d Js o cłk drgigo rodzj poiwż w przdzil ciągł l kcj l i js

21 l l d l d l v v d l d l d l l l l l l : Sąd pol zwr międz wkrsm kcji l osią O prosmi wosi Szrgi liczow Niskończom szrgim liczowm zwm wrżi Nich S S S z S i dl N i ędzi smą częściową szrg Diicj ziżości szrg Jżli ciąg liczow S js ziż do licz S z S o szrg zwm ziżm i m smę S co zpisjm powim ż js o roziż S S W przciwm przpdk Przkłd Szrg q q q częściow zwm szrgim gomrczm Sm S js smą pirwszch wrzów ciąg gomrczgo q q q więc S q q q Sąd q dl q q q Dl q szrg js roziż Isom lmm szrg js jgo ziżość Krri ziżości:

22 Wrk koicz ziżości szrg Jżli szrg Krrim porówwcz Jżli dl szrgów o jżli jżli js roziż o js ziż o js rówiż roziż js ziż o js spłio wrk js rówiż ziż c Krrim d Almr Szrg o wrzch dodich spłijąc wrk q js ziż gd q orz roziż gd q d Krrim ch go Szrg o wrzch ijmch spłijąc wrk q js ziż gd q orz roziż gd q d Krrim cłkow Nich w przdzil k Wd cłk k N orz kcj js irosąc i ijm k d i szrg gdzi dl k js rówoczśi ziż l roziż Uwg W powższch krrich jżli gric q o moż wsąpić dowol scj szrg moż ć ziż jk i roziż Przkłd Zdć ziżość szrg l Sm częściow S l l l l l Sąd l l Zm szrg js roziż do Przkłd Zdć ziżość szrg Poiwż l dl / l dl / o l dl N Z krrim porówwczgo z roziżości szrg l wik roziżość szrg Przkłd Zdć ziżość szrg Wźm pod wgę cłką dl / dl d d dl

23 Korzsjąc z krrim cłkowgo i z poprzdigo przkłd wik ż szrg js ziż dl i roziż dl Przkłd Zdć ziżość szrg Z krrim ch go wik ziżość szgo szrg Przkłd Zdć ziżość szrg!!! Z krrim d Almr wik ziżość szgo szrg Ziżość szrgów zwzględ i wrkow Z szrgim wrzów Jżli szrg związ js szrg Odwro włsość i js prwdziw Np szrg przmi worzo z zwzględch wrości js ziż o js ziż rówiż szrg omis i js ziż zwzględi poiwż Jżli szrg szrgim ziżm zwzględi js ziż i ziż js szrg js ziż /krrim Liiz/ o ki szrg zwm Jżli szrg js ziż i i js ziż szrg o ki szrg zwm szrgim ziżm wrkowo Powższ przkłd js kim szrgim Krrim Liiz Jżli dl szrg mm o szrg ziż js

24 Szrgi kcj i poęgow Diicj szrg kcjgo Jżli w szrg wrz są kcjmi okrślomi wspólm ziorz o ki szrg zwm szrgim kcjm co zpisjm D Smą js kcją okrślo ziorz U k ż dl kżdgo slogo U Js o ziżość pkow i N i Jżli N i N N N js izlż od U o ką ziżość zwm ziżością jdosją ziorz U Diicj szrg poęgowgo Jżli w szrg kcjm wrz są posci z szrg zwm szrgim poęgowm Promiim ziżości szrg poęgowgo zwm liczę r k ż dl kżdgo r szrg js ziż pkowo dl kżdgo r js roziż pkowo Tki promiń zwsz isij Przdził r r zwm przdziłm ziżości szrg poęgowgo Twirdzi Jżli dl szrg poęgowgo g l g o promiń ziżości r g Gd g o r i wd szrg js ziż dl wszskich Gd g o r i wd szrg js ziż lko dl Włsości szrgów poęgowch Sm szrg poęgowgo S js kcją ciągłą wwąrz przdził ziżości r r Szrg poęgow js wwąrz swgo przdził ziżości ziż zwzględi Szrg poęgow S moż różiczkowć wrz po wrzi z S i szrg pochodj m sm przdził ziżości co szrg pirwo Alogiczi szrg poęgow S moż cłkowć wrz po wrzi wwąrz przdził ziżości