Zadania z analizy matematycznej - sem. II Całki nieoznaczone Definicja 1 (funkcja pierwotna i całka nieoznaczona). Niech f : I R. Mówimy, że F : I R jest funkcją pierwotną funkcji f, jeśli F jest różniczkowalna oraz x I F (x) = f(x). Rodzinę wszystkich funkcji pierwotnych do f : I R oznaczamy przez i nazywamy całką nieoznaczoną. f(x)dx Twierdzenie 1 (warunek wystarczający istnienia funkcji pierwotnej). Jeśli funkcja f : I R jest ciągła na I, to ma funkcję pierwotną na I. Twierdzenie (całka nieoznaczona pochodnej). Niech funkcja f ma funkcję pierwotną na przedziale I. Wtedy f (x)dx = f(x) + C, gdzie C R. x I Twierdzenie 3 (liniowość całki nieoznaczonej). Jeśli f i g mają funkcję pierwotne, to (af(x) ± bg(x))dx = a f(x)dx ± b g(x) gdzie a, b R. Zadanie 1. Obliczyć podane całki nieoznaczone (bez użycia twierdzeń): a) (4x 5 x + 1) b) (x 4 8x x + 1) c) x 3 4 x 3 x 3 f) ( ) x +5 x +1 + x 3 +1 x+1 g) e x h) (e x e x ) k) cos(x) cos(x) sin(x) l) ( x 7 x e x ) m) 5 sin ( x ) d) x 3 4 x 5 4 4 x 5 i) (e x e x ) n) 3sin 3 x+1 sin (x) e) x 5 x 10 x j) (tg (x) + 1) 1 o) tg (x)
p) ctg (x) q) e 3x 1 e x 1 r) x x x dx. Twierdzenie 4. Jeżeli F = f, to f(ax + b) dx = 1 F (ax + b) + C, jeżeli a 0. a Zadanie. Uzasadnić powyższe twierdzenie. Następnie korzystając z niego obliczyć podane całki: a) sin(x + 1) c) dx x +x+1, e) dx 3 5x, g) x + a a R, b) (1 8x) 3 d) dx 3x+4, f) e 3x h) 10 x dx. Twierdzenie 5 (o całkowaniu przez podstawianie). Jeśli f C(I, R), g C 1 (J, I), gdzie I, J R, to f(x)dx = f(g(t))g (t)dt = F (g(t)) + C, gdzie F jest dowolną funkcją pierwotną funkcji f oraz C R. Zadanie 3. Stosując odpowiednie podstawienia obliczyć podane całki nieoznaczone: a) sin(x + 1) b) 1 x +x+1 c) e 3x+1 d) x + k k R, e) x(x + ) f) x(x + 5) 017 g) x x 3 + h) 1 (arccos(x)) 3 1 x i) ln 3 (x) x j) 1 x(ln (x)+3) k) x 4 x l) e cos(x) sin(x) m) 1 cos (x) 1+tg(x) n) e arctg(x) 1+4x o) e x 5 1+e x p) 8x+5 4x +5x+7 q) x 13 5 x 7 r) x (1+x) 10 s) x 4 x 10 + t) x 1+x u) x 1 x v) x x + 1 w) x x + 5 x) 1 x 1 + 1 x y) dx x(1+ln(x)), z 1 ) tg(x) z ) 3x + x 3 +x+3 z 3 ) dx x(3ln(x)+5), z 4 ) x+5 4x +x+7 z 5 ) dx tg 3 (x)cos (x), z 6 ) 4 arctg(x) 1+x z 7 ) z 8 ) e x e x +3 cos(x) +3sin(x) z 9 ) arctg(x) 5 1+x z 10 ) z 11 ) dx sin (x) 5 ctg(x), 4 x 7 3 5 4 x dx.
Twierdzenie 6 (o całkowaniu przez części). Jeśli f, g C 1, to f(x)g (x)dx = f(x)g(x) f (x)g(x)dx. Zadanie 4. Korzystając z twierdzenia o całkowaniu przez części obliczyć podane całki: a) x cos(x) b) x sin(x + 3) c) x sin(x) d) (1 x) sin(x) e) x cos(3x) f) x e x g) arcctg(3x) h) x arccos(x) 1 x i) arccos(x) j) e x sin(x) k) e x cos(3x) l) e x sine x m) sin(ln(x)) n) ln(x) o) ln(1 + x ) p) ln (x + 1 + x ) q) x sin(x) cos 3 (x) r) arctg(3x) s) (arccos(x)) t) arccos x x+1 u) xe arctg(x) (1+x ) 3 v) (3 x) sin(x) w) log 3 (x) x) x e 3x y) ln( x) z) ln (x) z 1 ) x 3 ln (x) z ) x 3 (ln(x)) z 3 ) e 3x cos(3x) z 4 ) ( ) e x cos 3x dx. Zadanie 5. Obliczyć podane całki nieoznaczone: a) arcctg(x) b) x 5 arctg(x) c) x 3 e x d) x sin (x) e) ln(arctg(x)) 1+x f) ctg(x) ln(sin(x)) g) e ex +x h) x sin( x) i) x e x sin(x) j) arcsin (x) k) arctg x x l) 1 1+sinx dx. Definicja (funkcja wymierna, ułamek prosty). Funkcję wymierną W (x) = M(x) N(x) nazywamy właściwą, gdy stopień wielomianu w liczniku jest mniejszy od stopnia wielomianu w mianowniku. Funkcję wymierną właściwą postaci prostym pierwszego rodzaju. A (x+a) n, gdzie n N, a, A R nazywamy ułamkiem Ax+B Funkcję wymierną właściwą postaci, gdzie n N, b, c, A, B R, przy czym (x +bx+c) n b 4c < 0, nazywamy ułamkiem prostym drugiego rodzaju. 3
Twierdzenie 7 (o rozkładzie funkcji wymiernej na ułamki proste). Każda funkcja wymierna właściwa rzeczywista jest sumą ułamków prostych pierwszego i drugiego rodzaju (lub wyższych). Przedstawienie to jest jednoznaczne. Rozważmy funkcję wymierną postaci f(x) = L(x) M(x). 1. zapisujemy mianownik M(x) jako sumę iloczynu jednomianów oraz dwumianów k M 1 (x) = (x + a i ) n i i=1 l M (x) = (x + b i x + c i ) m i. i=1 W przypadku wyższych potęg postępujemy analogicznie.. czynnikowi (x + a i ) n i odpowiada suma n i ułamków prostych pierwszego rodzaju gdzie A i1,..., A ini R dla 1 i k, A i1 + A i x + a i (x + a i ) +... + A in i (x + a i ) n, i 3. czynnikowi (x + b i x + c i ) m i odpowiada suma m i ułamków prostych drugiego rodzaju B i1 x + C i1 x + B ix + C i + b i x + c i (x + b i x + c i ) +... + B im i x + C imi (x + b i x + c i ) m, i gdzie B i1,..., B imi, C i1,..., C imi R dla 1 i l, 4. ostatecznie sumujemy ułamki proste odpowiadające wszystkim czynnikom. Zadanie 6. Obliczyć całki nieoznaczone z funkcji wymiernych: a) 1 6x+7 f) 3x 4 x x 6 k) x 5 +6x 3 +1 x 4 +3x p) x (x x+3) b) 3x+7 x +9 g) (1+x) x(1+x ) l) 7x 6 3x + q) x 9 (x 4 1) c) 1 x 6x+9 h) x+1 (x 1)(x +) m) x 7 x +x+10 r) 1 x 3 4x d) 1 x 4 i) x +3 (x+) (x ) n) 1 (x +x+10) s) 1 (x ) (x+3) 3 e) 1 (x 3)(x 3x+) j) 3x+5 x 5 +x 3 +x o) 3x+5 x +5x t) 1 x 8 +x 6 dx. Stwierdzenie 1. Aby obliczyć całkę R(sin x, cos x)dx stosujemy następujące podstawienia: 4
warunek podstawienie przedstawienie funkcji różniczka R( u, v) = R(u, v) t = cos x sin x = 1 t dx = dt 1 t R(u, v) = R(u, v) t = sin x cos x = 1 t dx = dt 1 t R( u, v) = R(u, v) t = tg x sin x = t dx = dt cos x = 1 pozostałe przypadki t = tg x sin x = t dx = dt cos x = 1 t Zadanie 7. Obliczyć całki nieoznaczone z funkcji trygonometrycznych: a) sin(5x) cos(3x) b) sin(3x) sin(x) c) cos(x 1) cos(4x+3) d) sin 3 (x) 1+cos (x) e) sin (x) cos 3 (x) f) sin 3 (x) g) sin 4 (x) h) tg 3 (x) i) 1 sin(x) cos(x)+3 j) cos (x) 1+sin (x) k) sin(x) cos(x) 1+sin 4 (x) l) cos 4 (x) m) sin 4 (x) cos (x) n) cos(x) sin (x)+8sin(x)+10 o) 1 9+4cos(x) p) 1 sin(x) q) 1 cos(x) r) 1 1+3sin (x) s) 1 4+3sin(x) t) sin (ax) a 0, u) cos (ax) a 0, v) 1+sin(x) 1+cos(x) w) 1 sin(x) cos (x) x) 1 sin(x)+cos(x) y) 1 3sin(x)+4cos(x)+5 z) tg 4 (x) dx. Definicja 3 (Funkcje hiperboliczne). Funkcję sinus hiperboliczny określamy wzorem sh(x) = ex e x Funkcję cosinus hiperboliczny określamy wzorem ch(x) = ex +e x Funkcję tangens hiperboliczny określamy wzorem th(x) = sh(x) ch(x) Funkcję cotangens hiperboliczny określamy wzorem cth(x) = ch(x) sh(x) Zadanie 8. Obliczyć całki nieoznaczone z funkcji hiperbolicznych: (podpowiedź: skorzystać z podstawienia t = e x lub analogicznych wzorów dla f-cji hiperbolicznych) a) sh(x) c) 1 sh(x) e) 1 sh (x) g) ch(x) sh(x) b) ch(x) d) 1 ch(x) f) 1 ch (x) h) sh(x) sh(x) dx. 5
Stwierdzenie. Do obliczania całek z funkcji niewymiernych przydatne są następujące podstawienia: warunek podstawienie przedstawienie funkcji różniczka R(x, a x ) x = a sin t a x = a cos t dx = a cos tdt R(x, x a ) x = a ch(t) x a = a sh(t) dx = a sh(t)dt R(x, x + a ) x = a sh(t) x + a = a ch(t) dx = a ch(t)dt Zadanie 9. Obliczyć całki nieoznaczone z funkcji niewymiernych: a) x 3 3x c) 1+x 1 x e) 3 4 x 3 x g) x 36 b) 1 3 3x+1 1 d) 1 x 3 5 x x+1 f) x 6x 7 h) 3 + x dx. Zadanie 10. Znaleźć wzory rekurencyjne dla całek: a) x n a x n N, b) cos n (x) n N, c) dx (1+x ) n, n N. Zadanie 11. Obliczyć podane całki stosując wskazane podstawienie: a) x 1 x x = sin(t), c) dx x x 1, x = 1 cos(t), b) (1 x ) 3 x 6 x = sin(t), d) dx 1+x, x = tg(t). Bibliografia: 1. J. Banaś, S. Wędrychowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, WNT, Warszawa 001.. M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1. Definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 00. 3. M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 00. 4. K. Jankowska, T. Jankowski, Zbiór zadań z matematyki, PG, Gdańsk 006. 5. W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach część 1, PWN, Warszawa 1999. 6. W. Kryszewski, Wykład analizy matematycznej cz. 1 - Funkcje jednej zmiennej, UMK, Toruń 009. 7. F. Leja, Rachunek różniczkowy i całkowy ze wstępem do równań różniczkowych, PWN, Warszawa 1977. 6