Pojęce przedzału ufośc Przyład: Rozważmy pewe rzad proces (tz. ta tórego lczba zajść podlega rozładow Possoa). W cągu pewego czasu zaobserwowao =3 tae zdarzea. Oceć możlwy przedzał lczby zdarzeń tego typu w olejych esperymetach. µ P ( µ ) = e µ E[] = µ V[] = µ! Oszacujmy p-twa zajśca obserwowaego zdarzea, przy różych wartoścach µ: µ P ( ; µ = ) = 3 e µ µ 3 5 0. 65 P ( ; µ = ) = e µ.! 3 3 8 0 04! = 0 = 0 µ P ( 3; µ = ) = P ( < 3; µ = ) = e µ 0. 080! Ustalmy p-two zajśca rozważaego zdarzea było 95%: µ + P ( ; ) e µ 3 µ +.. + = = 005 µ + 88! 3 = 0 = 0 µ P ( 3; µ ) e µ = = 005. µ 06.! = 0 Przedzał ufośc a pozome ufośc 95% dla parametru µ, oparty a obserwowaej wartośc =3 to (0.6, 8.8). Uwaga: Dla =30 dostaemy a tym samym pozome ufośc przedzał (., 4.8) M. Przybyceń Rachue Prawdopodobeństwa Statystya Wyład 3-
Pojęce przedzału ufośc Przedzał ufośc (θ -, θ + ) a pozome ufośc (- ) 00% dla parametru θ wyzaczoy jest przez dwa watyle: rzędu -, ( + = ): ( θ ) = f ( θ ) d = ( θ ) = θ = ( ) P ; ; F ; F ; + + + + ( θ ) = f ( θ ) d = ( θ ) = θ = ( ) P ; ; F ; F ; Wartośc doberamy ta aby: θ + - θ - była mmala, θ - /θ + był ajblższy jedośc, W przypadu gdy = = ½ wtedy przedzał ufośc azywamy cetralym. P-two poryca parametru θ przez przedzał (θ, θ + ) jest rówe - : ( ) P θ (,..., ) < θ < θ (,..., ) = M. Przybyceń Rachue Prawdopodobeństwa Statystya Wyład 3-3
Losowy charater przedzału ufośc Przyład: Rozważmy rozład Breta-Wgera: Γ S ( ; µ, Γ ) =, < <, - < µ <, Γ >0. π ( ) Γ + ( µ ) Dla Γ= mamy: ( ;, ) F ( ) S µ Γ = = = arcta ( µ ) + π + µ π ( ) y = µ + ta π ( ) ( π ) Do wygeerowaa przypadów z r. B-W stosujemy metodę odwracaa dystrybuaty: gdze y to welośc wygeerowae z rozładu płasego [0,]. Dla ażdej zajdujemy przedzał ufośc dla parametru µ: ( ) ta( ( )) π µ ± = ± µ = 0, = 68% M. Przybyceń Rachue Prawdopodobeństwa Statystya Wyład 3-4
Pasmo ufośc Rozważmy rozład potęgowy, tórego fucja gęstośc zależy od parametru θ: ( ; ) Dla ustaloego θ zajdujemy: f θ θ = θ 0 θ > 0 + θ θ = F ( ; ) d θ + θ = θ = + + = 0 θ θ = F ( ; ) d θ θ = θ = = θ + θ - Pasmo ufośc pozwala odczytać przedzał ufośc dla parametru θ dla dowolej wartośc zmeej otrzymaej z pomaru. M. Przybyceń Rachue Prawdopodobeństwa Statystya Wyład 3-5
P. ufośc dla wartośc oczewaej Szuamy przedzału ufośc dla ezaej wartośc oczewaej µ populacj w tórej badaa cecha ma rozład ormaly N (; µ,σ), w przypadu gdy zaa jest dyspersja σ, a podstawe -elemetowej próby prostej. = ;, N µ = σ µ z = N ;, σ / ( z 0 ) Dla ustaloego = + możemy zaleźć tae wartośc z z aby: ( z z ) ( z ) ( z ) P < z < = F F = Wystarczy założyć, że z = z( ) oraz z = z( ( ) są watylam rozładu zmeej losowej z rzędów, odpowedo, oraz : µ P z ( ) < < z ( ) = F( z ( )) F( z ( )) = = σ / M. Przybyceń Rachue Prawdopodobeństwa Statystya Wyład 3-6 Math Player
P. ufośc dla wartośc oczewaej Rozwązując erówość w awase względem parametru µ dostajemy poszuway przedzał ufośc: σ z( ) < µ < z( ) Przypad szczególe: =0,, = : z(0) =-, z(- ) = z(-) µ P < z( ) = σ / µ P > z( ) = σ / µ > z ( ) =, = 0: z( ) = z() (), z(- ) = z() = + = = ½ : σ µ < z( ) = + z ( ) σ σ z z < µ < z σ σ z < µ < + M. Przybyceń Rachue Prawdopodobeństwa Statystya Wyład 3-7 σ σ σ
P. ufośc dla parametru µ - przyład Przyład: W losowo wybraej grupe 0 samochodów pewej mar przeprowadzoo badae zużyca bezyy a tej samej trase o długośc 00 m. Oazało sę, że średe zużyce bezyy wyosło 8. ltra. Sądąd wadomo, że badaa cecha ma rozład ormaly o dyspersj 0.8 ltra. Wyzaczyć 99%-ową realzację przedzału ufośc dla wartośc przecętej zużyca palwa a daej trase przez samochody tej mar. Szuamy przedzału ufośc dla wartośc oczewaej µ w sytuacj gdy zamy dyspersje σ rozładu ormalego z tórego pochodzą pomary. Welośc dae: P z µ z F z F z < < = = = σ / Z tablc odczytujemy: z σ σ z < µ < + = 8. σ = 08. = 0 = 00. z = z ( 0995. ) = 58. Szuay przedzał ufośc: µ (7.45, 8.75) =.3 M. Przybyceń Rachue Prawdopodobeństwa Statystya Wyład 3-8
Przedzał ufośc dla µ ezaa σ Szuamy przedzału ufośc dla ezaej wartośc oczewaej µ populacj w tórej badaa cecha ma rozład ormaly N(; µ,σ), w przypadu ezaej dyspersj σ, a podstawe -elemetowej próby prostej. Wemy, że statystya: µ t = s / podlega rozładow Studeta o - stopach swobody. Nech t(,) będze watylem rzędu rozładu Studeta o stopach swobody. t, = t, µ P t, F t, F t, < = = = s / s s s t, t, t, < µ < + = M. Przybyceń Rachue Prawdopodobeństwa Statystya Wyład 3-9 Math Player
P. ufośc dla parametru µ - przyład Przyład: W losowo wybraej grupe 0 samochodów pewej mar przeprowadzoo badae zużyca bezyy a tej samej trase o długośc 00 m. Oazało sę, że średe zużyce bezyy wyosło 8. ltra, atomast odchylee stadardowe wyosło 0.8 ltra. Załadając, że badaa cecha podlega rozładow ormalemu, wyzaczyć 99%-ową realzację przedzału ufośc dla wartośc przecętej zużyca palwa a daej trase przez samochody tej mar. Szuamy przedzału ufośc dla wartośc oczewaej µ w sytuacj gdy e zamy dyspersj σ rozładu ormalego z tórego pochodzą pomary, a jedye jej estymatę s. s t t < µ < +,, s Welośc dae: =. s = ( ) =. = =. 8 08 0 00 = Z tablc odczytujemy: t, = t( 0995., 9) = 35. Szuay przedzał ufośc: µ (7.3, 8.97) =.74 M. Przybyceń Rachue Prawdopodobeństwa Statystya Wyład 3-0
Przedzał ufośc dla µ duża próba Załóżmy, że badaa cecha populacj ma dowoly rozład o ezaych wartośc oczewaej µ sończoej waracj σ, oraz że mamy lczą ( 00) próbę losową. µ Na podstawe CTG Ldeberga-Levy ego wemy, że statystya z = ma asymptotyczy rozład ormaly N(z; 0,). σ / Ze względu a dużą próbę, ezaą wartość σ zastępujemy jej estymatą s, a szuay przedzał ufośc ma postać: s s z z < µ < + Przyład: W celu oszacowaa czasu absecj chorobowej pracowów pewego załadu wybrao losową grupę 00 pracowów zaotowao lczby d opuszczoych z powodu choroby w cągu ostatego rou. Na tej podstawe zaleźć 95% realzację przedzału ufośc dla ezaej wartośc przecętej czasu absecj chorobowej wszystch pracowów tego załadu. Neobecośc [d] 0-3 4-6 7-9 0-5 6-4 5-30 Lczba pracowów 3 37 7 8 M. Przybyceń Rachue Prawdopodobeństwa Statystya Wyład 3-
Przedzał ufośc dla µ duża próba Welośc dae: = 00 = 0.05 Oblczamy: 7 7 = =. s = ( ) =. 4875 473 = = Poeważ mamy do czyea z lczą próbą, węc szuay przedzał ufośc możemy wyzaczyć a podstawe: s s z z < µ < + Z tablc odczytujemy: z = z( 0975. ) = 96. 95%-wa realzacja przedzału ufośc dla ezaej wartośc przecętej czasu absecj chorobowej pracowów tego załadu to 3.95<µ<5.80 Gdybyśmy zastosowal rozład Studeta to otrzymalbyśmy: t, = t ( 0975., 99) = 98. s s < µ < + 3 94 < µ < 5 8 t, t,.. M. Przybyceń Rachue Prawdopodobeństwa Statystya Wyład 3-
Przedzał ufośc dla waracj Załóżmy, że badaa cecha populacj ma rozład ormaly N (; µ,σ) o ezaych parametrach µ σ, a próba e jest lcza (<50). u ( )s = σ Wemy, że statystya podlega rozładow χ o - stopach swobody. Korzystając z watyl rozładu χ zajdujemy: ( )s P u, u, < < = σ a stąd przedzały ufośc dla σ : ( )s ( )s < σ < u, u, oraz dla odchylea stadardowego σ: s < σ < u, u, s M. Przybyceń Rachue Prawdopodobeństwa Statystya Wyład 3-3
Przedzał ufośc dla waracj Przyład: Wyoao pomary pewej welośc uzysując astępujące wy: 87, 0, 9, 8, 97, 93, 00, 4, 99, 00, 3, 93, 95, 85, 3, 99. Załadając, że pomary tej welośc podlegają rozładow ormalemu, zajdź 90% realzacje przedzałów ufośc dla waracj odchylea stadardowego. Welośc dae: = 6 = 0.0 Oblczamy: = = s = ( ) 00 = = Z tablc odczytujemy: u, = u( 005., 5) = 76. u, = u( 095., 5) = 4996. 90%-ową realzacją przedzału ufośc dla waracj jest: 5 5 < σ < 4. 996 7. 6 A stąd: 86.4 < σ < 97.48 oraz 9.3 < σ < 7. M. Przybyceń Rachue Prawdopodobeństwa Statystya Wyład 3-4
P. ufośc dla waracj duża próba Załóżmy, że badaa cecha populacj ma rozład ormaly N(; µ,σ) o ezaych parametrach µ σ, a próba jest lcza ( 50). W tym przypadu orzystamy z fatu, że statystya: ( )s s χ = = ( ) σ σ ma w przyblżeu rozład ormaly N ( ; 3, ) Przedzał ufośc dla ezaego odchylea stadardowego zajdujemy z waruu: s P z ( ) z 3 < < 3 + = σ Rozwązując powyższą erówość otrzymujemy: s ( ) s ( ) < σ < 3 + z z 3 M. Przybyceń Rachue Prawdopodobeństwa Statystya Wyład 3-5
Obszar ufośc dla parametrów µ σ Załóżmy, że badaa cecha populacj ma rozład ormaly N(; µ,σ) o ezaych parametrach µ σ. Chcemy przeprowadzć jedoczesą estymację przedzałową obu parametrów. µ ( )s µ ( )s P z z, u u P z z P u u + / + = + / + = σ σ σ σ u u, u+ u, = = 4 4 z z+ z z = = = z 4 4 P z µ z = σ / + P u ( )s u = σ + ( )s σ = u ± oraz µ z σ σ / ( µ ) z M. Przybyceń Rachue Prawdopodobeństwa Statystya Wyład 3-6
Obszar ufośc dla parametrów µ σ Przyład: Zmerzoo średce 5 drzew wybraych losowo z lasu sosowego otrzymao średą średcę 37.3 cm oraz warację 3.77 cm. Załadając, że średce drzew mają rozład ormaly, wyzaczyć 90%-ową realzację zboru ufośc dla wartośc przecętej waracj średcy drzewa z tego lasu. Welośc dae: = 5 = 0.0 = =. cm s = ( ) =. cm Wyzaczamy wartośc odpowedch watyl: 37 3 3 77 = = u u, u(., ). z z = = 005 50 = 3357 = = z( 0975. ) = 96. 4 4 u+ = u, = u( 0975., 50) = 7. 40 4 90%-owa realzacja zboru ufośc dla wartośc przecętej waracj średcy drzewa daa jest przez: ( µ ) σ = 3. 8 ( 373. µ ) z ( )s σ ( )s = = 9. 64 cm σ + = =. 8 cm u u + M. Przybyceń Rachue Prawdopodobeństwa Statystya Wyład 3-7
Estymacja parametru p rozładu B (N,p) Przyład: Spośród = 00 wrów w wae zaobserwowao =43 wry zgode z eruem ruchu wsazówe zegara. Zajdź przedzał ufośc a pozome ufośc 95% dla parametru p rozładu dwumaowego z tych daych. P ( ; p +, = ) = 43 00 00 43 00 p + ( p + ) =. p +. 0 05 0 533 = 0 P ( ; p, = ) = 00 00 00 43 00 p ( p ) =. p. 0 05 0 33 = 43 A węc przedzał ufośc dla parametru p a pozome ufośc = 95% day jest przez (0.33, 0.553) obejmuje p=0.5, co ozacza, że żade erue wru e jest uprzywlejoway. M. Przybyceń Rachue Prawdopodobeństwa Statystya Wyład 3-8
Estymacja parametru p rozładu B (N,p) Chcemy zaleźć przedzał ufośc a pozome - dla parametru p rozładu dwumaowego B (N,p), przy zaym parametrze N, jeśl próba daych lcząca lczb jest a tyle duża ( 00) że możemy odwołać sę do cetralego twerdzea graczego ( µ = Np σ = Np( p) ). B N ( N, p) = p ( p) N = = = = Stosujemy CTG przyblżając rozład dwumaowy rozładem Gaussa: Np Np ± P z = = Np( p) / Np ( p ) / ± ± z Rozwązujemy rówae wadratowe względem p: ( N + z ) p ( + z ) p + = 0 N 4 z = 4 + 4z + z 4 4z = 4z + N N 4 M. Przybyceń Rachue Prawdopodobeństwa Statystya Wyład 3-9
Estymacja parametru p rozładu B (N,p) Poszuway przedzał ufośc a pozome day jest przez: p ± ( ) + z ± z / N + z / 4 = = ( N + z ) z z z = + + ± z + N N N N N N ( N ) 4 z N ± z N N N N Przyład: Wśród 350 wybraych losowo wyrobów zalezoo 3 wyrobów wadlwych. Wyorzystując wy badaa otrolego podać 95%-ową realzację przedzału ufośc dla fracj wyrobów dobrych w całej part wyproduowaych wyrobów. = N = 350 = 350 3 = 39 = 0. 05 z = z( 0975. ) =. 96 p.. 088 p + 0 94 M. Przybyceń Rachue Prawdopodobeństwa Statystya Wyład 3-0