MODELOWANIE INŻYNIERSKIE ISSN 896-77X 37,. 73-80, Gliwice 009 RELACJE KONSTYTUTYWNE SPRĘŻYSTO-LEPKOPLASTYCZNEGO MODELU MATERIAŁU SZWEDOWA ARTUR ZBICIAK, WIESŁAW GRZESIKIEWICZ * Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Warzawka e-mail: a.zbiciak@il.w.edu.l * Wydział Samochodów i Mazyn Roboczych, Politechnika Warzawka e-mail: wgr@imr.w.edu.l Strezczenie. Celem racy jet rezentacja różniczkowego oiu związków kontytutywnych materiału rężyto-lekolatycznego na odtawie klaycznego chematu reologicznego Szwedowa. Wyrowadzone relacje mogą wiernie odzwierciedlać zachowanie ię toów metali oddanych działaniu cyklicznych obciążeń. Związki fizyczne zotały zarogramowane w ramach modułu VUMAT, komercyjnego ytemu MES ABAQUS/Exlicit. Przedtawiono rzykładowe ętle hiterezy uzykane na odtawie wyrowadzonych relacji materiału Szwedowa.. WSTĘP W zakreie nierężytych obciążeń więkzość inżynierkich toów metali wykazuje ilnie nieliniowe właności. Po rzekroczeniu granicy latyczności oberwuje ię najczęściej efekt wzmocnienia, któremu towarzyzy - w rzyadku zybkozmiennych, cyklicznych obciążeń - zjawiko wrażliwości na rędkość deformacji (lekość). Uwzględnienie ww. zjawik wymaga zatoowania właściwego oiu kontytutywnego, odzwierciedlającego rężytodyyacyjną charakterytykę badanego ośrodka. Celem racy jet rezentacja związków kontytutywnych materiału rężytolekolatycznego na odtawie klaycznego chematu reologicznego Szwedowa [8]. Pokażemy, że wyrowadzone relacje mogą wiernie odzwierciedlać zachowanie ię metali oddanych działaniu cyklicznych obciążeń. Otrzymane związki mają formę nieliniowego układu równań różniczkowych i ą odane w jawnej formie. Najczęściej tego tyu relacje rzedtawia ię w literaturze z dokładnością do nieznanych mnożników kalarnych (mnożników Lagrange a). Ze względu na rozowzechnienie niejawnych algorytmów całkowania związków kontytutywnych, nie rozatruje ię zagadnienia wyznaczania analitycznego tychże mnożników, gdyż ą one otrzymywane na drodze numerycznej [3, 5, 3]. Zaroonowane w racy relacje zotały zarogramowane w języku Fortran, w ramach modułu użytkownika VUMAT, komercyjnego ytemu MES ABAQUS/Exlicit []. Przedtawimy rzykładowe ętle hiterezy uzykane na odtawie wyrowadzonych związków materiału Szwedowa.
74 A.ZBICIAK, W.GRZESIKIEWICZ. ZWIĄZKI KONSTYTUTYWNE Relacje fizyczne modelu materiału Szwedowa mogą być uzykane na odtawie analizy chematu reologicznego, okazanego na ry.. Rozważania rozoczynamy od formułowania związków w zakreie małych odkztałceń w rzyadku trójwymiarowym. Natęnie uogólnimy zadanie na rzyadek umiarkowanie dużych deformacji. G e k G η ev e v e Ry.. Schemat reologiczny materiału Szwedowa w odrzetrzeni dewiatorowej Podany chemat reologiczny dotyczy odrzetrzeni narężeń i odkztałceń dewiatorowych. Zakładamy, że w zakreie obciążeń wzechtronnego ścikania/rozciągania, materiał wykazuje cechy liniowo-rężyte, oiywane rawem zmiany objętości: trσ = 3K tr ε, gdzie K oznacza moduł ściśliwości objętościowej. Na odtawie ry. wrowadzamy założenia dot. dekomozycji narężeń i odkztałceń. Narężenia dewiatorowe, rozkładają ię na część latyczną (lewa, dolna gałąź chematu) i lekorężytą (Maxwella) (rawa, dolna gałąź) =. () + Całkowite odkztałcenia dewiatorowe rozkładają ię na część rężytą, oiywaną rawem zmiany otaci, i rężyto-lekolatyczną. Dodatkowo w części rężyto-lekolatycznej obowiązuje rozkład na część rężytą i leką (ciecz Newtona). Otrzymujemy zatem natęujące związki ev ev v v e = + e, e = + e, e& =, () G G η gdzie G i G ą modułami ścinania, natomiat η oznacza wółczynnik lekości otaciowej. W owyżzych równaniach uwzględniono odowiednie relacje kontytutywne obowiązujące dla części rężytych i części lekiej. Należy również wrowadzić oi relacji idealnej latyczności, w ev formie związków omiędzy tenorem narężenia, a tenorem rędkości odkztałceń e&. Przyjmujemy warunek latyczności Hubera-Miea-Hencky ego (HMH), narzucający więzy na dewiatorową część tanu narężenia, co jet zgodne z wcześniejzymi rozważaniami. Funkcja latyczności towarzyzona z warunkiem HMH ma otać
RELACJE KONSTYTUTYWNE SPRĘŻYSTO-LEPKOPLASTYCZNEGO 75 ( ): = k F, (3) gdzie rzez k oznaczono granicę latyczności z tetu czytego ścinania. Układ relacji kontytutywnych materiału idealnie latycznego tworzą: towarzyzone rawo łynięcia oraz warunki Kuhna-Tuckera F ( ) ev e& = λ = λ, (4a) ( ) 0, 0, λ F( ) 0 F λ =, (4b) gdzie λ jet ozukiwanym mnożnikiem Lagrange a. Wykorzytanie relacji ( 4) ozwala na uzykanie jawnej otaci relacji fizycznych modelu materiału Szwedowa. Procedura wyrowadzania związków kontytutywnych ciał wykazujących właności latyczne z zatoowaniem metod mechaniki niegładkiej zotała oiana w [6]. Otrzymano natęujące związki oiujące zachowanie ię materiału w odrzetrzeni dewiatorowej Wartości odwzorowań = e& e& v ev = G = G = f = f + v, ev ( e e ) ev v ( e e ), v ev ( e, e ), ev v ev f i f mają otać: ev ( e, e, e, e& )., (5a) f f v v ev G ev v ( e, e ) = ( e e ) ev η ev ( e, e, e, e& ) 0 = λ, gdy gdy < = k k (5b) gdzie wartość mnożnika Lagrange a otrzymujemy z równania G λ = ( ) G e& + 4k G + G η, (5c) jeśli funkcja [ ] + oznacza rojekcję na zbiór liczb dodatnich. Układ nieliniowych relacji algebraiczno-różniczkowych (5) ozwala na wyznaczenie tanu ev narężenia oraz zmiennych wewnętrznych,, e i e, w każdej chwili t, rzy znanym wymuzeniu kinematycznym e ( t). Oczywiście, niektóre arametry wewnętrzne można wyeliminować, jeśli intereuje na tylko analiza tanu narężenia. Łatwo widać, że rzy G = 0, relacje (5) oiują model materiału rężyto-idealnie latycznego, niewrażliwego na rędkość deformacji (związki Prandtla-Reua) [7, 9]. Dodatkowo +
76 A.ZBICIAK, W.GRZESIKIEWICZ można wykazać, iż odtawienie η rowadzi do związków materiału rężyto-latycznego ze wzmocnieniem kinematycznym wg roozycji Pragera []. 3. CAŁKOWANIE RELACJI KONSTYTUTYWNYCH W ZAKRESIE UMIARKOWANIE DUŻYCH DEFORMACJI Związki kontytutywne rężyto-lekolatycznego materiału Szwedowa, odane w orzednim rozdziale, obowiązują dla małych odkztałceń. Uogólnienie tych relacji na rzyadek umiarkowanie dużych odkztałceń i kończonych obrotów może być dokonane o rzyjęciu dodatkowych założeń urazczających. Zakładamy, że odkztałcenia objętościowe ciała, zarówno w zakreie rężytym jak i rężytolekolatycznym, ą małe. Dzięki ełnieniu warunku nieściśliwości nie zachodzi konieczność rozróżniania miar narężenia. Relacje kontytutywne można wówcza zaiywać oługując ię tenorem narężenia Cauchy ego σ. Analiza dużych deformacji objętościowych wymagałaby zatoowania - do oiu relacji kontytutywnych - tenora narężeń Kirchhoffa (Treftza) τ, w miejce σ. Związek omiędzy obydwoma miarami narężeń ma formę τ = Jσ, gdzie J = det F. (6) Koncecja uogólnienia związków rężyto-leko-latyczności na duże deformacje związana jet z zatąieniem addytywnej dekomozycji odkztałceń, tzw. rozkładem multilikatywnym [9], zgodnie ze wzorem F = F e F ev, (7) e ev gdzie F i F oznaczają odowiednio gradient deformacji rężytych i rężytolekolatycznych. Można wykazać, że równanie (7) rowadzi do addytywnej dekomozycji tenora rędkości deformacji D, jeśli założymy, że odkztałcenia rężyte ą małe w orównaniu ze rężytolekolatycznymi. Otrzymujemy wówcza związek e ev T = D D, gdzie D ( L + L ) D + =, (8) w którym L oznacza tzw. gradient rędkości. Tenor rędkości deformacji oiuje jedynie rędkości (rzyroty) wydłużeń włókien materialnych. W rzyadku ztywnego obrotu jego wartość wynoi 0, dlatego może on być wykorzytany w relacjach kontytutywnych, które muzą być niezależne od ztywnego obrotu. W rzyadku teorii małych odkztałceń związki kontytutywne można rzedtawić w formie nieliniowego równania różniczkowego wiążącego rędkości narężeń σ& z rędkościami odkztałceń ε&. Na odtawie owyżzych rozważań można uogólnić te relacje, wtawiając w miejce ε&, gradient rędkości deformacji D. Wielkość σ& jet ochodną materialną tenora narężenia Cauchy ego. Można dowieść, iż σ& nie jet obiektywne, gdyż rzy zmianie oberwatora nie odlega rawu tranformacji tenora. rzędu. W miejce σ& należy wrowadzić tzw. ochodną obiektywną tanu narężenia. Najczęściej wykorzytuje ię tzw. ochodną Zaremby-Jaumanna σ, która oiuje rędkość zmiany tenora narężenia z unktu widzenia oberwatora znajdującego ię
RELACJE KONSTYTUTYWNE SPRĘŻYSTO-LEPKOPLASTYCZNEGO 77 we wółobrotowym układzie wółrzędnych. Zatem σ rzedtawia rzyrot narężenia, który jet wynikiem tylko odowiedzi kontytutywnej i nie wynika ze ztywnego obrotu. Pochodną Zremby-Jaumanna definiujemy natęująco σ jeśli W oznacza tenor inu (antyymetryczna część L ). = σ& T : + σ W Wσ, gdzie W = ( L L ), (9) Zatem relację kontytutywną można formułować omiędzy gradientem rędkości deformacji D oraz ochodną obiektywną tenora narężenia σ. Poniżej rzedtawiamy ideę algorytmu, który ozwala na określenie wartości tenora narężenia Cauchy ego σ, w nieruchomym, materialnym układzie wółrzędnych, na odtawie znajomości gradientu deformacji F i jego rędkości F &. Dodatkowo rzyjmujemy zerowe warunki oczątkowe dla zmiennych wewnętrznych i oraz tenora narężenia σ. Algorytm zawiera ię w natęujących unktach: a) wyznaczyć gradient rędkości na odtawie relacji L = F & F, (0) b) wyznaczyć wartość tenora rędkości deformacji i tenora inu ( T T = L L ), W ( L L ) D + =, () c) określić wartość tenora deformacji rężyto-lekolatycznych na odtawie relacji kontytutywnej D λ = 4k ev 0 = λ ( G + G ) gdy gdy G < = k k G D + η d) obliczyć ochodne obiektywne dewiatora narężeń lekorężytych ( ), dewiatora narężeń latycznych ( ) oraz tenora całkowitych narężeń ev ( ) = G D ; ( ) ev = G ( D D ) ( ) η σ ( ) ( ) D I + + ( ) + (), (3a) σ = K tr, (3b) e) wyznaczyć ochodne materialne tenora narężenia, dewiatora narężenia latycznego i dewiatora narężenia lekorężytego &, & ( ), ( ) σ = σ σ W + Wσ = W + W & = W + W, (4)
78 A.ZBICIAK, W.GRZESIKIEWICZ f) całkując σ&, & i &, obliczyć wartości tenorów narężenia w materialnym układzie wółrzędnych; rawdzić warunek latyczności względem tenora narężeń latycznych F( ) 0 ; w rzyadku gdy F ( ) > 0, dokonać korekty tanu narężenia toując algorytm rzutu o romieniu [3, 5]. Należy odkreślić, że oiany algorytm ideowy jet łuzny jedynie o rzyjęciu założeń urazczających, o których ialiśmy na oczątku rozdziału. W innym rzyadku owinno ię konekwentnie toować rozkład multilikatywny dany wzorem (7) oraz rzyjmować związki hierrężytości do oiania zachowania ię materiału rzed ulatycznieniem []. W rzedtawionym algorytmie wykorzytujemy efektywnie jawną otać relacji kontytutywnych. Narężenie obliczone za omocą tych związków (metoda Eulera w rzód ), ełni rolę narężenia róbnego. Korekta obejmuje tylko narężenia w części latycznej. Ten eta jet trywialny, gdyż dzięki wrowadzeniu chematu reologicznego otrafimy wydzielić tę część. W rzyadku owzechnie toowanych algorytmów wykorzytuje ię ideę lekolatycznej owierzchni granicznej, która ewoluuje w trakcie deformacji ośrodka. Wówcza rzut na zbór douzczalnych narężeń mui być dokonany z wykorzytaniem niejawnego algorytmu (n. Newtona-Rahona). 4. WYNIKI ANALIZY NUMERYCZNEJ W niniejzym unkcie rzedtawiamy wyniki obliczeń numerycznych zachowania ię materiału oiywanego relacjami Szwedowa. Model matematyczny zotał wrowadzony do ytemu ABAQUS za ośrednictwem rocedury VUMAT, w której należało zarogramować algorytm omówiony w orzednich unktach. W rzykładzie tetowym badamy zachowanie ię ojedynczego, trójwymiarowego elementu kończonego C3D8 [], oddanego cyklicznemu ścinaniu, które było wymuzane kinematycznie. Rozatrzono wływ tałej lekości na kztałt ętli hiterezy. Przyjęte wartości arametru lekości otaciowej η wynozą (trzy tety):,0[mpa ], 5,0[MPa ] i 00,0[MPa ]. Pozotałe 3 wielkości materiałowe mają te ame wartości w trzech tetach: = 7800 [ kg/m ] ρ, E = 0[GPa], E = 0, 3 E, ν = 0, 3, σ 0 = 00[MPa] k = 5,47 [MPa]. Wartość granicy latyczności k, obliczono, wykorzytując znaną relację k = σ 0 / 3, wynikającą z warunku HMH, gdzie σ 0 oznacza granicę latyczności z tetu rozciągania/ścikania. Podobnie na odtawie rzyjętych wartości modułów Younga E i E oraz wółczynnika Poiona ν, łatwo G = E / / +ν. wyznaczamy moduły ścinania (atrz ry. ), gdyż zachodzi zależność ( ) Wykrey zamiezczone na ry. 4 okazują orawność zaroonowanego algorytmu. Łatwo zauważyć, że, toując formułowane relacje, można wiernie odzwierciedlić zjawiko nieliniowego wzmocnienia w zerokim zakreie arametrów oiujących wrażliwość materiału na rędkość deformacji. We wzytkich rzerowadzonych ymulacjach nie zachodziła konieczność rzyjęcia dodatkowego odziału kroku czaowego w tounku do wartości obliczonej automatycznie rzez ytem ABAQUS. Oczywiście, rzy małych wartościach tałej lekości może dojść do utraty zbieżności, co związane jet z faktem, iż truktura wyrowadzonych związków nie ozwala na uzykanie rzejścia granicznego do idealnej latyczności [0, 4]. Powyżza uwaga dotyczy również modeli materiałów tandardowo zaimlementowanych w wykorzytanym ytemie MES [].
RELACJE KONSTYTUTYWNE SPRĘŻYSTO-LEPKOPLASTYCZNEGO 79 Ry.. Pętla hiterezy materiału Szwedowa dla η =,0[MPa ] Ry. 3. Pętla hiterezy materiału Szwedowa dla η = 5,0[MPa ] Ry. 4. Pętla hiterezy materiału Szwedowa dla η = 00,0[MPa ]
80 A.ZBICIAK, W.GRZESIKIEWICZ LITERATURA. ABAQUS/Exlicit Uer Manual Ver. 6.7. Hibbit, Karlon and Sorenen, Inc., 007.. Bertram A.: Elaticity and laticity of large deformation : an Iitroduction. Berlin : Sringer, 005. 3. Crifield M.A.: Non-linear finite element analyi of olid and tructure. Vol. I and II. John Wiley & Son, 99. 4. Critecu N.D.: Dynamic laticity. New York :World Scientific Publihing Comany, 007. 5. De Souza Neto E.A., Perić D., Owen D.R.J.: Comutational method for laticity. Theory and Alication Wiley, 008. 6. Grzeikiewicz W., Wojewódzki W., Zbiciak A.: Non-mooth dynamic roblem formulation for elatic-erfectly latic olid. W : XI konferencja olko-ukraińka Theoretical Foundation of Civil Engineering. Warzawa 003,. 339 350.. 7. Khan A. S., Huang S.: Continuum theory of laticity. New York: Wiley, 995. 8. Kiiel I. Reologia w budownictwie. Warzawa :Arkady, 967. 9. Lubarda V. A., Elatolaticity theory. CRC, Boca Raton 00. 0. Nguyen Q. S.: Stability and nonlinear olid mechanic. John Wiley and Son, Ltd., 000.. Ottoen N.S., Ritinmaa M.: The mechanic of contituti modeling. Elevier, 005.. Panagiotooulo P.D.: Inequality roblem in mechanic and alication. Conx and Nonconx Energy Function. Bael: Birkhauer, 985. 3. Simo J. C., Hughe T. J. R.:Comutational inelaticity. New York :Sringer Verlag, 998. 4. Temam R.: Mathematical roblem in laticity. Pari :BORDAS, 985. CONSTITUTIVE RELATIONSHIPS OF ELASTIC-VISCOPLASTIC SHVEDOV-TYPE MATERIAL MODEL Summary. The objecti of the aer i to reent contituti relationhi of elatic-vicolatic material model baed on claical Shdov-tye rheological cheme. Both mall-train model a well a the model uited for moderate and large train imulation were dicued. The rooed relation may be ued for modelling of cyclic behaviour of metallic alloy. The contituti relationhi being obtained herein, were rogrammed within VUMAT uer material module of the FEM ABAQUS/Exlicit oftware. Numerical reult of hyteretic behaviour of Shdov-tye material were alo reented.