RELACJE KONSTYTUTYWNE UOGÓLNIONEGO MODELU MATERIAŁU BINGHAMA. SFORMUŁOWANIE I IMPLEMENTACJA NUMERYCZNA

Transkrypt

1 Wiesław GRZSIKIWICZ 1 Artur ZICIAK RLACJ KONSTYTUTYWN UOGÓLNIONGO MODLU MATRIAŁU INGHAMA. SFORMUŁOWANI I IMPLMNTACJA NUMRYCZNA W racy analizujemy relacje konstytutywne uogólnionego modelu materiału inghama. Uogólnienie które roonujemy olega na uwzględnieniu wływu narężeń kulistych na ulastycznienie oraz wływu lekości objętościowej. Sformułowane związki zostały zaimlementowane w ramach systemu metody elementów skończonych AAQUS/xlicit. 1. WPROWADZNI W rzyadku izotroowych stoów metali stosowane jest zwykle kryterium ulastycznienia związane z hiotezą Hubera-Misesa-Hencky ego (HMH). Miarą wytężenia materiału sełniającego warunek HMH jest wartość normy narężeń dewiatorowych. Model materiału srężysto-lastycznego odlegającego hiotezie HMH jest nieczuły na stany ciśnienia hydrostatycznego (narężenia kuliste); oddany wszechstronnemu ściskaniu (rozciąganiu) zachowuje się srężyście. Reologiczne właściwości materiałów określa się srężystością lastycznością i lekością. Zjawisko lastyczności zwykle ujawnia się rzy dużych odkształceniach natomiast lekość w trakcie szybkozmiennych odkształceń. Niektóre elementy maszyn roboczych są narażone na tego tyu obciążenia które owstają w trakcie uderzenia. W racy rezentujemy reologiczny model materiału umożliwiający analizowanie stanów odkształceń i narężeń w elementach maszyn oddanych takim obciążeniom. Ograniczymy rozważania do klasy materiałów wrażliwych na rędkość deformacji jedynie o ulastycznieniu zakładając że rzed ulastycznieniem materiał wykazuje cechy liniowo srężyste. Przyjęte założenia odowiadają klasie modeli materiałów srężystolekolastycznych nazywanych w literaturze anglojęzycznej overstress-tye models [10]. Podstawowym modelem z tej gruy jest materiał inghama [9]. Inne modele znane w literaturze związane są z roozycjami Perzyny i Duvaut-Lionsa [10] [17]. W racy [18] wykazano że rzyjęcie hiotezy HMH srawia że wszystkie trzy wsomniane materiały oisywane są jednakowymi relacjami jeśli założymy liniową lekość i brak wzmocnienia. W literaturze nie odaje się zazwyczaj secyfikacji tych modeli na rzyadek innych hiotez niż HMH. Należy zauważyć że wszystkie wymienione owyżej modele srężysto-lekolastyczne wrowadzają jeden arametr lekości. W rzyadku materiałów odlegających warunkowi HMH wsomniany arametr związany jest w 1 Politechnika Warszawska Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych wgr@simr.w.edu.l Politechnika Warszawska Wydział Inżynierii Lądowej a.zbiciak@il.w.edu.l

2 naturalny sosób z narężeniami dewiatorowymi (lekość ostaciowa). Przyjęcie hiotezy uwzględniającej narężenia kuliste wymaga dodatkowego uwzględnienia wływu lekości objętościowej. Celem niniejszego oracowania jest uogólnienie istniejących w literaturze modeli w sosób umożliwiający uwzględnienie zarówno kulistej jak i dewiatorowej części stanu narężenia na ulastycznienie. Wydaje się iż takie odejście wymusza wrowadzenie dwóch wsółczynników lekości związanych z narężeniami kulistymi i dewiatorowymi co również uwzględniamy. W ierwszej kolejności rzedstawimy związki modelu inghama dla dowolnego anizotroowego materiału a nastęnie odamy rocedurę ich secyfikacji na rzyadek modelu izotroowego sełniającego elityczny warunek lastyczności. Uwzględnienie wływu narężeń hydrostatycznych oraz wrażliwości na rędkość deformacji wymaga rzyjęcia dodatkowych zmiennych wewnętrznych które wrowadzimy na odstawie analizy odowiedniego schematu reologicznego. Relacje konstytutywne które rzedstawimy w racy mają formę różniczkową i mogą być bezośrednio zaimlementowane w ramach komercyjnych rogramów metody elementów skończonych.. OGÓLNA POSTAĆ RLACJI KONSTYTUTYWNYCH INGHAMA Zakładamy że stan odkształceń ciała oisywany jest tensorami ε i ε które oznaczają odowiednio całkowite dokształcenia i odkształcenia lekolastyczne. Cechy srężyste i lekie rerezentują symetryczne tensory czwartego rzędu: C - tensor stałych srężystości oraz D - tensor stałych lekości. Schemat reologiczny materiału inghama okazano na rys. 1. Obok symboli rerezentujących srężyste lekie i lastyczne własności ośrodka zamieszczono tensory stałych materiałowych. Własności lastyczne symbolicznie rzedstawione za omocą suwaka charakteryzuje zbiór douszczalnych narężeń o którym zakładamy że jest wyukły domknięty i zawiera tensor zerowy. Stany narężeń w części lastycznej oisujemy tensorem σ. Zakładamy iż odkształcenia ciała można σ rozdzielić addytywnie na część srężystą i lekolastyczną (atrz rys. 1). Uwzględniając ε liniową zależność omiędzy narężeniami i C odkształceniami w części srężystej (rawo Hooke a) otrzymujemy nastęujący związek 1 ε C σ ε. (1) ε W dalszej kolejności zajmiemy się σ D sformułowaniem dodatkowych relacji które ozwolą na wyznaczenie wartości tensora ε. W tym celu zaisujemy równanie bilansu narężeń (or. rys. 1) Rys. 1. Schemat reologiczny σ Dε σ () materiału inghama. a także dodatkowe związki które obowiązują w

3 części lastycznej (atrz n. [] [5] [8]) σ (3) ~ ~ σ ε σ ε σ. Związki (1 3) tworzą zbiór relacji konstytutywnych anizotroowego modelu materiału srężysto-lekolastycznego inghama. W dalszych rozważaniach zakładamy że zbiór douszczalnych narężeń lastycznych oisany jest za omocą gładkiej funkcji skalarnej argumentu tensorowego oznaczonej symbolem w nastęujący sosób : : σ σ 0. (4) Wówczas zbiór relacji (3) rzybiera ostać σ 0 ε σ σ 0 σ 0 gdzie jest skalarnym mnożnikiem. Zaznaczamy iż relacje (5 ) wynikają wrost z nierówności wariacyjnej (3 ) co wyjaśnia zarezentowaną owyżej kolejność związków (5). Tradycyjnie w teorii lastyczności relację oisującą tensor rędkości odkształceń niesrężystych (ierwsze równanie w związkach (5 )) nazywa się stowarzyszonym rawem łynięcia natomiast ozostałe związki noszą nazwę warunków Kuhna-Tuckera. 3. SPCYFIKACJA ZWIĄZKÓW KONSTYTUTYWNYCH W niniejszym rozdziale zajmiemy się secyfikacją relacji konstytutywnych modelu materiału inghama na rzyadek wybranej hiotezy wytężeniowej. Przyjmiemy założenie o izotroii srężystych i lekich własności rozatrywanego materiału. Wykorzystamy rozkład stanów narężenia i odkształcenia na części kuliste i dewiatorowe zgodnie z zależnościami 1 σ s jeśli : tr σi (6a) 3 1 ε a e jeśli a : tr εi (6b) 3 gdzie symbole i a oznaczają tensory kuliste odowiednio stanu narężenia i odkształcenia natomiast s i e są dewiatorami. Wykorzystując owyższe założenia rozisujemy wyrażenia (1) i () 1 1 a a e s e (7) 3 K G 3 a s s (5) v e (8) gdzie K i G są stałymi srężystości oznaczającymi odowiednio moduł ściśliwości objętościowej i moduł ścinania; symbole i v oznaczają wsółczynniki lekości objętościowej i ostaciowej. Dodatkowe zmienne i s wyznaczają kuliste i

4 dewiatorowe części narężeń lastycznych. Rozatrzmy elityczną owierzchnię lastyczności która umożliwia uwzględnienie wływu narężeń kulistych i dewiatorowych na ulastycznienie o nastęującej ostaci gdzie symbol tensorów n. s : s k (9) oznacza normę zdefiniowaną za omocą oeracji ełnego nasunięcia σ : σ σ (atrz [14]). Jeśli 0 wówczas otrzymujemy warunek Hubera-Misesa-Hencky ego w którym więzy narzucone są jedynie na część dewiatorową stanu narężenia. Stała k jest granicą lastyczności ze statycznego testu czystego ścinania a - bezwymiarowym wsółczynnikiem którego bezośrednie wyznaczenie wymaga wykonania testu wszechstronnego ściskania (rozciągania). Zakładamy że 0 1. W rzestrzeni narężeń głównych funkcja lastyczności jest elisoidą której ółosie mają długość k i k. Podsumowując dotychczasowe rozważania rzedstawiamy ełny zestaw relacji konstytutywnych izotroowego modelu materiału inghama z gładką owierzchnią lastyczności. σ 3 K a a G e e a 3 a s s s e e s 0 0 s 0. v Powyższe związki można rzedstawić w bardziej syntetycznej formie σ 3K a a Ge e a Fa ε ε (11) e Fe ε ε. Wyznaczenie wartości odwzorowań F a i F e jest możliwe na odstawie analizy relacji (10 ) (10 4 ). W rzyadku rozatrywanego elitycznego warunku lastyczności otrzymujemy nastęujące związki 0 gdy σ 0 F a ε ε (1a) gdy σ 0 jeśli 1 3 σ σ s s (10) 0 gdy 0 F e ε ε (1b) s gdy 0 s s 3 a a 1 v K s e e G. (1c)

5 Wartość mnożnika który wystęuje we wzorach (1) należy określić na odstawie rozwiązania nastęującego nieliniowego równania algebraicznego v s k. (13) Konieczność rozwiązania owyższego równania zachodzi wówczas gdy σ 0. W takim rzyadku można wykazać iż istnieje dokładnie jedna wartość 0 rzy której słuszna jest relacja (13). Rozwiązania równania (13) należy oszukiwać na drodze numerycznej wykorzystując n. metodę ołowienia lub metodę siecznych [3]. Należy zauważyć iż w związkach (1a) i (1b) w rzeciwieństwie do równania (9) argumentem funkcji jest ełny tensor narężenia σ a nie tensor narężeń w części lastycznej σ. Ze względu na nieliniowy charakter równania (13) nie jest możliwe odanie jawnej ostaci relacji konstytutywnych uogólnionego modelu materiału inghama z elitycznym warunkiem lastyczności. W rzyadku gdy 0 wtedy istnieje analityczna ostać rozwiązania równania (13). Relacje konstytutywne takiego modelu (brak lekości objętościowej) odano w racy [7]. Najrostsze związki modelu srężystolekolastycznego które wynikają z uogólnionych zależności inghama można otrzymać rzyjmując hiotezę HMH; odstawiając 0 w równaniu (9). Relacje takie rozatrywano w racy [18]. 4. IMPLMNTACJA NUMRYCZNA Wiele komercyjnych rogramów MS umożliwia użytkownikowi zarogramowanie własnych rocedur materiałowych. W ramach takich systemów możliwe jest wrowadzenie relacji omawianego w racy uogólnionego modelu inghama oisywanego związkami (11) (13). rak jawnej ostaci wyrażenia na mnożnik srawia że w każdym kroku analizy orócz całkowania związków (11 ) i (11 3 ) należy dodatkowo rozwiązywać równanie (13) wykorzystując jedną z zasugerowanych wcześniej metod numerycznych. Przedstawione w racy związki konstytutywne zostały zaimlementowane w ramach systemu AAQUS/xlicit który rzeznaczony jest do analizy nieliniowych zagadnień dynamiki ciał stałych (atrz [1]). Równania ruchu konstrukcji są całkowane w tym systemie z zastosowaniem jawnego algorytmu metody różnic centralnych który działa niezależnie od algorytmów całkowania relacji konstytutywnych. Program AAQUS dysonuje rozbudowaną biblioteką różnorodnych modeli materiałów. Wykorzystanie istniejących modeli nie daje jednak żadnej kontroli nad zastosowanym algorytmem. Ponadto rozatrywany w racy model materiału nie jest zaimlementowany w systemie AAQUS dlatego też autorzy racy zdecydowali się na zbudowanie własnego algorytmu realizującego całkowanie wyrowadzonych związków konstytutywnych. Wrowadzenie własnego modelu jest możliwe za ośrednictwem rocedury wewnętrznej VUMAT w ramach której rogramuje się relacje konstytutywne w języku FORTRAN i dołącza do systemu.

6 Jako zadanie testowe rozatrujemy roblem zachowania się srężystolekolastycznej ółrzestrzeni oddanej uderzeniu sztywnego stemla. Analizę orównawczą rzerowadzimy dla trzech modeli materiałów: srężystego srężysto-idealnie lastycznego z elitycznym warunkiem lastyczności (atrz [7]) oraz materiału oisanego uogólnionymi relacjami inghama rozatrywanego w niniejszej racy. Sztywny stemel o masie m 6[kg] uderza w konstrukcję z rędkością oczątkową v 10 0 [m/s]. Schemat układu wraz z naniesioną siatką MS zredukowany ze względu na wystęujące symetrie rzedstawiono na rys.. Rys.. Schemat układu z naniesioną siatką MS Założono nastęujące stałe materiałowe ośrodka: gęstość 7800[kg/m 3 ] moduł Younga 10[GPa] liczbę Poissona 03 granicę lastyczności z testu ścinania k 1155[MPa] oraz arametr 0. Moduły lekości ostaciowej i objętościowej wynoszą odowiednio v 15[MPa s] oraz 05[MPa s]. Na rys. 3 rzedstawiono wyniki analizy w ostaci wykresów rzemieszczeń centralnego unktu ółrzestrzeni ołożonego na owierzchni kontaktu ze stemlem w rzyadku trzech analizowanych modeli materiałów. Największą odatność wykazuje konstrukcja wykonana z materiału srężysto-idealnie lastycznego. Uwzględnienie zjawiska lekości srawia że konstrukcja staje się bardziej sztywna stąd materiał inghama którego relacje zostały zaroonowane w niniejszej racy jest mniej odatny na rzyłożone obciążenie. Materiał srężysty w którym nie uwzględnia się dyssyacji związanej ze zjawiskiem lastyczności bądź lekości jest najmniej odatny na obciążenie; rzy dowolnie dużej intensywności obciążenia nie wykazuje trwałych odkształceń.

7 Rys. 3. Przemieszczenia centralnego unktu konstrukcji w rzyadku trzech rozważanych modeli materiałów 5. ZAKOŃCZNI W rogramie AAQUS długość kroku całkowania ustalana jest na odstawie wyznaczonego automatycznie rzez system czasu rzejścia fali dylatacyjnej rzez najmniejszy element skończony. Wymaga to stosowania bardzo małych rzyrostów czasowych i zwiększa koszt analizy. Z tego względu ważne jest aby zaroonowany algorytm całkowania równań konstytutywnych wykorzystywał długości rzyrostów wyznaczonych rzez system i nie wrowadzał dodatkowych odziałów co udało się uzyskać rogramując relacje uogólnionego modelu materiału inghama. Przedstawione wyniki obliczeń numerycznych wskazują na adekwatność zaroonowanego odejścia. Jak zaznaczono we wstęie analizowany model materiału może być wykorzystany do analizy metali wrażliwych na stany narężeń kulistych. Przyjęta funkcja lastyczności była zatem zależna od ierwszego niezmiennika stanu narężenia i drugiego niezmiennika dewiatora. W najbardziej ogólnej ostaci owierzchnia lastyczności materiału izotroowego może również zależeć od trzeciego niezmiennika dewiatora narężenia. Przekrój dewiatorowy takiej owierzchni jest niekolisty (atrz [4]). Obecnie race autorów koncentrują się uwzględnieniu trzeciego niezmiennika w związkach konstytutywnych materiałów srężysto-lekolastycznych. Literatura [1] AAQUS/xlicit User s Manual Vol. 1 and Hibbit Karlsson and Sorensen Inc. 000.

8 [] ednarski T.: Mechanika lastycznego łynięcia w zarysie. PWN Warszawa [3] Fortuna Z. Macukow. Wąsowski J.: Metody numeryczne. Wyd. 5 WNT Warszawa 001. [4] Freudenthal A. M. Gou P. F.: Second order effects in the theory of lasticity. Acta Mechanica 8 (1969) [5] Grzesikiewicz W. Wojewódzki W. Zbiciak A.: Sformułowanie zagadnienia dynamiki ciała z materiału srężysto-idealnie lastycznego z zastosowaniem metod analizy niegładkiej. Prace Naukowe Politechniki Warszawskiej udownictwo z. 14 s OWPW Warszawa 004. [6] Grzesikiewicz W. Zbiciak A.: Imlementacja numeryczna modelu materiału sełniającego elityczny warunek lastyczności. XV Konferencja Metody i Środki Projektowania Wsomaganego Komuterowo (w druku). [7] Grzesikiewicz W. Zbiciak A.: Proozycja relacji konstytutywnych materiału srężysto-lekolastycznego sełniającego elityczny warunek lastyczności. Prace Naukowe Politechniki Radomskiej (w druku). [8] Khan A. S. Huang S.: Continuum Theory of Plasticity. John Wiley and Sons [9] Kisiel I.: Reologia w budownictwie. Arkady Warszawa [10] Lubarda V. A.: lastolasticity Theory. CRC oca Raton 00. [11] Lubliner J.: Plasticity Theory. Macmillan Publishing Comany New York [1] Olszak W. Perzyna P. Sawczuk A. [red.]: Teoria lastyczności. PWN Warszawa [13] Orłow P. I.: Zasady konstruowania w budowie maszyn. WNT Warszawa [14] Ostrowska-Maciejewska J.: Mechanika ciał odkształcalnych. PWN Warszawa [15] Ploch J.: Algebra i analiza tensorów. WPW Warszawa [16] Rymarz C.: Mechanika ośrodków ciągłych. PWN Warszawa [17] Simo J. C. Hughes T. J. R.: Comutational inelasticity. Sringer Verlag New York [18] Zbiciak A. Wojewódzki W. Grzesikiewicz W.: Analiza wybranej klasy relacji konstytutywnych materiałów srężysto-lekolastycznych. Theoretical Foundations of Civil ngineering XIII W. Szcześniak [ed.] OWPW Warszawa 005. CONSTITUTIV RLATIONS OF GNRALIZD INGHAM S MATRIAL MODL. FORMULATION OF TH PROLM AND NUMRICAL IMPLMNTATION Summary The aim of the aer was the formulation of constitutive relations of elasticviscolastic material model. We used ingham-tye model obeying ellitic yield condition and exhibiting viscous roerties both in isotroic and deviatoric stress subsaces. Such a model can be used for dynamic analysis of ressure-sensitive materials e.g. orous metals. The relations to be formulated in the aer were imlemented within FM software AAQUS/xlicit. We resented a dynamical roblem of the structure subjected to imact loading. The behaviour of the structure made of generalized ingham s material as well as the elastic and the elastic-erfectly lastic material were analysed.