11. O ROZWIĄZYWANIU ZADAŃ

Transkrypt

1 . O ROZWIĄZYWANIU ZADAŃ Oberwowanym w realnym świecie zjawikom rzyiuje ię rote modele idee. Idee te z lezą lub gorzą recyzją odzwierciedlają zjawika świata realnego zjawika fizykalne. Treści zadań rachunkowych z fizyki, to łowne oiy rotych zjawik fizykalnych, z użyciem ugruntowanych w fizyce ojęć oraz wielkości wraz z odowiadającymi im wartościami liczbowymi. Rozwiązywanie zadania bazuje na jego analizie, czyli ujęciu danych i zukanych w formie wykazu określonych wielkości fizycznych. Wielkości fizyczne to ilościowe rzedtawienie właściwości obiektów biorących udział w roceach oianych w zadaniu. W rzyadku mechaniki ą to: may, iły, momenty bezwładności, momenty ił, wółrzędne, ołożenia, rzemiezczenia, rędkości, zybkości, rzyśiezenia it. Naturalnie cza to w mechanice kategoria najważniejza. Cza wytęuje, albo jako zmienna niezależna (oznaczamy go literą t), albo jako arametr, czyli określony moment na oi czau (wówcza do litery t dodajemy w indekie dolnym znak/literkę/cyfrę). Ważny jet oób rzedtawienia rozwiązania mui być to zrozumiały komunikat. Problem ten należy traktować natęująco: komunikat, jakim jet rozwiązanie zadania, owinien być zrozumiały rzez wzytkich tandardowo wykztałconych ludzi, niezależnie od języka jakim ię oługują (dlatego rozwiązanie zadania nie jet tektem, ale zaiem za omocą ymboli oraz ideowych ryunków). Ogólny chemat rozwiązywania zadań rzedtawiono na ry. 0.. Ry. 0.. Schemat rzedtawiania rozwiązań zadań rachunkowych

2 Zadanie najleiej rozwiązywać na liczbach ogólnych. Wkazane jet, aby na oczątku uorządkować jednotki w zetawie danych. Najleiej, jeżeli wzytkie dane odajemy w układzie SI wówcza łatwiej rzerowadzić rachunek jednotek. Po rozwiązaniu zadania, jego wynik należy zweryfikować jakościowo, to znaczy zbadać czy jet zgodny z intuicją. Druga weryfikacja to rzerowadzenie rachunku na jednotkach. Otóż rozwiązanie byłoby na ewno wadliwe, gdyby jednotka wyniku nie zgadzała ię z jednotką wyliczanej wielkości. Poniżej rzedtawione ą rzykłady rozwiązywania zadań (kilka zadań z mechaniki i o jednym z każdego z ozotałych działów. Zadania z mechaniki Zadanie a. Z dwóch miejcowości ołożonych w odległości 70 km ruzyli w woim kierunku motocykliści. Jeden z zybkością 50 km/h, drugi 70 km/h. Kiedy i gdzie otkali ię? Idea zjawika: Jet to rotoliniowy, jednotajny ruch dwóch unktów materialnych, z różnymi rędkościami z rzeciwnymi zwrotami, z różnymi wółrzędnymi oczątkowymi. Motocyklitę o więkzej zybkości oznaczmy literą A (jako że wyruza z miejcowości A), motocyklitę wolniejzego - B (wyruza z miejcowości B). Oś wółrzędnych kierujmy od A do B, a jej oczątek obierzmy w unkcie A (czytelnik dla ugruntowania umiejętności może kierować oś w drugą tronę, a wółrzędną oczątkową umieścić w innym miejcu i rzekona ię, że otrzyma ten am wynik). v A 70 km/h v B 50 km/h d 70 km d? t? Przebiegi na owyżzym wykreie odzwierciedlają graficznie znajdujący ię oniżej układ funkcji xa (t) v A t x (t) d v B Po wtawieniu do owyżzych funkcji ar wartości zmiennych (t, d) otrzymamy natęujący układ równań (jego graficznym odzwierciedleniem jet unkt rzecięcia rzebiegów na owyżzym wykreie). B d v t A d t d v t B z którego wyliczamy d i t

3 Zadanie b. Punkt oruza ię ruchem jednotajnie zmiennym. Wółrzędna tego unktu jako funkcja czau rzedtawiona jet na oniżzym ryunku. Przedtawić wykrey zależności rędkości i rzyiezenia tego unktu od czau. Jak widzimy na owyżzym ryunku, unkt rzez cza ekundy oruza ię do rzodu, zatrzymuje na moment i zaczyna rozędzać w rzeciwnym kierunku. Po trzech ekundach mija oczątek oi i rozędza ię dalzym ciągu o ujemnej tronie oi. Cała ta hitoria rzemiezczania ię unktu ujęta jet w funkcji x(t). Ruch jednotajnie zmienny omówiony jet w rozdziale ( Podtawy mechaniki ) i oiany zależnością.8: gdzie: x o wółrzędna oczątkowa v o zybkość oczątkowa a - rzyśiezenie x(t) xo + vot + Na odanym wykreie odczytujemy arametry funkcji x(t): x o 3 m v o m/ a - m/ Prędkość w funkcji czau to zależność liniowa: v(t) v + o a t at

4 Przyśiezenie w ruchu jednotajnie zmiennym jet funkcją tałą: a(t) a a(t) - Komentarz do zad. a: Na wykreie x-t, tam gdzie linia oada, mamy do czynienia z rędkością ujemną, natomiat tam gdzie rośnie z rędkością dodatnią. W miejcu ektremum funkcji x(t) unkt zatrzymał ię (nie ma zmiany wółrzędnej), zatem rędkość mui w tym momencie maleć do zera (bo rędkość zmienia znak). Tam, gdzie linia wykreu x-t jet troma rędkość duża, natomiat tam, gdzie nachylenie linii wykreu x-t małe rędkość mała (bo małe zmiany wółrzędnej unktu w jednotce czau). Można do tego zagadnienia odejść czyto matematycznie. Mianowicie, rędkość to ochodna wółrzędnej względem czau: dx(t) v(t) v(t) dt d(x o at + v ot + ) v dt o + at. Zadanie c. Punkt oruza ię z rzyśiezeniem -0,5 m/ z unktu o wółrzędnej -3 m, z rędkością oczątkową m/, co ukazane jet na oniżzym ryunku. Doryować wykrey v(t) oraz x(t).

5 Ruch jednotajnie zmienny omówiony jet w rozdziale ( Podtawy mechaniki ) i oiany zależnością.8: gdzie: x o - wółrzędna oczątkowa v o - zybkość oczątkowa a - rzyśiezenie x(t) x Na odanym wykreie odczytujemy arametry funkcji x(t): x o -3 m v o m/ a -0,5 m/ + v t o o + Funkcja v(t) rzyjmuje więc natęującą otać: v(t) - 0,5 t, natomiat x(t) -0,5 t + t - 3. Jej miejca zerowe: x i x 6, wółrzędne makimum: [4, ]. Zatem wykreślenie linii wykreów v-t oraz x-t taje ię czynnością rotą. at Zadanie d. Z wyokości h nad odłogą uuzczamy rzedmiot i mierzymy cza adku, który wyniół 0,4. Jaka to była wyokość? Idea zjawika: Jet to rotoliniowy, jednotajnie zmienny ruch unktu materialnego, bez rędkości oczątkowej. Ruch ten nazwano adkiem wobodnym. t 0,4 h? Przebieg na owyżzym wykreie (arabola) jet graficznym odzwierciedleniem oniżzej funkcji g t x(t) Po wtawieniu do owyżzej funkcji ary wartości zmiennych (t t, x h) otrzymamy natęujące równanie (jego graficznym odzwierciedleniem jet unkt o wółrzędnych t, h) g t h

6 Zadanie e. Z helikotera wznozącego ię ionowo z zybkością 4 m/ uuzczono rzedmiot, który adł na ziemię o 0 ekundach. Wyznaczyć wyokość, na jakiej znajdował ię helikoter w momencie uuzczenia rzedmiotu. W rozwiązaniu nie uwzględniać oddziaływania rzedmiotu z owietrzem. Idea zjawika: Protoliniowy, jednotajnie zmienny ruch unktu materialnego z rzyiezeniem tałym 9,8 m/ kierowanym w dół, z rędkością oczątkową 4 m/ kierowaną do góry. Układ wółrzędnych urazcza ię zatem do jednej oi zorientowanej ionowo. Przyjmijmy zwrot oi do góry, a oczątek oi na oziomie ziemi. Przy okazji rzyomnijmy obie, że oób utalenia układu wółrzędnych - czyli jego uytuowania w rzetrzeni oraz oczątku oi - jet dowolny. v o 4 m/ t 0 h? Jednotka: 0 h + v gt h 9,8 0 h gt v ot o t v m gt o t ,5 m m m m

7 Uwagi odnośnie algebry jednotek. Należy zwracać uwagę, aby nie zdarzyło ię, że dodawane lub odejmowane ą różne jednotki. Suma i różnica takich amych jednotek J daje też jednotkę J (J + J J ; J - J J) Inne komentarze do owyżzego zadania: Dane, zukane i ryunki to analiza zadania. Zatoowano ideę ruchu jednotajnie zmiennego. W tak rzyjętym układzie wółrzędnych (oś x kierowana do góry z oczątkiem rzy owierzchni ziemi) wółrzędna oczątkowa wynoi h, rędkość oczątkowa v o, rzyśiezenie jet tałe, jego liczbowa wartość wynoi minu g. Ry. 0.. Inna werja rozwiązania zadania. Układ wółrzędnych zredukowano tu do jednej oi kierowanej do góry z oczątkiem w miejcu uuzczenia rzedmiotu. Prozę zauważyć, wółrzędna miejca uadku wynoi minu h. Można było rzyjąć wółrzędną w oób inny, całkowicie dowolny, n. utalając jej oczątek w unkcie uuzczenia rzedmiotu. Wtedy oziom ziemi znajdzie ię w unkcie minu h (ry. 0.). Jeżeli oś odwrócimy ku dołowi (ry. 0.), oczątek utalimy rzy owierzchni ziemi, wtedy wółrzędna unktu uuzczenia rzedmiotu to minu h, rędkość oczątkowa wynieie minu v o, rzyśiezenie lu g. Jeżeli rzy tak kierowanej oi utalić jej oczątek w miejcu uuzczenia rzedmiotu (ry. 0.3), wtedy oziom ziemi znajduje ię w unkcie lu h, rędkość oczątkowa jet ujemna ( minu v o ), rzyiezenie dodatnie ( lu g). Ry. 0.. Inna werja rozwiązania zadania. Układ wółrzędnych zredukowano do jednej oi kierowanej na dół z oczątkiem rzy owierzchni ziemi.

8 Ry Inna werja rozwiązania zadania. Układ wółrzędnych zredukowano do jednej oi kierowanej ku dołowi z oczątkiem w miejcu uuzczenia rzedmiotu.

9 Zadanie z obliczania racy Zadanie. Jaką racę muzą wykonać ilniki atelity o maie 000 kg, aby owodować jego rzemiezczenie z orbity znajdującej ię na wyokości 300 km na orbitę na wyokości 400 km? Przyjmujemy, że romień Ziemi wynoi 6, m, a maa kg. Stała grawitacyjna G 6, Nm /kg Zadanie to ilutruje zagadnienia rzedtawione w rozdziale Praca-energia m 000 kg M kg R 6, m h m h m G 6, Nm /kg W(h h )? Praca W(h h ) jet równa różnicy energii układu Ziemia-atelita omiędzy dwoma tanami atelity: na orbicie o romieniu r i orbicie o romieniu r : W ( h E E h ) Energia układu to uma energii kinetycznej i otencjalnej, zatem: W ( h h ) ( Ek + E ) ( Ek + E ) M m E G r Energię kinetyczną otrzymamy z rzyrównania iły dośrodkowej (grawitacyjnej) z iłą odśrodkową: W h h M m mv G r r M m G mv M m G M m G M m G r M m G Zatem : ( ) ( ) ( ) GMm( ) r r r r r r ( - 4 GMm ) 6, ( ) R + h R + h 6, , Jednotka: 886,3 0 3 GMm m kg m ( ) kg kg m J r r kg Zatem odowiedź jet natęująca: ilniki muzą wykonać racę równą 885,3 MJ (megadżuli). 6

10 Zadanie z ruchu drgającego Zadanie 3. Po jakim czaie amlituda drgań zmaleje e-krotnie, jeżeli wiadomo, że dwa razy maleje o czaie 0? Zadanie to odnoi ię zagadnień ruchu drgającego (rozdział 3), a dokładnie - do tzw. drgań łabotłumionych. A(t 0 ) A o / A(t e ) A o /e t 0 0 t e? Ao A e o A o A Obydwa równania owyżzego układu obutronnie logarytmujemy otrzymując odowiednio: ln o e e β t β t e β t β 0 0 Od: t e 0/ln ~ 4,43. t e

11 Zadanie 4. Soczewka w owietrzu jet rozrazającą i oiada ognikową f -5 cm. Po jej zanurzeniu w wodzie (wółczynnik załamania,33) tała ię oczewką kuiającą o ognikowej f 00 cm. Jaki jet wółczynnik załamania materiału, z jakiego wykonana jet oczewka? Zadanie odnoi ię do zagadnień otyki geometrycznej (rozdział 4), a dokładnie do równań oczewkowych. f - 5 cm f 00 cm n n,33 n? r + Korzytamy z zależności 4.6, w której tały czynnik ( ) zatąiony zotał literą k. Uwzględniając dwie ytuacje r umiezczania tej amej oczewki w dwóch ośrodkach (o wółczynnika załamania n i n ) otrzymujemy dwa równania z dwiema niewiadomymi: n oraz k. f f n ( n n ( n ) k ) k Z odzielenia tronami owyżzych równań otrzymujemy równanie z jedna niewiadomą, którą jet zukana wółczynnik załamania n materiału, z jakiego wykonana jet oczewka: n f,5 f f n f n

12 Zadanie z hydrodynamiki Zadanie 5. W oziomej rurze łynie woda. W miejcu, gdzie średnica rury wynoi d 4 cm, zybkość wody wynoi v m/, a ciśnienie,5 0 5 Pa. Jakie ciśnienie anuje w miejcu, w jakim średnica rury zwęża ię do cm? Zadanie odnoi ię do zagadnień dynamiki łynów (rozdział 5), a dokładnie do równania Bernoulliego oraz do równania ciągłości rzeływu. d 4 cm v m/ d cm,5 0 5 Pa ρ 998 kg/m 3? Równanie Bernoulliego: ρ v + ρ v + ρ v + ρ v π d π d Równanie ciągłości: v v v 4v 4 4 7,5 ρ v, ,5 998, Pa ρ (v v ) Zadanie z termodynamiki Zadanie 6. W zbiorniku o objętości V 0 dm 3 znajduje ię ewna ilość gazu o temeraturze T 0 o C od ciśnieniem Pa. Jak zmieni ię ciśnienie gazu, jeżeli zbiornik ten ołączymy cienką rurką z drugim, takim amym, ale utym zbiornikiem, a natęnie całość odgrzejemy o 50 o? Zadanie odnoi ię do zagadnień termodynamicznych (rozdział 5), a dokładnie do równania tanu gazu Claeyrona. V 0 dm 3 T 0 o C 93 K Pa V V T 343 K?

13 T V n R T V n R T T T T 46859,4 Pa Zadanie z ola iłowego Zadanie 7. W obzar ola magnetycznego o indukcji 5 mt wlatuje z zybkością 00 m/ rotoadle do linii ił ola czątka o maie 0-0 kg obdarzona ładunkiem 0-5 C i zaczyna oruzać ię o okręgu. Wyznaczyć romień tego okręgu oraz czętotliwość cyklotronową. Zadanie odnoi ię do zagadnień związanych z olami iłowymi (rozdział 7), a dokładnie do ola magnetycznego. Wykorzytane ą również wiadomości o ruchu o okręgu (jakie znajdziemy od koniec w rozdziału ). B T v 000 m/ m 0 - kg q 0-5 C R? f? Siła Lorentza (rozdz. 6.3) jet tutaj iłą dośrodkową. Jak zawze, w zadaniach gdzie mamy do czynienia z ruchem o okręgu, warto róbować co dobrego wyniknie z rzyrównania iły dośrodkowej z odśrodkową: mv Bqv R mv Z owyżzego równania wyliczamy romień okręgu: R 0, m 5 Bq 0,005 0 Czętotliwość cyklotronowa f, to czętotliwość rotoadłych drgań (dwóch rotoadłych ocylatorów), jakie kładają ię na ruch o okręgu. Czętość ω πf to jednocześnie zybkość kątowa ruchu o okręgu v/r. Zatem czętotliwość cyklotronowa zotanie wyznaczona z równania Bq πf m 5 Bq 0,005 0 f 795, 8 Hz πm 3,4 0

14 Zadanie z elektryczności Zadanie 8. Jak zmieni ię ilość światła emitowanego z ołączonych dwóch takich amych żarówek, jeżeli ołączenie równoległe zamienimy na zeregowe? Zadanie odnoi ię do zagadnień elektrycznych (rozdział 8), a dokładnie do definicji mocy rądu elektrycznego oraz raw Kirchhoffa. P P? Moc P jet mocą nominalną, czyli wydzielaną w rzyadku odłączenia żarówki do naięcia nominalnego U, i jet równa UI, gdzie I oznacza nominalną wartość rądu w żarówce. Oorność żarówki R U/I, czyli R U /P. W rzyadku równoległego ołączenia żarówek łynie rąd I U/R U/0,5R U/R. Wydziela ię zatem moc P U /R U /R. Natomiat rzy zeregowym ołączeniu żarówek oorność ich zetawu wynieie R R, wydzielaną moc rzez analogię zaizemy natęująco P U /R U /R U P R P U R P 4 P 4 Odowiedź: Intenywność świecenia zetawu żarówek ołączonych równolegle zmaleje 4 razy w wyniku ołączenia ich zeregowo. Zadanie z romieniotwórczości Zadanie 9. Jaki wiek ma drewniane znaleziko archeologiczne, jeżeli koncentracja radioaktywnego węgla 4 C jet w nim 4 razy mniejza niż w drewnie wółczenych drzew? Zadanie odnoi ię do zagadnień fizyki jądrowej (rozdział 9), a dokładnie do rozadu romieniotwórczego. N o N o N(t x ) N o /4 T / 5730 lat t x? W czaie jednego okreu ołowicznego rozadu ilość izotou romieniotwórczego maleje -krotnie. Zatem ilość zmniejza ię 4 razy o czaie dwóch okreów (a n. 3 razy o czaie ięciu okreów).

15 Odowiedź: Znaleziko ma około 500 lat.