MODELOWANIE NUMERYCZNE DYNAMICZNEGO ZACHOWANIA SIĘ CIENKOŚCIENNEGO POCHŁANIACZA ENERGII

Transkrypt

1 MODELOWANIE NUMERYCZNE DYNAMICZNEGO ZACHOWANIA SIĘ CIENKOŚCIENNEGO POCHŁANIACZA ENERGII Piotr JANISZEWSKI, Artur ZBICIAK Instytut Mechaniki Konstrukcji Inżynierskich, Politechnika Warszawska 1. Wstęp Pochłaniacze energii to konstrukcje znajdujące zastosowanie m.in. w przemyśle samochodowym i lotniczym, a także w budownictwie (np. bariery drogowe), których zadaniem jest zamiana energii kinetycznej na inny rodzaj energii w przypadku zderzenia. Często wykonuje się je jako cienkościenne rury, w których energia kinetyczna jest dysypowana w trakcie plastycznej pracy materiału. Istotnymi parametrami przy projektowaniu pochłaniaczy energii w postaci rury są zależności siła skrócenie i zdysypowana energia skrócenie. W ostatnich 50 latach wypracowano wiele analitycznych metod wyznaczania tych zależności, z których większość oparta jest na założeniu pewnego schematu zniszczenia. Obecnie coraz szersze zastosowanie w projektowaniu pochłaniaczy znajduje metoda elementów skończonych. Celem tego artykułu jest jakościowe porównanie symulacji pracy cienkościennego pochłaniacza energii z i bez uwzględniania lepkości materiału. Porównane zostały dwa modele konstrukcji o identycznej geometrii, ale różniące się zastosowanym modelem materiałowym w pierwszym jest to model sprężysto- idealnie plastyczny, a w drugim model sprężysto-lepko-plastyczny Perzyny (bez wzmocnienia).. Modele materiałowe.1. Materiał sprężysto- idealnie plastyczny Schemat reologiczny materiału sprężysto- idealnie plastycznego, w przypadku zagadnienia jednowymiarowego, przedstawiono na rys. 1. W zakresie małych odkształceń można przyjąć addytywny rozkład tensora odkształcenia na część sprężystą i plastyczną ε e p e p ε ε ε ε ε, (1) który w teorii umiarkowanie dużych deformacji zastępujemy addytywną dekompozycją gradientów prędkości.

2 Rys. 1. Jednowymiarowy schemat reologiczny i przykładowa pętla histerezy materiału sprężysto- idealnie plastycznego W skład zależności tworzących związek konstytutywny, oprócz równania rozkładu tensora naprężenia (1), wchodzi prawo Hooke'a (), stowarzyszone prawo płynięcia (3) oraz warunki Kuhna Tuckera (warunki obciążenia/odciążenia) (4) e C ε, C I I G 1 I I σ : K 1 3 () p ε F σ (3) λ 0, 0 F, 0 λf (4) gdzie przez F oznaczono wartość funkcji plastyczności w punkcie σ. Nieznany mnożnik λ można obliczyć przez zróżniczkowanie względem czasu warunków Kuhna Tuckera i podstawienie do prawa Hooke'a. Wartość mnożnika λ jest równa: σ 0 gdy F 0 Fσ: C: ε (5) gdy Fσ 0 Fσ: C: Fσ natomiast relację konstytutywną dla materiału sprężysto- idealnie plastycznego, w przypadku procesu aktywnego płynięcia, można zapisać w postaci C : Fσ C : Fσ Fσ: C: Fσ σ C : ε Specyfikacja związku (6), przy założeniu warunku plastyczności HMH: prowadzi do następującej zależności (6) s k, G σ C s s : ε, (7) k gdzie s oznacza dewiatorową część tensora naprężenia, a k graniczne naprężenie przy czystym ścinaniu.

3 . Materiał sprężysto-lepko-plastyczny Model Perzyny umożliwia uwzględnienie wzmocnienia i wpływu prędkości odkształceń. vp Zależności odkształcenia lepkoplastycznego ε od stanu naprężenia jest następująca gdzie vp ε γ ΦF σ Fσ (8) F jest funkcją plastyczności wyrażoną w wielkościach bezwymiarowych, γ jest Φ F jest funkcją zdefiniowaną poniżej stałą materiałową określającą lepkość, a σ F σ δ Φ F (9) W powyższym równaniu δ jest parametrem materiałowym. W przypadku funkcji plastyczności HMH otrzymuje się 1 s Fσ s k 0 Fσ k 1 0 (10) Ostatecznie dostajemy następujące równanie konstytutywne s vp s e γ 1 (11) k s vp gdzie e jest dewiatorową częścią tensora odkształceń lepko-platycznych. Sprężysta część tensora odkształcenia zachowuje zgodnie z prawem Hooke'a, natomiast kulista część tensora odkształceń lepko-plastycznych jest równa zeru. 3. Symulacje numeryczne w programie ABAQUS Podstawą do opracowania modelu był eksperyment opisany w artykule [], w którym ustalona została zależność siła skrócenie w statycznej próbie zgniatania dla pochłaniacza energii w postaci rury o wysokości 50 mm, kwadratowym przekroju o boku 50mm i grubości ścianki 1,4mm. U góry i u dołu rura zespawana była z grubymi płytkami o dużej sztywności, przez które przekazywane było obciążenie. Dolna płytka była utwierdzona, a górna została przesunięta w dół o 15mm. Model numeryczny uwzględnia ćwiartkę tej konstrukcji, wydzieloną pionowymi płaszczyznami symetrii, przy czym w miejscach cięcia uwzględnione zostały odpowiednie warunki brzegowe symetrii. Geometrię modelu przedstawia rysunek. Rys.. Geometria modelu. Dolna płytka jest unieruchomiona, a na górną działa wymuszenie przemieszczenia w dół. Biały kolor oznacza sztywne elementy konstrukcji

4 W modelu zastosowane zostały czterowęzłowe elementy powłokowe ze zredukowanym całkowaniem, w ABAQUSie nazywane S4R. Sama cienkościenna rura składa się z 650 elementów. Podział górnej i dolnej płytki nie ma wpływu na wynik, ponieważ narzucono na nie więzy sztywności. W eksperymencie pochłaniacz był wykonany ze stali o granicy plastyczności σ 0 =70MPa, module Younga E=05GPa i ulegającej wzmocnieniu. Niestety w artykule nie podano żadnych danych dotyczących wzmocnienia, więc w modelu numerycznym wzmocnienie nie zostało ono uwzględnione. Aby uzyskać mechanizm zniszczenia taki jak w eksperymencie, na model zostały nałożone imperfekcje. Jest to metoda jaką zastosowali autorzy eksperymentu w przeprowadzonej przez siebie symulacji MES. Maksymalna odchyłka od początkowej geometrii wynosi 0,07mm, czyli 5% grubości ścianki rury. Kształt zadanych imperfekcji (znacznie przeskalowany) pokazany jest na rysunku 3. Rys. 3. Kształt imperfekcji nałożonych na model pochłaniacza energii (przeskalowany) W celu przekształcenia idealnej geometrii we wstępnie zdeformowaną napisany został program, który na podstawie pliku wsadowego ABAQUSa tworzy dodatkowy plik z definicją imperfekcji listą wektorów przesunięcia dla każdego węzła modelu Weryfikacja modelu Przeprowadzona została analiza quasi-statyczna z wykorzystaniem solvera ABAQUS/Explicit. Zgodnie z zaleceniami podanymi w [3], czas takiej analizy powinien być większy od okresu pierwszej postaci drgań własnych konstrukcji. Na podstawie przeprowadzonej wcześniej analizy częstotliwości drgań własnych, okres ten ustalono na,7e-4s. Przyjęto czas trwania analizy quasi-statycznej równy 0,00s, czyli ponad 7 razy dłuższy od okresu pierwszej postaci drgań własnych. Ponadto, aby uniknąć gwałtownych zmian przyśpieszenia i towarzyszącym im, niepożądanym w analizie quasi-statycznej, efektów bezwładności, górnej płytce zadano prędkość łagodnie zmienną w czasie (prędkość i jej pierwsza pochodna w chwili początkowej są równe zeru). Poprawność analizy quasistatycznej można ocenić na podstawie wykresów energii i sił reakcji. Kształt modelu po zakończeniu analizy przedstawiony jest na rysunku 4, obok zdjęcia próbki zgniecionej w eksperymencie [].

5 Rys. 4 Zdeformowany kształt konstrukcji po zakończeniu analizy. Wysokość próbki zmniejszyła się z 50 do 35mm. Dla porównania po prawej stronie zdjęcie zdeformowanej próbki z eksperymentu (zaczerpnięto z artykułu []) Szczególnie istotne dla pozytywnej weryfikacji modelu jest porównanie uzyskanej zależności skrócenie reakcja z eksperymentem. Wykresy obydwu przedstawione są na rysunku 5. Jak widać wykresy reakcji różnią się znacznie w początkowej fazie pracy. Zdaniem autorów eksperyment nie był przeprowadzony dokładnie, gdyż wartość modułu sprężystości, którą można wyliczyć na podstawie przedstawionego wykresu, jest o dwa rzędy wielkości zaniżona. Może to być wynikiem złego zamocowania próbki, które spowodowało pojawienie się dodatkowych, niekontrolowanych przemieszczeń. Niestety autorzy nie dysponują szczegółowym opisem stanowiska badawczego, stąd też nie są w stanie jednoznacznie stwierdzić co było przyczyną błędów pomiarowych. Rys. 5. Porównanie wykresu reakcji w dolnej płytce z quasi statycznej analizy explicit i z eksperymentu opisanego w artykule []. Na osi poziomej skrócenie pochłaniacza Opadające części wykresów mają zbliżone kształty, ale ze względu na wspomniane różnice są względem siebie przesunięte w poziomie. Obie krzywe osiągają podobną wartość maksymalną i końcową. Jako, że referat ten poświęcony jest jakościowej, a nie ilościowej ocenie pracy pochłaniacza energii, zgodność wykresów można uznać za zadowalająca, zwłaszcza jeśli wziąć pod uwagę fakt, że w modelu numerycznym nie uwzględniono wzmocnienia. Dla zweryfikowania poprawności analizy quasi-statycznej należy porównać wartość energii kinetycznej całego modelu z innymi, dominującymi miarami energii [3]. Rysunek 6 przedstawia porównanie energii kinetycznej z ilością energii dysypowanej przez plastyczną pracę materiału. Jak widać energia kinetyczna stanowi tylko nieznaczny procent energii

6 dysypowanej, więc można uznać, że efekty bezwładności odegrały pomijalną rolę. Ponadto można zauważyć, że wykres reakcji pionowej (rysunek 5) jest gładki i pozbawiony fal czy szumu, co świadczy o tym, że drgania konstrukcji nie odegrały istotnej roli w całej analizie. Rys. 6. Energia dysypowana przez plastyczną pracę materiału i energia kinetyczna całej konstrukcji 3.. Próba dynamiczna Aby zbadać wpływ lepkich właściwości materiału na pracę pochłaniacza energii, przeprowadzono symulacje dynamicznych prób zgniatania na modelach z materiału sprężysto- idealnie plastycznego i z materiału Perzyny. Uwzględnione zostały dwa przypadki obciążenia. W pierwszym górnej płytce nadano stałą prędkość 50km/h tak aby pochłaniacz uległ skróceniu o 15mm. W drugim przypadku pochłaniacz uległ skróceniu również o 15mm, jednak ze stałą prędkością 100 km/h. Analizy zostały przeprowadzone z wykorzystaniem solvera ABAQUS/Explicit. Kształt obydwu modeli po zakończeniu analiz przedstawiają rysunki 7 i 8. Rys. 7. Zdeformowane kształty konstrukcji po zakończeniu analizy z lewej dla materiału sprężysto- idealnie plastycznego, z prawej dla materiału Perzyny. Górna krawędź przemieściła się o 15mm w dół ze stałą prędkością 50km/h

7 Rys. 8. Zdeformowane kształty konstrukcji po zakończeniu analizy z lewej dla materiału sprężysto- idealnie plastycznego, z prawej dla materiału Perzyny. Górna krawędź przemieściła się o 15mm w dół ze stałą prędkością 100 km/h Na rysunkach tych widać, że w modelu z materiału sprężystoplastycznego występują ostre załamania kształtu, tworzące wyraźne przeguby plastyczne. Natomiast w modelu z materiału Perzyny przeguby plastyczne mają postać łagodnych fałd i obejmują większy obszar modelu. Znaczące jakościowe różnice widać na wykresie reakcji pionowej (rysunek 9). O ile w przypadku materiału sprężysto- idealnie plastycznego maksymalna wartość reakcji nie zmieniła się znacząco w porównaniu z próbą quasi-statyczną, to w przypadku modelu Perzyny wzrosła ona ponad dwukrotnie. Również na końcu analizy reakcja jest dwukrotnie większa w przypadku modelu Perzyny w porównaniu z modelem sprężysto- idealnie plastycznym. Za sprawą większych naprężeń panujących w modelu uwzględniającym lepkość, również ilość dysypowanej energii jest większa, co przedstawia rysunek 10. O ile większą zdolność dysypacji energii modelu Perzyny można uznać za cechę korzystną, to znaczny wzrost wartości reakcji zazwyczaj jest zjawiskiem niekorzystnym w przypadku pochłaniaczy energii. Jednym z ich zadań jest bowiem przekazanie podczas uderzenia możliwie małego obciążenia na ochranianą konstrukcję. Rys. 9. Wykres reakcji w dolnej płytce (RF3) w zależności od skrócenia pochłaniacza (u), dla różnych modeli materiałowych i różnych prędkości wymuszenia

8 Rys. 10. Wykres ilości energii zdysypowanej przez plastyczną pracę materiału dla różnych modeli materiałowych i rożnych prędkości wymuszenia Opisane symulacje, mimo wielu uproszczeń i zgrubnych oszacowań parametrów materiałowych, wskazują, że lepkie cechy materiału odgrywają istotną rolę w zachowaniu cienkościennych pochłaniaczy energii poddanych dynamicznym obciążeniom. Zachowanie modelu z materiału Perzyny jest jakościowo inne od modelu z materiału sprężystoplastycznego. Znaczące różnice występują w wielkościach szczególnie istotnych przy projektowaniu tego typu konstrukcji ilości dysypowanej energii i sile reakcji. W tym drugim przypadku lepkość działa na niekorzyść, ponieważ konstrukcja usztywnia się pod wpływem dużej prędkości obciążenia, a przez to reakcja przekazywana na podstawę jest większa. Z tego względu stosowne wydaje się przeprowadzanie symulacji pracy cienkościennych pochłaniaczy energii z wykorzystaniem modeli materiałowych wrażliwych na prędkość deformacji. 4. Literatura [1] Janiszewski P., Zbiciak A.: Modelowanie konstytutywnych właściwości materiałów sprężysto-lepko-plastycznych z wykorzystaniem systemu MES ABAQUS. Wydział Inżynierii Lądowej Politechniki Warszawskiej, Warszawa 008. [] Alghamdi A.A.A.: Collapsible impact energy absorbers: an overview. Thin Walled Structures 39, pp , Elsevier 001 [3] ABAQUS Analysis User s Manual, ABAQUS Version 6.5 Documentation [4] Skrzypek J.: Plastyczność i pełzanie. PWN Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1986 [5] Wojewódzki W., Król M., Jemioło S.: Wyboczenie lepkoplastycznej powłoki cylindrycznej pod osiowym obciążeniem uderzeniowym. Prace Naukowe Budownictwo z. 114, Wydawnictwa Politechniki Warszawskiej, Warszawa 1993 NUMERICAL MODELLING OF DYNAMIC BEHAVIOUR OF THIN WALLED ENERGY ABSORBER An example analysis of a thin walled tubular energy absorber was carried out to investigate rate sensitivity of such a structure. The FEM model was based on an experimental collapse analysis of a square tube. The results obtained with ABAUQUS/Explicit solver show fairly good coincidence with experimental data. Dynamic displacement-driven simulations were carried out with use of previously described rate-dependent and rate independent material models. The obtained results revealed a significant influence of viscous material properties on key characteristics of the thin walled energy absorber.