Warunek plastyczności

Transkrypt

1 Warunek lastyczności Dla materiału izotroowego i idealnie lastycznego rzyjmuje się, że kryterium ulastycznienia jest ewną funkcją stanu narężenia, co ogólnie można zaisać: ( ) F. Funkcja F, ojawiająca się w warunku lastyczności, nazywana jest kryterium ulastycznienia, a oisana nią hierowierzchnia w rzestrzeni narężeń nazywana jest owierzchnią łynięcia lastycznego. Jeśli materiał wykazuje wzmocnienie lastyczne można mówić o oczątkowej i aktualnej owierzchni łynięcia lastycznego. Dla ciała idealnie lastycznego (bez wzmocnienia) rozróżnienie omiędzy rocesami czynnymi i biernymi dokonuje się orzez warunek lastyczności. Proces jest rocesem biernym, jeśli: F( ) < lub ( ) F F i & <, 1

2 a rocesem czynnym, jeśli: Procesy ( ) > ( ) F F i &. F dla idealnej lastyczności nie istnieją. Dla ciała izotroowego owyższy warunek nie może zależeć od kierunków, może natomiast zależeć od narężeń głównych albo niezmienników tensora narężenia: ( J J, J ) F. 1, Tak ogólnie sformułowany warunek nie uwzględnia właściwości charakterystycznych materiału. Jednym z owszechnie wystęujących faktów doświadczalnych jest słaba zależność ulastycznienia albo wręcz jej brak od stanu hydrostatycznego. Dlatego można n. rzyjąć, że warunek lastyczności zależy od jedynie od niezmienników dewiatora narężenia. Ponieważ ierwszy niezmiennik dewiatora jest zawsze równy zero, mamy: ' ' ( J, J ) F. Jest to równanie walcowej owierzchni lastyczności o osi równo nachylonej do osi układu wsółrzędnych w rzestrzeni narężeń Haigha-Westergaarda (Haigha-Beckera).

3 Jeśli materiał nie wykazuje efektu Bauschingera, czyli że granica lastyczności rzy rozciąganiu i rzy ściskaniu jest zawsze taka sama, warunek lastyczności owinien być arzystą funkcją trzeciego niezmiennika dewiatora narężenia: F ' ' ' ' ( J, J ) F( J J )., Najczęściej stosowanymi warunkami lastyczności, oartymi o równanie walcowych owierzchni lastyczności są: warunek Hubera (194) Misesa (191) Hencky ego (194) warunek Tresca i (1868) Guesta (19), oularnie zwane kryteriami HMH i TG (CTG). Kryterium Hubera stanowi, że o ulastycznieniu decyduje gęstość energii odkształcenia ostaciowego: czyli że zależy wyłącznie od drugiego niezmiennika dewiatora narężenia: Φ f 1 s e ' ( ) F HMH F, J

4 czyli: i s s albo wyrażone w narężeniach: ( ) ( ) ( ) 6( τ τ τ ) x y y z z x xy yz zx. Z orównania ze stanem jednoosiowym wynika wzór na narężenie zredukowane: red s s. W rzestrzeni Haigha-Westergaarda owierzchnię łynięcia lastycznego obrazuje walec o romieniu. Na łaszczyźnie dewiatorowej Meldahla 1 const jest okrąg. Kryterium Tresca i jest maksymalne narężenie styczne. 1 ( ) τ max const 1 I III, gdzie indeksy rzymskie oznaczają narężenia główne uorządkowane algebraicznie; w narężeniach: [( 1 ) ]( [ ) ]( [ 1 ) ]. 4

5 Wyjaśnia się rzyjęcie takiego kryterium liniami oślizgu w metalach czy stożkowymi owierzchniami uszkodzenia betonu ściskanego. W rzestrzeni Haigha-Westergaarda jest to foremny sześciokątny walec wisany w walec Hubera a na łaszczyźnie dewiatorowej jest to sześciokąt foremny wisany w okrąg Hubera. Szczególny rzyadek czystego ścinania τ yz τ zy τ, czyli τ 1, bywa wykorzystywany rzy doświadczalnym orównywaniu obu warunków lastyczności. Narężenie odowiadające wówczas ulastycznieniu wynosi HMH.58, TG. 5. Oba owyższe warunki łączy fakt, że warunki lastyczności mogą być formułowane jako warunki narzucone jedynie na dewiatory narężenia, a więc nie zależą od średniego narężenia normalnego m i co za tym idzie ciśnienie hydrostatyczne nie ma wływu na osiągnięcie stanu lastycznego. Charakterystyczne dla warunku TG jest niezależność od średniego narężenia głównego. 5

6 Ogólnie krzywa łynięcia lastycznego na łaszczyźnie dewiatorowej owinna sełniać nastęujące warunki: nie rzechodzić rzez oczątek układu wsółrzędnych, onieważ odkształcenia lastyczne owstają tylko rzy znacznych narężeniach, romień wychodzący z oczątku układu wsółrzędnych owinien rzecinać krzywą tylko jeden raz (w rzeciwnym wyadku wystęowałyby dwa odobne stany narężeń sełniające warunek łynięcia, co jest niemożliwe) krzywa owinna być symetryczna względem osi narężeń głównych z owodu izotroowości ciała. Mendelson (1968) wykazał, że jeśli założymy warunek lastyczności dający na łaszczyźnie dewiatorowej krzywą wyukłą, sełniający warunek izotroii i izonomiczności oraz niezależność od narężenia hydrostatycznego, wszystkie możliwe rzecięcia z łaszczyzną dewiatorową muszą leżeć omiędzy dwoma sześciokątami foremnymi: oisanym i wisanym w okrąg Hubera. Sześciokąt oisany na okręgu Hubera odowiada kryterium maksymalnego narężenia dewiatorowego, SIH: Schmidta (19) Ishlinskiego (194) Hilla (195): max [ 1,, ] const m m m. 6

7 Innym kryterium, zawierającym kryteria HMH i TG jako rzyadki szczególne, jest kryterium Hersheya (1954) Davisa (1961), HD: n n n n 1 1. Dla n lub n 4 kryterium HD okrywa się z HMH, dla n z TC. Jeśli n > 4 to krzywa HD leży omiędzy TG i HMH a dla < n < 4 leży na zewnątrz HMH. SIH HMH HD TG 1 Warunki lastyczności na łaszczyźnie dewiatorowej 7

8 Walcowe owierzchnie lastyczności wymagają ewnego ograniczenia ich stosowalności, zwłaszcza dla rzyadku trójosiowego rozciągania. Mimo, że owierzchnia lastyczności jest nieograniczona, może dojść do dekohezji orzedzającej jakiekolwiek deformacje lastyczne. Jeśli wrowadzi się hiotezę de Saint-Venanta jako ograniczenie dla warunku lastyczności HMH, otrzymuje się hiotezę Pełczyńskiego (1951), która walec huberowski obcina trzema łaszczyznami stałych wydłużeń. Gdy odobne ograniczenie zastosuje się do walca Tresca i, otrzymuje się hiotezę Davidenkova (1947) Friedmana (1946). Dla kryształów stosowana jest hioteza Lebiedieva (1968) oisująca gładkie rzejście od lastycznego łynięcia do dekohezji, co wydaje się być bardziej urawnione: α β A B 1, A, B, α, β stałe i I 8

9 Obrotowo symetryczne owierzchnie łynięcia Dla szerokiej klasy materiałów ulastycznienie zależy od hydrostatycznego ciśnienia i może być oisane równaniem obrotowo symetrycznej owierzchni łynięcia, której osią symetrii jest oś równo nachylona do osi narężeń głównych. Równanie może być zaisane orzez główne niezmienniki tensora narężenia jak i rzez narężenie średnie i intensywność narężenia: F( J J ), lub F(, ) 1, s. Zgodnie z hiotezą Burzyńskiego (198-9), obrotowa owierzchnia łynięcia może być zaisana rzez -arametrowy warunek: e m m A B C 1. Stałe materiałowe A, B i C mogą być oszacowane na odstawie testów: i. jednoosiowego rozciągania, 1 m e, m, ii. jednoosiowego ściskania, 1 iii. rostego ścinania, τ,, e m e, m, e 9

10 1 skąd otrzymuje się trójarametrowe kryterium ulastycznienia Burzyńskiego: ( ) 9 τ τ m m e. W szczególnym rzyadku, rzyjmując: τ lub ( ) τ liczba niezależnych arametrów redukuje się do dwóch, skąd otrzymuje się dwuarametrową aroksymację warunku lastyczności Burzyńskiego za omocą araboloidy: ( ) m e lub kołowego stożka: m e

11 e Burzyński walec Hubera ii iii i araboloida stożek kołowy m ( ) ( ) Aroksymacje hiotezy Burzyńskiego 11

12 Warunki stanu granicznego w gruntach i mechanice skał Porzednie koncecje znajdują zastosowanie głównie do metali. Dla kruchych materiałów i granulatów takich jak skały i grunty, musi być zastosowany bardziej ogólny warunek. W rzyadku skał inicjalizacja i niestabilny wzrost sękania może być traktowany jako stan graniczny zależny od historii rocesu. Dla gruntów oczątek nieograniczonego łynięcia lastycznego określa stan graniczny odowiadając modelowi idealnej lastyczności. Zależnie od anującego ciśnienia hydrostatycznego ten sam materiał może zachowywać się jak lastyczny albo kruchy. Stąd zależność owierzchni granicznej od ierwszego niezmiennika narężenia jest niezbędna. Zgodnie z teorią Mohra (19), zniszczenie materiału skalnego czy zaoczątkowanie łynięcia lastycznego gruntu zależą od ekstremalnych narężeń głównych. Stan graniczny w układzie τ jest obwiednią największych kół Mohra. Oznaczając środek koła rzez i jego romień jako q, można zaisać warunek stanu granicznego w ogólnej ostaci jako: 1 ( ) ( ) f ( q), q, 1 I III, I III 1

13 który w rzestrzeni Haigha-Westergaarda rzedstawia krzywoliniową iramidę utworzoną rzez 6 gładkich owierzchni rzecinających się wzdłuż 6 krawędzi. Jeśli owyższa zależność jest znana, definiuje się obwiednię największych kół Mohra: f (, τ ). Warunek araboliczny jest często stosowany zarówno do skał jak i gruntów: b aτ Coulomb (1776) sugerował liniową ostać omiędzy i q, zwaną warunkiem Coulomba: q sin ψ c cosψ gdzie c jest kohezją (soistością) a ψ kątem tarcia wewnętrznego. Równanie obwiedni zaisuje się: τ c tanψ. 1

14 τ c t Obwiednia araboliczna kół Mohra W rzestrzeni Haigha-Westergaarda warunek ten rzedstawia nieregularną iramidę, której osie okrywają się z linią hydrostatyczną a wierzchołek ma wsółrzędne 1 c tanψ. Przekroje łaszczyzną const rzedstawiają nieregularne sześcioboki, które maleją ze wzrostem. 14

15 Inną roozycję warunku stanów granicznych stanowi warunek Hubera-Schleichera w ostaci araboloidy obrotowej n-tego stonia: n 1 ( J ) J k α. s 1 Dla n 1 owyższe równanie redukuje się do warunku Druckera-Pragera (195): 1 J s 1 α J k, rzedstawiający kołowy stożek będący rozszerzeniem warunku lastyczności HMH. Uogólnieniem warunku lastyczności TG jest roozycja Druckera: ( ) 1 βj m, I gdzie owierzchnia graniczna jest regularną iramidą o odstawie sześciokątnej. III 1 15

16 1 iramida Coulomba stożek Druckera- Pragera iramida Druckera Porównanie warunków granicznych dla gruntów i skał 16

17 Warunek idealnej lastyczności dla materiałów anizotroowych W zasadzie olikryształy są materiałami oczątkowo i oryginalnie izotroowymi. W wyniku jednak wielu rocesów kształtowania lastycznego stają się anizotroowe. Nazywa się to anizotroią wymuszoną narężeniami/odkształceniami. Zazwyczaj anizotroia nie jest zuełna i zwykle można ograniczyć się do rostego rzyadku ortotroii, anizotroii o rostoadłych do siebie łaszczyznach symetrii. Warunek idealnej lastyczności dla materiału anizotroowego rzedstawiony został rzez Misesa (198) z użyciem tensora modułów lastyczności czwartego rzędu: Π kl 1. Z uwagi na wymagania symetrii z 81 modułów jedynie 1 jest niezależnych. W rzyadku ortotroii i niezależności ulastycznienia od narężenia średniego otrzymuje się sześcioarametrowy warunek Hilla: ( ) G( ) H ( ) Lτ Mτ Nτ 1 F. y z z x x Moduły F,..., N wyznacza się na odstawie sześciu rób wytrzymałościowych: rozciągania lub ściskania w kierunkach oraz ścinania w trzech łaszczyznach. kl y yz zx xy 17

18 Przykład 1 g 6.5 mm (1/4 ") c a Stalowy walczak cienkościenny Cienkościenny walczak o średnicy cale i grubości ścianki ¼ cala oddany jest ciśnieniu wewnętrznemu. Określić wartość ciśnienia, rzy którym ojawi się łynięcie lastyczne. Przyjąć dla stali 5 MPa. 18

19 Rozwiązanie: stan narężenia jest dwuosiowy (trzecie narężenie o grubości ścianki, jak wynika z warunków brzegowych, jest równe od wewnątrz i od zewnątrz): x r x r Obliczenie narężeń osiowych i obwodowych z równań równowagi z sumy rzutów wynika, że narężenie obwodowe jest dwukrotnie większe od narężenia osiowego: D D c, a. g 4g dla owłoki cienkościennej, D >> 1, narężenie w trzecim kierunku (romieniowym) jest g znacznie mniejsze i może być ominięte. Wg kryterium TG: uorządkowane algebraicznie narężenia główne są: 19

20 1 c, a, r, skąd: 1 c τ max, i ostatecznie g K 5.65 MPa D Wg kryterium HMH: warunek lastyczności dla stanu dwuosiowego: a c a c o odstawieniu mamy: D D D 16g 4g 8g skąd 4 g K MPa D

21 Przykład y r a O θ x Obciążona ółłaszczyzna ze szczeliną 1

22 Płaszczyzna ze szczeliną o długości a oddana jest dwuosiowemu obciążeniu, jak na rysunku. Jeśli oczątek układu wsółrzędnych znajduje się na końcu szczeliny, ole narężenia wokół naroża wyraża się wzorami: τ x y xy K1 θ θ θ cos 1 sin sin πr K1 θ θ θ cos 1 sin sin π r K1 θ θ θ sin cos cos πr, gdzie K 1 jest wsółczynnikiem intensywności narężeń. Określić front lastyczny na odstawie kryteriów ulastycznienia TG i HMH. Rozwiązanie: a) warunek TG: obliczamy narężenia główne: 1 K1 θ θ cos 1 sin, πr K1 θ θ cos 1 sin. πr

23 (i) łaski stan narężenia: dla θ π warunek lastyczności: K1 θ θ 1 cos 1 sin πr i równanie frontu lastycznego ma ostać: r K1 θ θ cos 1 sin π ν x y ν 1 (ii) łaski stan odkształcenia: ( ) ( ) dla ν <. 5 narężenie 1 jest zawsze największe, natomiast są dwie możliwości odnośnie ozostałych narężeń głównych, zależnie od liczby Poissona jeżeli 1 > >, to warunek łynięcia lastycznego: 1( 1 ν ) ν a front lastyczny: K1 θ r 1 cos π 1 > 1 ( 1 ν ) θ sin jeżeli natomiast > to warunek ulastycznienia:

24 i front lastyczny K 1 θ 1 θ r cos sin π b) kryterium HMH (i) łaski stan narężenia ( ) ostęując analogicznie, mamy równanie frontu lastycznego: K 1 θ 1 θ r cos sin π (ii) łaski stan odkształcenia: K1 θ θ r cos π ( ) 1 ν sin Poniższy wykres rzedstawia front lastyczny dla w/w rzyadków oraz ν. 5 i bezwymia- r π K. rowego romienia ( ) / 1 4

25 Ulastycznienie wokół naroża szczeliny 5

26 Warunek lastyczności dla materiałów o właściwościach zależnych od ciśnienia Hioteza Rankine a stanowi uogólnienie hiotezy Galileusza na materiały nieizonomiczne i może być traktowana jako hioteza właściwości materiału zależnych od ciśnienia hydrostatycznego. oś aksjatorów R b R bz Rbz 1 1 Hioteza Clebscha-Rankine a Jest to widoczne rzy zaisie dla sektora 6 (osie symetrii co 6 stoni): ( I I, θ ) I cosθ I f. 1, 1 R b 1 6

27 Podobnie dla hiotezy Mohra-Coulomba: τ c tanψ, która dla materiałów bez tarcia wewnętrznego rzechodzi w hiotezę Tresci-Guesta (kohezja czyli soistość odowiada wówczas granicy lastycznej dla ścinania). τ τ c- tanφ φ.5(1 ) φ c.cosφ 1 c c.5( 1 ) Hioteza Mohra-Coulomba 7

28 8 Hioteza Mohra-Coulomba może być zaisana w innej ostaci, zgodnie z rysunkiem: φ φ φ tan sin ).5( ) cos.5( c a o odstawieniu: φ φ φ φ φ φ sin 1 sin 1 ' ', sin 1 cos ', sin 1 cos ' t c t c f f m c f c f i rzekształceniach: 1 1, ' c f m a więc odobnie do warunku Tresci-Guesta (dla m 1 ostać jest identyczna).

29 / f ' c m1 / 1 f ' c / 1 f ' c / f ' c / f ' c Hioteza Mohra-Coulomba dla i na łaszczyźnie dewiatorowej 9

30 Warunek Druckera-Pragera jest uogólnieniem warunku MHM, orzez dodanie członu zależnego od ierwszego niezmiennika tensora narężenia: αi J, 1 co owoduje rzesunięcie elisy HMH i jest obwiednią dla kryterium Mohra-Coulomba: f ' t HMH Drucker-Prager - θ6 ο f ' c f ' c f ' t Mohr-Coulomb Kryterium Druckera-Pragera

31 1 Przykład Materiał, którego granica lastyczności na ściskanie jest dziesięciokrotnie większa niż na rozciąganie, oddany jest narężeniu normalnemu oraz stycznemu τ. Na odstawie warunku Coulomba-Mohra oraz Druckera-Pragera sorządzić krzywe interakcji odowiadające łynięciu lastycznemu. Rozwiązanie: a) narężenia główne z kół Mohra:,, 1 < > τ τ odstawiając do warunku Mohra-Coulomba, otrzymujemy, odstawiając c t f f ' ' 1 1 : 1 4 / ' ' ' 11 9 c c c f f f τ. b) dla kryterium Druckera-Pragera, wyrażamy stałe materiałowe k, α orzez granice t c f f ', ', mamy:

32 9 k f ' c, α, co dla stanu narężenia I, 1 J rowadzi do: α 1 τ. 1 τ 9 f ' c Po wstawieniu do kryterium łynięcia, mamy: τ f ' ' / c f c τ

33 Teorie idealnej lastyczności Teoria odkształceniowa Hencky-Iliuszyna Teoria odkształceniowa lastyczności zwana także teorią małych odkształceń srężystolastycznych, została sformułowana ogólnie rzez Hencky ego (194) a rozwinięta rzez Iliuszyna (194). Zakładając istnienie związku omiędzy tensorem narężenia i tensorem odkształcenia stanowi uogólnienie związków fizycznych nieliniowej teorii srężystości. Postuluje się, że: kierunki główne tensora narężenia okrywają się z kierunkami głównymi tensora odkształcenia, narężenie średnie jest roorcjonalne do odkształcenia średniego, a wsółczynnik roorcjonalności jest taki sam jak w rawie zmiany objętości (Hooke a), intensywność narężenia jest funkcją intensywności odkształcenia, którą należy wyznaczyć na drodze doświadczalnej. Równania rocesów czynnych mają ostać: D ε ϕ D, Aε 1 A K lub wskaźnikowo:

34 1 ν e ϕ s, ε kk kk E, gdzie funkcja ϕ ϕ( ε i ), ( ϕ > 1 G) określa zaawansowanie odkształceń lastycznych. Dla idealnej lastyczności funkcja ta może być wyznaczona z warunku lastyczności. Mnożąc skalarnie ierwsze z równań rzez siebie: e e ϕ s s i wykorzystując definicje intensywności narężeń i odkształceń: i ε s s, i dostajemy o odstawieniu warunku huberowskiego:, ε ee i ε i ϕ i ϕ i Do oisu rocesów biernych rzyjmuje się odmienne równania (inaczej niż ma to miejsce w nieliniowej teorii srężystości): e~ 1 e ( ~ s s ), G gdzie wężykiem oznaczono unkt z którego rozoczyna się roces bierny. Równanie granicy omiędzy obszarem rocesów czynnych i rocesów biernych otrzymamy żądając jednocze- e e 4

35 snego sełnienia równań rocesów biernych i warunku lastyczności, n. HMH. Otrzymuje się w ten sosób równanie owierzchni rocesów neutralnych. Z owyższego równania wyliczamy dewiator narężenia dla rocesu biernego: s ~ s G e~ e ( ) i wstawiamy do warunku lastyczności: s s dostając: czyli: i [ ~ G( e~ e )][ ~ s G( e~ e )] s, ( ~ e e ) Gs ~ ( ~ e e ) 4G ( e ~ e )( ~ e e ) ~ s ~ s Gs ~ a onieważ również i s~ sełnia warunek lastyczności, dzieląc rzez 4G: G e ~ e e~ e ~ s e~ e. ( )( ) ( ) Jedną z osobliwości teorii H-I jest to, że zmniejszanie się intensywności odkształceń niekoniecznie oznacza roces bierny. Jako rzykład rozatrzmy roces dwóch składowych narężenia stycznego wywołujących jedynie odkształcenia kątowe: τ, τ γ, γ, xy xz xy xz 5

36 a warunek lastyczności srowadza się do: τ τ τ xy xz. Proces neutralny oisuje okrąg o środku rzesuniętym: ~ τ G γ γ ~ τ G ~ γ [ ( )] ( γ ) [ ] τ ~ xy xy xy xz xz xz a stałość intensywności odkształceń okrąg o środku w oczątku układu: ~ ~ γ xy γ xz γ xy γ xz const Promień ierwszego okręgu wynosi τ G a drugiego ( γ xy γ xz ). Jak widać z rysunku, mimo sadku intensywności odkształceń, roces może być aktywny, co niezbyt odowiada rzeczywistym rocesom. 6

37 γ xz roces aktywny roces bierny γ xy oczątkowy stan neutr. aktualny stan neutr. stała intens. odkształceń Procesy czynne i bierny na łaszczyźnie odkształceń Mimo swej rostoty i ewnych wad teoria H-I może być z owodzeniem stosowana w wielu rzyadkach rostych obciążeń. 7

38 Teoria łynięcia Levy-Misesa Jest to najstarsza teoria lastyczności zaroonowana rzez Levy ego (187). W rzeciwieństwie do teorii odkształceniowej zaniedbuje się odkształcenia srężyste i ostuluje się model ciała sztywno-lastycznego, w którym istnieje roorcjonalność omiędzy dewiatorami narężenia i rędkości (małego) odkształcenia: D lub w zaisie wskaźnikowym: & ε λd, e& λ. s Powyższe równanie rzyomina do ewnego stonia równanie stanu dla materiału reologicznego i dlatego teoria często zwana jest teorią lastycznego łynięcia, a samo równanie rawem łynięcia. Nieznana funkcja λ owinna zostać wyznaczona z warunku lastyczności. Pierwotnie Levy zaroonował warunek Tresca i ale jak zauważył Mises warunek huberowski jest wygodniejszy. Stosując odobną rocedurę jak w teorii H-I (mnożąc obie strony rzez s ), mamy: s e& λs s, z definicji intensywności narężeń i warunku lastyczności jest: 8

39 dostajemy: i s s s s i s e& W& λ, gdzie W & jest gęstością mocy odkształceń (tutaj wyłącznie lastycznych), czyli moc na jednostkę objętości. Podstawiając otrzymaną funkcję do równania stanu, o formalnym omnożeniu rzez różniczkę czasu, otrzymujemy równanie w formie rzyrostowej gdzie czynnik czasu został wyeliminowany: skldekl de s. Teoria Levy-Misesa zaniedbuje odkształcenia srężyste a więc: w rawie zmiany objętości owinno się odstawiać E, co rowadzi do warunku nieściśliwości, owierzchnię neutralną w rzestrzeni narężeń oisuje warunek lastyczności, owierzchnia neutralna w rzestrzeni odkształceń redukuje się do unktu: każdy ruch w rzestrzeni odkształceń jest rocesem czynnym 9

40 rocesy bierne odowiadają zachowaniu się bryły sztywnej Mimo zasadniczych różnic fizykalnych teorie H-I i L-M są odobne matematycznie, jeśli oznaczyć takimi samymi symbolami odkształcenia i ochodne odkształcenia. Stąd, jeśli odkształcenia i ich ochodne mogą być wyeliminowane jako arametry w trakcie rozważań (n. w roblemach nośności granicznej), obie teorie rowadzą do identycznych wyników. Teoria łynięcia Prandtla-Reussa Prandtl (194) i Reuss (19) uogólnili związki teorii L-M na rzyadek odkształceń srężystych, dodając rędkości odkształceń srężystych i lastycznych: 1 D& ε λ D D & G lub wskaźnikowo: 1 e & λ s s&. G Ponieważ fizycznie owyższe równania niewiele się różnią od orzednich L-M, również i do nich stosuje się nazwę teorii łynięcia lastycznego (lub łynięcia srężysto-lastycznego). Nieznaną funkcję λ należy wyznaczyć z warunku lastyczności, dla którego obliczamy ochodną o czasie: 4

41 i i s s& s s& i mnożąc równania wyjściowe rzez dewiator narężenia: 1 e& s λ s s s& s λs s G mamy identycznie jak orzednio dla teorii L-M: e & s e& s λ. s s Wyrażenie w liczniku onownie określa gęstość mocy odkształceń lastycznych, gdyż z dekomozycji odkształceń na lastyczne i srężyste wynika, że drugi człon znika: s& e e & s s ( e& e& ) se& s se&. G Podobnie jak orzednio, czas może zostać wyeliminowany ze związków fizycznych orzez formalne mnożenie rzez różniczkę czasu; mamy wówczas ostać rzyrostową rawa łynięcia: ds skldekl de s. G 41

42 Ois rzeczywistych właściwości materiałów teorią P-R jest znacznie leszy, niemniej jednak ojawiają się ewne komlikacje. Tensory kierunków i odobieństwa narężeń i odkształceń są równe jedynie osobno dla części srężystej i osobno dla części lastycznej. Procesy neutralne oisane są warunkiem lastyczności i rzyjęciem λ. Niemniej jednak na granicy srężysto-lastycznej funkcja jest w ogólności różna od zera i najłatwiej granicę jest znaleźć rzyjmując i dla rozwiązania srężystego. Rozgraniczenie omiędzy rocesami czynnymi i biernymi jest odobne jak w teorii H-I. Dla rocesów biernych równanie rzyrostowe: ds Gde Jeśli rozwiązanie roblemu z zastosowaniem teorii H-I jest łatwiejsze, to takie rozwiązanie może być srawdzone orzez weryfikację równań teorii P-R. Porównanie teorii, dyskusja Klasyczne teorie: odkształceniowa H-I i łynięcia mogą być otrzymane jako rzyadek szczególny ogólniejszej liniowej teorii tensorowej Hohenemsera-Pragera (19): α s α s& α e α e&, 1 4 gdzie wsółczynniki są stałe a jeden jest funkcją odkształceń wyznaczaną z warunku lastyczności. Stąd, mimo że równanie jest liniowe tensorowo, w rzeczywistości jest nieliniowym związkiem między narężeniami i odkształceniami. 4

43 Jeszcze bardziej ogólną ostać zaroonował Reiner (1945): α δ α ε α & ε & ε & 1 gdzie ε& jest rędkością odkształceń zarówno srężystych, srężysto-lastycznych jak i sztywno-lastycznych. Teorie łynięcia lastycznego odnoszą narężenia do rędkości odkształceń, odczas gdy w teorii odkształceniowej ostulowana jest wzajemnie jednoznaczna zależność omiędzy narężeniami i odkształceniami. Inaczej mówiąc w teoriach łynięcia stan narężenia zależy od trajektorii obciążenia (historii) a w teorii odkształceniowej nie. W niektórych rzyadkach teorie są zbieżne. Aby stwierdzić w jakich, omnóżmy je skalarnie rzez dewiator narężenia: e& s ϕ s& s & ϕs s (H-I) 1 e& s s& s λs s (P-R) G Ponieważ, jak już wcześniej zostało wykazane, s&, części rawych stron są identyczne jeśli: Można więc wówczas zaisać: s ϕ& λ. e& ϕ s& λs (H-I) ik kj 4

44 1 e& s& λs (P-R) G Po odjęciu stronami i odrzuceniu rzyadku trywialnego ϕ 1 G otrzymujemy warunek zgodności: s& lub inaczej s s. Całkowanie któregokolwiek z równań fizycznych rzy warunku stałości narężeń rowadzi do odowiadającego mu warunku roorcjonalnego wzrostu składowych dewiatora odkształcenia: e e f ( t). Proces oisany owyższym równaniem nazywany jest rostym rocesem deformacji lub rocesem rostym. W takim rocesie również i składowe dewiatora narężenia rosną roorcjonalnie. Srawdzenie tego wrost jest uciążliwe. Iliuszyn sformułował użyteczne twierdzenie o rostym (roorcjonalnym) obciążaniu, usuwające tę trudność. Zgodnie z twierdzeniem roces obciążania jest rosty, jeśli wszystkie obciążenia zewnętrzne rosną roorcjonalnie. Przykład: rura cienkościenna oddana rozciąganiu i skręcaniu. Rura cienkościenna obciążona jest siła rozciągającą i momentem skręcającym, niezależnie działającymi. Dla uroszczenia rzyjmiemy, że stan narężenia jest jednorodny i określony 44

45 ~ ~ ε ~ dwoma niezależnymi odkształceniami ( ( ε, γ ). Dojście do unktu końcowego A (, γ ) jest realizowane na trzy sosoby: 1. ulastycznienie rzez rozciąganie do ~ ε, a nastęnie skręcanie do kąta ~ γ, rzy stałym wydłużeniu ε ~ ε const ( dε ). ulastycznienie rzez skręcanie do ~ γ, a nastęnie rozciąganie do odkształcenia osiowego ~ ε, rzy stałym kącie γ ~ γ const ( dγ ) ~. roorcjonalne wydłużanie i skręcanie do unktu A ( ~ ε, ~ γ ) (obciążenie roste). Zakładamy rzy tym materiał nieściśliwy idealnie srężysto-lastyczny oisany równaniami łynięcia Prandtla-Reussa oraz warunkiem idealnej lastyczności (bez wzmocnienia) HMH: Ponieważ de sekl s. dε τdγ d λ równania rzyrostowe teorii P-R rzyjmują ostać: 45

46 46 ( ) τ γ τ ε τ γ γ τ ε ε d d d d d d d d G G. Dla kolejnych rzyadków mamy: 1. rozciąganie skręcanie d d d d d γ τ τ γ γ τ G G skąd.648 ~ cosh.44 ~ tanh γ γ τ G G

47 47. skręcanie rozciąganie d d d d d ε τ τ ε ε G G skąd.74 ~ cosh.76 ~ tanh ε τ ε G G. obciążenie roste, ε γ najierw teoria Prandtla-Reussa: ( ) τ ε τ τ τ ε ε τ ε / d d d / d d d G G

48 48 dodając równania stronami i wykorzystując warunek HMH w formie skończonej i zróżniczkowanej: d d τ τ τ otrzymujemy ( ) ( ) 6 1, 1, 1 : γ γ ε γ ε E E G E A oraz 6 1 ~, 1 ~ ~, ~ : ~ τ γ ε E E A co oznacza, że w rocesie rostym narężenie nie zmienia się odczas lastycznego łynięcia (brak redystrybucji narężeń), mimo że odkształcenie zmienia się, wg teorii odkształceniowej H-I:

49 49 ε ε ε ϕ ϕτ ϕ ε γ, i i i ostatecznie: G E E A G E E A i i 1 1 ~, ~ : ~ 1 1, : ϕ ε ϕ ε 6 ~ ~ τ τ Jak widać, w rzyadku rocesów rostych (roorcjonalność składowych dewiatora odkształceń, wyniki wg teorii P-R i H-I są identyczne. Gdy roces jest nieroorcjonalny, jedynie teoria rzyrostowa daje wynik orawny, uzależniony od ścieżki obciążenia.

50 γe/ τ 1. / A A 1 A A.77 εe/ 1. A 1 / 1. Ścieżki obciążenia w rzestrzeni odkształceń i narężeń 5

51 Duża część roblemów inżynierskich, choć nie jest rocesami rostymi, różni się od nich nieznacznie. W takich rzyadkach teoria odkształceniowa H-I może dawać dobre rezultaty. Niemniej jednak teoria ta nie sełnia ostulatu ciągłości oisu dla rocesów neutralnych. Różniczkując równania teorii H-I: 1 e ~ ( ~ ϕ s, e e s s ), G i uwzględniając warunek lastyczności (ustalony unkt startu ) otrzymuje się: 1 ϕ s G &, skąd wynika, że ta teoria nie sełnia ostulatu oza ojedynczym unktem ϕ 1 G, odowiadającym oczątkowi rocesu lastycznego. Dla teorii łynięcia P-R ten sam ostulat rowadzi do sójnego warunku λ, co oznacza brak dyssyacji energii lastycznej, gęstość mocy odkształceń lastycznych jest równa zero. Znaczącą orawę oisu zachowania się lastycznego materiałów uzyskuje się orzez uwzględnienie wzmocnienia lastycznego. 51

52 Teorie lastyczności ze wzmocnieniem Efekt Bauschingera Materiał izonomiczny (izozwrotny), mający w stanie naturalnym takie same właściwości rzy ściskaniu, co rzy rozciąganiu, często w wyniku wywołanych rocesem obciążania odkształceń lastycznych nabiera cech anizonomicznych (anizozwrotnych), ujawniających się rzy odciążeniu. Przy rozciąganiu, granica lastyczności o stronie rozciągania zwykle zwiększa się, odczas gdy o stronie ściskania maleje. Efekt taki nazywa się efektem Bauschingera i dla realnego materiału może wystęować w różnym stoniu. Wrowadzając za Tałyowem wsółczynnik efektu Bauschingera: ~ ~ β, ( 1) ( ~ β ) gdzie w liczniku mamy narężenie odciążania a w mianowniku odwojoną wartość narężenia wzmocnienia. 5

53 ε β 1 Możemy wyróżnić trzy rzyadki szczególne: β 1, ~ ~ β. 5, ~ Efekt Bauschingera β, idealny efekt Bauschingera (tzw. wzmocnienie kinematyczne),, stabilizacja granicy lastyczności, 5

54 β, ~ ~, brak efektu Bauschingera (tzw. wzmocnienie izotroowe) W rzyadku silnego efektu Bauschingera może się zdarzyć, że końcowa faza odciążenia odbywa się w sosób czynny (czerwona linia na rys. 1). Dla realnych materiałów, zgodnie z badaniami Tałyowa, wielkość arametru β zależy od wartości osiąganych odkształceń. Tak więc z efektem Bauschingera związane jest ojawienie się ewnych rozbieżności: nie zawsze moduł dla rocesu odciążania jest równy modułowi srężystości Younga; istnieją badania otwierdzające zależność modułu odciążania od odkształceń lastycznych, dla silnego efektu Bauschingera możliwe są dwie różne definicje odkształceń lastycznych: jedna oierająca się na dekomozycji odkształceń na srężyste i lastyczne: e ε ε ε ε E i druga odnosząca się do rzeczywistych trwałych odkształceń, or. rys. 54

55 ~ ε (1) ε () ε ~ Dwie definicje odkształceń lastycznych 55

56 Cykl w teorii lastyczności Cykl jest to roces, o zakończeniu którego zarówno zmienne niezależne jak i zmienne zależne owracają do wartości ierwotnych. W teorii lastyczności, wskutek nieodwracalności odkształceń lastycznych, oza nielicznymi wyjątkami (atrz rys.) cykli w ogóle nie ma. Przykład cyklu lastycznego Dlatego w teorii lastyczności wrowadza się ojęcie quasi-cyklu. Jest to roces o zakończeniu którego zmienne niezależne (czynniki wytężenia) owracają do wartości ierwotnych. Wyróżnia się dwa tyowe quasi-cykle: narężeniowe i odkształceniowe, or. rys.. 56

57 ε Quasi-cykle: narężeniowy i odkształceniowy ε 57

58 Zasada rac wirtualnych Jak wiadomo, zasada ta obowiązuje niezależnie od związków fizycznych i dotyczy dwu oddzielnych i nie owiązanych ze sobą układów: sił będących w równowadze i zgodnych rzemieszczeń (sełniających warunki nierozdzielności: 58

59 Potencjał lastyczny Równania teorii H-I można zaisać w ostaci: a teorii łynięcia L-M i P-R: jako: e & e e ϕ s ϕ I s s 1 λ s, e& λs s& G λ I s s &. e Powyższe związki można uogólnić. Najierw jednak wykażemy, że jeśli ( ) I jest dowolnym niezmiennikiem tensora T, to obiekt: I ( ) I( ) I ( ) kl χ kl aik a jl χ a kl kl ik a jl 59

60 jest tensorem drugiego rzędu. Uogólniając równania teorii H-I oraz L-M i P-R, możemy zaisać: g( ) g( ) e ϕ, oraz e& λ. Funkcję g( ) nazywamy otencjałem lastycznym. Jak widać istnieje analogia omiędzy otencjałem srężystym i otencjałem lastycznym. Dla ciał idealnie lastycznych wielkości te nie dadzą się wyrazić orzez narężenia, mimo to istnienie otencjału lastycznego dla szerokiej klasy materiałów nie odlega dyskusji; natomiast ostać samej funkcji otencjału może być dyskusyjna. Jeżeli osłużymy się dziewięciowymiarową rzestrzenią Pragera, w której osiami są osie związane ze składowymi tensora i który jest w niej rzedstawiony jako wektor, możemy zaisać: ε ϕ gradg( ), ε λ gradg( ) &. Przyrównując otencjał lastyczny do zera lub do ewnej stałej, określamy owierzchnię w rzestrzeni Pragera, do której wektor odkształcenia lub rędkości odkształceń jest rostoadły. 6

61 Stowarzyszone rawo łynięcia Prawo łynięcia jest to niezbędne kinematyczne założenie dotyczące kierunku na ścieżce obciążenia, t.j. określa wielkości względne składowych tensora rzyrostu odkształcenia. Jeżeli dla warunku lastyczności w ostaci: f zachodzi związek: ( ) const ( ) f ( ) to mówimy o stowarzyszonym rawie łynięcia. g 61

62 dε dε łaski f dε λ gładki (c) (b) (a) otencjał lastyczny g( ) f ( ) const, ε (d) naroże dε dε 6

63 W klasycznej teorii P-R korzystającej z warunku lastyczności HMH mamy do czynienia ze stowarzyszonym rawem łynięcia, bowiem: 1 g( ) I s ( ) f HMH ( ), co jest dość dobrze otwierdzone doświadczalnie, zwłaszcza dla rocesów w których kierunki główne nie ulegają zmianie. Jeśli brak danych doświadczalnych ozwalających na określenie równań fizycznych, nasuwają się dwa odejścia rzybliżone: zachowanie rawa łynięcia oznaczającego odobieństwo dewiatorów narężenia i rędkości odkształceń lastycznych, które jest stowarzyszone z warunkiem lastyczności HMH rzyjęcie stowarzyszonego rawa łynięcia. W ewnym sensie równania fizykalne teorii srężystości i teorii odkształceniowej są stowarzyszone z warunkiem lastyczności HMH. 6

64 τ oct, dγ oct, dε 1 1 dε d ε λs s oct, dε oct f( ) k, dε, dε łaszczyzna hydrostatyczna łaszczyzna dewiatorowa Stowarzyszone rawo łynięcia dla warunku lastyczności H-M-H 64

65 1- dε, dε 1 1 A A O -, dε - 1, dε - 1 Stowarzyszone rawo łynięcia dla warunku TG; rzyrosty odkształceń lastycznych (normalne i jako granica gładkiej owierzchni) 65

66 1 dλ 1( m,, 1) dλ ( m, 1,) A dλ (, m, 1) 6 O dλ (, 1, m) dλ ( 1, m,) 5 dλ ( 1,, m) 4 Stowarzyszone rawo łynięcia dla warunku Mohra-Coulomba 66

67 Postulat Druckera. Stateczność materiału w sensie Druckera P P P 1 Ugięcia owłoki mało wyniosłej Jak widać z rys., w trakcie cyklu dla P 1 P 1 raca całkowita jak i raca nadwyżki obciążenia są równe zero. Zachowanie się konstrukcji jest stateczne. Natomiast dla cyklu P P nastęuje rzeskok, zostaje wykonana ewna raca, natomiast racę nadwyżki obciążenia można uważać za ujemną (całkowite ole zakreskowane). Dalsze rzykładanie i zdejmowanie nadwyżki owoduje już cykl wykazujący cechy stateczności. f 67

68 () Podobne rozumowanie możemy odnieść do unktu ciała: do stanu narężenia rzykładamy dodatkowy stan narężenia a nastęnie zdejmujemy go. Załóżmy, że mamy jakieś obciążenie, wywołujące określony stan narężenia, odkształcenia i rzemieszczenia. Przyłóżmy dodatkowe obciążenie zewnętrzne, całkowicie niezależne od istniejącego. Sowoduje ono dodatkowe narężenia, odkształcenia i rzemieszczenia. Ti T i T& i F F i F& i i ui,, ε u i u& i, &, ε ε& 68

69 Powiemy, że materiał stateczny to taki materiał, który sełnia nastęujące ostulaty (znane jako ostulaty stateczności Druckera): 1. Praca dodatkowego obciążenia na wywołanych rzez nie zmianach rzemieszczenia jest dodatnia. W cyklu rzyłożenia obciążenia i jego zdjęcia raca wykonana rzez dodatkowe obciążenie zewnętrzne na zmianach rzemieszczeń jakie owoduje jest nieujemna. Należy odkreślić, że ostulaty dotyczą jedynie racy wykonanej rzez dodatkowe obciążenie na zmianach rzemieszczenia wywołanych rzez nie a racy wszystkich sił na tych zmianach rzemieszczeń. Matematycznie te dwa ostulaty mogą być zaisane jako: T & iu& i da F& iu& i dv > (stabilność w małym) A A V T & u& da F& u& dv (stabilność w cyklu) i i V i i gdzie całki w drugim ze wzorów oznaczają całkowanie o cyklu obciążenia i odciążenia. Postulaty stabilności są bardziej restrykcyjne niż rawa termodynamiki, żądające jedynie nieujemności całkowitej racy wszystkich sił na zmianach rzemieszczenia. 69

70 >, ε > ε ε >, ε > ε ε ε <, ε > >, ε < ε ε ε 7

71 Z rezentacji graficznej ostulatów Druckera widać, że zaewniają one istnienie jednoznacznej relacji odwrotnej narężenie-odkształcenie. Można okazać, że dla materiałów srężystych, ostulaty Druckera stanowią konieczny i wystarczający warunek istnienia energii odkształcenia i komlementarnej (nadwyżkowej) energii. energia komlementarna εd energia otencjalna dε ε Energia otencjalna i komlementarna 71

72 Jeżeli cały roces, tj. zarówno stan oczątkowy jak i wszystkie stany ośrednie leżą wewnątrz aktualnej owierzchni lastyczności, to roces jest całkowicie srężysty i mamy do czynienia z cyklem. Praca całkowita jak i nadwyżkowa są równe zeru. Jeżeli roces dotarł do aktualnej owierzchni lastyczności, to na ogół ojawiają się odkształcenia lastyczne i mamy do czynienia z quasi-cyklem narężeniowym: całkowita raca jest dodatnia a raca nadwyżkowa może być dodatnia, ujemna albo zero. Elementarna raca nadwyżkowa, odowiadająca nieskończenie małemu rzyrostowi odkształceń lastycznych, określona jest wzorem z zastosowaniem konwencji sumacyjnej: () dw* dε. ( ) Postulat Druckera stateczności materiału srowadza się do założenia nieujemności racy nadwyżkowej: () dε. ( ) Jest to tzw. wielki ostulat Druckera. W granicy możemy zaisać: d ε, d otrzymując tzw. mały ostulat Druckera. Mały ostulat wynika z wielkiego, ale nie na odwrót, bo wielki ostulat odnosi się do dowolnego rzyrostu narężenia a mały do infinitezymalnego. 7

73 Jeżeli materiał sełnia ostulat Druckera dla dowolnego rocesu nazywamy nieograniczenie statecznymi. W rzeciwnym wyadku mówimy o stateczności chwilowej lub o stateczności w ewnych kierunkach. W dziewięciowymiarowej rzestrzeni Pragera ostulat Druckera można rzedstawić jako iloczyn skalarny wektorów rzyrostu odkształcenia i różnicy narężeń (or. rys. 4). dε dε d Ujemna raca nadwyżkowa dla wklęsłej owierzchni lastyczności i normalność wektora rzyrostu odkształcenia lastycznego do owierzchni granicznej Wynika stąd, że owierzchnia graniczna dla materiału statecznego w sensie Druckera musi być wyukła. Jeśli wykazuje wklęsłości, to zawsze można znaleźć roces, dla którego iloczyn skalarny jest ujemny. Z nierówności małego ostulatu Druckera wynika, że wektor rzyrostu odkształceń lastycznych musi być rostoadły do owierzchni granicznej, gdyż tylko wtedy wykluczony jest kąt rozwarty między tym wektorem a wektorem rzyrostu narężenia. 7

74 W ε ε Ω ε O Wconst rzestrzeń odkszt. Ωconst O rzestrz. nar. Kierunek normalny do owierzchni lastycznej jest dany gradientem warunku lastyczności, co należy skojarzyć z faktem, że teorie łynięcia lastycznego w rzestrzeni Pragera ostulują roorcjonalność do gradientu z otencjału: ε ϕ gradg( ), ε & λ gradg( ). Pokrywanie się gradientów otencjału jak i warunku lastyczności oznacza z kolei, że dla materiałów nieograniczenie statecznych rawo łynięcia lastycznego musi być stowarzyszonym rawem łynięcia. 74

75 Przyjęcie ostulatu Druckera oznacza daleko idące konsekwencje. Można wykazać, że infinitezymalny rzyrost obciążeń owoduje jednoznaczny infinitezymalny rzyrost narężeń i odkształceń. Również stosunkowo łatwo można sformułować zasady wariacyjne. Klasyczne teorie łynięcia L-M i P-R osługujące się warunkiem lastyczności HMH sełniają ostulat Druckera. Dlatego często, wbrew oinii samego Druckera, ostulat stateczności w sensie Druckera jest rzez wielu autorów traktowany jako ewne rawo rzyrody a wynikające stąd stowarzyszone rawo łynięcia jako oczywistą konieczność, niewymagającą komentarzy. Jednakże jak wiadomo n. stal miękka w trakcie statycznej róby rozciągania wykazuje chwilową niestateczność tuż o rzekroczeniu wyraźnej granicy lastyczności. W rzyadku materiałów kruchych, takich jak beton czy niektóre rodzaje gruntów, stowarzyszone rawa łynięcia rowadzą do wyników srzecznych z doświadczeniami. N. dla jednoosiowego rozciągania materiału idealnie lastycznego L-M i w rzyadku często wystęującym w raktyce: > otrzymuje się wzrost wymiarów rzekroju róbki rozciąganej. Wnioski wynikające z ostulatu Druckera oarto na założeniu zerowej racy nadwyżkowej odkształceń srężystych. Jak zauważył Iliuszyn, odkształceniom lastycznym może towarzyszyć zmiana modułów srężystych, a w konsekwencji wektor rzyrostu odkształceń lastycznych nie jest ortogonalny do owierzchni granicznej. 75

76 Przykład obliczeniowy w monografii Życzkowskiego okazuje, że dla rzyjętej aroksymacji warunku lastyczności równania klasyczne P-R dają mniejsze błędy niż zastosowanie równań stowarzyszonego rawa łynięcia. Podsumowując z ostulatów Druckera wynika że: 1. Energia odkształcenia (srężysta) i komlementarna istnieją i są zawsze dodatnio określone, co zgadza się z ostulatami termodynamiki. Narężenia (odkształcenia) są normalne do owierzchni stałej energii otencjalnej (komlementarnej). Powierzchnie stałych energii otencjalnej w rzestrzeni odkształceń i komlementarnej w rzestrzeni narężeń są wyukłe 4. Związki narężenie odkształcenie są odwracalne (w sensie istnienia relacji odwrotnej). 5. Dla materiałów srężystych obie ostaci energii są niezależne od drogi (ścieżki obciążenia) i w związku z tym są funkcjami stanu: osiadają różniczkę zuełną i zależą jedynie od stanu oczątkowego i końcowego. 76

77 Wzmocnienie izotroowe τ ε Izotroowe wzmocnienie lastyczne Powierzchnia lastyczna wzrasta roorcjonalnie w wyniku wzmocnienia lastycznego. Proces neutralny nie owoduje wzmocnienia. Wzmocnienie zależy od niemalejącej funkcji odkształceń lastycznych. Nie oisuje się efektu Bauschingera. Rozowszechnione są dwie roozycje. F.K.G.Odqvist (19): f I i 1 ( ) ε 77

78 gdzie arametr Odqvista jest to długość drogi w rzestrzeni odkształceń lastycznych: I ε ~ t ~ t & ε & ε dt e& e& dt Taylor-Quinney (191): i f ( W ) gdzie raca odkształcenia lastycznego (energia dyssyowana): W W jest również wielkością niemalejącą. d ~ e ~ e e~ dε de Wzmocnienie kinematyczne Materiał zachowuje się w taki sosób, że owierzchnia łynięcia rzemieszcza się (w dziewięciowymiarowej rzestrzeni Pragera) jak bryła sztywna. Jeżeli oczątkową owierzchnię oisuje równanie: Prager (195): F( ) C de ~ e s de de 78

79 ( α ) C F, gdzie wg Melana (198) dwie możliwości: dα cdε, c const (ale rzy rzejściu do odwymiarów brak zachowania kształtu) bądź stowarzyszone rawo łynięcia: dα d. Ziegler (1959): dα ( α ) dµ (kształt zachowany rzy rzejściu do odrzestrzeni). 79

80 .. wg Zieglera.. wg Melana oczątkowa.. 1 Warianty wzmocnienia kinematycznego Wzmocnienie mieszane i anizotroowe Wzmocnienie mieszane stanowi kombinację wzmocnienia izotroowego i kinematycznego. Powierzchnia czynna owiększa swoje wymiary z zachowaniem odobieństwa geometrycznego i ulega jednocześnie translacji. Wzmocnienie anizotroowe olega na tym, że owierzchnia czynna zmienia kształt. Można wyróżnić kilka rzyadków szczególnych takiego wzmocnienia: 8

81 ogólny niezależności mechanizmów tworzenie się naroży lastycznych (zmiana jakościowa) 1 1 τ Różne mechanizmy wzmocnienia anizotroowego. 81