KOMPLEKSOWE STRUKTURY ROZGRYWAJĄCE PARAMETRYCZNIE W BADANIU WŁASNOŚCI DYNAMICZNYCH UKŁADÓW MASZYNOWYCH

Transkrypt

1 KOMPLEKSOWE STRUKTURY ROZGRYWAJĄCE PARAMETRYCZNIE W BADANIU WŁASNOŚCI DYNAMICZNYCH UKŁADÓW MASZYNOWYCH Adam DEPTUŁA, Marian A. PARTYKA Strezczenie: W oracowaniu rzedtawiono zatoowanie grafów zależności i drzew rozgrywających arametrycznie do analizy i yntezy właności dynamicznych układów mazynowych. Graf zależności wiąże ze obą wielkości wejściowe, wyjściowe oraz funkcje zależne od czau i arametry kontrukcyjne. W wyniku rozkładu grafu zależności od danego wierzchołka oczątkowego otrzymuje ię trukturę drzewiatą rozgrywającą arametrycznie. Połączenie ze obą truktur drzewiatych otrzymanych w wyniku rozkładu grafu od każdego z wierzchołków rowadzi do komlekowej truktury drzewiatej, która trukturalnie oiuje zbiór wzytkich odukładów danego układu mazynowego, a także zbiór odowiednich arametrów kontrukcyjnych i ekloatacyjnych. Słowa kluczowe: graf zależności, truktura ytemowa, komlekowe drzewo rozgrywające arametrycznie. 1.Wtę Model roceu rojektowania danego układu mui umożliwić utalenie odowiednich relacji i rawidłowości otrzebnych do ilościowego ujęcia tego roceu. Powinien także zawze uwzględniać możliwości rozwoju danego układu w zakreie trukturalnym i arametrycznym. Od rojektanta wymaga ię rawidłowej oceny modelu matematycznego, oiującego dany układ za omocą zmiennych. Modele oiują dany układ z różną dokładnością. Otymalizacja rzebiegu obliczeń, a także znalezienie werji otymalnych rojektowanego układu, wymagają ełnienia odowiednich ograniczeń oraz makymalizacji albo minimalizacji zbioru kryterialnego. Tablice decyzyjne [3] i funkcje logiczne [5, 9, 11, 12, 13] mają zatoowanie w zagadnieniach modelowania układów mazynowych, które oiane ą równaniami różniczkowymi (zwyczajnymi lub czątkowymi). Wynika to z faktu, że wytęujące elementy nieliniowe można rozdzielić na kończoną liczbę elementów (części) liniowych, co rowadzi do otrzymania kilku układów liniowych w enie rzebiegu modelowania z ierwotnego ojedynczego układu nieliniowego. W trakcie roceu otymalizacji od rojektanta-decydenta wymaga ię, aby odejmowane decyzje były otymalne i ełniały określone kryteria. Wółczene ytemy womagania decyzji kładą nacik na nowoczene techniki rzetwarzania informacji w celu urawnienia roceu decyzyjnego. Zarówno w tworzeniu wiedzy dla otrzeb rzediębiortwa jak i w określeniu wytycznych kontrukcyjnych dla rojektanta niezbędne jet oługiwanie ię odowiednim narzędziem oiującym roce decyzyjny. Główną łazczyzną realizacji tego roceu jet zbiór decyzji (i relacji między nimi) z jakich decydent może korzytać w celu jego rozwiązania. Do takich narzędzi należą m.in. grafy zależności. 636

2 2. Zatoowanie grafu zależności do analizy układu hydraulicznego Zagadnienie modelowania układów mechanicznych za omocą grafów rowadza ię m.in. do analizy i yntezy, gdzie korzyta ię z analogii wynikającej z identycznego ich oiu matematycznego. Grafy i liczby trukturalne od dawna odgrywają rolę jako modele układów mechanicznych [16, 17] i nadal ą ytematycznie rozwijane [1,2]. W odróżnieniu od grafów, truktury dendrytowo-drzewiate nie mają cykli, ale może itnieć różna liczba wierzchołków oczątkowych. Dlatego takie truktury mają zatoowanie do wariantowego rzezukiwania i otymalizacji rozwiązań rojektowanego układu, n.: [12, 13]. Odmienne odejście może być rzerowadzone jako rzetłumaczenie kierowanego grafu zależności na trukturę drzewiatą rozgrywającą arametrycznie [14, 15]. Przykład Dla utalonego układu hydraulicznego, kładającego ię z omy zębatej, zaworu rzelewowego, rozdzielacza i ilnika obciążonego dużym maowym momentem bezwładności można naiać trukturę ytemowa (ry.1) [10]. Ry. 1. Struktura ytemowa układu hydraulicznego Model matematyczny ma otać: 1. równanie natężenia rzeływu z omy 1 Q Q 1( t) P Q S z R0, gdzie R R R R R 0 z r S (1) oraz: 637

3 P - ciśnienie w linii tłocznej omy, Q - wydajność teoretyczna omy, Qz - natężenie rzeływu rzez zawór rzelewowy, QS - natężenie rzeływu odawane do części odbiorczej układu; 2. równanie zaworu rzelewowego 3. równanie trat ciśnienia Q z 0 dla P P 0 dqz K 1 P Q dt T T z dla P P 0 (2) P RlQ P gdzie: P - adek ciśnienia między komorami roboczymi ilnika (3) 4. równanie rzeływowe ilnika dps 1 D Q dt C C (4) gdzie: - rędkość kątowa wału ilnika 5. równanie momentów ilnika d D R P dt J J d, tzn. J DP R. (5) dt Na ry. 2 rzedtawiono chemat blokowy układu hydraulicznego w akiecie Matlab/Simulink. Ponieważ niewiadome funkcje P, P, Q, Q z, ą obliczone na odtawie danego wejścia układu Q, więc itnieje truktura ytemowa (ry. 1). Wynikają tąd natęujące zaiy grafu zależności: 1. Z jakich ygnałów owtał dany ygnał: Q ( P ), P ( Q, P ), PQ (, ), ( P ), Q ( Q, P, Q ); z z 638

4 Ry. 2. Schemat blokowy układu hydraulicznego w akiecie Matlab/Simulink 2. Jakie ygnały tworzy dany ygnał: Q ( P, P ), P ( Q, Q ), Qz ( Q ), P( P, ), Q( Q). z Ogólnie można otrzymać rozwiązanie grafowe w ujęciu drzewiatym dla układu hydraulicznego z ry. 1 rzy uwzględnieniu arametrów kontrukcyjnych i natęujących zaiów zależności: 1. Z jakich ygnałów owtał dany ygnał: Q ( P K, T); P ( P ; Q R ); P ( Q C; C, D); ( P D, J; R); z l Q ( Q ; P R ; Q ); 0 z 2. Jakie ygnały tworzy dany ygnał: Q ( P, R ; P, C); P ( Q, K, T; Q, R ); Q ( Q ); P ( P ;, D, J); l z 0 z Q ( Q ); ( P, D, C). W tym rzyadku otatecznie otrzymano rozwiązanie grafowe (dla wierzchołka oczątkowego Q ), które jet wieloznaczne z unktu widzenia kolejnego otrzymywania odgru: 639

5 ({ Q, Q, P, P, Rl, C }), ({ T, Qz},{ K }), ({ Qz},{ K},{ T}), ({ K, Qz},{ T }), { R o}, ({, J},{ D }), ({, D},{ J}). Z równań dynamiki można określić wzajemne owiązania wzytkich funkcji zależnych od czau. W wyniku zaiania i rzerowadzenia rozkładu grafu zależności tych funkcji, otrzymuje ię gruy rozkładu, które trukturalnie oiują właności kolejnych odukładów danego układu mazynowego [4]. 2.1 Graf zależności dla truktur drzewiatych rozgrywających arametrycznie Graf definiuje ię jako uorządkowaną arę zbiorów. Pierwzy z nich zawiera wierzchołki grafu, a drugi kłada ię z krawędzi grafu czyli uorządkowanej ary wierzchołków. Analizowany układ hydrauliczny (ry. 2), kładający ię z elementów ołączonych ze obą w oób umożliwiający rzeływ ygnałów, może być zaiany za omocą grafu zależności dla truktur drzewiatych rozgrywających arametrycznie (ry. 3) [6, 7, 8]. Ry.3. Skierowany graf zależności rzeływu ygnałów Skierowany graf zależności kłada ię ze zbioru wierzchołków V oiujących funkcje zależne od czau: dp d dqz V Q,, P,,, P,, Qz dt dt dt oraz ze zbioru krawędzi A, czyli uorządkowanej ary wierzchołków oiujących arametry kontrukcyjne i/lub ekloatacyjne oraz rzekztałcenia analitycznoalgebraiczne: 640

6 1 D R D 1 K 1 A, dt( P),, dt( ),,, 1,, Rl,, dt( Qz), C J J C R T T 0 Rozkład grafu od wybranego wierzchołka w ierwzym etaie rowadzi do truktury drzewiatej z cyklami, a otem do ogólnej truktury drzewiatej rozgrywającej arametrycznie [7, 8]. Każda ze truktur oiada właściwy zai analityczny: G oraz G i, gdzie i oznacza wierzchołek, od którego dokonano rozkładu grafu. Należy zaznaczyć, że jako wierzchołki oczątkowe wybierane ą tylko te oiujące daną funkcję zależną od czau, a nie jej ochodną (rozkład grafu od dwóch wierzchołków związanych z tą amą wielkością nie wływa na właściwości truktury rozgrywającej arametrycznie, gdyż oba wierzchołki związane ą ze obą ojedynczą krawędzią-decyzją oznaczająca rzekztałcenie analityczne). Zatem zbiór V wierzchołków od których jet możliwy rozkład grafu zależności: V ' Q, P,, P, Q z Rozkładając graf od każdego z wierzchołków otrzymuje ię zbiór D truktur drzewiatych rozgrywających arametrycznie: D GQ, GP, G, GP, GQz i Na ry. 4 i 5 wierzchołków P i rzedtawiono truktury rozgrywające arametrycznie kolejno od P oianych równaniami (6) i (7). 1 1 dp GP P P Q RlP dtp Ro C dt ( ( 1 ( (, ( ) ), (6) K dqz dqz dp ( dtqz(, 1 Q( RlP, ( dtp ) ) ) ) ), T dt T dt C dt D d D dp R d ( dt ( ( dtp ), ) ) ) ) J dt C dt J dt dp D d 5 6 D dp ( ( (, ( ( 1, ( (, (7) GP P Q RlP dtp P dt Ro C dt J dt C dt R d K dqz dqz dp D d ) ) ) ) ), ( dtqz(, 1 Q( RlP, ( dtp( 1 P, ( dt J dt T dt T dt C dt J dt D dp R d (, ) ) ) ) ) ) ) ) ) C dt J dt 641

7 Ry. 4. Struktura drzewiata rozgrywająca arametrycznie od wierzchołka oczątkowego P 642

8 Ry. 5. Struktura drzewiata rozgrywająca arametrycznie od wierzchołka oczątkowego P 3. Komlekowe truktury drzewiate rozgrywające arametrycznie Struktury drzewiate rozgrywające arametrycznie od każdego wierzchołka oczątkowego różnią ię miedzy obą kztałtem i włanościami. Oiują roce decyzyjny i 643

9 rzetrzeń możliwych do uzykania tanów racy układu hydraulicznego o wcześniejzych zmianach arametrów kontrukcyjnych i ekloatacyjnych. Itotną rzeczą jet wyodrębnienie z grafu zależności najważniejzych tanów determinowanych rzez wierzchołki, a także najważniejzych decyzji determinowanych rzez krawędzie. W tym celu buduje ię komlekowe truktury drzewiate. Komlekowa truktura drzewiata rozgrywająca arametrycznie owtaje orzez nałożenie wzytkich truktur drzewiatych rozgrywających arametrycznie od każdego z wierzchołków na trukturę rozgrywającą od utalonego wcześniej wierzchołka. W związku z tym itnieje zbiór S truktur rozrywających arametrycznie: S S, S, S, S, S gdzie n.: GQS GPS G GP GQz S GQ S - oznacza trukturę komlekową owtałą orzez nałożenie wzytkich truktur drzewiatych rozgrywających arametrycznie ze zbioru D na trukturę rozgrywająca arametrycznie od utalonego wcześniej wierzchołkag. Na ry. 6 rzedtawiono komlekową trukturę trukturę S GP. S GP S Q, natomiat na ry. 7 komlekową Ry. 6. Struktura komlekowa S GP 644

10 Ry. 7. Struktura komlekowa S Węzły na komlekowych trukturach drzewiatych odowiadają decyzjom, rzekztałceniom analityczno-algebraicznym i tanom właściwym dla danej truktury rozgrywającej arametrycznie. Jeśli odowiednie fragmenty truktur rozgrywających arametrycznie okrywają ię, wówcza węzeł oiuję koniunkcje takich truktur. Węzeł na trukturze komlekowej będący iloczynem wzytkich elementów ze zbioru D nazywa ię ełnym i oznaczany jet. Na rzykład na trukturze komlekowej S GP GP z ry.7 wytęuje jeden taki węzeł oiany iloczynem GP GQz GQ GP G. Odowiada on wólnej części wzytkich truktur rozgrywających arametrycznie ze zbioru D, rzedtawionej na ry.8. Oznacza to, że niezależnie od jakiego utalonego wcześniej wierzchołka natęuje rozkład kierowanego grafu zależności z ry. 3, roce decyzyjny na ewno będzie rzebiegał orzez elementy z ry. 8. Ponieważ na komlekowych trukturach rozgrywających arametrycznie może być n węzłów ełnych n, dlatego itnieje rodzina B zbiorów ełnych węzłów ze wzytkich truktur zbioru S: B,..., :,..., G G G G G,... 1 n 1 n Q P P Qz 1 2 n. 645

11 Ry. 8. Cześć wólna wzytkich truktur rozgrywających arametrycznie (z ewentualnym rozianiem na oddzielne arametry kontrukcyjno- ekloatacyjne) Należy zaznaczyć, że komlekowe truktury rozgrywające arametrycznie zotały rzedtawione w oób urozczony, gdyż nie zaznaczono na ryunkach (ze względów objętościowych) zczegółowych ojedynczych oznaczeń dla krawędzi jako arametrów kontrukcyjno-ekloatacyjnych rozatrywanego układu hydraulicznego. 4. Wnioki Komlekowe truktury drzewiate rozgrywające arametrycznie mogą być zbudowane od dowolnych utalonych wcześniej wierzchołków oczątkowych, oiujących tany analizowanego układu. Złożoność decyzyjna takich truktur zależy od utalonego wcześniej wierzchołka oczątkowego rozkładu. W zczególności na niektórych komlekowych trukturach drzewiatych rozgrywających arametrycznie mogą itnieć węzły (wierzchołki) złożone ze wzytkich douzczalnych tanów układu, co oznacza możliwość wyznaczenia wólnej części wzytkich truktur rozgrywających arametrycznie. Złożoność decyzyjna komlekowych truktur rozgrywających arametrycznie zachowuje grafikę obiegu informacji dla rzyadku, gdy ołączenia wierzchołkowe zotaną oiane ojedynczymi arametrami kontrukcyjno- ekloatacyjnymi w miejce dołownych oznaczeń według układu równań algebraiczno-różniczkowych. Itnieje możliwość wrowadzenia dalzych modyfikacji oraz uogólnień. Literatura 1. Buchacz A., Comuter Aided Synthei of Bar Sytem Characterized by a Cacade Structure Rereented by Grah; 1t Inter. Confer. on Grah and Mechanic, Utroń 1993 (vol.1), Polit. Ślą., Gliwice Buchacz A., Projektowanie układów rętowych ze względu na zadane widmo czętości, Tran. Przemył. Nr 2(32)- ul./ Cholewa W., Kaźmierczak J., Diagnotyka techniczna mazyn. Przetwarzanie cech ygnałów, kryt nr 1904, Politechnika Śląka, Gliwice, Coner L., Partyka M. A., Alication of dendritic claifier and deendence grah in CAD of deciion rocee with ue of the machine ytem a an examle, 4th Confer.Neural Netw. And Their Alic., Zakoane 1999, Deart. of Comut. Engin.,Techn. Univ. of Czętochowa,Czętochowa Detuła A., Analiza orównawcza otymalnych zmodyfikowanych drzew logicznych w ocenie odorności arametrów układu na zmiany warunków racy; XXXVIII Konf. Zat. Mat., Zakoane 2009, Int. Mat. PAN, Warzawa

12 6. Detuła A, Partyka M.A, Alication of game grah in otimization of dynamic ytem tructure; International Journal of Alied Mechanic and Engineering, 2010, vol.15, No.3, Detuła A., Partyka M. A, Badanie właności dynamicznych układów mazynowych z uwzględnieniem wielokrotnej numeracji wierzchołkowej dla drzew rozgrywających arametrycznie, Naędy i Sterowanie 3/ Detuła A., Partyka M. A, Zatoowanie grafów zależności i drzew rozgrywających arametrycznie w roceie innowacji na rzykładzie układów mazynowych, XIII Konferencja Komuterowo Zintegrowane Zarządzanie; Zakoane 2010, Pol. Tow. Zarz. Prod. PTZP Hong S.I., Otako D. L., On the comlementation of Boolean function, IEEE Tran. Com., 1975, Liki J., Naędy i terowania hydrauliczne, WK i Ł, Warzawa Partyka M.A., An alication of tructural Boolean deciion to the CAD of mechanical ytem. AMSE Confer. Model Simul., Karlruhe 1987, AMSE Period. Model. Sim. Cont., 1988, vol.17, No Partyka M. A., Some remark on the Quine Mc Clukey minimization algorithm of multile- valued artial function for deign tructure, 7th Inter. Cong. Log. Method. Phil. Sc., Salzburg Partyka M. A., The Quine- Mc Clukey minimization algorithm of individual multilevalued artial function for digital control ytem, 3rd Inter. Confer. Syt. Engin., Wright State Univerity, Dayton Kazimierczak J., Teoria gier w cybernetyce, Wiedza Powzechna, Omega, Warzawa Kazimierczak J., Sytem cybernetyczny, Wiedza Powzechna, Omega, Warzawa Wojnarowki J., Buchacz A., Nowak A., Świder J., Modelowanie drgań układów mechanicznych metodami grafów i liczb trukturalnych, Skr. Nr 1266, Polit. Ślą., Gliwice Wojnarowki J., Grafy i liczby trukturalne jako modele układów mechanicznych, Int. Podt. Kont. Maz. Polit. Ślą., Gliwice Prof. dr hab. Marian A. PARTYKA Mgr inż. Adam DEPTUŁA Wydział Inżynierii Produkcji i Logityki Intytut Innowacyjności Proceów i Produktów Katedra Inżynierii Wiedzy Politechnika Oolka Oole, ul. Ozimka 75 tel./fax: (77) ; tel. (77) tel. (77) w a.detula@o.oole.l Praca wółfinanowana ze środków Euroejkiego Funduzu Sołecznego 647