ZMIANA POŁOŻENIA UKŁADU ODWRÓCONEGO WAHADŁA PRZY UŻYCIU STEROWANIA ŚLIZGOWEGO

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "ZMIANA POŁOŻENIA UKŁADU ODWRÓCONEGO WAHADŁA PRZY UŻYCIU STEROWANIA ŚLIZGOWEGO"

Transkrypt

1 Zezyty Nakowe Wydział Elektrotechniki i Atomatyki Politechniki Gdańkiej Nr XXIV Seminarim ZASOSOWANIE KOMPUERÓW W NAUCE I ECHNICE Oddział Gdańki PEiS ZMIANA POŁOŻENIA UKŁADU ODWRÓCONEGO WAHADŁA PRZY UŻYCIU SEROWANIA ŚLIZGOWEGO Miroław OMERA Akademia Morka w Gdyni, Wydział Elektryczny, l. Morka 8, 8-5 Gdynia tel: fax: tomera@am.gdynia.l Strezczenie: W referacie rzedtawione zotało terowanie ślizgowe zatoowane do zmiany ołożenia wózka w kładzie odwróconego wahadła. Obiekt terowania jet nieliniowy, o dwóch toniach wobody (kąt tawienia wahadła i ozycja wózka) i jednym wejści (iła rzyłożona do wózka). Zadanie terowania olega na takim rzemiezczani ołożenia wózka, aby wraz z jego zmianami, ręt wahadła balanował w ołożeni ionowym i nie rzewrócił ię. Model matematyczny obiekt kłada ię z czterech nieliniowych równań tan. Sterowanie ślizgowe zazwyczaj toowane jet do obiektów drgiego rzęd, zaiywanych w otaci zmiennych fazowych. Dlatego też w rzyadk kład odwróconego wahadła konieczna była dekomozycja roblem i zatoowane zotało dwwartwowe terowanie ślizgowe. W części równoważnej terowania rozważone zotały reglatory: liniowo-kwadratowy (LQR) i roorcjonalno-całkjącoróżniczkjący (PID), które ą owzechnie toowane do terowania roceami dynamicznymi. Uzykane kłady terowania ślizgowego ą odorne na wływ działających zakłóceń. Wyniki badań ymlacyjnych okazją efektywność racy zaroonowanych trktr kładów terowania. Słowa klczowe: terowanie ślizgowe, LQR, odwrócone wahadło.. WPROWADZENIE Układ odwróconego wahadła ma właności nieliniowego model czwartego rzęd, jet nietabilny, wielowymiarowy, i może być traktowany jako tyowy roblem terowania do analizowania nowoczenych teorii terowania. Sterowanie tego ty kładami, z życiem metod klaycznych, jet zadaniem tonkowo trdnym. Związane jet to głównie z tym, że jet to roblem nieliniowy o dwóch toniach wobody rch (kąt tawienia ręta wahadła i ozycja wózka) i tylko jednym wejściem terowania [7]. Obecnie toowane ą różne tyy kładów odwróconych wahadeł: liniowe, obrotowe, z ojedynczym rzegbem lb wielorzegbowe []. W niniejzej racy, do rozważań nad algorytmem terowania ślizgowego, rozatrzony zotał liniowy kład odwróconego wahadła z ojedynczym rzegbem, który zotał chematycznie okazany na rynk. Pręt rzytwierdzony jet do wózka, którego droga orzania ię jet ograniczona, i balanje ionowo w wynik iły rzykładanej do wózka. Wózek jet jednocześnie rzemiezczany do ewnego zadanego ołożenia na wojej drodze. Ry.. Układ odwróconego wahadła Celem niniejzej racy jet zarezentowanie metody terowania ślizgowego, zatoowanego do rzemiezczania wózka wraz z rzytwierdzonym, ionowo balanjącym rętem. Główna idea zatoowanego terowania ślizgowego olega na tym, że ygnał terjący jet mą terowania równoważnego e i terowania rzełączającego w []. ( ( ( () e Synteza terowania rzełączającego związana jet z zarojektowaniem tabilnej owierzchni ślizgania, natomiat ynteza terowania równoważnego olega na zarojektowani takiego terowania, które rzerowadzi tany kład na wybraną owierzchnię ślizgania w kończonym czaie. Sterowanie równoważne zajmje ię kierowaniem dynamiką kład, natomiat terowanie rzełączające wa zakłócenia. Jako terowanie równoważne może zotać wybrany dowolny algorytm, który będzie w tanie śledzić trajektorię zadaną z ewną określoną dokładnością. Do realizacji terowania równoważnego wybrane zotały reglatory najczęściej toowane w raktyce: liniowo-kwadratowy (LQR) i roorcjonalno-całkjącoróżniczkjący (PID). Do yntezy arametrów tych reglatorów zatoowany zotał zlinearyzowany model matematyczny kład odwróconego wahadła. Linearyzacja rzerowadzona zotała w nietabilnym nkcie racy, tzn. rzy ionowo tawionym ręcie wahadła, gdyż takiego tan dotyczy cel terowania. W racy dokonano orównania omiędzy zykanymi i badanymi trktrami reglatorów ślizgowych zatoowanych do terowania kładem odwróconego wahadła. Dynamika model i wymagania rojektowe zotały zaczernięte ze trony internetowej Uniwerytet z Michigan []. Artykł recenzowany w

2 . MODEL MAEMAYCZNY UKŁADU ODWRÓCONEGO WAHADŁA Układ odwróconego wahadła kłada ię z wózka z zamocowanym na rzegbie rętem, który chematycznie okazany zotał na rynk. Przemiezczanie ię wózka o maie M natęje od wływem rzykładanej do niego iły F, rzy czym iła ta mi być tak miejętnie rzykładana aby zamocowane na nim wahadło nie rzewróciło ię, czyli nie może odchylić ię od ion o więcej niż o kilka toni... Analiza ił oraz równania rch Równania różniczkowe oijące kład odwróconego wahadła, wyrowadzone zotały dla chemat okazanego na rynk. W cel dokładniejzej analizy ił działających na obiekt, model wahadła rzedtawiony zotał w otaci dwóch wobodnych brył. Zarówno wózek jak i wahadło mają o jednym toni wobody (odowiednio x i θ). Równania różniczkowe zotaną wyrowadzone w oarci o drgą zaadę dynamiki Newtona (F ma). w zależności od ochodnych kąta θ. Najierw wyrowadzone zotaną ochodne w oi x x x Linθ (6) & & x Lθ coθ (7) & x && & θ inθ & θ x L L coθ (8) natęnie ochodne w oi y y L coθ (9) y& & Lθ inθ () & y & θ coθ & θ L L inθ () Podtawiając wyrażenie (8) do zależności (), otrzymje ię równanie oijące iłę N N m( & x L & θ in θ L & θ coθ ) () natomiat o odtawieni wyrażenia () do równania (5), otrzymje ię zależność na iłę P P m( L & θ coθ L& θ inθ g) () Równanie oijące dynamikę rch wózka w oi oziomej zykje ię o odtawieni wyrażenia na iłę N, oianą wzorem () do zależności () Ry.. Iltracja wahadła w otaci dwóch brył Dla rch wzdłżnego, o zmowani ił działających na bryłę wózka w kiernk oziomym, otrzymje ię natęjące równanie rch: M & x Fi F b N () Dynamika rch obrotowego wahadła związana jet z momentami, działającymi kręcająco na ręt wahadła I& θ τ i PL inθ NL coθ () Aby dokładnie określić model dynamiki kład odwróconego wahadła, konieczne jet określenie interakcji ił P i N, działających omiędzy wózkiem i wahadłem. Siły te związane ą z rzemiezczaniem ię środka ręta wahadła w kiernk oziomym x i ionowym y. Dynamika rzemiezczania ię środka ręta wahadła w kiernk oziomym x, oiana jet wzorem natomiat w kiernk ionowym y m & x N () m & y P mg (5) Jednakże wółrzędne ołożenia środka ręta wahadła (x, y ) ściśle ą owiązane z kątem nachylenia wahadła θ. Dlatego też ich ochodne mogą zotać wyrażone ( M m) x bx mlθ co θ ml & & & && θ in θ F () Otateczne równanie oijące dynamikę zmian kąta obrot wahadła zykiwane jet rzez odtawienie wyrowadzonych zależności na iły N () i P () do wzor () ( I ml )& θ mgl in θ mlx & coθ (5).. Nieliniowe równania dynamiczne W cel zamodelowania w rogramach ymlacyjnych, zykanego model matematycznego kład odwróconego wahadła, oianego równaniami () i (5), wyrowadzone zotały nieliniowe równania dynamiczne. W ierwzej kolejności z równania () wyznaczona zotała drga ochodna wółrzędnej x wózka (& ) i zykane wyrażenie odtawione zotało do równania (5). W ten oób zykano natęjące nieliniowe równanie drgiego rzęd ( M m) mgl in θ m L & && θ in θ co θ θ mlb co θ ml co θ F (6) gdzie: I(Mm)mML m L in θ. W odobny oób zykane zotało drgie nieliniowe równanie drgiego rzęd. Z równania (5), wyznaczona zotała drga ochodna kąta wychylenia wahadła (θ & ) i zykane wyrażenie odtawione zotało do równania (). Zezyty Nakowe Wydział Elektrotechniki i Atomatyki PG, ISSN 5-9, Nr /

3 b( I ml ) m gl in θ co θ && x ml( I ml ) & θ in θ ( I ml ) F (7) gdzie: I(Mm)mML m L in θ. Równania (6) i (7) tanowią odtawę do wyrowadzenia nieliniowych równań tan. W tym cel rzyjęto natęjący wektor tan, który rerezentje ołożenia i rędkości wahadła oraz wózka. x [ x & θ (8) x x x ] [ θ x ] Na odtawie równań (6) oraz (7) wyrowadzone zotały nieliniowe równania tan, oijące zależności zachodzące omiędzy wahadłem a wózkiem. mgl( M m) in x.5m L mlb co x x b( I ml ( I ml x & x (9) ) x ml co x in x x () x & x () ) mlx.5m in x gl in x ( I ml ) () gdzie: I(Mm)mML m L in x, natomiat F jet terowaniem olegającym na rzyłożeni określonej iły do wózka... Równania zlinearyzowane Linearyzacja równań tan ozwala na zaianie ich w otaci natęjącego kład macierzowo- wektorowego x &( Αx( B( () y ( Cx ( D( () Linearyzacja nieliniowych równań różniczkowych (9)-() dokonana zotała wokół nkt równowagi wahadła θ π. W tym cel z owyżzych, nieliniowych równań tan nięte zotały kładniki zawierające zmienne tan wytęjące w kwadratach, natomiat fnkcje trygonometryczne zatąione zotały fnkcjami liniowymi w natęjący oób: in θ θ, coθ, in θ inθ coθ θ. Uzykane w ten oób liniowe równania tan zaiano w otaci macierzowej (5). akiej amej linearyzacji oddane zotały ojedyncze równania różniczkowe oijące model matematyczny kład odwróconego wahadła oiane wzorami () i (). W tym rzyadk zykane zotały natęjące równania zlinearyzowane ( I ml )θ & mgl θ mlx & (6) ( M m)&& x b ml & θ (7).. ranmitancje oeratorowe W oarci o zlinearyzowane równania (6) i (7) wyznaczone zotały tranmitancje oeratorowe oijące zależności omiędzy rzyłożoną iłą wzdłżną do wózka F, a zmianą jego wółrzędnych ołożenia x i zmianą kąta wychylenia wahadła θ. W ierwzej kolejności zlinearyzowane równania (6) i (7) oddane zotały rzekztałceni oeratorowem Lalace a ( I ml ) θ ( ) mgl θ ( ) ml X ( ) (8) ( M m) X ( ) bx ( ) ml θ ( ) U ( ) (9) Po wyznaczeni X() z równania (9) i odtawieni zykanej zależności do równania (8) zykano ierwzą tranmitancję θ ( ) U ( ) b( I ml ) ml mgl ( M m) mglb () gdzie: I(Mm)mML. W odobny oób zykana zotała drga tranmitancja oijąca zależność omiędzy iłą wzdłżną rzyłożoną do wózka, a zmianą jego ołożenia. W tym cel z równania (8) wyznaczona zotała zależność na θ() i odtawiona do równania (9) I ml mgl X ( ) () U ( ) b( I ml ) mgl ( M m) mglb gdzie: I(Mm)mML. W dalzych obliczeniach wykorzytane zotały wartości arametrów kład odwróconego wahadła zykane ze trony internetowej [] i arametry te znajdją ię w tablicy. mgl( M m) I( M m) MmL m gl x & I( M m) MmL x ml mlb I M m MmL ( ) x I M m MmL ( ) x ( I ml ) b x I ml I M m MmL ( ) I( M m) MmL (5) Zezyty Nakowe Wydział Elektrotechniki i Atomatyki PG, ISSN 5-9, Nr /

4 ablica. Wartości arametrów kład odwróconego wahadła Zmienna Parametr Wartość Jednotka M Maa wózka.5 kg m Maa wahadła. kg b Wółczynnik tarcia. N/m/ L Dłgość wahadła. m I Bezwładność wahadła.6 kgm g Przyśiezenie ziemkie 9.8 m/. REGULAORY NOMINALNE W odrozdziale tym rzedtawiona zotała ynteza reglatorów nominalnych, wyracowjących równoważną część kładową ygnał terjącego e, dla rojektowanego reglatora ślizgowego działającego w oarci o wzór ()... Reglator LQR W literatrze można znaleźć różne metody wykorzytane do terowania kładem odwróconego wahadła. W tym odrozdziale oiany zotanie reglator LQR (Linear Qadratic Reglator). Do wyznaczenia wzmocnień reglatora LQR e ( Kx( () ozwalającego na rzemiezanie wózka rzy trzymywani ionowego ołożenia ręta wahadła (Ry. ), rzyjęto natęjący model matematyczny kład odwróconego wahadła: ( (.6 ( (.6755 x(.55 x ( x (.88 x (.555 (.88 () x ( x ( y( [ ] ( () x ( x ( Problem reglatora LQR rozwiązywany jet rzy natęjących założeniach [5]:. Wzytkie tany x( ą dotęne, tzn. że ą mierzone rzez czjniki;. Układ jet terowalny i oberwowalny. W cel rawdzenia terowalności i oberwowalności zatoowane zotały fnkcje Matlaba obv(a,c) i ctrb(a,b). Wyniki tych badań wyadły ozytywnie. Reglator LQR zaliczany jet do tzw. terowania otymalnego i wyznaczany jet w oarci o liniowe równania dynamiczne oraz kwadratowy wkaźnik jakości, zaiywany w otaci natęjącej fnkcji Ry.. Schemat blokowy reglatora LQR, wyznaczającego terowanie równoważne J x ( Qx( ( R( dt (5) gdzie QQ oraz RR ą arametrami ważącymi ygnały zmiennych tan oraz ygnałów terjących i zarazem troją reglator. W oarci o oiadane liniowe równania dynamiczne wyznacza ię macierz wzmocnień reglatora LQR K R B S (6) która ozwala na minimalizację kwadratowego wkaźnika jakości (5). Macierz S wyznaczana jet w wynik rozwiązania algebraicznego równania Riccati ego SA A S Q PBR B S (7) Proce minimalizacji kwadratowego wkaźnika jakości (5) obejmje rozwiązanie równania Riccati ego, które to zadanie może zotać wykonane rzy życi fnkcji lr znajdjącej ię w Matlabie (K lr(a,b,q,r)). Wartości arametrów macierzy Q i R zotały wyznaczone rzy życi regły Bryon a ([6], trona 9).6 Q, R (8) Zatoowanie fnkcji Matlaba lr ozwoliło na wyznaczenie natęjących wartości arametrów reglatora K [ ] (9) Dodatkowo jezcze wyznaczone zotało wzmocnienie kaljące ygnał zadany ołożenia wózka, w oarci o natęjące wzory N x N A C B D () N KN.5 () N x Zarojektowany kład terowania zotał zamodelowany w Simlink w kładzie okazanym na rynk. Blok oznaczony jako Układ odwróconego wahadła zawiera model matematyczny obiekt oiany równaniami (9)-(). Zezyty Nakowe Wydział Elektrotechniki i Atomatyki PG, ISSN 5-9, Nr /

5 Ry.. Schemat blokowy reglatora PID-PD, wyznaczającego terowanie równoważne.. Reglator PID-PD Możliwe jet zykanie terowania ołożeniem wózka w kładzie odwróconego wahadła z wykorzytaniem reglatorów ty PID. Wyjściowy ygnał terjący reglatora ty PID jet zazwyczaj wyznaczany na odtawie różnicy omiędzy wartością zadaną i omierzoną wartością wyjściową. W rzyadk kład odwróconego wahadła itnieje konieczność tabilizacji ionowego ołożenia ręta wahadła θ i zadanego ołożenia wózka x, do którego na rzegbie rzytwierdzony jet ręt. Sełnienie tych wymagań wiąże ię z zatoowanie dwóch oddzielnych reglatorów ty PID, o jednym dla każdej wartości zadanej, co zotało okazane na rynk, gdzie K P, K I oraz K D ą odowiednio wzmocnieniami: roorcjonalnym (P), całkjącym (I) i różniczkjącym (D). Do tabilizacji ionowego ołożenia wahadła, zatoowany zotał reglator PID o tranmitancji G PID K I K D K P K I ( ) K P K D () Synteza wartości arametrów tego reglatora rzerowadzona zotała z wykorzytaniem linii ierwiatkowych i tranmitancji oianej wzorem (). W tym cel tranmitancja reglatora () zotała rzekztałcona do otaci oianej wzorem () ( z )( z ) k k( z z ) kzz ( ) k () G PID Wymagania nałożone na rojektowaną odowiedź kokową były natęjące: makymalne rzereglowanie (M P < 5%), cza reglacji (t R < ). Z orównania wółczynników w licznikach wzorów () i () wyznaczone zotały wartości arametrów reglatora PID łżącego do tabilizacji ionowego ołożenia ręta wahadła K P, K I 8 oraz K D. Dobór arametrów reglatora PD do tabilizacji ołożenia wózka x G () PD ( ) K P K D rzerowadzony zotał ręcznie w Simlink, metodą rób i doświadczeń, na model nieliniowym. W tym rzyadk okazało ię, że dynamika model liniowego, oianego tranmitancją () bardzo mocno odbiegała od dynamiki model nieliniowego (7) w tym torze i nie owiodła ię ynteza znanymi metodami analitycznymi. W wynik trojenia ręcznego rzyjęte zotały natęjące wartości arametrów reglatora PD: K P, K D. Po rawdzeni tabilności tranmitancji wyadkowej kład reglacji w torze x, kładającej ię z reglatora PD () i tranmitancji () okazało ię, że jeden biegn znajdje ię w rawej ółłazczyźnie co gerowałoby, że zarojektowany kład reglacji nie owinien racować tabilnie. Jednak w badaniach ymlacyjnych wykazana zotała orawna raca reglatora PD z dobranymi arametrami, który zaewniał tabilne rzemiezczanie ołożenia wózka w kładzie odwróconego wahadła.. REGULAOR PRZEŁĄCZAJĄCY W odrozdziale tym rzedtawiona zotała ynteza terowania rzełączającego e, będąca nieliniową częścią kładową, rojektowanego reglatora ślizgowego, działającego w oarci o wzór (). Sterowanie rzełączające zazwyczaj toowane jet w kładach nieliniowych drgiego rzęd, które w rzetrzeni tanów ą zaiywane w natęjącej otaci kanonicznej x & x ( ) (5a) ( t ( f ( x( ) b( x( ) ( ) (5b) t y ( t ) x ( t ) (5c) gdzie x [x, x ] jet wektorem tan, f(x) oraz b(x) ą fnkcjami nieliniowymi, jet terowaniem. Jednakże, model matematyczny kład odwróconego wahadła kłada ię z czterech równań, które w otaci ogólnej można zaiać natęjąco x & x ( ) (6a) ( t f ( x( ) b ( x( ) ( ) (6b) ( t x & x ( ) (6c) ( t f ( x( ) b ( x( ) ( ) (6d) ( t gdzie x [x, x, x, x ] jet wektorem tan, f (x), f (x) oraz b (x), b (x) ą fnkcjami nieliniowymi, natomiat jet terowaniem. W odrozdziale tym wykorzytana zotanie idea odległości ze znakiem, wyrowadzona w racy [] (rozdział, trona 7). Zezyty Nakowe Wydział Elektrotechniki i Atomatyki PG, ISSN 5-9, Nr /

6 Ry. 5. Schemat blokowy terowania rzełączającego, wykorzytjący dwwartwową owierzchnię ślizgania Dla równania (6) zotaną zdefiniowane dwie linie rzełączania c ( x z x (7) ) oddziałjących na wózek równolegle z iłą terjąca (. Analizowana róba tetowa obejmowała zmianę ołożenia (8) c x x gdzie: x θ θ z, x & θ, x x xz, x. Celem terowania jet rzerowadzanie tan kład do oczątkowego nkt równowagi. Zmienne linii rzełączania i ą toniowo redkowane do zera, w tym amym czaie, rzez zmienną ośrednią z. W równani (7) z jet wartością wyrowadzaną z, wedłg natęjącej zależności z Z at( / Φ) (9) Φ jet wartwą rzełączania zmiennej, natomiat definicja fnkcji at( ) jet natęjąca dla φ at( φ ) φ dla φ < (5) dla φ Sygnał wyjściowy reglatora rzełączającego w wyznaczany jet w oarci o oniżzy wzór w K d K (5) c Zaroonowana trktra reglatora rzełączającego w, wykorzytana do terowania ołożeniem wózka w kładzie odwróconego wahadła, rzedtawiona zotała na rynk 5. W wynik rzerowadzonych badań ymlacyjnych dobrane zotały arametry reglatora rzełączającego c.5, c 5, Φ.5, Z, K. 5. BADANIA ZAPROJEKOWANYCH UKŁADÓW SEROWANIA ŚLIZGOWEGO Złożenie reglatora nominalnego, okazanego na rynk lb oraz reglatora rzełączającego okazanego na rynk 5, daje w efekcie rojektowany reglator ślizgowy. Badania zarojektowanych reglatorów rzerowadzone zotały w środowik obliczeniowym Matlab/Simlink, w kładzie terowania rzedtawionym na rynk 6 i obejmowały dwa rzyadki: (a) brak zakłóceń Z( ; (b) obecność zakłóceń tałych Z(. (, Ry. 6. Schemat blokowy zarojektowanych kładów terowania wózka o metr i rozatrzone zotały cztery tyy reglatorów: (a) reglator LQR bez włączonej części rzełączającej (LQR); (b) reglator LQR z włączoną częścią rzełączającą (LQRSMC); (c) reglator PID-PD bez włączonej części rzełączającej (PID-PD); (d) reglator PID-PD z włączoną częścią rzełączającą (PID-PDSMC). Z reglatorem ślizgowym ma ię do czynienia wówcza gdy włączona jet część rzełączająca. Uzykane wyniki terowania rzy brak zakłócenia rzedtawione zotały na rynk 7, natomiat w obecności zakłócenia okazane zotały na rynk 8. Zmienne wykreślone na tych rynkach (7 i 8) zarejetrowane zotały co. ekndy, zykjąc w ten oób N 5 omierzonych róbek w badanym odcink tabilizacji. Ocena jakości racy rozważanych kładów reglacji olegała na ocenie wkaźników jakości definiowanych na odtawie odowiedzi kokowej i były to: makymalne rzereglowanie M, cza reglacji t R mierzony rzy trefie dokładności %. Dodatkowo na odtawie zarejetrowanych wartości wółrzędnej ołożenia wózka i ygnał terjącego wyznaczone zotały natęjące fnkcjonały: J E N k N e( k) J ( k), (5) k gdzie: e(k) x zad (k) x(k) jet chybem reglacji, natomiat (k) iłą rzykładaną do wózka. Wkaźniki jakości wyznaczone dla rób tetowych bez zakłóceń znajdją ię w tablicy, natomiat z zakłóceniem w tablicy. W badaniach rzerowadzonych w kładzie terowania bez zakłóceń, w róbach rzerowadzonych z dowolnym reglatorem, chyb w tanie talonym był równy zero (e ). Przy czym włączenie części rzełączającej do dowolnego reglatora nominalnego (LQR lb PID-PD) owodowało krócenie cza reglacji. Po dodani zakłócenia o tałej wartości wyniki badań kład terowania z reglatorami nominalnymi charakteryzowały ię Zezyty Nakowe Wydział Elektrotechniki i Atomatyki PG, ISSN 5-9, Nr /

7 niezerowym chybem w tanie talonym. Włączenie części rzełączającej ozwalało na zredkowanie chyb w tanie talonym bardzo bliko zera. Ry. 7. Porównanie wyników terowania ołożeniem kład odwróconego wahadła, rzy brak zakłóceń Ry. 8. Porównanie wyników terowania ołożeniem kład odwróconego wahadła, w obecności zakłóceń Analizjąc wyniki zawarte w tablicach i, widać że najkrótzy cza reglacji (t R ) i najmniejzy całkowy wkaźnik jakości (J E ) związany z dokładnością terowania, zykany zotał dla reglatora ślizgowego w którym część nominalną rerezentował reglator LQR. 6. WNIOSKI KOŃCOWE W rozważanej racy zamiezczone zotało wyrowadzenie model matematycznego kład odwróconego wahadła, zarówno w otaci nieliniowych równań różniczkowych oijących dynamikę wózka i ręta wahadła, jak również wyrowadzenie nieliniowych równań dynamicznych i ich linearyzacja. W oarci o model zlinearyzowany wyrowadzone zotały dwie tranmitancje oeratorowe, ierwza dla zmian kąta tawienia wahadła, natomiat drga dla zmian ołożenia wózka, obydwie od wływem iły rzyłożonej do wózka kład odwróconego wahadła. Uzykane nieliniowe równania dynamiczne zamodelowane zotały w Simlink. Zezyty Nakowe Wydział Elektrotechniki i Atomatyki PG, ISSN 5-9, Nr / 5

8 ablica. Wkaźniki oceny jakości terowania zykane z wykreów czaowych okazanych na rynk 7 (bez zakłóceń) y kład M t R J E J e reglacji [%] [] [-] [-] [-] LQR LQR SMC PID-PD PID-PD SMC ablica. Wkaźniki oceny jakości terowania zykane z wykreów czaowych okazanych na rynk 8 (z zakłóceniami) y kład M t R J E J e reglacji [%] [] [-] [-] [-] LQR LQR SMC PID-PD PID-PD SMC W oarci o zlinearyzowane równania dynamiczne zarojektowany zotał ierwzy reglator nominalny którym był reglator liniowy LQR. Drgim reglatorem nominalnym był reglator PID-PD, kładający ię z ołączenia równoległego: reglatora PID do tabilizacji ionowego ołożenia ręta wahadła i reglatora PD do tabilizacji ołożenia wózka. Synteza reglatora PID dokonana zotała z wykorzytaniem tranmitancji dla tego tor i z zatoowaniem linii ierwiatkowych. Parametry reglatora PD zotały dobrane ręcznie. Wyznaczenie części rzełączającej wymagało dekomozycji owierzchni ślizgania do dwóch wartw, każda z nich zatoowana zotała do oddzielnego tor. Pierwza wartwa do tabilizacji tor związanego z ołożeniem wahadła, natomiat drga do tabilizacji ołożenia wózka. W racy zamiezczone zotały badania reglatora ślizgowego zatoowanego do terowania ozycją wózka w kładzie odwróconego wahadła. Badane były dwie konfigracje reglatora ślizgowego, w ierwzej z nich reglatorem nominalnym był reglator LQR, natomiat w drgim PID-PD. Uzykane wyniki badań orównane zotały z równoważnymi wynikami otrzymanymi z zatoowaniem reglatorów nominalnych będących częścią kładową reglatorów ślizgowych. Wyniki rzerowadzonych badań ozwalają twierdzić, że zatoowanie reglatora ślizgowego ozwala na zykanie lezych wyników terowania, aniżeli zatoowanie amego reglatora LQR lb kład reglatorów PID-PD. W kładzie reglacji z reglatorem ślizgowym z częścią nominalną LQR zykano najleze wyniki, zarówno w rzyadk brak zakłóceń jak i ich obecności chyb był zawze rawie równy zero, jak również cza reglacji (t R ) był najkrótzy. 7. BIBLIOGRAFIA. Banrejee A., Nigam M.J.: Deigning of Proortional Sliding Mode Controller for Linear one Stage Inverted Pendlm, Power Engineering and Electrical Engineering, Vol. 9, No.,. 8-89,.. Bhavar P., Kmar V.: rajectory racking of Linear Inverted Pendlm ing Integral Sliding Mode Control, Intelligent Sytem and Alication, Vol. 6,. -8,.. Carnegie Mellon, Univerity of Michigan, (htt:// Chen S.-Y., Y F.-M., Chng H.-Y.: Decoled fzzy controller deign with ingle-int fzzy logic, Fzzy Set and Sytem, Vol. 9, No.,. 5-,. 5. Eide R., Egelid P.M., Stamo A., Karimi H.R.: LQG Control Deign for Balancing an Inverted Pendlm Mobile Robot, Intelligent Control and Atomation, Vol.,. 6-66,. 6. Franklin G.F., Powell D.J., Emami-Naeini A.: Feedback Control of Dynamic Sytem, 5 th edition, Pearon Prentice Hall, Nair A.N.K, Raja Imail R.M.., Ahmad M.A.: Performance Comarion between Sliding Mode Control (SMC) and PD-PID Controller for a Nonlinear Inverted Pendlm Sytem, World Academy of Science, Enginering and echnology, Vol. 6,. 58-6,. POSIION CHANGING OF INVERED PENDULUM SYSEM USING A SLIDING MODE CONROL Key-word: liding mode control, LQR, inverted endlm. he aer reent liding mode control, which wa ed to change the oition of the cart in the inverted endlm ytem. he lant of control i non-linear, with two degree of freedom (the angle of the endlm and the oition of the car and one int (force alied to the car. he tak i to control the movement of the cart oition to get along with hi change, balancing the endlm rod in the right oition. he mathematical model of the object conit of for nonlinear eation of tate. Sliding mode control i normally alied to the econd-order ytem, reented in the canonical form. herefore, in the cae of an inverted endlm ytem, the decomoition of the roblem wa neceary and two-layer liding mode control wa alied. In the eivalent art of the control, two controller were conidered: linear adratic reglator (LQR) and Proortional-Integral-Derivative (PID), which are commonly ed to control dynamic rocee. he relting liding mode control ytem are robt to the inflence of ditrbance int. he relt of imlation tdie how the effectivene of the work of the rooed trctre of control ytem. 6 Zezyty Nakowe Wydział Elektrotechniki i Atomatyki PG, ISSN 5-9, Nr /

INSTYTUT ENERGOELEKTRYKI POLITECHNIKI WROCŁAWSKIEJ Raport serii SPRAWOZDANIA Nr LABORATORIUM TEORII STEROWANIA INSTRUKCJA LABORATORYJNA

INSTYTUT ENERGOELEKTRYKI POLITECHNIKI WROCŁAWSKIEJ Raport serii SPRAWOZDANIA Nr LABORATORIUM TEORII STEROWANIA INSTRUKCJA LABORATORYJNA Na prawach ręopi do żyt łżbowego INSYU ENERGOELEKRYKI POLIECHNIKI WROCŁAWSKIEJ Raport erii SPRAWOZDANIA Nr LABORAORIUM EORII SEROWANIA INSRUKCJA LABORAORYJNA ĆWICZENIE Nr 4 Minimalnoczaowe terowanie optymalne

Bardziej szczegółowo

interaktywny pakiet przeznaczony do modelowania, symulacji, analizy dynamicznych układów ciągłych, dyskretnych, dyskretno-ciągłych w czasie

interaktywny pakiet przeznaczony do modelowania, symulacji, analizy dynamicznych układów ciągłych, dyskretnych, dyskretno-ciągłych w czasie Simulink Wprowadzenie: http://me-www.colorado.edu/matlab/imulink/imulink.htm interaktywny pakiet przeznaczony do modelowania, ymulacji, analizy dynamicznych układów ciągłych, dykretnych, dykretno-ciągłych

Bardziej szczegółowo

Metody Optymalizacji Laboratorium nr 4 Metoda najmniejszych kwadratów

Metody Optymalizacji Laboratorium nr 4 Metoda najmniejszych kwadratów Laboratorium Metod Optymalizacji 216 Metody Optymalizacji Laboratorium nr 4 Metoda najmniejszych kwadratów 1. Za pomocą funkcji lsqcurvefit dobrać parametry a i b funkcji: Posiadając następujące dane pomiarowe:

Bardziej szczegółowo

Laboratorium Metod i Algorytmów Sterowania Cyfrowego

Laboratorium Metod i Algorytmów Sterowania Cyfrowego Laboratorium Metod i Algorytmów Sterowania Cyfrowego Ćwiczenie 3 Dobór nastaw cyfrowych regulatorów rzemysłowych PID I. Cel ćwiczenia 1. Poznanie zasad doboru nastaw cyfrowych regulatorów rzemysłowych..

Bardziej szczegółowo

Schematy blokowe. Akademia Morska w Gdyni Katedra Automatyki Okrętowej Teoria sterowania. Mirosław Tomera 1. ELEMENTY SCHEMATU BLOKOWEGO

Schematy blokowe. Akademia Morska w Gdyni Katedra Automatyki Okrętowej Teoria sterowania. Mirosław Tomera 1. ELEMENTY SCHEMATU BLOKOWEGO Akademia Morka w dyni Katedra Automatyki Okrętowej Teoria terowania Miroław Tomera. ELEMENTY SCEMATU BLOKOWEO Opi układu przy użyciu chematu blokowego jet zeroko i powzechnie toowany w analizowaniu działania

Bardziej szczegółowo

Stabilność liniowych układów dyskretnych

Stabilność liniowych układów dyskretnych Akademia Morka w Gdyni atedra Automatyki Okrętowej Teoria terowania Miroław Tomera. WPROWADZENIE Definicja tabilności BIBO (Boundary Input Boundary Output) i tabilność zerowo-wejściowa może zotać łatwo

Bardziej szczegółowo

Laboratorium. Sterowanie napędami elektrycznymi zagadnienia wybrane

Laboratorium. Sterowanie napędami elektrycznymi zagadnienia wybrane POLITECHNIKA WROCŁAWSKA INSTYTUT MASZYN, NAPĘDÓW I POMIARÓW ELEKTRYCZNYCH ZAKŁAD NAPĘDU ELEKTRYCZNEGO, MECHATRONIKI I AUTOMATYKI PRZEMYSŁOWEJ Laboratorium Sterowanie napędami elektrycznymi zagadnienia

Bardziej szczegółowo

11. O ROZWIĄZYWANIU ZADAŃ

11. O ROZWIĄZYWANIU ZADAŃ . O ROZWIĄZYWANIU ZADAŃ Oberwowanym w realnym świecie zjawikom rzyiuje ię rote modele idee. Idee te z lezą lub gorzą recyzją odzwierciedlają zjawika świata realnego zjawika fizykalne. Treści zadań rachunkowych

Bardziej szczegółowo

Regulator liniowo kwadratowy na przykładzie wahadła odwróconego

Regulator liniowo kwadratowy na przykładzie wahadła odwróconego Regulator liniowo kwadratowy na przykładzie wahadła odwróconego kwiecień 2012 Sterowanie Teoria Przykład wahadła na wózku Dany jest system dynamiczny postaci: ẋ = f (x, u) (1) y = h(x) (2) Naszym zadaniem

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA WARSZAWSKA WYDZIAŁ SAMOCHODÓW I MASZYN ROBOCZYCH Instytut Podstaw Budowy Maszyn Zakład Mechaniki

POLITECHNIKA WARSZAWSKA WYDZIAŁ SAMOCHODÓW I MASZYN ROBOCZYCH Instytut Podstaw Budowy Maszyn Zakład Mechaniki POLITECHNIKA WARSZAWSKA WYDZIAŁ SAMOCHODÓW I MASZYN ROBOCZYCH Intytut Podtaw Budowy Mazyn Zakład Mechaniki Laboratorium podtaw automatyki i teorii mazyn Intrukcja do ćwiczenia A-5 Badanie układu terowania

Bardziej szczegółowo

DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Rys Model układu

DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Rys Model układu Ćwiczenie 7 DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Cel ćwiczenia Doświadczalne wyznaczenie częstości drgań własnych układu o dwóch stopniach swobody, pokazanie postaci drgań odpowiadających

Bardziej szczegółowo

INSTYTUT ENERGOELEKTRYKI POLITECHNIKI WROCŁAWSKIEJ Raport serii SPRAWOZDANIA Nr LABORATORIUM TEORII I TEHCNIKI STEROWANIA INSTRUKCJA LABORATORYJNA

INSTYTUT ENERGOELEKTRYKI POLITECHNIKI WROCŁAWSKIEJ Raport serii SPRAWOZDANIA Nr LABORATORIUM TEORII I TEHCNIKI STEROWANIA INSTRUKCJA LABORATORYJNA Na prawach rękopiu do użytku łużbowego INSTYTUT ENEROELEKTRYKI POLITECHNIKI WROCŁAWSKIEJ Raport erii SPRAWOZDANIA Nr LABORATORIUM TEORII I TEHCNIKI STEROWANIA INSTRUKCJA LABORATORYJNA ĆWICZENIE Nr SPOSOBY

Bardziej szczegółowo

Metody systemowe i decyzyjne w informatyce

Metody systemowe i decyzyjne w informatyce Metody ytemowe i decyzyjne w informatyce Ćwiczenia lita zadań nr 1 Prote zatoowania równań różniczkowych Zad. 1 Liczba potencjalnych użytkowników portalu połecznościowego wynoi 4 miliony oób. Tempo, w

Bardziej szczegółowo

18. Wprowadzenie do metod analizy i syntezy układów

18. Wprowadzenie do metod analizy i syntezy układów 18. Wprowadzenie do metod analizy i syntezy kładów Metody analizy kładów nieliniowych dzielimy na dwie grpy: przybliżone i ścisłe. 1. Metody przybliżone a) linearyzacja przez rozwinięcie w szereg Taylora,

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE GRAFÓW ZALEŻNOŚCI I DRZEW ROZGRYWAJĄCYCH PARAMETRYCZNIE W PROCESIE INNOWACJI NA PRZYKŁADZIE UKŁADÓW MASZYNOWYCH

ZASTOSOWANIE GRAFÓW ZALEŻNOŚCI I DRZEW ROZGRYWAJĄCYCH PARAMETRYCZNIE W PROCESIE INNOWACJI NA PRZYKŁADZIE UKŁADÓW MASZYNOWYCH ZASTOSOWANIE GRAFÓW ZALEŻNOŚCI I DRZEW ROZGRYWAJĄCYCH PARAMETRYCZNIE W PROCESIE INNOWACJI NA PRZYKŁADZIE UKŁADÓW MASZYNOWYCH Adam DEPTUŁA, Marian A. PARTYKA Strezczenie: W oracowaniu rzedtawiono zatoowanie

Bardziej szczegółowo

EkSPLOATACYjNE badania STANU zdatności TURbiNOWEgO SiLNikA OdRzUTOWEgO

EkSPLOATACYjNE badania STANU zdatności TURbiNOWEgO SiLNikA OdRzUTOWEgO PRACE instytutu LOTNiCTWA 3,. 70-84, Warzawa 0 EkSPLOATACYjNE badania STANU zdatności TURbiNOWEgO SiLNikA OdRzUTOWEgO Karol GolaK, PaWeł lindstedt Intytut Techniczny Wojk Lotniczych Strezczenie Artykuł

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY AUTOMATYKI 2 ĆWICZENIA

PODSTAWY AUTOMATYKI 2 ĆWICZENIA Elektrotechnika Podtawy Automatyki PODSTAWY AUTOMATYKI ĆWICZENIA lita adań nr Tranformata Z Korytając wrot definicji naleźć tranformatę Z funkcji: f f n) 5n n n) f n) n 4 e t f ) n tt f n f e Korytając

Bardziej szczegółowo

Projektowanie układów metodą sprzężenia od stanu - metoda przemieszczania biegunów

Projektowanie układów metodą sprzężenia od stanu - metoda przemieszczania biegunów Uniwersytet Zielonogórski Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Laboratorium Sterowania Procesami Ciągłych Projektowanie układów metodą sprzężenia od stanu - metoda przemieszczania biegunów. Obliczanie

Bardziej szczegółowo

Modelowanie układów dynamicznych

Modelowanie układów dynamicznych Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski Wykład 11 Równania Eulera-Lagrange a Rozważmy układ p punktów materialnych o współrzędnych uogólnionych q i i zdefiniujmy lagranżian

Bardziej szczegółowo

Gazy wilgotne i suszenie

Gazy wilgotne i suszenie Gazy wilgotne i uzenie Teoria gazów wilgotnych dotyczy gazów, które w ąiedztwie cieczy wchłaniają ary cieczy i tają ię wilgotne. Zmiana warunków owoduje, że część ary ulega kroleniu. Najbardziej tyowym

Bardziej szczegółowo

Projekt 9 Obciążenia płata nośnego i usterzenia poziomego

Projekt 9 Obciążenia płata nośnego i usterzenia poziomego Projekt 9 Obciążenia łata nośnego i usterzenia oziomego Niniejszy rojekt składa się z dwóch części:. wyznaczenie obciążeń wymiarujących skrzydło,. wyznaczenie obciążeń wymiarujących usterzenie oziome,

Bardziej szczegółowo

Zad. 4 Oblicz czas obiegu satelity poruszającego się na wysokości h=500 km nad powierzchnią Ziemi.

Zad. 4 Oblicz czas obiegu satelity poruszającego się na wysokości h=500 km nad powierzchnią Ziemi. Grawitacja Zad. 1 Ile muiałby wynoić okre obrotu kuli ziemkiej wokół włanej oi, aby iła odśrodkowa bezwładności zrównoważyła na równiku iłę grawitacyjną? Dane ą promień Ziemi i przypiezenie grawitacyjne.

Bardziej szczegółowo

FALE MECHANICZNE C.D. W przypadku fal mechanicznych energia fali składa się z energii kinetycznej i energii

FALE MECHANICZNE C.D. W przypadku fal mechanicznych energia fali składa się z energii kinetycznej i energii FALE MECHANICZNE CD Gętość energii ruchu alowego otencjalnej W rzyadku al mechanicznych energia ali kłada ię z energii kinetycznej i energii Energia kinetyczna Energia kinetyczna małego elementu ośrodka

Bardziej szczegółowo

Nazwisko i imię: Zespół: Data: Ćwiczenie nr 1: Wahadło fizyczne. opis ruchu drgającego a w szczególności drgań wahadła fizycznego

Nazwisko i imię: Zespół: Data: Ćwiczenie nr 1: Wahadło fizyczne. opis ruchu drgającego a w szczególności drgań wahadła fizycznego Nazwisko i imię: Zespół: Data: Cel ćwiczenia: Ćwiczenie nr 1: Wahadło fizyczne opis ruchu drgającego a w szczególności drgań wahadła fizycznego wyznaczenie momentów bezwładności brył sztywnych Literatura

Bardziej szczegółowo

Sposoby modelowania układów dynamicznych. Pytania

Sposoby modelowania układów dynamicznych. Pytania Sposoby modelowania układów dynamicznych Co to jest model dynamiczny? PAScz4 Modelowanie, analiza i synteza układów automatyki samochodowej równania różniczkowe, różnicowe, równania równowagi sił, momentów,

Bardziej szczegółowo

SILNIK INDUKCYJNY KLATOWY STEROWANY ZE SKALARNEGO FALOWNIKA NAPIĘCIA

SILNIK INDUKCYJNY KLATOWY STEROWANY ZE SKALARNEGO FALOWNIKA NAPIĘCIA SILNIK INDUKCYJNY KLATOWY STEROWANY ZE SKALARNEGO FALOWNIKA NAPIĘCIA 1. odel matematyczny ilnika indkcyjnego Do opi tanów dynamicznych ilników klatkowych toowana jet powzechnie metoda zepolonych wektorów

Bardziej szczegółowo

IDENTYFIKACJA MODELU MATEMATYCZNEGO ROBOTA INSPEKCYJNEGO

IDENTYFIKACJA MODELU MATEMATYCZNEGO ROBOTA INSPEKCYJNEGO MODELOWANIE INśYNIERSKIE ISSN 896-77X 36,. 87-9, liwice 008 IDENTYFIKACJA MODELU MATEMATYCZNEO ROBOTA INSPEKCYJNEO JÓZEF IERIEL, KRZYSZTOF KURC Katedra Mechaniki Stoowanej i Robotyki, Politechnika Rzezowka

Bardziej szczegółowo

Układ uśrednionych równań przetwornicy

Układ uśrednionych równań przetwornicy Układ uśrednionych równań przetwornicy L C = d t v g t T d t v t T d v t T i g t T = d t i t T = d t i t T v t T R Układ jet nieliniowy, gdyż zawiera iloczyny wielkości zmiennych w czaie d i t T mnożenie

Bardziej szczegółowo

Nowa metoda wyprowadzenia praktycznych równań transportu membranowego Kedem-Katchalsky ego

Nowa metoda wyprowadzenia praktycznych równań transportu membranowego Kedem-Katchalsky ego Nowa metoda wyrowadzenia raktycznych równań tranortu membranowego Kedem-Katchalky ego MARIA ARZYŃSKA Technikum Kztałtowania Środowika, Piotrków Trybunalki Strezczenie W racy zaroonowany zotał oryginalny

Bardziej szczegółowo

Opis systemów dynamicznych w przestrzeni stanu. Wojciech Kurek , Gdańsk

Opis systemów dynamicznych w przestrzeni stanu. Wojciech Kurek , Gdańsk Opis systemów dynamicznych Mieczysław Brdyś 27.09.2010, Gdańsk Rozważmy układ RC przedstawiony na rysunku poniżej: wejscie u(t) R C wyjście y(t)=vc(t) Niech u(t) = 2 + sin(t) dla t t 0 gdzie t 0 to chwila

Bardziej szczegółowo

O 2 O 1. Temat: Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego

O 2 O 1. Temat: Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego msg M 7-1 - Temat: Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Zagadnienia: prawa dynamiki Newtona, moment sił, moment bezwładności, dynamiczne równania ruchu wahadła fizycznego,

Bardziej szczegółowo

Instrukcja do laboratorium z fizyki budowli. Ćwiczenie: Pomiar i ocena hałasu w pomieszczeniu

Instrukcja do laboratorium z fizyki budowli. Ćwiczenie: Pomiar i ocena hałasu w pomieszczeniu nstrukcja do laboratorium z fizyki budowli Ćwiczenie: Pomiar i ocena hałasu w omieszczeniu 1 1.Wrowadzenie. 1.1. Energia fali akustycznej. Podstawowym ojęciem jest moc akustyczna źródła, która jest miarą

Bardziej szczegółowo

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Wyznacz transformaty Laplace a poniższych funkcji, korzystając z tabeli transformat: a) 8 3e 3t b) 4 sin 5t 2e 5t + 5 c) e5t e

Bardziej szczegółowo

Rok akademicki: 2030/2031 Kod: RAR n Punkty ECTS: 7. Poziom studiów: Studia I stopnia Forma i tryb studiów: -

Rok akademicki: 2030/2031 Kod: RAR n Punkty ECTS: 7. Poziom studiów: Studia I stopnia Forma i tryb studiów: - Nazwa modułu: Podstawy automatyki Rok akademicki: 2030/2031 Kod: RAR-1-303-n Punkty ECTS: 7 Wydział: Inżynierii Mechanicznej i Robotyki Kierunek: Automatyka i Robotyka Specjalność: - Poziom studiów: Studia

Bardziej szczegółowo

RELACJE KONSTYTUTYWNE SPRĘŻYSTO-LEPKOPLASTYCZNEGO MODELU MATERIAŁU SZWEDOWA

RELACJE KONSTYTUTYWNE SPRĘŻYSTO-LEPKOPLASTYCZNEGO MODELU MATERIAŁU SZWEDOWA MODELOWANIE INŻYNIERSKIE ISSN 896-77X 37,. 73-80, Gliwice 009 RELACJE KONSTYTUTYWNE SPRĘŻYSTO-LEPKOPLASTYCZNEGO MODELU MATERIAŁU SZWEDOWA ARTUR ZBICIAK, WIESŁAW GRZESIKIEWICZ * Wydział Inżynierii Lądowej,

Bardziej szczegółowo

Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych. Sterowanie dławieniowe-równoległe prędkością ruchu odbiornika hydraulicznego

Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych. Sterowanie dławieniowe-równoległe prędkością ruchu odbiornika hydraulicznego Intrukcja o ćwiczeń laboratoryjnych Sterowanie ławieniowe-równoległe rękością ruchu obiornika hyraulicznego Wtę teoretyczny Niniejza intrukcja oświęcona jet terowaniu ławieniowemu równoległemu jenemu ze

Bardziej szczegółowo

Analiza efektywności funduszy obligacji w czasie bessy 2

Analiza efektywności funduszy obligacji w czasie bessy 2 Wioletta Skrodzka 1 Politechnika Czętochowka Analiza efektywności funduzy obligacji w czaie bey 2 Wrowadzenie Pogłębiający ię kryzy w roku 2011 uwidocznił wiele, negatywnych zjawik wynikających z obecnego

Bardziej szczegółowo

Sterowanie optymalne przy kwadratowym wskaźniku jakości (LQR)

Sterowanie optymalne przy kwadratowym wskaźniku jakości (LQR) Uniwersytet Zielonogórski Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Laboratorium Komputerowych Systemów Sterowania Sterowanie optymalne przy kwadratowym wskaźniku jakości (LQR) 1. Wprowadzenie (a)

Bardziej szczegółowo

1. POJĘCIA PODSTAWOWE I RODZAJE UKŁADÓW AUTOMATYKI

1. POJĘCIA PODSTAWOWE I RODZAJE UKŁADÓW AUTOMATYKI Podstawy automatyki / Józef Lisowski. Gdynia, 2015 Spis treści PRZEDMOWA 9 WSTĘP 11 1. POJĘCIA PODSTAWOWE I RODZAJE UKŁADÓW AUTOMATYKI 17 1.1. Automatyka, sterowanie i regulacja 17 1.2. Obiekt regulacji

Bardziej szczegółowo

3. Numeryczne modelowanie procesów krzepnięcia

3. Numeryczne modelowanie procesów krzepnięcia 3. Numeryczne modeowanie roceów krzenięcia Modeowanie numeryczne rzeływów, którym towarzyzą rzemiany fazowe ub rzeływy ze wobodną owierzchnią, wciąż tanowi wyzwanie da naukowców zajmujących ię mechaniką

Bardziej szczegółowo

1. Regulatory ciągłe liniowe.

1. Regulatory ciągłe liniowe. Laboratorium Podstaw Inżynierii Sterowania Ćwiczenie: Regulacja ciągła PID 1. Regulatory ciągłe liniowe. Zadaniem regulatora w układzie regulacji automatycznej jest wytworzenie sygnału sterującego u(t),

Bardziej szczegółowo

i odwrotnie: ; D) 20 km h

i odwrotnie: ; D) 20 km h 3A KIN Kinematyka Zadania tr 1/5 kin1 Jaś opowiada na kółku fizycznym o wojej wycieczce używając zwrotów: A) zybkość średnia w ciągu całej wycieczki wynoiła 0,5 m/ B) prędkość średnia w ciągu całej wycieczki

Bardziej szczegółowo

Automatyka i robotyka ETP2005L. Laboratorium semestr zimowy

Automatyka i robotyka ETP2005L. Laboratorium semestr zimowy Automatyka i robotyka ETP2005L Laboratorium semestr zimowy 2017-2018 Liniowe człony automatyki x(t) wymuszenie CZŁON (element) OBIEKT AUTOMATYKI y(t) odpowiedź Modelowanie matematyczne obiektów automatyki

Bardziej szczegółowo

Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane

Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Szkoła Główna Handlowa 17 maja 2012 Definicja Mówimy, że odwzorowanie F : X R n, gdzie X R n, jest lokalnie

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie M-2 Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Cel ćwiczenia: II. Przyrządy: III. Literatura: IV. Wstęp. l Rys.

Ćwiczenie M-2 Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Cel ćwiczenia: II. Przyrządy: III. Literatura: IV. Wstęp. l Rys. Ćwiczenie M- Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego. Cel ćwiczenia: pomiar przyśpieszenia ziemskiego przy pomocy wahadła fizycznego.. Przyrządy: wahadło rewersyjne, elektroniczny

Bardziej szczegółowo

Podstawy automatyki. Energetyka Sem. V Wykład 1. Sem /17 Hossein Ghaemi

Podstawy automatyki. Energetyka Sem. V Wykład 1. Sem /17 Hossein Ghaemi Podstawy automatyki Energetyka Sem. V Wykład 1 Sem. 1-2016/17 Hossein Ghaemi Hossein Ghaemi Katedra Automatyki i Energetyki Wydział Oceanotechniki i Okrętownictwa Politechnika Gdańska pok. 222A WOiO Tel.:

Bardziej szczegółowo

Fizyka 11. Janusz Andrzejewski

Fizyka 11. Janusz Andrzejewski Fizyka 11 Ruch okresowy Każdy ruch powtarzający się w regularnych odstępach czasu nazywa się ruchem okresowym lub drganiami. Drgania tłumione ruch stopniowo zanika, a na skutek tarcia energia mechaniczna

Bardziej szczegółowo

Rok akademicki: 2014/2015 Kod: RME s Punkty ECTS: 6. Poziom studiów: Studia I stopnia Forma i tryb studiów: -

Rok akademicki: 2014/2015 Kod: RME s Punkty ECTS: 6. Poziom studiów: Studia I stopnia Forma i tryb studiów: - Nazwa modułu: Podstawy automatyki Rok akademicki: 2014/2015 Kod: RME-1-305-s Punkty ECTS: 6 Wydział: Inżynierii Mechanicznej i Robotyki Kierunek: Mechatronika Specjalność: - Poziom studiów: Studia I stopnia

Bardziej szczegółowo

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podstawy Automatyki Badanie i synteza kaskadowego adaptacyjnego układu regulacji do sterowania obiektu o

Bardziej szczegółowo

ODPORNY REGULATOR PD KURSU AUTOPILOTA OKRĘTOWEGO

ODPORNY REGULATOR PD KURSU AUTOPILOTA OKRĘTOWEGO ezek Morawki Akademia Morka w Gdyni ODORNY RGUAOR D KURSU AUOIOA OKRĘOWGO W artykule rozważono problem wrażliwości układu regulacji kuru z regulatorem minimalnowariancyjnym ze względu na wartości parametrów

Bardziej szczegółowo

PRZEMIANY GAZÓW DOSKONAŁYCH I PÓŁDOSKONAŁYCH

PRZEMIANY GAZÓW DOSKONAŁYCH I PÓŁDOSKONAŁYCH Polka Problemy Nauk Stoowanych, 07, om 6, 083 096 Szczecin Prof WSE dr hab inż Benedykt LIKE Wyżza Szkoła echniczno-ekonomiczna w Szczecinie, Wydział ranortu Samochodowego Higher School of echnology and

Bardziej szczegółowo

INSTYTUT FIZYKI JĄDROWEJ im. Henryka Niewodniczańskiego Polskiej Akademii Nauk ul. Radzikowskiego 152, Kraków, Poland.

INSTYTUT FIZYKI JĄDROWEJ im. Henryka Niewodniczańskiego Polskiej Akademii Nauk ul. Radzikowskiego 152, Kraków, Poland. NSTYTUT FZYK JĄDROWEJ im. Henryka Niewodniczańkiego olkiej Akademii Nauk ul. Radzikowkiego 5, 3-34 Kraków, oland. www.ifj.edu.l/reort/003.html Kraków, grudzień 003 Raort Nr 934/E OTYMALZACJA ARAMETRÓW

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. Wykład 2 - podstawy matematyczne. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

Podstawy Automatyki. Wykład 2 - podstawy matematyczne. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki Wykład 2 - podstawy matematyczne Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Wstęp Rzeczywiste obiekty regulacji, a co za tym idzie układy regulacji, mają właściwości nieliniowe, n.p. turbulencje, wiele

Bardziej szczegółowo

Rozszerzony konspekt preskryptu do przedmiotu Teoria Maszyn i Mechanizmów

Rozszerzony konspekt preskryptu do przedmiotu Teoria Maszyn i Mechanizmów Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Rozszerzony konspekt preskryptu do przedmiotu Teoria Maszyn i Mechanizmów Prof. dr hab. inż. Janusz Frączek Instytut

Bardziej szczegółowo

Sterowanie napędów maszyn i robotów

Sterowanie napędów maszyn i robotów Wykład 7b - Układy wieloobwodowe ze sprzężeniem od zmiennych stanu Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2014 Układy wieloobwodowe ze sprzężeniem od zmiennych stanu Zadanie przestawiania Postać modalna

Bardziej szczegółowo

Bryła sztywna. Fizyka I (B+C) Wykład XXIII: Przypomnienie: statyka

Bryła sztywna. Fizyka I (B+C) Wykład XXIII: Przypomnienie: statyka Bryła sztywna Fizyka I (B+C) Wykład XXIII: Przypomnienie: statyka Moment bezwładności Prawa ruchu Energia ruchu obrotowego Porównanie ruchu obrotowego z ruchem postępowym Przypomnienie Równowaga bryły

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

Obiekt. Obiekt sterowania obiekt, który realizuje proces (zaplanowany).

Obiekt. Obiekt sterowania obiekt, który realizuje proces (zaplanowany). SWB - Systemy wbudowane w układach sterowania - wykład 13 asz 1 Obiekt sterowania Wejście Obiekt Wyjście Obiekt sterowania obiekt, który realizuje proces (zaplanowany). Fizyczny obiekt (proces, urządzenie)

Bardziej szczegółowo

KOMPLEKSOWE STRUKTURY ROZGRYWAJĄCE PARAMETRYCZNIE W BADANIU WŁASNOŚCI DYNAMICZNYCH UKŁADÓW MASZYNOWYCH

KOMPLEKSOWE STRUKTURY ROZGRYWAJĄCE PARAMETRYCZNIE W BADANIU WŁASNOŚCI DYNAMICZNYCH UKŁADÓW MASZYNOWYCH KOMPLEKSOWE STRUKTURY ROZGRYWAJĄCE PARAMETRYCZNIE W BADANIU WŁASNOŚCI DYNAMICZNYCH UKŁADÓW MASZYNOWYCH Adam DEPTUŁA, Marian A. PARTYKA Strezczenie: W oracowaniu rzedtawiono zatoowanie grafów zależności

Bardziej szczegółowo

Inżynieria Systemów Dynamicznych (4)

Inżynieria Systemów Dynamicznych (4) Inżynieria Systemów Dynamicznych (4) liniowych (układów) Piotr Jacek Suchomski Katedra Systemów Automatyki WETI, Politechnika Gdańska 2 grudnia 2010 O czym będziemy mówili? 1 2 WE OKREŚLO 3 ASYMPTO 4 DYNAMICZ

Bardziej szczegółowo

Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 10. Dwupunktowe problemy brzegowe (BVP, Boundary Value Problems)

Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 10. Dwupunktowe problemy brzegowe (BVP, Boundary Value Problems) Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 10. Dwupunktowe problemy brzegowe (BVP, Boundary Value Problems) P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2007/08 Wprowadzenie Rozważmy

Bardziej szczegółowo

PORÓWNANIE METOD ESTYMACJI ZMIENNYCH STANU W UKŁADZIE KASKADOWYM DWÓCH ZBIORNIKÓW

PORÓWNANIE METOD ESTYMACJI ZMIENNYCH STANU W UKŁADZIE KASKADOWYM DWÓCH ZBIORNIKÓW Zeszyty Naukowe Wydziału Elektrotechniki i Automatyki Politechniki Gdańskiej Nr 3 XXII Seminarium ZASOSOWANIE KOMPUERÓW W NAUCE I ECHNICE 1 Oddział Gdański PEiS Referat nr 9 PORÓWNANIE MEOD ESYMACJI ZMIENNYCH

Bardziej szczegółowo

Analiza nośności pionowej pojedynczego pala

Analiza nośności pionowej pojedynczego pala Poradnik Inżyniera Nr 13 Aktualizacja: 09/2016 Analiza nośności ionowej ojedynczego ala Program: Plik owiązany: Pal Demo_manual_13.gi Celem niniejszego rzewodnika jest rzedstawienie wykorzystania rogramu

Bardziej szczegółowo

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania. Systemy sterowania i wspomagania decyzji

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania. Systemy sterowania i wspomagania decyzji Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Systemy sterowania i wsomagania decyzji Synteza regulatora wieloobszarowego stabilizującego ołożenie wahadła

Bardziej szczegółowo

Laboratorium układów elektronicznych. Filtry aktywne. Ćwiczenie numer 4. Zagadnienia do przygotowania. Literatura

Laboratorium układów elektronicznych. Filtry aktywne. Ćwiczenie numer 4. Zagadnienia do przygotowania. Literatura Ćwiczenie numer Filtry aktywne agadnienia do rzygotowania odzaje, zatoowania i arametry filtrów aktywnych Tranmitancje filtrów aktywnych II rzędu Tranformacje czętotliwości harakterytyki amlitudowe i fazowe

Bardziej szczegółowo

Politechnika Warszawska Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych Instytut Podstaw Budowy Maszyn Zakład Mechaniki

Politechnika Warszawska Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych Instytut Podstaw Budowy Maszyn Zakład Mechaniki Politechnika Warszawska Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych Instytut Podstaw Budowy Maszyn Zakład Mechaniki http://www.ipbm.simr.pw.edu.pl/ Teoria maszyn i podstawy automatyki semestr zimowy 2017/2018

Bardziej szczegółowo

VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.

VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w

Bardziej szczegółowo

5. Ogólne zasady projektowania układów regulacji

5. Ogólne zasady projektowania układów regulacji 5. Ogólne zaay projektowania ukłaów regulacji Projektowanie ukłaów to proce złożony, gzie wyróżniamy fazy: analizę zaania, projekt wtępny, ientyfikację moelu ukłau regulacji, analizę właściwości ukłau

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE MODUŁU YOUNGA METODĄ STRZAŁKI UGIĘCIA

WYZNACZANIE MODUŁU YOUNGA METODĄ STRZAŁKI UGIĘCIA aboratorium z Fizyki Materiałów 010 Ćwiczenie WYZNCZNIE MODUŁU YOUNG METODĄ STRZŁKI UGIĘCI Zadanie: 1.Za pomocą przyrządów i elementów znajdujących ię w zetawie zmierzyć moduł E jednego pręta wkazanego

Bardziej szczegółowo

1. Funkcje zespolone zmiennej rzeczywistej. 2. Funkcje zespolone zmiennej zespolonej

1. Funkcje zespolone zmiennej rzeczywistej. 2. Funkcje zespolone zmiennej zespolonej . Funkcje zepolone zmiennej rzeczywitej Jeżeli każdej liczbie rzeczywitej t, t α, β] przyporządkujemy liczbę zepoloną z = z(t) = x(t) + iy(t) to otrzymujemy funkcję zepoloną zmiennej rzeczywitej. Ciągłość

Bardziej szczegółowo

Zadania do rozdziału 3. Zad.3.1. Rozważmy klocek o masie m=2 kg ciągnięty wzdłuż gładkiej poziomej płaszczyzny

Zadania do rozdziału 3. Zad.3.1. Rozważmy klocek o masie m=2 kg ciągnięty wzdłuż gładkiej poziomej płaszczyzny Zadania do rozdziału 3. Zad.3.1. Rozważy klocek o aie kg ciągnięty wzdłuż gładkiej pozioej płazczyzny przez iłę P. Ile wynoi iła reakcji F N wywierana na klocek przez gładką powierzchnię? Oblicz iłę P,

Bardziej szczegółowo

Technika regulacji automatycznej

Technika regulacji automatycznej Technika regulacji automatycznej Wykład 1 Wojciech Paszke Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych, Uniwersytet Zielonogórski 1 z 30 Plan wykładu Podstawowe informacje Modele układów elektrycznych

Bardziej szczegółowo

KONKURS PRZEDMIOTOWY Z FIZYKI dla uczniów gimnazjów. Schemat punktowania zadań

KONKURS PRZEDMIOTOWY Z FIZYKI dla uczniów gimnazjów. Schemat punktowania zadań 1 KONKURS PRZEDMIOTOWY Z FIZYKI dla uczniów gimnazjów 10 marca 2017 r. zawody III topnia (finałowe) Schemat punktowania zadań Makymalna liczba punktów 60. 90% 5pkt. Uwaga! 1. Za poprawne rozwiązanie zadania

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE MODUŁU SZTYWNOŚCI METODĄ DYNAMICZNĄ

WYZNACZANIE MODUŁU SZTYWNOŚCI METODĄ DYNAMICZNĄ ĆWICZENIE 12 WYZNACZANIE MODUŁU SZTYWNOŚCI METODĄ DYNAMICZNĄ Cel ćwiczenia: Wyznaczanie modułu sztywności drutu metodą sprężystych drgań obrotowych. Zagadnienia: sprężystość, naprężenie ścinające, prawo

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie nr 4 Badanie zjawiska Halla i przykłady zastosowań tego zjawiska do pomiarów kąta i indukcji magnetycznej

Ćwiczenie nr 4 Badanie zjawiska Halla i przykłady zastosowań tego zjawiska do pomiarów kąta i indukcji magnetycznej Ćwiczenie nr 4 Badanie zjawika alla i przykłady zatoowań tego zjawika do pomiarów kąta i indukcji magnetycznej Opracowanie: Ryzard Poprawki, Katedra Fizyki Doświadczalnej, Politechnika Wrocławka Cel ćwiczenia:

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY AUTOMATYKI 4. Schematy blokowe

PODSTAWY AUTOMATYKI 4. Schematy blokowe Politechnika Warzawka Inttt Atomatki i Robotki Prof. dr hab. inż. Jan Maciej Kościeln PODSTAWY AUTOMATYKI. Schemat blokowe Schemat blokow Schemat blokowe trktralne: przedtawiają wzajemne powiązania pomiędz

Bardziej szczegółowo

W technice często interesuje nas szybkość wykonywania pracy przez dane urządzenie. W tym celu wprowadzamy pojęcie mocy.

W technice często interesuje nas szybkość wykonywania pracy przez dane urządzenie. W tym celu wprowadzamy pojęcie mocy. .. Moc Wykład 5 Informatyka 0/ W technice często interesuje nas szybkość wykonywania racy rzez dane urządzenie. W tym celu wrowadzamy ojęcie mocy. Moc (chwilową) definiujemy jako racę wykonaną w jednostce

Bardziej szczegółowo

Uchyb w stanie ustalonym

Uchyb w stanie ustalonym Akademia Mrka w Gdyni atedra Atmatyki Okrętwej Teria terwania Uchyb w tanie talnym Matlab Mirław Tmera WPOWADZENIE Jedn z najważniejzych wymagań więkzści kładów terwania plega na tym aby w tanie talnym

Bardziej szczegółowo

PF11- Dynamika bryły sztywnej.

PF11- Dynamika bryły sztywnej. Instytut Fizyki im. Mariana Smoluchowskiego Wydział Fizyki, Astronomii i Informatyki Stosowanej Uniwersytetu Jagiellońskiego Zajęcia laboratoryjne w I Pracowni Fizycznej dla uczniów szkół ponadgimnazjalych

Bardziej szczegółowo

SKRYPT STRONY LITERATURA STRONY: 48, 63

SKRYPT STRONY LITERATURA STRONY: 48, 63 LABORATORIUM TEORIA STEROWANIA I TECHNIKA REGULACJI OPIS UKŁADÓW AUTOMATYCZNEJ REGULACJI W PRZESTRZENI STANU Wydział EAIiIB Katedra Energoelektroniki i Automatyki Sytemów Przetwarzania Energii dr inż.

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. Podaj model matematyczny układu jak na rysunku: a) w postaci transmitancji, b) w postaci równań stanu (równań różniczkowych).

Zadanie 1. Podaj model matematyczny układu jak na rysunku: a) w postaci transmitancji, b) w postaci równań stanu (równań różniczkowych). Zadanie Podaj model matematyczny uładu ja na ryunu: a w potaci tranmitancji, b w potaci równań tanu równań różniczowych. a ranmitancja operatorowa LC C b ównania tanu uładu di dt i A B du c u c dt i u

Bardziej szczegółowo

Statyczne charakterystyki czujników

Statyczne charakterystyki czujników Statyczne charakterytyki czujników Określają działanie czujnika w normalnych warunkach otoczenia przy bardzo powolnych zmianach wielkości wejściowej. Itotne zagadnienia: kalibracji hiterezy powtarzalności

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie Metoda bisekcji Metoda regula falsi Metoda siecznych Metoda stycznych RÓWNANIA NIELINIOWE

Wprowadzenie Metoda bisekcji Metoda regula falsi Metoda siecznych Metoda stycznych RÓWNANIA NIELINIOWE Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Zazwyczaj nie można znaleźć

Bardziej szczegółowo

Kinematyka: opis ruchu

Kinematyka: opis ruchu Kinematyka: opis ruchu Fizyka I (B+C) Wykład IV: Ruch jednostajnie przyspieszony Ruch harmoniczny Ruch po okręgu Klasyfikacja ruchów Ze względu na tor wybrane przypadki szczególne prostoliniowy, odbywajacy

Bardziej szczegółowo

Skręcanie prętów naprężenia styczne, kąty obrotu 4

Skręcanie prętów naprężenia styczne, kąty obrotu 4 Skręcanie prętów naprężenia tyczne, kąty obrotu W przypadku kręcania pręta jego obciążenie tanowią momenty kręcające i. Na ry..1a przedtawiono przykład pręta ztywno zamocowanego na ewym końcu (punkt ),

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH Transport, studia I stopnia Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym

Bardziej szczegółowo

REGULACJA KASKADOWA. - - R1(s) + R2(s) 1. Cel ćwiczenia

REGULACJA KASKADOWA. - - R1(s) + R2(s) 1. Cel ćwiczenia REGULACJA KASKADOWA. Cel ćwiczenia Zapoznanie ię z zaadą działania i właściwościami kład Zaprojektowanie kład reglacji kakadowej Przeprowadzenie mlacji prac kład w środowik MATLAB 2. Przebieg ćwiczenia

Bardziej szczegółowo

Problemy optymalizacji układów napędowych w automatyce i robotyce

Problemy optymalizacji układów napędowych w automatyce i robotyce Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Elektroniki Katedra Automatyki Autoreferat rozprawy doktorskiej Problemy optymalizacji układów napędowych

Bardziej szczegółowo

II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia.

II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia. II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia. Definicja 1.1. Niech Q R n, n 1, będzie danym zbiorem i niech f : Q R n będzie daną funkcją określoną na Q. Równanie różniczkowe postaci (1.1) x = f(x),

Bardziej szczegółowo

Funkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji 1-go i 2-go rodzaju

Funkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji 1-go i 2-go rodzaju Funkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji -go i 2-go rodzaju Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu 1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. Karol Cupiał

Podstawy Automatyki. Karol Cupiał Poawy Automatyki Karol Cupiał Czętochowa tyczeń Kierunek Energetyka tudia tacjonarne em. 3 we 3 l3 c Kierunek Mechanika i BM tudia tacjonarne em 4 5 w 3 l Kierunek Mechatronika tudia tacjonarne em. 5 w

Bardziej szczegółowo

Filtry aktywne czasu ciągłego i dyskretnego

Filtry aktywne czasu ciągłego i dyskretnego Politechnika Wrocławka czau ciągłego i dykretnego Wrocław 5 Politechnika Wrocławka, w porównaniu z filtrami paywnymi L, różniają ię wieloma zaletami, np. dużą tabilnością pracy, dokładnością, łatwością

Bardziej szczegółowo

AUTOMATYKA I STEROWANIE LABORATORIUM (Opracował: T. Żabiński, PRz 2009)

AUTOMATYKA I STEROWANIE LABORATORIUM (Opracował: T. Żabiński, PRz 2009) AUTOMATYKA I STEROWANIE LABORATORIUM (Oracował: T. Żabińi, PRz 009) Ćw. Serwomechanizm z modułem rzemiezczenia liniowego 1. Na odtawie ztałtu odowiedzi oowych uładu, oreśl ty terowania (rądowy, naięciowy)

Bardziej szczegółowo

1 Przekształcenie Laplace a

1 Przekształcenie Laplace a Przekztałcenie Laplace a. Definicja i podtawowe właności przekztałcenia Laplace a Definicja Niech dana będzie funkcja f określona na przedziale [,. Przekztałcenie (tranformatę Laplace a funkcji f definiujemy

Bardziej szczegółowo

1 Równania nieliniowe

1 Równania nieliniowe 1 Równania nieliniowe 1.1 Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym jest numeryczne poszukiwanie rozwiązań równań nieliniowych, np. algebraicznych (wielomiany),

Bardziej szczegółowo

Blok 4: Dynamika ruchu postępowego. Równia, wielokrążki, układy ciał

Blok 4: Dynamika ruchu postępowego. Równia, wielokrążki, układy ciał Blok 4: Dynaika ruchu potępowego Równia, wielokrążki, układy ciał I Dynaiczne równania ruchu potępowego Chcąc rozwiązać zagadnienie ruchu jakiegoś ciała lub układu ciał bardzo częto zaczynay od dynaicznych

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM PODSTAW ELEKTROTECHNIKI Badanie silnika indukcyjnego klatkowego

LABORATORIUM PODSTAW ELEKTROTECHNIKI Badanie silnika indukcyjnego klatkowego Ćwiczenie 4 Wydział Geoinżynierii, Górnictwa i Geologii LABORATORIUM PODSTAW ELEKTROTECHNIKI Badanie ilnika indukcyjnego klatkowego Oracował: Grzegorz Wiśniewki Zagadnienia do rzygotowania Rodzaje ilników

Bardziej szczegółowo

Sterowanie ślizgowe zapewniające zbieżność uchybu w skończonym czasie dla napędu bezpośredniego

Sterowanie ślizgowe zapewniające zbieżność uchybu w skończonym czasie dla napędu bezpośredniego Stefan BROCK Politechnika Poznańska, Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej doi:0.599/48.06.05.3 Sterowanie ślizgowe zaewniające zbieżność uchybu w skończonym czasie dla naędu bezośredniego Streszczenie.

Bardziej szczegółowo

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Automatyka zastosowania, metody i narzędzia, perspektywy Synteza systemów sterowania z wykorzystaniem regulatorów

Bardziej szczegółowo