Ci gªy fragment rachunku µ

Ci gªy fragment rachunku µ Marek Czarnecki Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski Wydziaª Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Warszawa, 28 maja 2009

Motywacje 1. Rozwa»amy logiki wzbogacone o operator najmniejszego punktu staªego (modalny rachunek µ, LFP=FO+µ),

Motywacje 1. Rozwa»amy logiki wzbogacone o operator najmniejszego punktu staªego (modalny rachunek µ, LFP=FO+µ), 2. Ci gªy fragment jest silnie powi zany z ci gªo±ci w sensie Scotta,

Motywacje 1. Rozwa»amy logiki wzbogacone o operator najmniejszego punktu staªego (modalny rachunek µ, LFP=FO+µ), 2. Ci gªy fragment jest silnie powi zany z ci gªo±ci w sensie Scotta, 3. Ci gªy fragment jest naturalnym rozszerzeniem PDL,

Motywacje 1. Rozwa»amy logiki wzbogacone o operator najmniejszego punktu staªego (modalny rachunek µ, LFP=FO+µ), 2. Ci gªy fragment jest silnie powi zany z ci gªo±ci w sensie Scotta, 3. Ci gªy fragment jest naturalnym rozszerzeniem PDL, 4. Badanie relacji pomi dzy formuªami ci gªymi, a konstruktywnymi przybli»anie formuª konstruktywnych ci gªymi.

Contents Wst p Skªadnia i semantyka Proste wªasno±ci Automaty i gry dla rachunku µ Ci gªy fragment rachunku µ Ci gªo±, a ci gªo± w sensie Scotta Formuªy konstruktywne i ich zwi zki z ci gªymi Chwytanie ci gªego fragmentu Klasy formuª CF(P X ) CF(p) formuªy ci gªe wzgl dem p

Skªadnia rachunku µ Denicja Prop sko«czony zbiór zmiennych zdaniowych, Var przeliczalny zbiór zmiennych. Formuªy rachunku µ deniujemy indukcyjnie: ϕ T p x ϕ ϕ ϕ ϕ µx.ϕ, gdzie p Prop, x Var oraz ka»de wyst pienie zmiennej x w µx.ϕ poprzedzone jest parzyst ilo±ci negacji. Skróty notacyjne: ϕ ψ, ϕ oraz νx.ϕ s skrótami dla odpowiednio ( ϕ ψ), ϕ oraz µx. ϕ[ x/x].

Modele Kripkego Denicja Ram Kripkego nazywamy par (M, R), gdzie M jest niepustym zbiorem, a R M 2. Modelem Kripkego nazywamy trójk (M, R, V ), gdzie (M, R) jest ram Kripkego, a V : Prop P(M) jest ewaluacj (valuation) zmiennych zdaniowych. Kiedykolwiek zachodzi srt, wtedy t nazwiemy nast pnikiem s. Przez R(s) oznacza b dziemy zbiór nast pników s.

Semantyka Kripkego Dla dowolnej formuªy ϕ rachunku µ, modelu M = (M, R, V ) oraz warto±ciowania (assignment) τ : Var P(M) deniujemy ϕ M,τ podzbiór zbioru M (zbiór punktów, w których ϕ jest prawdziwe). ϕ = T, to ϕ M,τ = M, ϕ = p, to ϕ M,τ = V (p), ϕ = x, to ϕ M,τ = τ(x), ϕ = θ 1 θ 2, to ϕ M,τ = θ 1 M,τ θ 2 M,τ, ϕ = θ, to ϕ M,τ = M θ M,τ, ϕ = θ, to ϕ M,τ = {t M s M (trs s θ M,τ )}, ϕ = µx.θ, to ϕ M,τ = {A M θ M,τ[x:=A] A}, gdzie τ[x := A] to warto±ciowanie τ takie,»e τ (x) = A oraz τ (y) = τ(y), dla x y.

Semantyka cd. wyja±nienia Uwaga µx.ϕ M,τ jest najmniejszym punktem staªym odwzorowania ϕ x : P(M) P(M) zdeniowanego jako ϕ x (A) = ϕ M,τ[x:=A], dla A M. Podobnie deniujemy odwzorowanie ϕ p : P(M) P(M) jako ϕ p (A) = ϕ M[p:=A],τ, gdzie M[p := A] = (M, R, V ) to model taki,»e V (p) = A oraz V (q) = V (q), dla q p.

Konwencje Konwencje notacyjne Dla s ϕ M,τ piszemy M, s τ ϕ i powiemy,»e ϕ jest prawdziwe w s przy warto±ciowaniu τ. Dla zda«pomijamy warto±ciowanie τ. Piszemy ϕ = ψ, gdy dla dowolnych modeli M, punktów s M z M, s ϕ wynika M, s ψ. Denicja Formuªa ϕ jest monotoniczna wzgl dem p je»eli dla dowolnych modeli M = (M, R, V ) oraz dowolnych warto±ciowa«τ i podzbiorów A, B M speªniaj cych A B zachodzi ϕ p (A) ϕ p (B).

Semantyka przez gry Gra semantyczna Niech M = (M, R, V ) b dzie modelem, s M, τ b dzie warto±ciowaniem oraz ϕ b dzie formuª rachunku µ. Gra semantyczna dla M, s, τ, ϕ rozgrywa si mi dzy dwoma graczami: Adamem i Ew. Jest to uogólnienie standardowej gry semantycznej dla logiki modalnej. Pozycje w grze to czwórki: (t, ψ, Z, i), gdzie t M, ψ formuªa, Z n Var Form µ oraz i {0, 1}. Pozycje w których i = 0 s standardowe, natomiast te z i = 1 oznaczaj,»e gracze zamienili si rolami (przeszli±my nieparzy±cie wiele razy przez negacj ). Stan pocz tkowy to (s, ϕ,, 0). Denicja Powiemy,»e y Var jest bardziej na zewn trz od x Var w formule ϕ, gdy ϕ ma podformuª postaci µx.χ(x, y) lub νx.χ(x, y) i y jest wolna w χ.

Gra semantyczna dla rachunku µ (s, T, Z, 0) wygrywa Ewa, (s, x, Z, 0) oraz x nie zostaªa zwi zana je±li s τ(x) wygrywa Ewa, wpp wygrywa Adam, (s, p, Z, 0) je±li s V (p) wygrywa Ewa, wpp wygrywa Adam, (s, θ 1 θ 2, Z, 0) Ewa wybiera pomi dzy (s, θ 1, Z, 0), a (s, θ 2, Z, 0), (s, θ 1 θ 2, Z, 0) Adam wybiera pomi dzy (s, θ 1, Z, 0), a (s, θ 2, Z, 0), (s, ψ, Z, 0) Ewa wybiera (s, ψ, Z, 1), (s, ψ, Z, 0) Ewa wybiera (t, ψ, Z, 0), dla t dowolnego nast pnika s, (s, ψ, Z, 0) Adam wybiera (t, ψ, Z, 0), dla t dowolnego nast pnika s, (s, νx.ψ, Z, 0) Ewa wybiera (s, ψ, Z {(x, ψ)}, 0), (s, µx.ψ, Z, 0) Adam wybiera (s, ψ, Z {(x, ψ)}, 0), (s, x, Z, 0) oraz (x, ψ) Z Ewa wybiera (s, ψ, Z, 0).

Gra semantyczne dla rachunku µ (2) W pozycjach (s, ψ, Z, 1) wszystkie przej±cia si dualizuj (zamieniamy wsz dzie Adam na Ewa i na odwrót). Warunek zwyci stwa W grze niesko«czonej wygrywa Ewa, gdy najbardziej zewn trzna ze zmiennych wyst puj cych w rozgrywce niesko«czenie wiele razy jest zwi zana operatorem ν. Twierdzenie M, s τ ϕ dokªadnie wtedy, gdy Ewa ma strategi wygrywaj c w odpowiedniej grze semantycznej.

Wªasno±ci rachunku µ Uwaga Prawdziwo± zdania w punkcie s zale»y jedynie od punktów dost pnych z s (by mo»e w wi kszej ilo±ci kroków). Fakt ten motywuje do wprowadzenia nast puj cej denicji podmodelu generowanego przez s. Denicja Niech M = (M, R, V ) b dzie modelem. Podzbiór N M jest domkni ty w gór, gdy dla dowolnych s, t M je»eli srt oraz s N, to t N. Model N = (N, S, U) jest podmodelem generowanym w M je»eli N M jest domkni ty w gór, S = R (N N) oraz dla ka»dego p Prop U(p) = V (p) N. Je»eli N M, to powiemy,»e N = (N, S, U) jest podmodelem generowanym przez N je»eli N jest podmodelem generowanym w M oraz N jest najmniejszym domkni tym w gór zbiorem zawieraj cym N.

Wªasno±ci rachunku µ cd. Denicja Punkt s jest korzeniem modelu M = (M, R, V ), gdy dla dowolnego t s istnieje ±cie»ka od s do t (w sensie relacji R). Model M = (M, R, V ) nazwiemy ωrozszerzonym je»eli jest drzewem takim,»e dla dowolnego s M oraz dowolnego jego nast pnika t istnieje niesko«czenie wiele ró»nych bisymilarnych nast pników s. Twierdzenie Niech M = (M, R, V ) b dzie modelem i niech s M. Istnieje ωrozszerzony model M = (M, R, V ) taki,»e s oraz korze«s M s bisymilarne. W szczególno±ci dla dowolnego zdania ϕ rachunku µ M, s ϕ dokªadnie wtedy, gdy M, s ϕ.

µ automaty, µ gry Denicja µautomat A nad sko«czonym alfabetem Σ to krotka (Q, q 0, δ, Ω), gdzie Q jest sko«czony zbiór stanów, q 0 Q jest stanem pocz tkowym, δ : Q Σ PP(Q) jest funkcj przej±cia oraz Ω : Q N jest funkcj parzysto±ci. Dla modelu M = (M, R, V ) wraz z etykietowaniem L : M Σ (L : M P(Prop)) oraz punktu s M Agra w M z pozycj startow (s, q 0 ) rozgrywa si pomi dzy dwoma graczami: Duplikatorem i Spoilerem.

µ gry przebieg rozgrywki Rozgrywka W pozycji (t, q) ruch wykonuje Duplicator: wybiera oznaczenie m : Q P{u : tru}, gdy (u m(q)) powiemy,»e u jest oznaczone przez q, wybiera opis D z δ(q, L(t)), m i D musz speªnia : Gdy q D, istnieje u taki,»e tru oznaczony przez q, Gdy tru, istnieje q D taki,»e u jest oznaczone przez q. Nast pnie Spoiler wybiera (u, q ) takie,»e t m(q ). Ka»dy z graczy wygrywa, gdy przeciwnik nie mo»e wykona ruchu. W niesko«czonych rozgrywkach (s, q 0 ), (s 1, q 1 ),... wygrywa Duplicator, gdy lim inf i Ω(q i ) jest parzyste. Denicja Powiemy,»e automat A akceptuje (M, s), gdy Duplicator ma strategi wygrywaj c w Agrze w M rozpoczynaj cej si w pozycji (s, q 0 ).

Po co nam µ automaty i µ gry? Twierdzenie Dla dowolnego µautomatu A (nad P(Prop)) istnieje zdanie ϕ A takie,»e dla dowolnych modeli M oraz punktów s M A akceptuje (M, s) dokªadnie wtedy, gdy M, s ϕ A. Dla dowolnego zdania ϕ istnieje µautomat A ϕ taki,»e dla dowolnych modeli M oraz punktów s M A ϕ akceptuje (M, s) dokªadnie wtedy, gdy M, s ϕ.

Denicja ci gªego fragmentu Denicja Dla dowolnej zmiennej zdaniowej p formuªa ϕ jest ci gªa wzgl dem p, gdy dla dowolnego modelu M = (M, R, V ), punktu s M oraz warto±ciowania τ zachodzi: M, s τ ϕ dokªadnie wtedy, gdy istnieje sko«czony F V (p) taki,»e M[p := F ], s τ ϕ. Analogicznie deniujemy ci gªo± wzgl dem zmiennej: Formuªa ϕ jest ci gªa wzgl dem zmiennej x, gdy dla dowolnego modelu M = (M, R, V ), punktu s M oraz warto±ciowania τ zachodzi: M, s τ ϕ dokªadnie wtedy, gdy istnieje sko«czony F τ(x) taki,»e M, s τ[x:=f ] ϕ. Uwaga Formuªa jest ci gªa wzgl dem p Prop, gdy jest monotoniczna wzgl dem p oraz by ustali prawdziwo± ϕ w punkcie dowolnego modelu potrzebujemy jedynie informacji o sko«czenie wielu punktach, w których zachodzi p.

Ci gªo± w sensie Scotta Denicja Niech M = (M, R, V ) b dzie modelem. Rodzin F podzbiorów M nazwiemy skierowan, je»eli dla dowolnych U 1, U 2 F istnieje U F taki,»e U 1 U 2 U. Zbiór otwarty w topologii Scotta w P(M) to rodzina O podzbiorów M domkni ta na nadzbiory oraz taka,»e dla dowolnej skierowanej rodziny F takiej,»e F O przeci cie F O jest niepuste. Odwzorowanie f : P(M) P(M) jest ci gªe w sensie Scotta, gdy dla dowolnego zbioru otwartego w sensie Scotta O zbiór f 1 [O] = {f 1 (U) U O} jest otwarty w sensie Scotta. Dla dowolnej zmiennej zdaniowej p zdanie ϕ jest ci gªe w sensie Scotta wzgl dem p, gdy dla dowolnego modelu M = (M, R, V ) odwzorowanie ϕ p : P(M) P(M) jest ci gªe w sensie Scotta.

Ci gªo± w sensie Scotta cd. Fakt Odwzorowanie f jest ci gªe w sensie Scotta dokªadnie wtedy, gdy zachowuje sumy skierowane. Czyli dla dowolnej rodziny skierowanej F zachodzi f ( F) = f [F], gdzie f [F] = {f (U) : U F}.

Ci gªo± w sensie Scotta = ci gªo± Twierdzenie Zdanie jest ci gªe wzgl dem p dokªadnie wtedy, gdy jest ci gªe w sensie Scotta wzgl dem p. Dowód: ( ) Pokazujemy,»e dla ϕ ci gªego wzg dem p ϕ p zachowuje sumy skierowane. Jedna inkluzja wynika z monotoniczno±ci ϕ p. Dowodz c drugiej inkluzji korzystamy z ci gªo±ci ϕ wzgl dem p, by wybra sko«czony podzbiór F F determinuj cy prawdziwo± ϕ. Poniewa» F skierowana istnieje U F takie,»e F U. Z monotoniczno±ci M[p := F ], s ϕ poci ga M[p := U], s ϕ, a poniewa» U F, to M[p := F], s ϕ.

Dowód cd. ( ) Monotoniczno± otrzymujemy bior c dla dowolnych U U rodzin skierowan F = {U, U } na mocy zachowywania przez ϕ p sum skierowanych. Pozostaje, dla M, s ϕ (s ϕ p (V (P))) znale¹ sko«czony podzbiór F V (p) taki,»e M[p := F ], s ϕ. Bierzemy rodzin skierowan F = {F V (p) : F skoczony} i korzystamy z faktu,»e ϕ p zachowuje sumy skierowane. Mamy ϕ p (V (p)) = ϕ p ( F) = ϕ p [F]. Zatem istnieje F F takie,»e s ϕ p (F ).

Konstruktywne formuªy Denicja Dla dowolnej zmiennej zdaniowej p zdanie ϕ jest konstruktywne wzgl dem p, gdy dla dowolnych modeli M = (M, R, V ) najmniejszy punkt staªy odwzorowania ϕ p : P(M) P(M) jest równy i=0 {ϕi p( )}, gdzie ϕ 0 p = ϕ p oraz ϕ i+1 p = ϕ p ϕ i. p

Zdania ci gªe s konstruktywne Twierdzenie Je»eli zdanie ϕ jest ci gªe wzgl dem p, to jest konstruktywne wzgl dem p. Dowód: Rozwa»amy rodzin {ϕ i p( )} i N. Chcemy, by ϕ p ( F) = F. Zauwa»my,»e F jest skierowana. Zatem ϕ p ( F) = ϕ p [F]. Oczywi±cie ϕ p [F] = F.

Przykªady zda«nieci gªych, a konstruktywnych Przykªad 1. ϕ = p. ϕ jest prawdziwe w punktach o gª boko±ci mniejszej ni» 2. Mamy ϕ 2 p( ) = ϕ 3 p( ). Jednak model mo»e mie niesko«czone rozgaª zienie ϕ nie jest ci gªa wzgl dem p. Przykªad 2. ψ = νx.(p x). ψ jest prawdziwe w punktach, z których istnieje niesko«czona ±cie»ka zªo»ona z punktów, w których p jest prawdziwe. Nie jest ci gªe wzgl dem p, natomiast dla wszystkich modeli ψ p ( ) =.

Charakteryzacja skªadniowa ci gªego fragmentu Denicja Niech P Prop oraz X Var. Klas formuª CF(P X ) deniujemy indukcyjnie: ϕ T p x ψ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ µy.χ gdzie p P, x X, ψ jest formuª rachunku µ w której nie wyst puj zmienne z P X oraz χ nale»y do CF(P X {y}). Fakt Klasy formuª CF(P X ) s domkni te na zªo»enia, to znaczy: dla dowolnej formuªy ϕ CF(P X {p}) oraz formuªy ψ CF(P X ) zachodzi ϕ[ψ/p] CF(P X ).

Zdania z CF(p) s ci gªe wzgl dem p Dowód: Indukcja ze wzgl du na budow ϕ pokazujemy,»e dla dowolnych P Prop oraz X Var je»eli ϕ CF(P X ), to ϕ ci gªa wzgl dem wszystkich p P oraz x X. Krok indukcyjny: ϕ = µy.χ, gdzie χ CF(P X {y}), p P. Pokazuj c monotoniczno± ϕ p korzystamy jedynie z monotoniczno±ci χ y. Pozostaje znale¹ sko«czony F V (p) determinuj cy prawdziwo± ϕ. Rozwa»amy F rodzin sko«czonych podzbiorów V (p).

Dowód cd. Niech χ F y (A) = χ M[p:=F ],τ[y:=a] i niech f (F ) b dzie najmniejszym punktem staªym χ F y (A). Przy zaªo»eniu,»e M, s τ µy.χ szukamy F F takiego,»e s f (F ). We¹my G = {f (F ) : F F}. G jest rodzin skierowan. Wystarczy pokaza,»e χ y ( G) = χ y (G). Pokazujemy to korzystaj c z zaªo»enia indukcyjnego o ci gªo±ci χ wzgl dem y oraz p.

CF(p) formuªy ci gªe wzgl dem p. Twierdzenie Zdanie ϕ jest ci gªe wzgl dem p dokªadnie wtedy, gdy jest równowa»ne zdaniu z CF(p). Dowód: Wystarczy pokaza implikacj w praw stron. Niech ϕ b dzie ci gªe wzgl dem p. Szukamy χ CF(p) równowa»nego ϕ. B dziemy konstruowa sko«czony zbiór Π CF(p) taki,»e: ϕ {ψ : ψ Π oraz ψ = ϕ} df χ Zbiór Π budujemy przy pomocy automatów o co najwy»ej k stanach (k zale»y od ϕ).

Do ilustanowych automatów mo»emy si ograniczy? dowód cd. Niech A = (Q, q 0, δ, ω) b dzie µautomatem zwi zanym ze zdaniem ϕ. Dla q Q niech ϕ q b dzie zdaniem otrzymanym z A przez zamian stanu pocz tkowego z q 0 na q. Deniujemy nast puj cy zbiór zda«sort0: {p : p Prop {p}, p σ} { p : p Prop {p}, p σ} dla σ Prop {p}. Dla dowolnego punktu s M w Sort0 istnieje dokªadnie jedna formuªa prawdziwa w s.

Do ilustanowych automatów mo»emy si ograniczy? (2) dowód cd. Nast pnie deniujemy zbiór zda«sort1: {ϕq [ /p] : q S]} { ϕ q [ /p] : q S} dla S Q. Wreszcie Sort2 to zbiór zda«postaci α Ψ, dla α Sort0 oraz Ψ Sort1, natomiast X = { ϕ : ϕ X } X. Podobnie jak w przypadku Sort0 w Sort1 oraz w Sort2 w dowolnym modelu i punkcie s jest dokªadnie jedno prawdziwe w s zdanie z Sort1 i jedno z Sort2. Zauwa»my,»e Sort0, Sort1, Sort2 s zbiorami zda«nie zawieraj cych p.

Do ilustanowych automatów mo»emy si ograniczy? (3) dowód cd. Wreszcie deniujemy Π jako zbiór zda«z CF(p) odpowiadaj cych µautomatom o co najwy»ej Sort2 2 Q +1. Poniewa» automatów tych jest sko«czenie wiele, Π jest sko«czony. Pozostaje pokaza,»e ϕ {ψ : ψ Π oraz ψ = ϕ}. Wynikanie w lewo jest oczywiste.

ϕ {ψ : ψ Π oraz ψ = ϕ} Zaªó»my,»e dla pewnego modelu M = (M, R, V ) i punktu s M zachodzi M, s ϕ. Szukamy ψ Π takiego,»e ψ = ϕ oraz M, s ψ. Dokªadniej chcemy skonstruowa automat o co najwy»ej Sort2 2 Q +1 stanach A odpowiadaj cy formule z CF(p) taki,»e A akceptuje (M, s), oraz A A, czyli dla dowolnych M, s M je»eli A akceptuje (M, s ), to A te».

Konstrukcja A Mo»emy zaªo»y,»e M jest ωrozszerzonym drzewem o korzeniu s. Poniewa», ϕ jest ci gªe wzgl dem p istnieje sko«czony podzbiór F V (p) takie,»e M[p := F ], s ϕ. We¹my T namniejszy domkni ty w dóª nadzbiór F. Chcemy, by zbiorem stanów A byª T {a T }, jednak zbiór ten mo»e mie za du» moc. Musimy zatem wyekstrahowa z ka»dego punktu z T potrzebn nam informacj i uto»sami te punkty, które nios te same informacje.

Konstrukcja A (2) Dla t M[p := F ]: s2(t) jedyne zdanie z Sort2 prawdziwe w t, col(t) kolor t: wynosi 1 gdy t F i 0 wpp, Q(t) = {q Q : M[p := F ], t ϕ q }, r(t) (s2(t), Q(t), col(t)), gdy t T oraz a T wpp. A = (Q, q 0, δ, Ω ) to µautomat nad sªownikiem Sort2 {0, 1}, Q = {r(t) : t T } {a T }, q 0 = r(s),

Funkcja przej±cia i parzysto±ci A {r[r(u)] : u T i r(u) = r(t)} δ (q, (σ, i)) = {{a T }, } gdy q = r(t), σ = s2(t), i = col(t) q = a T wpp. Ω (a T ) = 0, Ω (q ) = 1, dla q a T. Zatem aby Duplicator wygraª niesko«czon rozgrywk musi doj± do a T i tam ju» pozosta, w przeciwnym wypadku przegrywa.

Nast pnie automoat A tªumaczymy na zdanie ψ, które ma by równowa»ne formule z Π. Musimy si upewni, by otrzymana z A formuªa nie posiadaªa p ani»adnej z zmiennej w zasi gu operatora w tym celu deniuje si odpowiednie jej tªumaczenie (jest ono podane eksplicite, jednak dowód poprawno±ci jest koszmarnie dªugi).

M, s ψ i ψ = ϕ Dla M, s ϕ indukcyjnie deniuje si strategi wygrywaj c dla Duplikatora w A grze. Dla ψ = ϕ pokazujemy w jaki sposób ze zbudowa strategi wygrywaj c Duplikatora w A grze, korzystaj c ze stategii uzyskanej wy»ej, dla A gry.

Rozstrzygalno± przynale»no±ci do ci gªego fragmentu Twierdzenie Rozsztrzygalny jest problem, czy dana formuªa jest ci gªa wzgl dem p. Dowód: Ustalmy p. Korzystaj c z dowodu poprzedniego twierdzenia wystarczy obliczy zbiór Π odpowiadaj cy automatom o co najwy»ej Sort2 2 Q +1 stanach. Nast pnie znajdujemy wszystkie jego podzbiory Ψ i sprawdza czy ϕ Ψ. Poniewa» rachunek µ jest sko«czenie aksjomatyzowalny i ma wªasno± sko«czonych modeli mo»na rozstrzyga czy ϕ jest równowa»ne Ψ. Zªo»ono± algorytmu rozstrzygania 4EXPTIME.

Podsumowanie Mo»na efektywnie i bezstratnie tªumaczy formuªy rachunku µ na automaty i na odwrót,

Podsumowanie Mo»na efektywnie i bezstratnie tªumaczy formuªy rachunku µ na automaty i na odwrót, Poj cie ci gªo±ci w rachunku µ pokrywa si z poj ciem ci gªo±ci w sensie Scotta,

Podsumowanie Mo»na efektywnie i bezstratnie tªumaczy formuªy rachunku µ na automaty i na odwrót, Poj cie ci gªo±ci w rachunku µ pokrywa si z poj ciem ci gªo±ci w sensie Scotta, Istnieje charakterystyka skªadniowa ci gªego fragmentu rachunku µ,

Podsumowanie Mo»na efektywnie i bezstratnie tªumaczy formuªy rachunku µ na automaty i na odwrót, Poj cie ci gªo±ci w rachunku µ pokrywa si z poj ciem ci gªo±ci w sensie Scotta, Istnieje charakterystyka skªadniowa ci gªego fragmentu rachunku µ, Rozstrzygalny jest problem, czy zdanie jest ci gªe,

Podsumowanie Mo»na efektywnie i bezstratnie tªumaczy formuªy rachunku µ na automaty i na odwrót, Poj cie ci gªo±ci w rachunku µ pokrywa si z poj ciem ci gªo±ci w sensie Scotta, Istnieje charakterystyka skªadniowa ci gªego fragmentu rachunku µ, Rozstrzygalny jest problem, czy zdanie jest ci gªe, Ka»de zdanie ci gªe jest konstruktywne, ale nie na odwrót.

Problemy otwarte i prawie zamkni te: Czy dla dowolnej formuªy konstruktywnej (wzgl dem p) ψ istnieje ci gªa ϕ taka,»e µp.ϕ µp.ψ?

Problemy otwarte i prawie zamkni te: Czy dla dowolnej formuªy konstruktywnej (wzgl dem p) ψ istnieje ci gªa ϕ taka,»e µp.ϕ µp.ψ? Czy rozstrzygalny jest problem konstruktywno±ci formuªy?

Problemy otwarte i prawie zamkni te: Czy dla dowolnej formuªy konstruktywnej (wzgl dem p) ψ istnieje ci gªa ϕ taka,»e µp.ϕ µp.ψ? Czy rozstrzygalny jest problem konstruktywno±ci formuªy? Czy konstrukcj automatu A z gªównego twierdzenia mo»na uniezale»ni od modeli i punktów (aby otrzyma ni»sze górne ograniczenie na zªo»ono± algorytmu rozstrzygaj cego przynale»no± do ci gªego fragmentu?

G. Fontaine Continuous fragment of the µcalculus. CSL 2008: 139153. D. Niwi«ski Mu-calculus via games (extended abstract). CSL 2002: 2743. D. Niwi«ski, A. Arnold Rudiments of mu-calculus. North Holland 2001.

Dzi kuj za uwag