Logika pierwszego rz du. Sposób u»ycia. Tautologie, sposoby u»ywania logiki pierwszego rz du, zwi zki z j zykiem naturalnym
|
|
|
- Sabina Popławska
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Logika pierwszego rz du. Sposób u»ycia. Tautologie, sposoby u»ywania logiki pierwszego rz du, zwi zki z j zykiem naturalnym
2 Kilka wa»nych tautologii 1 x(ϕ ψ) ( xϕ xψ);
3 Kilka wa»nych tautologii 1 x(ϕ ψ) ( xϕ xψ); 2 xϕ ϕ, o ile x FV (ϕ);
4 Kilka wa»nych tautologii 1 x(ϕ ψ) ( xϕ xψ); 2 xϕ ϕ, o ile x FV (ϕ); 3 ϕ(s/x) xϕ;
5 Kilka wa»nych tautologii 1 x(ϕ ψ) ( xϕ xψ); 2 xϕ ϕ, o ile x FV (ϕ); 3 ϕ(s/x) xϕ; 4 xϕ x ϕ;
6 Kilka wa»nych tautologii 1 x(ϕ ψ) ( xϕ xψ); 2 xϕ ϕ, o ile x FV (ϕ); 3 ϕ(s/x) xϕ; 4 xϕ x ϕ; 5 xϕ x ϕ;
7 Kilka wa»nych tautologii 1 x(ϕ ψ) ( xϕ xψ); 2 xϕ ϕ, o ile x FV (ϕ); 3 ϕ(s/x) xϕ; 4 xϕ x ϕ; 5 xϕ x ϕ;
8 Kilka wa»nych tautologii 1 x(ϕ ψ) ( xϕ xψ); 2 xϕ ϕ, o ile x FV (ϕ); 3 ϕ(s/x) xϕ; 4 xϕ x ϕ; 5 xϕ x ϕ; 6 x(ϕ ψ) xϕ xψ;
9 Kilka wa»nych tautologii 1 x(ϕ ψ) ( xϕ xψ); 2 xϕ ϕ, o ile x FV (ϕ); 3 ϕ(s/x) xϕ; 4 xϕ x ϕ; 5 xϕ x ϕ; 6 x(ϕ ψ) xϕ xψ;
10 Kilka wa»nych tautologii 1 x(ϕ ψ) ( xϕ xψ); 2 xϕ ϕ, o ile x FV (ϕ); 3 ϕ(s/x) xϕ; 4 xϕ x ϕ; 5 xϕ x ϕ; 6 x(ϕ ψ) xϕ xψ; 7 x(ϕ ψ) xϕ xψ;
11 Kilka wa»nych tautologii 1 x(ϕ ψ) ( xϕ xψ); 2 xϕ ϕ, o ile x FV (ϕ); 3 ϕ(s/x) xϕ; 4 xϕ x ϕ; 5 xϕ x ϕ; 6 x(ϕ ψ) xϕ xψ; 7 x(ϕ ψ) xϕ xψ; 8 x(ϕ ψ) ϕ xψ, o ile x FV (ϕ);
12 Kilka wa»nych tautologii 1 x(ϕ ψ) ( xϕ xψ); 2 xϕ ϕ, o ile x FV (ϕ); 3 ϕ(s/x) xϕ; 4 xϕ x ϕ; 5 xϕ x ϕ; 6 x(ϕ ψ) xϕ xψ; 7 x(ϕ ψ) xϕ xψ; 8 x(ϕ ψ) ϕ xψ, o ile x FV (ϕ); 9 x(ϕ ψ) ϕ xψ, o ile x FV (ϕ);
13 Kilka wa»nych tautologii 1 x(ϕ ψ) ( xϕ xψ); 2 xϕ ϕ, o ile x FV (ϕ); 3 ϕ(s/x) xϕ; 4 xϕ x ϕ; 5 xϕ x ϕ; 6 x(ϕ ψ) xϕ xψ; 7 x(ϕ ψ) xϕ xψ; 8 x(ϕ ψ) ϕ xψ, o ile x FV (ϕ); 9 x(ϕ ψ) ϕ xψ, o ile x FV (ϕ); 10 xϕ xϕ;
14 Kilka wa»nych tautologii 1 x(ϕ ψ) ( xϕ xψ); 2 xϕ ϕ, o ile x FV (ϕ); 3 ϕ(s/x) xϕ; 4 xϕ x ϕ; 5 xϕ x ϕ; 6 x(ϕ ψ) xϕ xψ; 7 x(ϕ ψ) xϕ xψ; 8 x(ϕ ψ) ϕ xψ, o ile x FV (ϕ); 9 x(ϕ ψ) ϕ xψ, o ile x FV (ϕ); 10 xϕ xϕ; 11 x yϕ y xϕ;
15 Kilka wa»nych tautologii 1 x(ϕ ψ) ( xϕ xψ); 2 xϕ ϕ, o ile x FV (ϕ); 3 ϕ(s/x) xϕ; 4 xϕ x ϕ; 5 xϕ x ϕ; 6 x(ϕ ψ) xϕ xψ; 7 x(ϕ ψ) xϕ xψ; 8 x(ϕ ψ) ϕ xψ, o ile x FV (ϕ); 9 x(ϕ ψ) ϕ xψ, o ile x FV (ϕ); 10 xϕ xϕ; 11 x yϕ y xϕ; 12 x yϕ y xϕ;
16 Kilka wa»nych tautologii 1 x(ϕ ψ) ( xϕ xψ); 2 xϕ ϕ, o ile x FV (ϕ); 3 ϕ(s/x) xϕ; 4 xϕ x ϕ; 5 xϕ x ϕ; 6 x(ϕ ψ) xϕ xψ; 7 x(ϕ ψ) xϕ xψ; 8 x(ϕ ψ) ϕ xψ, o ile x FV (ϕ); 9 x(ϕ ψ) ϕ xψ, o ile x FV (ϕ); 10 xϕ xϕ; 11 x yϕ y xϕ; 12 x yϕ y xϕ; 13 x yϕ y xϕ.
17 Preneksowa posta normalna Formuªa ϕ jest w preneksowej postaci normalnej, gdy ϕ = Q 1 y 1 Q 2 y 2... Q n y n ψ gdzie ka»de z Q i to lub, a ψ jest formuª otwart.
18 Preneksowa posta normalna Formuªa ϕ jest w preneksowej postaci normalnej, gdy ϕ = Q 1 y 1 Q 2 y 2... Q n y n ψ gdzie ka»de z Q i to lub, a ψ jest formuª otwart. Fakt Dla ka»dej formuªy pierwszego rz du istnieje równowa»na jej formuªa w preneksowej postaci normalnej.
19 Preneksowa posta normalna Formuªa ϕ jest w preneksowej postaci normalnej, gdy ϕ = Q 1 y 1 Q 2 y 2... Q n y n ψ gdzie ka»de z Q i to lub, a ψ jest formuª otwart. Fakt Dla ka»dej formuªy pierwszego rz du istnieje równowa»na jej formuªa w preneksowej postaci normalnej. Formuªa yp(y) zq(z) jest równowa»na ka»dej z nast puj cych formuª:
20 Preneksowa posta normalna Formuªa ϕ jest w preneksowej postaci normalnej, gdy ϕ = Q 1 y 1 Q 2 y 2... Q n y n ψ gdzie ka»de z Q i to lub, a ψ jest formuª otwart. Fakt Dla ka»dej formuªy pierwszego rz du istnieje równowa»na jej formuªa w preneksowej postaci normalnej. Formuªa yp(y) zq(z) jest równowa»na ka»dej z nast puj cych formuª: 1 y p(y) z q(z);
21 Preneksowa posta normalna Formuªa ϕ jest w preneksowej postaci normalnej, gdy ϕ = Q 1 y 1 Q 2 y 2... Q n y n ψ gdzie ka»de z Q i to lub, a ψ jest formuª otwart. Fakt Dla ka»dej formuªy pierwszego rz du istnieje równowa»na jej formuªa w preneksowej postaci normalnej. Formuªa yp(y) zq(z) jest równowa»na ka»dej z nast puj cych formuª: 1 y p(y) z q(z); 2 y p(y) z q(z);
22 Preneksowa posta normalna Formuªa ϕ jest w preneksowej postaci normalnej, gdy ϕ = Q 1 y 1 Q 2 y 2... Q n y n ψ gdzie ka»de z Q i to lub, a ψ jest formuª otwart. Fakt Dla ka»dej formuªy pierwszego rz du istnieje równowa»na jej formuªa w preneksowej postaci normalnej. Formuªa yp(y) zq(z) jest równowa»na ka»dej z nast puj cych formuª: 1 y p(y) z q(z); 2 y p(y) z q(z); 3 y( p(y) z q(z));
23 Preneksowa posta normalna Formuªa ϕ jest w preneksowej postaci normalnej, gdy ϕ = Q 1 y 1 Q 2 y 2... Q n y n ψ gdzie ka»de z Q i to lub, a ψ jest formuª otwart. Fakt Dla ka»dej formuªy pierwszego rz du istnieje równowa»na jej formuªa w preneksowej postaci normalnej. Formuªa yp(y) zq(z) jest równowa»na ka»dej z nast puj cych formuª: 1 y p(y) z q(z); 2 y p(y) z q(z); 3 y( p(y) z q(z)); 4 y z( p(y) q(z));
24 Preneksowa posta normalna Formuªa ϕ jest w preneksowej postaci normalnej, gdy ϕ = Q 1 y 1 Q 2 y 2... Q n y n ψ gdzie ka»de z Q i to lub, a ψ jest formuª otwart. Fakt Dla ka»dej formuªy pierwszego rz du istnieje równowa»na jej formuªa w preneksowej postaci normalnej. Formuªa yp(y) zq(z) jest równowa»na ka»dej z nast puj cych formuª: 1 y p(y) z q(z); 2 y p(y) z q(z); 3 y( p(y) z q(z)); 4 y z( p(y) q(z)); 5 y z(p(y) q(z)).
25 Logika formalna i j zyk polski Ka»dy cyrulik sewilski goli tych wszystkich m»czyzn w Sewilli, którzy si sami nie gol. Ale nie goli»adnego z tych, którzy gol si sami. A zatem w Sewilli nie ma ani jednego cyrulika.
26
27 Implikacja materialna i zwi zek przyczynowo-skutkowy Implikacja w logice klasycznej to implikacja materialna. Warto± logiczna ϕ ψ zale»y wyª cznie od warto±ci logicznych przypisanych ϕ i ψ. To nie jest zwi zek przyczynowo-skutkowy ani nast pstwo chronologiczne. W j zyku polskim stwierdzenie je±li ϕ to ψ oczywi±cie sugeruje zwi zek przyczynowo-skutkowy: Je±li zasilanie jest wª czone, to terminal dziaªa. Implikacja materialna nie zachodzi; materialn prawd jest Je±li terminal dziaªa to zasilanie jest wª czone.
28 Implikacja materialna i zwi zek przyczynowo-skutkowy Implikacja w logice klasycznej to implikacja materialna. Warto± logiczna ϕ ψ zale»y wyª cznie od warto±ci logicznych przypisanych ϕ i ψ. To nie jest zwi zek przyczynowo-skutkowy ani nast pstwo chronologiczne. W j zyku polskim stwierdzenie je±li ϕ to ψ oczywi±cie sugeruje zwi zek przyczynowo-skutkowy: Je±li zasilanie jest wª czone, to terminal dziaªa. Implikacja materialna nie zachodzi; materialn prawd jest Je±li terminal dziaªa to zasilanie jest wª czone. Terminal dziaªa, poniewa» zasilanie jest wª czone, stwierdza zwi zek przyczynowo-skutkowy i faktyczne zaj±cie wymienionych zdarze«i jest niewyra»alne w logice klasycznej.
29 Konfuzje skªadniowe: kwantykacja Ka»dy kot ma w sy. Pewien kot ma w sy.
30 Konfuzje skªadniowe: kwantykacja Ka»dy kot ma w sy. Pewien kot ma w sy. x(kot(x) MaW sy(x)); x(kot(x) MaW sy(x)).
31 Konfuzje skªadniowe: negacja Liczba n jest parzysta; Liczba n jest dwukrotno±ci pewnej liczby oznaczaj to samo.
32 Konfuzje skªadniowe: negacja Liczba n jest parzysta; Liczba n jest dwukrotno±ci pewnej liczby oznaczaj to samo. Zaprzeczeniem pierwszego z nich jest zdanie Liczba n nie jest parzysta, ale zaprzeczeniem drugiego nie jest Liczba n nie jest dwukrotno±ci pewnej liczby,
33 Konfuzje skªadniowe: koniunkcja vs. alternatywa Zabrania si za±miecania i zanieczyszczania drogi. 1 Zabrania si za±miecania lub zanieczyszczania drogi. 2 1 Kodeks Drogowy przed nowelizacj w roku Kodeks Drogowy po nowelizacji w roku 1997.
34 Konfuzje kolejno±ci kwantykacji Opcje: You can fool some of the people all of the time, and all of the people some of the time, but you can not fool all of the people all of the time. Abraham Lincoln ( p t...) ( p t...) ( p t...) ( t p...) ( t p...) ( p t...)
35
36 Konfuzje wynikania je±li A, to B je±li C, to B A B Je±li Marysia ma do napisania esej, to b dzie do pó¹na pracowa w bibliotece. Je±li biblioteka b dzie otwarta pó¹nym wieczorem, to Marysia b dzie do pó¹na pracowa w bibliotece. Marysia ma do napisania esej. Marysia b dzie do pó¹na pracowa w bibliotece.
37 Konfuzje wynikania je±li A, to B je±li B, to C A B
38 Konfuzje wynikania je±li A, to B je±li B, to C A B Je±li telewizor Marii jest zepsuty, odda go do reperacji. Je±li Maria odda telewizor do reperacji, nie b dzie mogªa zapªaci rachunku za elektryczno±. Telewizor Marii jest zepsuty. Maria odda telewizor do reperacji.
39 Konfuzje wynikania je±li A, to B je±li B, to C A B
40 Konfuzje wynikania je±li A, to B je±li B, to C A B Je±li telewizor Marii jest zepsuty, odda go do reperacji. Je±li Maria odda telewizor do reperacji, nie b dzie mogªa wykupi lekarstw. Telewizor Marii jest zepsuty. Maria odda telewizor do reperacji.
41 Siªa wyrazu logiki pierwszego rz du
42 Siªa wyrazu logiki pierwszego rz du Zdanie wyra»a wªasno± struktury
43 Siªa wyrazu logiki pierwszego rz du Zdanie wyra»a wªasno± struktury Rozró»nianie struktur Formalizowanie wªasno±ci struktur Formuªa deniuje relacj w strukturze
44 Siªa wyrazu logiki pierwszego rz du Zdanie wyra»a wªasno± struktury Rozró»nianie struktur Formalizowanie wªasno±ci struktur Formuªa deniuje relacj w strukturze Rozró»nianie elementów w strukturze Formalizowanie wªasno±ci elementów i krotek
45 Rozró»nianie struktur Sygnatura: Operacja dwuargumentowa Staªa ε.
46 Rozró»nianie struktur Sygnatura: Operacja dwuargumentowa Staªa ε. x 1 x 2 y( z 1 z 2 (y = z 1 z 2 y = z 1 y = z 2 ) y = x 1 y = x 2 y = ε) jest:
47 Rozró»nianie struktur Sygnatura: Operacja dwuargumentowa Staªa ε. x 1 x 2 y( z 1 z 2 (y = z 1 z 2 y = z 1 y = z 2 ) y = x 1 y = x 2 y = ε) jest: prawdziwe w strukturze {a, b},, ε sªów nad alfabetem {a, b} z konkatenacj i sªowem pustym,
48 Rozró»nianie struktur Sygnatura: Operacja dwuargumentowa Staªa ε. x 1 x 2 y( z 1 z 2 (y = z 1 z 2 y = z 1 y = z 2 ) y = x 1 y = x 2 y = ε) jest: prawdziwe w strukturze {a, b},, ε sªów nad alfabetem {a, b} z konkatenacj i sªowem pustym, faªszywe w strukturze {a, b, c},, ε sªów nad alfabetem {a, b} z konkatenacj i sªowem pustym,
49 Rozró»nianie struktur Sygnatura: Operacja dwuargumentowa Staªa ε. x 1 x 2 y( z 1 z 2 (y = z 1 z 2 y = z 1 y = z 2 ) y = x 1 y = x 2 y = ε) jest: prawdziwe w strukturze {a, b},, ε sªów nad alfabetem {a, b} z konkatenacj i sªowem pustym, faªszywe w strukturze {a, b, c},, ε sªów nad alfabetem {a, b} z konkatenacj i sªowem pustym, Zdanie rozró»nia te dwie struktury.
50 Formalizowanie wªasno±ci elementów i krotek Mamy pier±cie«liczb caªkowitych Z = Z, +,, 0, 1
51 Formalizowanie wªasno±ci elementów i krotek Mamy pier±cie«liczb caªkowitych Z = Z, +,, 0, 1 Formuªa z 1 z 2 z 3 z 4 y = x + (z 1 z 1 ) + (z 2 z 2 ) + (z 3 z 3 ) + (z 4 z 4 ) deniuje relacj x y.
52 Formalizowanie wªasno±ci elementów i krotek Mamy pier±cie«liczb caªkowitych Z = Z, +,, 0, 1 Formuªa z 1 z 2 z 3 z 4 y = x + (z 1 z 1 ) + (z 2 z 2 ) + (z 3 z 3 ) + (z 4 z 4 ) deniuje relacj x y. Twierdzenie Lagrange'a Ka»da liczba naturalna jest sum czterech kwadratów kliczb naturalnych.
First-order logic. Usage. Tautologies, using rst-order logic, relations to natural language
First-order logic. Usage Tautologies, using rst-order logic, relations to natural language A few important tautologies 1 x(ϕ ψ) ( xϕ xψ); A few important tautologies 1 x(ϕ ψ) ( xϕ xψ); 2 xϕ ϕ, o ile x
Podstawy matematyki dla informatyków. Logika formalna. Skªadnia rachunku zda« Skróty i priorytety. Wykªad 10 (Klasyczny rachunek zda«) 15 grudnia 2011
Podstawy matematyki dla informatyków Logika formalna Wykªad 10 (Klasyczny rachunek zda«) 15 grudnia 2011 Skªadnia rachunku zda«symbole (zmienne) zdaniowe (p, q, r,...), oraz znaki i s formuªami zdaniowymi.
Logika matematyczna (16) (JiNoI I)
Logika matematyczna (16) (JiNoI I) Jerzy Pogonowski Zakªad Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 15/16 lutego 2007 Jerzy Pogonowski (MEG) Logika matematyczna (16) (JiNoI I) 15/16
Rachunek zda«. Relacje. 2018/2019
Rachunek zda«. Relacje. 2018/2019 Zdanie logiczne. Zdaniem logicznym nazywamy ka»de wyra»enie, któremu mo»na przyporz dkowa jedn z dwóch warto±ci logicznych: 0 czyli faªsz b d¹ 1 czyli prawda. Zdanie logiczne.
Logika intuicjonistyczna
9 listopada 2011 Plan 1 2 3 4 Plan 1 2 3 4 Intuicjonizm Pogl d w lozoi matematyki wprowadzony w 1912 L. E. J. Brouwera. Twierdzenia matematyczne powstaj dzi ki intuicjom naszego umysªu. Skupienie si na
x y x y x y x + y x y
Algebra logiki 1 W zbiorze {0, 1} okre±lamy dziaªania dwuargumentowe,, +, oraz dziaªanie jednoargumentowe ( ). Dziaªanie x + y nazywamy dodawaniem modulo 2, a dziaªanie x y nazywamy kresk Sheera. x x 0
Twierdzenie Wainera. Marek Czarnecki. Warszawa, 3 lipca Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski
Twierdzenie Wainera Marek Czarnecki Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski Wydziaª Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Warszawa, 3 lipca 2009 Motywacje Dla dowolnej
A = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy.
Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 12 Teoria mocy, cz ± II Def. 12.1 Ka»demu zbiorowi X przyporz dkowujemy oznaczany symbolem X obiekt zwany liczb kardynaln (lub moc zbioru X) w taki sposób,»e ta
KLASYCZNE ZDANIA KATEGORYCZNE. ogólne - orzekaj co± o wszystkich desygnatach podmiotu szczegóªowe - orzekaj co± o niektórych desygnatach podmiotu
➏ Filozoa z elementami logiki Na podstawie wykªadów dra Mariusza Urba«skiego Sylogistyka Przypomnij sobie: stosunki mi dzy zakresami nazw KLASYCZNE ZDANIA KATEGORYCZNE Trzy znaczenia sªowa jest trzy rodzaje
Metoda tablic semantycznych. 1 Metoda tablic semantycznych
1 Zarówno metoda tablic semantycznych, jak i rezolucji, to dosy sprawny algorytm do badania speªnialni±ci formuª, a wi c i tautologii. Chodzi w niej o wskazanie, je±li istnieje, modelu dla formuªy. Opiera
Indeksowane rodziny zbiorów
Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 7 Indeksowane rodziny zbiorów Niech X b dzie przestrzeni zbiorem, którego podzbiorami b d wszystkie rozpatrywane zbiory, R rodzin wszystkich podzbiorów X za± T
Metodydowodzenia twierdzeń
1 Metodydowodzenia twierdzeń Przez zdanie rozumiemy dowolne stwierdzenie, które jest albo prawdziwe, albo faªszywe (nie mo»e by ono jednocze±nie prawdziwe i faªszywe). Tradycyjnie b dziemy u»ywali maªych
Wyra»enia logicznie równowa»ne
Wyra»enia logicznie równowa»ne Denicja. Wyra»enia rachunku zda«nazywamy logicznie równowa»nymi, gdy maj równe warto±ci logiczne dla dowolnych warto±ci logicznych zmiennych zdaniowych. 1 Przykªady: Wyra»enia
Metody dowodzenia twierdze«
Metody dowodzenia twierdze«1 Metoda indukcji matematycznej Je±li T (n) jest form zdaniow okre±lon w zbiorze liczb naturalnych, to prawdziwe jest zdanie (T (0) n N (T (n) T (n + 1))) n N T (n). 2 W przypadku
Matematyka 1. Šukasz Dawidowski. Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski
Matematyka 1 Šukasz Dawidowski Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski Pochodna funkcji Niech a, b R, a < b. Niech f : (a, b) R b dzie funkcj oraz x, x 0 (a, b) b d ró»nymi punktami przedziaªu (a, b). Wyra»enie
Zadania z logiki 1. Zadania na rozgrzewk. 1. Zaznacz na rysunku zbiory
Zadania z logiki 1 Zadania na rozgrzewk 1. Zaznacz na rysunku zbiory (a) { x, y R 2 : (x + y > 2) (x < 3)}; (b) { x, y R 2 : (x 2 1 = 0) (y = x + 7)}; (c) { x, y R 2 : (x 2 + y 2 = 1) (2x = y)}; (d) {
JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1. JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1
J zyki formalne i operacje na j zykach J zyki formalne s abstrakcyjnie zbiorami sªów nad alfabetem sko«czonym Σ. J zyk formalny L to opis pewnego problemu decyzyjnego: sªowa to kody instancji (wej±cia)
Algorytmy zwiazane z gramatykami bezkontekstowymi
Algorytmy zwiazane z gramatykami bezkontekstowymi Rozpoznawanie j zyków bezkontekstowych Problem rozpoznawania j zyka L polega na sprawdzaniu przynale»no±ci sªowa wej±ciowego x do L. Zakªadamy,»e j zyk
LOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań
LOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań Robert Trypuz trypuz@kul.pl 5 listopada 2013 Robert Trypuz (trypuz@kul.pl) Klasyczny Rachunek Zdań 5 listopada 2013 1 / 24 PLAN WYKŁADU 1 Alfabet i formuła KRZ 2 Zrozumieć
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Spl tanie i inne korelacje kwantowe w ukªadach zªo»onych
Spl tanie i inne korelacje kwantowe w ukªadach zªo»onych Lech Jakóbczyk Instytut Fizyki Teoretycznej Uniwersytet Wrocªawski 1 / 17 Spl tanie stanów czystych Formalna denicja spl tania Ukªad zªo»ony: Hilberta
Algorytmiczna teoria grafów
18 maja 2013 Twierdzenie Halla o maª»e«stwach Problem Wyobra¹my sobie,»e mamy m dziewczyn i pewn liczb chªopców. Ka»da dziewczyna chce wyj± za m», przy czym ka»da z nich godzi si po±lubi tylko pewnych
Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja
Programowanie wspóªbie»ne
1 Programowanie wspóªbie»ne wiczenia 5 monitory cz. 1 Zadanie 1: Stolik dwuosobowy raz jeszcze W systemie dziaªa N par procesów. Procesy z pary s nierozró»nialne. Ka»dy proces cyklicznie wykonuje wªasnesprawy,
Zdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt:
Zdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt: zdzedzej@mif.pg.gda.pl www.mif.pg.gda.pl/homepages/zdzedzej () 5 pa¹dziernika 2016 1 / 1 Literatura podstawowa R. Rudnicki, Wykªady z analizy
Automorzmy modeli i twierdzenie EhrenfeuchtaMostowskiego
Automorzmy modeli i twierdzenie EhrenfeuchtaMostowskiego Krzysztof Kapulkin IX Warsztaty Logiczne 5 12 lipca 2008 1 Wst p W referacie tym przedstawiamy wyniki uzyskane przez Andrzeja Ehrenfeuchta i Andrzeja
Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór ϱ X X.
Relacje 1 Relacj n-argumentow nazywamy podzbiór ϱ X 1 X 2... X n. Je±li ϱ X Y jest relacj dwuargumentow (binarn ), to zamiast (x, y) ϱ piszemy xϱy. Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór
Preliminaria logiczne
Preliminaria logiczne Jerzy Pogonowski Zakªad Logiki i Kognitywistyki UAM www.kognitywistyka.amu.edu.pl http://logic.amu.edu.pl/index.php/dydaktyka pogon@amu.edu.pl MDTiAR Jerzy Pogonowski (MEG) Preliminaria
Wst p do informatyki. Systemy liczbowe. Piotr Fulma«ski. 21 pa¹dziernika 2010. Wydziaª Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Šódzki, Polska
Wst p do informatyki Systemy liczbowe Piotr Fulma«ski Wydziaª Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Šódzki, Polska 21 pa¹dziernika 2010 Spis tre±ci 1 Liczby i ich systemy 2 Rodzaje systemów liczbowych
Wst p do sieci neuronowych, wykªad 14 Zespolone sieci neuronowe
Wst p do sieci neuronowych, wykªad 14 Zespolone sieci neuronowe M. Czoków, J. Piersa Faculty of Mathematics and Computer Science, Nicolaus Copernicus University, Toru«, Poland 2011-18-02 Motywacja Liczby
1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych.
Elementy logiki i teorii zbiorów. 1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Pojęcia pierwotne to najprostsze
LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW
LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja
Wyniki prof. Rasiowej w informatyce I
G. Mirkowska & A. Salwicki () Wyniki prof. Rasiowej w informatyce I 22 06 2017 1 / 24 Wyniki prof. Rasiowej w informatyce I G. Mirkowska & A. Salwicki Instytut Informatyki UKSW salwicki@mimuw.edu.pl przyczynek
Podstawy matematyki dla informatyków
Podstawy matematyki dla informatyków Wykªad 6 10 listopada 2011 W poprzednim odcinku... Zbiory A i B s równoliczne (tej samej mocy ), gdy istnieje bijekcja f : A 1 1 B. Piszemy A B lub A = B. na Moc zbioru
Matematyka ETId Elementy logiki
Matematyka ETId Izolda Gorgol pokój 131A e-mail: I.Gorgol@pollub.pl tel. 081 5384 563 http://antenor.pol.lublin.pl/users/gorgol Zdania w sensie logicznym DEFINICJA Zdanie w sensie logicznym - zdanie oznajmujace,
Mierzalne liczby kardynalne
czyli o miarach mierz cych wszystko Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Grzegorzewice, 26 stycznia 2007 Ogólny problem miary Pytanie Czy na pewnym zbiorze X istnieje σ-addytywna miara probabilistyczna,
0.1. Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań.
Wykłady z Analizy rzeczywistej i zespolonej w Matematyce stosowanej Wykład ELEMENTY LOGIKI ALGEBRA BOOLE A Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek
Matematyka dyskretna dla informatyków
UNIWERSYTET IM. ADAMA MICKIEWICZA W POZNANIU Jerzy Jaworski, Zbigniew Palka, Jerzy Szyma«ski Matematyka dyskretna dla informatyków uzupeænienia Pozna«007 A Notacja asymptotyczna Badaj c du»e obiekty kombinatoryczne
Rachunki sekwentów. Jerzy Pogonowski. MDTiAR 1xii2015
Rachunki sekwentów Jerzy Pogonowski Zakªad Logiki i Kognitywistyki UAM www.kognitywistyka.amu.edu.pl http://logic.amu.edu.pl/index.php/dydaktyka pogon@amu.edu.pl MDTiAR 1xii2015 Jerzy Pogonowski (MEG)
Algebra Boole'a i logika cyfrowa
Algebra Boole'a i logika cyfrowa 7.X. 2009 1 Aksjomatyczna denicja algebry Boole'a Do opisywanie ukªadów cyfrowych b dziemy u»ywali formalizmu nazywanego algebr Boole'a. Formalnie algebra Boole'a to struktura
Ekstremalnie fajne równania
Ekstremalnie fajne równania ELEMENTY RACHUNKU WARIACYJNEGO Zaczniemy od ogólnych uwag nt. rachunku wariacyjnego, który jest bardzo przydatnym narz dziem mog cym posªu»y do rozwi zywania wielu problemów
Elementy logiki i teorii mnogości
Elementy logiki i teorii mnogości Zdanie logiczne Zdanie logiczne jest to zdanie oznajmujące, któremu można przypisać określoną wartość logiczną. W logice klasycznej zdania dzielimy na: prawdziwe (przypisujemy
Maªgorzata Murat. Modele matematyczne.
WYKŠAD I Modele matematyczne Maªgorzata Murat Wiadomo±ci organizacyjne LITERATURA Lars Gårding "Spotkanie z matematyk " PWN 1993 http://moodle.cs.pollub.pl/ m.murat@pollub.pl Model matematyczny poj cia
Arytmetyka pierwszego rz du
Arytmetyka pierwszego rz du B dziemy bada arytmetyk liczb naturalnych z z perspektywy logiki pierwszego rz du. Sªowo arytmetyka u»ywane jest w odniesieniu do ró»nych teorii dotycz cych liczb naturalnych.
Wielomiany. El»bieta Sadowska-Owczorz. 19 listopada 2018
Wielomiany El»bieta Sadowska-Owczorz 19 listopada 2018 Wielomianem nazywamy wyra»enie postaci a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = n a k x k. k=0 Funkcj wielomianow nazywamy funkcj W :
Wokóª twierdzenia Gödla o peªno±ci logiki pierwszego rz du
Wokóª twierdzenia Gödla o peªno±ci logiki pierwszego rz du Marek Czarnecki 11 lipca 2010 Podczas II Konferencji Epistemologii Nauk cisªych w Królewcu w 1930 roku, Kurt Gödel zaprezentowaª dowód twierdzenia
Elementy geometrii w przestrzeni R 3
Elementy geometrii w przestrzeni R 3 Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 29 maja 2016 Podstawowe denicje Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów (A,B) z których pierwszy nazywa si pocz tkiem a drugi
W poprzednim odcinku... Podstawy matematyki dla informatyków. Relacje równowa»no±ci. Zbiór (typ) ilorazowy. Klasy abstrakcji
W poprzednim odcinku... Podstawy matematyki dla informatyków Rodzina indeksowana {A t } t T podzbiorów D to taka funkcja A : T P(D),»e A(t) = A t, dla dowolnego t T. Wykªad 3 20 pa¹dziernika 2011 Produkt
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Funkcje wielu zmiennych
dr Krzysztof yjewski Informatyka I rok I 0 in» 12 stycznia 2016 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0 y 0 )
Funkcje, wielomiany. Informacje pomocnicze
Funkcje, wielomiany Informacje pomocnicze Przydatne wzory: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 a 2 b 2 = (a + b)(a
Logika pragmatyczna. Logika pragmatyczna. Kontakt: Zaliczenie:
Logika pragmatyczna Logika pragmatyczna Kontakt: dr hab. inż. Adam Kasperski pokój 509 B4 adam.kasperski@pwr.wroc.pl materiały + literatura + informacje na stronie www. Zaliczenie: Kolokwium pisemne na
1 Elektrostatyka. 1.1 Wst p teoretyczny
Elektrostatyka. Wst p teoretyczny Dwa ªadunki elektryczne q i q 2 wytwarzaj pole elektryczne i za po±rednictwem tego pola odziaªuj na siebie wzajemnie z pewn siª. Je»eli pole elektryczne wytworzone jest
Logika Matematyczna. Zadania Egzaminacyjne. J zykoznawstwo i Informacja Naukowa I, UAM, Jerzy Pogonowski
Logika Matematyczna Zadania Egzaminacyjne J zykoznawstwo i Informacja Naukowa I, UAM, 2002 Jerzy Pogonowski Zakªad Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl Dwa zestawy pyta«egzaminacyjnych z Logiki Matematycznej:
ROZDZIAŁ 1. Rachunek funkcyjny
ROZDZIAŁ 1 Rachunek funkcyjny Niech X 1,..., X n będą dowolnymi zbiorami. Wyrażenie (formułę) ϕ(x 1,..., x n ), w którym występuje n zmiennych x 1,..., x n i które zamienia się w zdanie logiczne, gdy zamiast
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb
Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb 1. Podzielno± Przedmiotem bada«teorii liczb s wªasno±ci liczb caªkowitych. Zbiór liczb caªkowitych oznacza b dziemy symbolem Z. Zbiór liczb naturalnych
Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA. W obu podpunktach zakªadamy,»e kolejno± ta«ców jest wa»na.
Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA Zadanko 1 (12p.) Na imprezie w Noc Kupaªy s 44 dziewczyny. Nosz one 11 ró»nych imion, a dla ka»dego imienia s dokªadnie 4 dziewczyny o tym imieniu przy czym ka»da
Maszyny Turinga i problemy nierozstrzygalne. Maszyny Turinga i problemy nierozstrzygalne
Maszyny Turinga Maszyna Turinga jest automatem ta±mowym, skª da si z ta±my (tablicy symboli) potencjalnie niesko«czonej w prawo, zakªadamy,»e w prawie wszystkich (tzn. wszystkich poza sko«czon liczb )
Ciaªa i wielomiany. 1 Denicja ciaªa. Ciaªa i wielomiany 1
Ciaªa i wielomiany 1 Ciaªa i wielomiany 1 Denicja ciaªa Niech F b dzie zbiorem, i niech + (dodawanie) oraz (mno»enie) b d dziaªaniami na zbiorze F. Denicja. Zbiór F wraz z dziaªaniami + i nazywamy ciaªem,
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Zbiory i odwzorowania
Zbiory i odwzorowania 1 Sposoby okre±lania zbiorów 1) Zbiór wszystkich elementów postaci f(t), gdzie t przebiega zbiór T : {f(t); t T }. 2) Zbiór wszystkich elementów x zbioru X speªniaj cych warunek ϕ(x):
Matematyka dyskretna dla informatyków
Matematyka dyskretna dla informatyków Cz ± I: Elementy kombinatoryki Jerzy Jaworski Zbigniew Palka Jerzy Szyma«ski Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Pozna«2007 2 Podstawowe zasady i prawa przeliczania
Równania ró»niczkowe I rz du (RRIR) Twierdzenie Picarda. Anna D browska. WFTiMS. 23 marca 2010
WFTiMS 23 marca 2010 Spis tre±ci 1 Denicja 1 (równanie ró»niczkowe pierwszego rz du) Równanie y = f (t, y) (1) nazywamy równaniem ró»niczkowym zwyczajnym pierwszego rz du w postaci normalnej. Uwaga 1 Ogólna
Podziaª pracy. Cz ± II. 1 Tablica sortuj ca. Rozwi zanie
Cz ± II Podziaª pracy 1 Tablica sortuj ca Kolejka priorytetowa to struktura danych udost pniaj ca operacje wstawienia warto±ci i pobrania warto±ci minimalnej. Z kolejki liczb caªkowitych, za po±rednictwem
Logika dla informatyków
Logika dla informatyków Jerzy Tiuryn Jerzy Tyszkiewicz Pawe l Urzyczyn Październik 2006 Wnioskowanie o prawdziwości rozmaitych stwierdzeń jest powszednim zajeciem matematyków i nie tylko matematyków. Dlatego
Zadania z PM II A. Strojnowski str. 1. Zadania przygotowawcze z Podstaw Matematyki seria 2
Zadania z PM II 010-011 A. Strojnowski str. 1 Zadania przygotowawcze z Podstaw Matematyki seria Zadanie 1 Niech A = {1,, 3, 4} za± T A A b dzie relacj okre±lon wzorem: (a, b) T, gdy n N a n = b. a) Ile
(g) (p q) [(p q) p]; (h) p [( p q) ( p q)]; (i) [p ( p q)]; (j) p [( q q) r]; (k) [(p q) (q p)] (p q); (l) [(p q) (r s)] [(p s) (q r)];
![(g) (p q) [(p q) p]; (h) p [( p q) ( p q)]; (i) [p ( p q)]; (j) p [( q q) r]; (k) [(p q) (q p)] (p q); (l) [(p q) (r s)] [(p s) (q r)];](/thumbs/58/42277365.jpg "(g) (p q) [(p q) p]; (h) p [( p q) ( p q)]; (i) [p ( p q)]; (j) p [( q q) r]; (k) [(p q) (q p)] (p q); (l) [(p q) (r s)] [(p s) (q r)];")
Logika 1. Czy następujące sformułowania są zdaniami: (a) Wszystkie koty w Polsce są czarne. (b) Jak to udowodnić? (c) x + y = 7. (d) Jeśli x 2 = y 2, to x = y. (e) Jeśli x = y, to x 2 = y 2. (f) 2 n +
Jest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi.
Logika Jest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi. Często słowu "logika" nadaje się szersze znaczenie niż temu o czym będzie poniżej: np. mówi się "logiczne myślenie"
Wst p do informatyki. Systemy liczbowe. Piotr Fulma«ski. November 9, Wydziaª Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Šódzki, Polska
Wst p do informatyki Systemy liczbowe Piotr Fulma«ski Wydziaª Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Šódzki, Polska November 9, 2015 Spis tre±ci 1 Liczby i ich systemy 2 Rodzaje systemów liczbowych Liczba
Przykłady zdań w matematyce. Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości a, b, c jest prostokątny (a, b, c oznaczają dane liczby dodatnie),
Elementy logiki 1 Przykłady zdań w matematyce Zdania prawdziwe: 1 3 + 1 6 = 1 2, 3 6, 2 Q, Jeśli x = 1, to x 2 = 1 (x oznacza daną liczbę rzeczywistą), Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Podstawy modelowania w j zyku UML
Podstawy modelowania w j zyku UML dr hab. Bo»ena Wo¹na-Szcze±niak Akademia im. Jan Dªugosza bwozna@gmail.com Wykªad 8 Diagram pakietów I Diagram pakietów (ang. package diagram) jest diagramem strukturalnym,
Logika pragmatyczna dla inżynierów
Logika pragmatyczna Logika pragmatyczna dla inżynierów Kontakt: dr hab. inż. Adam Kasperski pokój 509 B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl materiały + literatura + informacje na stronie www. Zaliczenie: Test pisemny
W pewnym mieście jeden z jej mieszkańców goli wszystkich tych i tylko tych jej mieszkańców, którzy nie golą się
1 Logika Zdanie w sensie logicznym, to zdanie oznajmujące, o którym da się jednoznacznie powiedzieć, czy jest fałszywe, czy prawdziwe. Zmienna zdaniowa- to symbol, którym zastępujemy dowolne zdanie. Zdania
Macierze. 1 Podstawowe denicje. 2 Rodzaje macierzy. Denicja
Macierze 1 Podstawowe denicje Macierz wymiaru m n, gdzie m, n N nazywamy tablic liczb rzeczywistych (lub zespolonych) postaci a 11 a 1j a 1n A = A m n = [a ij ] m n = a i1 a ij a in a m1 a mj a mn W macierzy
Schematy Piramid Logicznych
Schematy Piramid Logicznych geometryczna interpretacja niektórych formuł Paweł Jasionowski Politechnika Śląska w Gliwicach Wydział Matematyczno-Fizyczny Streszczenie Referat zajmuje się następującym zagadnieniem:
det A := a 11, ( 1) 1+j a 1j det A 1j, a 11 a 12 a 21 a 22 Wn. 1 (Wyznacznik macierzy stopnia 2:). = a 11a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32
Wyznacznik Def Wyznacznikiem macierzy kwadratowej nazywamy funkcj, która ka»dej macierzy A = (a ij ) przyporz dkowuje liczb det A zgodnie z nast puj cym schematem indukcyjnym: Dla macierzy A = (a ) stopnia
LOGIKA Dedukcja Naturalna
LOGIKA Dedukcja Naturalna Robert Trypuz Katedra Logiki KUL 7 stycznia 2014 Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia 2014 1 / 42 PLAN WYKŁADU 1 Przykład dowodów
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Metoda aksjomatyczna
Metoda aksjomatyczna Jerzy Pogonowski Zakªad Logiki i Kognitywistyki UAM www.kognitywistyka.amu.edu.pl http://logic.amu.edu.pl/index.php/dydaktyka pogon@amu.edu.pl MDTiAR 27x2015 Jerzy Pogonowski (MEG)
Logika dla matematyków i informatyków Wykªad 1
Logika dla matematyków i informatyków Wykªad 1 Stanisªaw Goldstein Wydziaª Matematyki i Informatyki UŠ 16 lutego 2016 Wszech±wiat matematyczny skªada si wyª cznie ze zbiorów. Liczby naturalne s zdeniowane
Programowanie funkcyjne. Wykªad 13
Programowanie funkcyjne. Wykªad 13 Siªa wyrazu rachunku lambda Zdzisªaw Spªawski Zdzisªaw Spªawski: Programowanie funkcyjne. Wykªad 13, Siªa wyrazu rachunku lambda 1 Wst p Warto±ci logiczne Liczby naturalne
Informatyka, matematyka i sztuczki magiczne
Informatyka, matematyka i sztuczki magiczne Daniel Nowak Piotr Fulma«ski instagram.com/vorkof piotr@fulmanski.pl 18 kwietnia 2018 Table of contents 1 O czym b dziemy mówi 2 Dawno, dawno temu... 3 System
Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni
Wykªad 3 Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni W wykªadzie tym wi kszy nacisk zostaª poªo»ony raczej na intuicyjne rozumienie deniowanych poj, ni» ±cisªe ich zdeniowanie. Dlatego niniejszy wykªad
III rok kognitywistyki UAM,
METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ WYKŁAD 14: POWTÓRKA III rok kognitywistyki UAM, 2016 2017 Dzisiejszy wykład w całości poświęcony będzie omówieniu przykładowych zadań, podobnych do
Liczby zespolone Pochodna Caªka nieoznaczona i oznaczona Podstawowe wielko±ci zyczne. Repetytorium z matematyki
Repetytorium z matematyki Denicja liczb zespolonych Wyra»enie a + bi, gdzie a i b s liczbami rzeczywistymi a i speªnia zale»no± i 2 = 1, nazywamy liczb zespolon. Liczb i nazywamy jednostk urojon, a iloczyn
Podstawy logiki i teorii zbiorów wiczenia
Spis tre±ci 1 Zdania logiczne i tautologie 1 2 Zdania logiczne i tautologie c.d. 2 3 Algebra zbiorów 3 4 Ró»nica symetryczna 4 5 Kwantykatory 5 6 Relacje 7 7 Relacje porz dku i równowa»no±ci 8 8 Funkcje
Bazy danych. Plan wykładu. Podzapytania - wskazówki. Podzapytania po FROM. Wykład 5: Zalenoci wielowartociowe. Sprowadzanie do postaci normalnych.
Plan wykładu azy danych Wykład 5: Zalenoci wielowartociowe. Sprowadzanie do postaci normalnych. Dokoczenie SQL Zalenoci wielowartociowe zwarta posta normalna Dekompozycja do 4NF Przykład sprowadzanie do
Teoretyczne Podstawy Informatyki
Instytut Informatyki Stosowanej Teoretyczne Podstawy Informatyki Wykªad 2. J zyki i gramatyki formalne Zdzisªaw Spªawski Zdzisªaw Spªawski: Teoretyczne Podstawy Informatyki, Wykªad 2. J zyki i gramatyki
Estymacja parametru gªadko±ci przy u»yciu falek splajnowych
Estymacja parametru gªadko±ci przy u»yciu falek splajnowych Politechnika Gda«ska Wydziaª Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej Wisªa, 3-7.12.2012 Przestrze«Biesowa Przestrze«Biesowa B s p,q, 1 p,
Spis tre±ci. 1 Gradient. 1.1 Pochodna pola skalarnego. Plan
Plan Spis tre±ci 1 Gradient 1 1.1 Pochodna pola skalarnego...................... 1 1.2 Gradient................................ 3 1.3 Operator Hamiltona......................... 4 2 Ró»niczkowanie pola
LOGIKA FORMALNA POPRAWNOŚĆ WNIOSKOWAŃ
LOGIKA FORMALNA POPRAWNOŚĆ WNIOSKOWAŃ Robert Trypuz Katedra Logiki KUL 18 grudnia 2013 Robert Trypuz (Katedra Logiki) Wnioskowanie 18 grudnia 2013 1 / 12 Zarys 1 Wnioskowanie Definicja Schemat wnioskowania
Ekonometria. wiczenia 1 Regresja liniowa i MNK. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej
Ekonometria wiczenia 1 Regresja liniowa i MNK (1) Ekonometria 1 / 25 Plan wicze«1 Ekonometria czyli...? 2 Obja±niamy ceny wina 3 Zadania z podr cznika (1) Ekonometria 2 / 25 Plan prezentacji 1 Ekonometria
1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna
1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna Liczby w pami ci komputera przedstawiamy w ukªadzie dwójkowym w postaci zmiennopozycyjnej Oznacza to,»e s one postaci ±m c, 01 m < 1, c min c c max, (1) gdzie m nazywamy
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Lekcja 9 - LICZBY LOSOWE, ZMIENNE
Lekcja 9 - LICZBY LOSOWE, ZMIENNE I STAŠE 1 Liczby losowe Czasami spotkamy si z tak sytuacj,»e b dziemy potrzebowa by program za nas wylosowaª jak ± liczb. U»yjemy do tego polecenia: - liczba losowa Sprawd¹my
Rachunek ró»niczkowy funkcji jednej zmiennej
Lista Nr 5 Rachunek ró»niczkowy funkcji jednej zmiennej 5.0. Obliczanie pochodnej funkcji Pochodne funkcji podstawowych. f() = α f () = α α. f() = log a f () = ln a '. f() = ln f () = 3. f() = a f () =
Programowanie wspóªbie»ne
1 Zadanie 1: Bar Programowanie wspóªbie»ne wiczenia 6 monitory cz. 2 Napisz monitor Bar synchronizuj cy prac barmana obsªuguj cego klientów przy kolistym barze z N stoªkami. Ka»dy klient realizuje nast
Lekcja 12 - POMOCNICY
Lekcja 12 - POMOCNICY 1 Pomocnicy Pomocnicy, jak sama nazwa wskazuje, pomagaj Baltiemu w programach wykonuj c cz ± czynno±ci. S oni szczególnie pomocni, gdy chcemy ci g polece«wykona kilka razy w programie.