, to liczby γ +δi oraz γ δi opisują pierwiastki z a+bi.

Zestaw 1 Liczby zespolone 1 Zadania do przeliczenia Nie będziemy robić na ćwiczeniach S 1 Policz wartość 1 + i + (2 + i)(i 3) 1 i Zadania domowe x y(1 + i) 1 Znajdź liczby rzeczywiste x, y takie, że + = 32 + 4i Uzasadnij, że istnieje nieskończenie wiele 3 + 4i 10 rozwiązań tego równania zespolonych 2 Policz możliwie krótkim sposobem wartość (1 + 2i) 9 a2 a2 +b 3 Pokaż, że jeśli γ = 2 +a +b 2 oraz δ = sgn(b) 2 a 2, to liczby γ +δi oraz γ δi opisują pierwiastki z a+bi Uwaga: W powyższych wzorach 1 dla b < 0, x dla dodatniego x jest liczbą dodatnią, zaś sgn(b) = 0 dla b = 0, 1 dla b > 0 4 Korzystając z poprzedniego zadania rozwiąż równania: z 2 2z + 5 = 0, (1 + i)z 2 2z + 1 + 3i = 0, z 3 + (3i 2)z + (3i 1) = 0 5 (Wymaga znajomości pierwszego wykładu) Znajdź rozwiązanie rekurencji 6 Proszę zrobić zadania z wykładu (o ile będą) x 0 = 1, x 1 = 2, x n+1 = x n 2x n 1, x 0 = 1, x 1 = 2, x n+1 = x n 2x n 1 + 1 Zestaw 2 Scilab Podane w nawiasach strony w tutorialu (http://wwwscilaborg/content/download/1754/19024/file/introscilabpdf), zawierają przydatne do zadań informacje (A) Zrób zadania domowe o liczbach zespolonych za pomocą Scilaba, jeśli to możliwe (B) Utwórz tablicę zawierającą wartości log x y dla x, y {2, 3,, 10} Można zrobić to korzystając z podwójnej pętli for (52), lub pojedynczej tworząc całe wiersze macierzy (39) (C) 1 Zaimplementuj funkcje liczące wartości n! = 1 2 n oraz n!! = n (n 2) (n 4) (iloczyn liczb nieprzekraczających n o tej samej co n parzystości) Przygotuj dwie wersje każdej funkcji wykorzystaj konstrukcję for (52) oraz while (53) 2 Utwórz tablicę zawierającą w pierwszym wierszu argumenty od 1 do 10, w drugim wartości n!, zaś w trzecim n!! (D) 1 Utwórz tablicę liczb rzeczywistych o jednym wierszu i trzech kolumnach (32) 2 Utwórz funkcję (57), która pobiera jako argument tablicę o jednym wierszu, traktuje kolejne jej elementy (patrz 34) jako współczynniki trójmianu kwadratowego i wypisuje tekst mówiący o liczbie pierwiastków oraz ich rodzaju (rzeczywiste, zespolone) podając te pierwiastki wynikiem funkcji może być na przykład liczba rozwiązań Przydatne mogą być słowa kluczowe if/then/else (49), return (63), funkcje pierwiastek sqrt, disp (12) Proszę przetestować działanie funkcji na różnych macierzach Można dodać sprawdzanie, czy tablica zawiera dokładnie 3 elementy 3 Utwórz tablicę o trzech kolumnach i dowolnej liczbie wierszy Dla każdego wiersza (patrz 37) wywołaj funkcję z poprzedniego punktu Użyj funkcji sprawdzającej rozmiar tablicy (34) oraz pętli utworzonej za pomocą for (52) Warto na bieżąco wypisywać numery wierszy tablicy (E) Zdefiniuj wybraną przez siebie rosnącą funkcję f : R R (57) Zbuduj tablice zawierające potrzebne informacje do narysowania wykresów funkcji f, f 2 i narysuj je na jednym wykresie (67) Narysuj wykresy funkcji f i funkcji odwrotnej do f na jednym wykresie (F) Skonstruuj tablice zawierające wartości pierwszych 15 wyrazów ciągów zdefiniowanych w zadaniu 5 z poprzedniego zestawu (G) Narysuj na wykresie wartości log(x n ), gdzie (x n ) jest ciągiem Fibonacciego, x n = n! i x n = n!! dla co najmniej kilkudziesięciu początkowych wartości dodatnich n

(A) Policz wartość wyrażenia ( 1 3 i) 12 Zestaw 3 Liczby zespolone 2; Geometria 1 (B) Korzystając z przedstawienia z w postaci trygonometrycznej znajdź rozwiązanie równania z 3 = z 5 (C) Znajdź zbiór punktów płaszczyzny spełniających poniższe zależności: {z C : 2z 2 + 1 > 1}, {z C : Arg(z(1 + i)) (0, π)}, {z C : z = z + 1 }, {z C : Arg z = Arg(z + 1)}, {z C : z + 2 z i < 1}, {z C : Arg z4 = Arg z}, {z C : Re z(1 i) > 1}, {z C : Im z 3 < 0}, {z C : Re z 2 > Re z}, {z C : Im(z + 1) 2 < 1} (D) Znajdź wszystkie punkty płaszczyzny X o tej własności, że trójkąt ABX ma pole powierzchni 11, zaś A = (1, 3) i B = (3, 0) (E) Znajdź wszystkie wektory na płaszczyźnie, które tworzą kąt π 6 z wektorem (1, 2) (F) Znajdź pole powierzchni pięciokąta ABCDE o wierzchołkach A = (10, 6), B = (8, 2), C = (0, 0), D = ( 5, 7), E = ( 2, 7) Korzystając z funkcji trygonometrycznych określ, które z kątów pięciokąta są ostre, a które rozwarte Grupa I 22 XI 2011 z+ w z w (A) Niech z = 2 3i, zaś w = 3 2i Policz wartość v = i narysuj z, w oraz v na płaszczyźnie zespolonej (B) Znajdź rozwiązanie rekurencji x n+2 = 2x n+1 2x n spełniające x 0 = 0, x 1 = 1 Sprawdź poprawność rozwiązania dla x 4 (C) Znajdź wszystkie liczby zespolone z spełniające zależność z 2 = z Zestaw 4 Geometria 2 Macierze 1 (A) Korzystając z iloczynu skalarnego napisz równanie dwusiecznej kąta AOB, gdzie O = (0, 0), A = (1, 2), B = (3, 1) (B) Znajdź współrzędne środka okręgu wpisanego i opisanego na trójkącie o wierzchołkach ( 1, 1), (3, 2), (4, 1) korzystając z metod rozważanych na ćwiczeniach (C) Znajdź macierz A o wyznaczniku 1 mającą wszystkie współrzędne różne od 0, oraz trzy punkty płaszczyzny x 1, x 2, x 3 tworzące trójkąt Narysuj trójkąty x 1, x 2, x 3 oraz A x 1, A x 2 A x 3 Powtórz rozumowanie dla macierzy o wyznaczniku 2 Wyciągnij wnioski [ 1/2 3/2 3/2 1/2 (D) Rozważmy macierze następujące: A 1 = [ 3 0 0 3, A 2 = [ 0 1 1 0, A3 = [ 1 0 0 1, A4 = [ 2 2 2 2, A5 = Policz dla różnych wektorów v R 2 wartość wyrażenia A i v i spróbuj wywnioskować regułę (E) Sprawdź na przykładach, że dla macierzy 2 2 nie jest prawdziwa zależność AB = BA Spróbuj znaleźć takie macierze A, że dla dowolnych B ta zależność jest spełniona Zestaw 5 Macierze 2 (A) Znajdź metodą operacji elementarnych macierze odwrotne do [ [ 3 2 1 3, [ sin x cos x cos x sin x, 1 2 3 3 4 5 2 x y + z = 0 (B) Rozwiąż układ równań 2x + y z = 3 3x 2y + 2z = 1 x + y + z = 0 3x + 2y z = 1 (C) Znajdź wartość a taką, że układ równań ma dokładnie 1 rozwiązanie Rozwiąż ten układ y + z x = a 2x + 3y + z = a równań { 2x 3y + z = 4 (D) Rozważmy układ równań Znajdź metodą z wykładu rozwiązania (x, y) w zależności od z, x + y z = 2 następnie (x, z) w zależności od y oraz (y, z) w zależności od x (E) Korzystając z metod z wykładu uzasadnij, że jeśli macierz jest trójkątna, tzn postaci a 11 a 12 a 13 a 1n a 11 0 0 0 0 a 22 a 23 a 2n a 21 a 22 0 0 A = 0 0 a 33 a 3n lub A = a 31 a 32 a 33 0 0 0 0 a nn a n1 a n2 a n3 a nn to det A = a 11 a 22 a nn

(F) Wiadomo że mnożenie wiersza lub kolumny macierzy A przez stałą k daje macierz o wyznaczniku k det A; zamiana miejscami 2 wierszy lub kolumn zmienia wyznacznik na przeciwny; dodanie do wiersza (kolumny) innego wiersza (kolumny) nie zmienia wyznacznika macierzy a) Sprawdź na prostych przykładach, że powyższe własności są prawdziwe b) Spróbuj uzasadnić, że te własności są prawdziwe c) Policz wyznacznik macierzy z zadania (A) sprowadzając je do postaci trójkątnej Zestaw 6 Macierze 3 (A) Niech macierz A o n wierszach i kolumnach spełnia a ij = a ji Uzasadnij, że jeśli n jest nieparzyste, to det A = 0 i pokaż na przykładach, że założenie nieparzystości n jest istotne (B) Jaki wyznacznik ma macierz mająca 0 na przekątnej, 1 powyżej oraz 1 poniżej przekątnej? (C) Jeśli na wykładzie nie pojawiło się pojęcie rzędu macierzy, to zdefiniujmy je następująco: rzędem macierzy A nazywamy taką najmniejszą liczbę n, że za pomocą operacji elementarnych można doprowadzić macierz do postaci, w której n wierszy zawiera jakieś wyrazy niezerowe, zaś pozostałe same zera (Analogicznie można definiować rząd używając kolumn zamiast wierszy lub też operacji na wierszach i kolumnach równocześnie) (A) Uzasadnij, że macierz identycznościowa ma rząd równy wymiarowi (B) Uzasadnij, że macierz kwadratowa o wyznaczniku 0 ma rząd mniejszy niż wymiar (C) Uzasadnij, że macierz ma rząd 0 wtedy i tylko wtedy, gdy jest zerowa (D) Policz rząd macierzy następujących: 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 2 1 a a + 1 a + 2 6 7 8 9 10, 5 4 3 2 1, 1, a 2a 3a (a R) 12 13 14 15 1 2 1 2 1 5 4 3 4 5 1 0 1 [ 0 1 (D) Znajdź ogólną postać macierzy A n, gdzie A = (E) Proszę zrobić wcześniejsze zadania, które nie zostały przedstawione dotychczas na ćwiczeniach Zestaw 7 Wartości i wektory własne 4 4 4 (A) Znajdź wartości i wektory własne macierzy 2 3 6 1 3 6 [ a b b a b (B) Znajdź wartości własne i wektory własne macierzy i b a b b a b b a (C) Pokaż, że macierz jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy ma zerową wartość własną (D) Jeśli znane są wartości własne macierzy A, to jakie wartości własne mają macierze 2A i A? (E) Sprawdź na przykładzie macierzy A wymiaru 2 2 wybranej tak, aby miała 2 różne wartości własne λ 1, λ 2 R, że wartości własne macierzy A 2 3A + I to λ 2 i 3λ i + 1 dla i = 1, 2 (F) Pokaż na przykładach, że jeśli λ jest wartością własną A zaś µ wartością własną B, to λ + µ może, ale nie musi być wartością własną A + B (G) Uzasadnij, że jeśli λ jest wartością własną dla A, to λ 2 jest wartością własną A 2, oraz jeśli λ 0 to λ 1 jest wartością własną A 1 (H) Uzasadnij, że jeśli v jest wektorem własnym macierzy A, to jest również wektorem własnym dla A 2 i A 1 o ile A jest odwracalna Zestaw A 1 (I) Napisz równanie kwadratowe, którego pierwiastkami są i 1 oraz 2 i (II) Narysuj zbiór {z C : z z = 2 z 1} (III) Jaka macierz A ma taką własność, że dla dowolnego wektora v wektory v i Av mają taką samą długość, ale kąt między nimi wynosi π 4? (IV) Znajdź pole trójkąta o wierzchołkach (cos( π 3 ), sin( π 3 )), ( 1, 0), (sin π 3, cos π 3 ) Czy trójkąt ten jest ostrokątny? (V) Rozwiąż układ równań: [ 0 1 2 (VI) Policz wyznacznik macierzy 2 3 4 5 3 2 (VII) Policz rząd macierzy z zadania (IX) (VIII) Znajdź A 1 i A 9, jeśli A = [ 1 0 { x y z = 1, 2y 2x z = 4 1 2 Podaj wyznacznik, wektory i wartości własne A2012 (IX) Znajdź wartości własne i wektory własne macierzy [ 0 0 0 1 2 2 2 (X) Uzasadnij, że jeśli v jest wektorem własnym macierzy A, to jest też wektorem własnym macierzy A I Zestaw B 1 (I) Napisz równanie kwadratowe, którego pierwiastkami są oraz 2 i i 1 (II) Narysuj zbiór {z C : z z = z z }

(III) Jaka macierz A ma taką własność, że dla dowolnego wektora v wektory v i Av mają taką samą długość, ale kąt między nimi wynosi π 3? (IV) Znajdź pole trójkąta o wierzchołkach (cos( π 6 ), sin( π 6 )), ( 1, 0), (sin π 6, cos π 6 ) Czy trójkąt ten jest ostrokątny? (V) Rozwiąż układ równań: { x + y 2z = 1, 2y x + 2z = 2 [ 0 1 3 (VI) Policz wyznacznik macierzy 1 3 4 5 4 2 (VII) Policz rząd macierzy z zadania (IX) (VIII) Znajdź A 1 i A 9, jeśli A = [ 2 0 [ 0 1 2 0 1 2 0 1 2 Podaj wyznacznik, wektory i wartości własne A2012 (IX) Znajdź wartości własne i wektory własne macierzy (X) Uzasadnij, że jeśli v jest wektorem własnym macierzy A, to jest też wektorem własnym macierzy A + I Zestaw 8 Bazy Prostopadłość Ortogonalizacja (A) Zapisz wektor w = (1, 2) jako kombinację liniową wektorów v 1 = (2, 3), v 2 = (3, 4) i v 3 (4, 5) (czyli w = α i v i ) na co najmniej 2 sposoby, w tym jeden ze wszystkimi niezerowymi współczynnikami α i, a drugi z możliwie największą liczbą zerowych współczynników (B) Znajdź ortogonalizację i ortonormalizację ciągu wektorów (2, 1, 0, 0), (1, 0, 2, 0), (0, 1, 1, 1) (C) Znajdź rzut prostokątny wektora w = (1, 0, 0) na płaszczyznę π rozpiętą przez wektory (2, 1, 1) i ( 1, 1, 1) Jaki jest kąt między w a π? (D) Znajdź wektor prostopadły do wektorów (2, 0, 1) i (1, 1, 2) (E) Pokaż, że ortogonalizacje wektorów v 1, v 2,, v n oraz v 1, v 2,, v n takich, że v i = v i+1, v i+1 = v i, v k = v k dla k i, i + 1 różnią się co najwyżej dwoma wektorami (F) Wskaż dwa różne zestawy po 3 wektory w R 3 dające takie same ortogonalizacje (G) Znajdź bazę {v 1, v 2, v 3 } ortogonalnych wektorów w R 3 mających wszystkie współrzędne niezerowe Zapisz w tej bazie wektor w taki, że i-ta współrzędna wektorów w i v i jest taka sama dla i = 1, 2, 3 Zestaw 9 Bazy ortogonalne (A) Sprawdź, że podane na wykładzie układy wektorów w C n są istotnie bazami ortonormalnymi (B) Znajdź bazy w C 3 i C 4 zgodnie z definicjami z wykładu Zapisz w postaci kombinacji tych wektorów wybrane przez siebie wektory C 3 i C 4 (C) Niech v 1 = (0, 1, 1), v 2 = (1, 0, 1), v 3 = (1, 1, 0) Znajdź ortogonalizację (v 1, v 2, v 3) tych wektorów Zapisz wektory bazy kanonicznej w postaci kombinacji liniowej v i (D) Wybierz w R 2 dwie różne bazy (v 1, v 2 ), (w 1, w 2 ) Znajdź α ij i β ij takie, że w [ 1 = α 11 v 1 +α [ 12 v 2 i w 2 = α 21 v 1 +α 22 v 2, α11 α oraz v 1 = β 11 w 1 + β 12 w 2 i v 2 = β 21 w 1 + β 22 w 2 Znajdź iloczyn macierzy 12 β11 β i 12 α 21 α 22 β 21 β 22 (E) Niech (v 1, v 2 ) (w 1, w 2 ) = v 1 w 1 + 4v 2 w 2 Znajdź ortogonalizację wektorów (1, 1) i (1, 1) używając zamiast zwykłego iloczynu skalarnego operacji Uwaga: również normy nie są standardowe, ale liczone jako v = v v Zestaw A/B Niech v 1 = (1, 0, 1), v 2 = (2, 1, 0) i v 3 = (0, 0, 1) [v 1 = (1, 2, 0), v 2 = (3, 1, 1) i v 3 = (0, 0, 1) (1) Zortogonalizuj wektory v 1, v 2, v 3 (2) Zapisz wektor (1, 0, 0) jako kombinację wektorów v 1, v 2, v 3 (3) Znajdź kąt między wektorem v 3 a płaszczyzną rozpiętą przez wektory v 1 i v 2 (4) Znajdź wektor o normie 1 prostopadły do v 2 i v 3 (5A) Znajdź macierz A o tej własności, że Aw 1 = w 2 oraz Aw 2 = w 1 dla wektorów w 1 = (1, 2) i w 2 = (1, 1) (5B) Znajdź macierz A o tej własności, że Aw 1 = w 2 oraz Aw 2 = w 1 dla wektorów w 1 = (1, 3) i w 2 = (2, 1) Zestaw 10 Grupy i pierścienie (A) Policz lub uzasadnij, że to niemożliwe, wartość wyrażenia (3 3 + 4 2)/(2 4) w Z, Z 5, Z 6, Z 9 (B) Narysuj wykres wielomianu x 3 + x w Z 5 (C) Wykonaj działania w iloczynie (x 2) 2 (x + 4)(x 2 + 1) w Z 5 i Z 6 (D) Znajdź pierwiastki wielomianu x 2 + 2 w Z 6 i Z 7 (E) Policz 3 53 w Z 7 i Z 22 możliwie małym kosztem obliczeniowym (F) Sprawdź, czy są izomorficzne grupy Z 4 i Z 2 Z 2 oraz Z 6 i Z 2 Z 3 Odpowiedź pozytywna oznacza wskazanie izomorfizmu i uzasadnienie; negatywna oznacza zwykle znalezienie własności działania dodawania w jednej z nich, której nie ma w drugiej (G) Które z liczb w Z 15 mają elementy odwrotne dla mnożenia? (H) Pokaż, że element odwrotny [ może być co najwyżej [ jeden 2 0 (I) Policz (A 2 + B) B dla A = oraz A = używając działań w Z 3 2 5 (J) Dla macierzy A, B z poprzedniego zadania spróbuj znaleźć macierze odwrotne Powtórz wyliczenia dla tych samych macierzy, ale z działaniami w Z 6

Zestaw 11 Grupy i pierścienie II (A) Pokaż, że każda trzyelementowa grupa jest izomorficzna z (Z 3, +) Czy podobnie jest dla grupy pięcioelementowej i (Z 5, +)? (B) Zdefiniujmy relację równoważności na zbiorze funkcji następująco: f g x : f(x) = g(x) Znajdź wszystkie klasy równoważności dla wielomianów określonych na Z 2 (Z 3 ) i wszystkich współczynnikach w tym samym zbiorze Pokaż, że każda funkcja jest równoważna z pewnym wielomianem (Warto poszukać na początek przykładów) (C) Pokaż, że każda macierz o współczynnikach w Z k i wyznaczniku względnie pierwszym z k ma macierz odwrotną w Z k Znajdź macierz odwrotną do dowolnej takiej macierzy wymiaru 3 3 Zestaw 12 Wielomiany Przestrzenie liniowe, cd (A) Metodami aproksymacji Lagrange a i Newtona, znaleźć aproksymacje wielomianami stopnia 1, 2 i 3 dla podanych funkcji oraz punktów (wybieramy tyle punktów, ile potrzeba do danej aproksymacji z podanych): x 4 x (x i {0, 1, 2, 3}), 2 x (x i {0, 1, 2, 3}), sin x (x i {0, π/3, 2π/3, π}) (B) Dla poniższych funkcji znajdź aproksymację Hermite a zgadzającą się z funkcją co do wartości i pochodnej w podanych punktach: x 4 x, x i {0, 1}; 2 x, x i {0, 2}; sin x, x i {0, π/2} (C) Znajdź aproksymację funkcjami sklejanymi dla wybranej funkcji z poprzedniego zadania oraz kilku wybranych węzłów (D) W przestrzeni wielomianów stopnia co najwyżej 3 rozważamy następujące bazy (proszę sprawdzić, że to są rzeczywiście bazy!): {1, x, x 2, x 3 }, {1, x 1, (x 1)(x 2), x(x 1)(x 2)} Znajdź macierz operacji różniczkowania w tych bazach (E) Powtórz zadanie poprzednie dla wielomianów stopnia co najwyżej 2 i baz B 1 = {1, x, x 2 }, B 2 = {(x 1) 2, x 2, (x + 1) 2 } Znajdź macierz P odwzorowania identycznościowego w którym w dziedzinie rozpatrujemy bazę B 1, zaś w przeciwdziedzinie B 2 Pokaż, że zachodzi równość M 1 = P 1 M 2 P, gdzie M i są macierzami pochodnej w odpowiednich bazach (F) Opisz jądro i obraz operacji pochodnej z poprzedniego zadania w bazach B 1 i B 2 Zestaw 13 Przestrzenie liniowe Iloczyn skalarny (A) Znajdź rząd macierzy odwzorowania pochodnej z zadania 12D w obu bazach odwzorowania (B) Rozpatrzmy odwzorowanie liniowe f : R 3 R 3 o macierzy [ 2 2 4 1 1 2 1 2 3 Znajdź wektory własne tego Znajdź jądro i obraz tego odwzorowania oraz jego rząd (C) Znajdź wektory i wartości własne macierzy z poprzedniego zadania Znajdź macierz tego odwzorowania w bazie składającej się z wektorów własnych (D) Sprawdź, że odwzorowanie (v, w) v 1 w 1 + 2v 2 w 2 v 1 w 2 v 2 w 1 jest iloczynem skalarnym w R 2 Znajdź wektory o normie 1 ortogonalne do wektorów (0, 1), (1, 0),(1, 1) (E) Sprawdź (jeśli to nie zostało zrobione na wykładzie oraz mieli Państwo całki na analizie), że dla wielomianów operacja (p, q) 1 0 p(t)q(t)dt jest iloczynem skalarnym Znajdź ortogonalizację bazy B 1 z zadania 12E Sprawdź, że jeśli w całce zmienimy granice całkowania, pojęcie prostopadłości się zmieni (F) Sprawdź, że operacja (p, q) p(0)q(0) + p(1)q(1) + p( 1)q( 1) jest iloczynem skalarnym na przestrzeni wielomianów stopnia co najwyżej 2, ale nie jest na przestrzeni wielomianów stopnia co najwyżej 3 Zortogonalizuj bazę B 1 z zadania 12E Powtórz wyliczenia dla (p, q) p(x 0 )q(x 0 ) + p(x 1 )q(x 1 ) + p(x 2 )q(x 2 ) oraz wartości x i innych niż podane wyżej (G) W R 2 rozpatrujemy odwzorowanie v v 2 1 + 3v 2 2 + v 1 v 2 Pokaż, że jest to norma sprawdź, czy jest ona zadawana przez iloczyn skalarny i, w przypadku pozytywnej odpowiedzi, znajdź ten iloczyn