Eonometra Ćwczena Powtórzene wadomośc ze statysty SS EK Defncja Zmenną losową X nazywamy funcję odwzorowującą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbór lczb rzeczywstych, taą że przecwobraz dowolnego zboru postac,x jest zdarzenem losowym. Można powedzeć, że zmenna losowa to nc nnego ja wyrażene dowolnego zdarzena losowego w postac lczb rzeczywstych. Defncja Dystrybuantą zmennej losowej X nazywamy funcję Fx PX x. Dystrybuanta dla onretnej wartośc zmennej losowej tj. dla X x jest równa prawdopodobeństwu tego, że zmenna losowa X będze przyjmowała wartośc ne węsze nż onretna wartość x. Dystrybuanta zmennej losowej X oreśla jej rozład prawdopodobeństwa. Defncja Zmenną losową X nazywamy soową (dysretną), jeśl jej dystrybuanta jest funcją necągłą w puntach p P X jest równa, oraz x x F p. x x, suma wszystch soów x Defncja Zmenną losową X nazywamy cągłą, jeśl ma ona cągłą dystrybuantę F x oraz stneje taa funcja f x 0 przedstawć w postac:, zwana funcją gęstośc, że dystrybuanta da sę x x x F f dx. Parametry zmennej losowej Defncja Wartoścą oczewaną (nadzeją matematyczną) zmennej losowej X nazywamy lczbę: X E x p dla zmennej soowej, X x f x E dx dla zmennej cągłej. Defncja Momentem zwyłym rzędu zmennej losowej X nazywamy wartość oczewaną zmennej X, czyl: X E x p dla zmennej soowej, X x f x E dx dla zmennej cągłej.
Eonometra Ćwczena Powtórzene wadomośc ze statysty SS EK Defncja Momentem centralnym rzędu zmennej losowej X nazywamy wartość oczewaną zmennej X EX, czyl: X EX x EX m E p dla zmennej soowej, X E X x EX f x m E dx dla zmennej cągłej. Mary położena Mary opsujące najważnejsze własnośc rozładów Wartość oczewana (defncja powyżej). Parametr ten można nterpretować jao środe cężośc rozładu. Domnanta (wartość modalna, ozn. Mo) zmennej losowej X to: - dla zmennej losowej soowej wartość, tórej odpowada najwęsze prawdopodobeństwo, - dla zmennej losowej cągłej wartość, dla tórej gęstość przyjme masmum loalne. Innym słowy domnanta to wartość najczęścej występująca. Medana zmennej losowej X to lczba Me spełnająca nerównośc: X Me P X Me P Medana jest wartoścą taą, że połowa populacj przyjmuje wartośc od nej mnejsze a połowa populacj przyjmuje wartośc od nej węsze. Mary zmennośc (rozproszena) Warancja jest to moment centralny rzędu, czyl: - dla zmennej losowej soowej x EX p - dla zmennej losowej cągłej x EX f x Uwaga : E X EX E X E X, ozn varx ozn V X Uwaga : Warancja merzy stopeń rozproszena wartośc zmennej losowej woół wartośc przecętnej. Odchylene standardowe dane jest wzorem: Odchylene standardowe nformuje o przecętnym odchylanu sę wartośc zmennej losowej od wartośc oczewanej. dx
Eonometra Ćwczena Powtórzene wadomośc ze statysty SS EK Współczynn zmennośc V zmennej losowej X, dla tórej X 0 V E X E to loraz: Współczynn zmennośc nformuje jaą częścą wartośc oczewanej danej zmennej losowej stanow jej odchylene standardowe. Mara asymetr Defncja Mówmy, że zmenna losowa X ma rozład symetryczny, jeśl stneje ta punt a zwany środem symetr, ż dla ażdej wartośc x spełnony jest warune: f a x f a x Uwaga: Jeśl zmenna losowa ma rozład symetryczny sończoną wartość oczewaną, to jest ona środem symetr. m3 m3 Współczynn sośnośc (asymetr) dany jest wzorem: a 3 3 m Współczynn sośnośc jest marą naslena asymetr rozładu. - Jeśl a 0, to rozład jest asymetryczny prawostronne. - Jeśl a 0, to rozład jest asymetryczny lewostronne. Mara spłaszczena (oncentracj) Mówmy, że rozład zmennej losowej X cechuje smułość jeśl gęstość rozładu zmennej losowej X w poblżu jej wartośc oczewanej jest duża. Mówmy, że rozład zmennej losowej X cechuje spłaszczene jeśl gęstość rozładu zmennej losowej X w poblżu jej wartośc oczewanej jest mała. Marą oncentracj rozładu zmennej losowej woół jej wartośc oczewanej jest urtoza. m4 m4 Kurtoza dana jest wzorem: a 4 m Escesem (Ex) nazywamy różncę: Ex a 3 Oreślena mała duża oncentracja woół wartośc oczewanej ma charater względny. Dlatego należy odneść welość spłaszczena rozważanego rozładu do spłaszczena pewnego rozładu wzorcowego. Tam rozładem wzorcowym będze rozład normalny. Kurtoza rozładu normalnego przyjmuje wartość 3. Dlatego mówmy, że: - Jeśl a 3 ( Ex 0 ), to rozład jest bardzej wysmuły nż rozład normalny. - Jeśl a 3 ( Ex 0 ), to rozład jest bardzej płas nż rozład normalny. 3
Eonometra Ćwczena Powtórzene wadomośc ze statysty SS EK Rozład normalny Wybrane rozłady zmennych losowych Cągła zmenna losowa X ma rozład normalny z parametram, jeśl jej funcja x x gęstośc jest dana wzorem: f e. Fat, że zmenna losowa X ma rozład normalny z parametram X. ~ N, zapsujemy 0,8 N(0, ) N(0, 0.5) N(0, 4) N(4, ) 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0-0 -8-6 -4-0 4 6 8 0 W celu odczytana prawdopodobeństw dla zmennych losowych o rozładze normalnym orzysta sę z tablc dystrybuanty dla standaryzowanej zmennej losowej U. X oraz Jeśl ~ N, X U, to ~ N0, U. 4
Eonometra Ćwczena Powtórzene wadomośc ze statysty SS EK Rozład (ch-wadrat) Nech danych będze cągłych zmennych losowych ~ N0, zmenną losową: X X X. X. Zdefnujmy nową Rozład ta zdefnowanej zmennej losowej nazywamy rozładem zmennej losowej chwadrat o stopnach swobody oznaczamy.,4, Ch-wadrat() Ch-wadrat() Ch-wadrat(3) Ch-wadrat(4) Ch-wadrat(5) 0,8 0,6 0,4 0, 0 0 4 6 8 0 4 6 8 Rozład zmennej losowej wnosowanu statystycznym. jest rozładem pomocnczym używanym we 5
Eonometra Ćwczena Powtórzene wadomośc ze statysty SS EK Rozład t-studenta Nech dane będą cągłe zmenne losowe: ~ N0, X t X oraz. Rozład taej zmennej nazywamy rozładem t-studenta.. Zdefnujemy zmenną 0,4 0,35 N(0, ) t() t() t(3) t(0) t(30) 0,3 0,5 0, 0,5 0, 0,05 0-5 -4-3 - - 0 3 4 5 Rozład zmennej losowej statystycznym. t jest rozładem pomocnczym używanym we wnosowanu 6
Eonometra Ćwczena Powtórzene wadomośc ze statysty SS EK Rozład F Snedecora Nech dane będą cągłe zmenne losowe: X oraz zmenną n n, X n X n ~ n X ~ n. Zdefnujemy F. Rozład taej zmennej nazywamy rozładem F Snedecora.,8,6 F(, 0) F(, 0) F(3, 0) F(4, 0),4, 0,8 0,6 0,4 0, 0 0 4 6 8 0 Rozład zmennej losowej F jest rozładem pomocnczym używanym we wnosowanu statystycznym. 7
Eonometra Ćwczena Powtórzene wadomośc ze statysty SS EK Testowane hpotez statystycznych Defncja Hpoteza to sąd o zborowośc generalnej (populacj) wydany na podstawe obserwacj próby statystycznej. Hpotezy dzelmy na : - parametryczne (np. o wartośc przecętnej, warancj), - neparametryczne (np. o rozładze cechy) Defncja Hpotezą zerową ( Hpotezą alternatywną ( H 0 ) nazywamy hpotezę, tórą weryfujemy. przyjąć, gdy odrzucmy hpotezę zerową. H ) nazywamy hpotezę, tórą jesteśmy słonn Defncja Test statystyczny to reguła postępowana, tóra pownna doprowadzć do przyjęca lub odrzucena badanej hpotezy z małym ryzyem popełnena błędu. Prawdopodobeństwo popełnena błędu perwszego rodzaju, polegającego na odrzucenu hpotezy zerowej podczas edy jest ona prawdzwa, nazywamy pozomem stotnośc oznaczamy jao. Defncja Zbór rytyczny to ta podzbór możlwych wartośc statysty testowej, że wpadnęce do nego emprycznej wartośc statysty testowej jest bardzo mało prawdopodobne w sytuacj, gdy hpoteza zerowa jest prawdzwa. To prawdopodobeństwo wynos jest to pozom stotnośc. Decyzję o ewentualnym odrzucenu hpotezy podejmujemy po sprawdzenu, czy oblczona empryczna wartość statysty testowej należy do zboru rytycznego. Wygodne jest narysować oś wartośc statysty testowej, oznaczyć na nej zbór rytyczny, a następne uzysaną wartość statysty testowej. Zasady treść możlwych decyzj są następujące: - jeżel oblczona wartość statysty testowej należy do zboru rytycznego, to należy odrzucć hpotezę zerową na rzecz hpotezy alternatywnej. - jeżel oblczona wartość statysty testowej ne należy do zboru rytycznego, to ne ma podstaw do odrzucena hpotezy zerowej. 8