Wprowadzenie do teorii sterowania. Procesy o parametrach skupionych

Politechnika Wroc lawska Wydzia l Elektroniki Katedra K8 Prof. dr hab. inż. Krystyn Styczeń http://staff.iiar.pwr.wroc.pl/krystyn.styczen/ Wprowadzenie do teorii sterowania. Procesy o parametrach skupionych Literatura podstawowa T. Kaczorek i inni, Podstawy teorii sterowania, WNT, Warszawa 2005. T. Kaczorek, Teoria sterowania, PWN Warszawa t.1,1977, t.2,1981. T. Kaczorek, Teoria sterowania i systemów, PWN, Warszawa 1996. H. Górecki, Optymalizacja systemów dynamicznych, PWN, Warszawa 1993. W. Pe lczewski, Teoria sterowania, WNT, Warszawa 1980. A. Wierzbicki, Modele i wrażliwość uk ladów sterowania, WNT, Warszawa 1977. J.M. Douglas, Dynamika i sterowanie procesów, WNT, Warszawa 1976. J. Pu laczewski, K. Szacka, A. Manitius, Zasady automatyki, WNT, Warszawa 1974. K. Ogata, Metody przestrzeni stanów w teorii sterowania, WNT, Warszawa, 1974. B.P. Demidowicz, Matematyczna teoria stabilności, WNT, 1972. Literatura uzupe lniaj aca J. Zabczyk, Zarys matematycznej teorii sterowania,pwn, Warszawa 1991. R. Vinter, Optimal Control, Birkhauser, Boston 2000. J.T. Betts, Practical methods for optimal control and estimation using nonlinear programming, SIAM, Philadelphia, 2010. L.T. Biegler, Nonlinear Programming. Concepts, Algorithms, and Applications to Chemical Processes, SIAM, Philadelphia, 2010. 1

Sterowanie jest to celowe oddzia lywanie cz lowieka lub skonstruowanych przez niego urz adzeń na obiekt sterowania (natury technicznej, biologicznej, ekonomicznej) zapewniaj ace przebiegi procesów w obiekcie zgodne z przebiegami poż adanymi tj. zgodne z zadaniem sterowania. Sterowanie jest realizowane za pomoc a urz adzenia steruj acego. Zespó l urz adzenia steruj acego i obiektu sterowania nazywa siȩ uk ladem sterowania lub systemem sterowania. Wyróżnia siȩ dwie podstawowe struktury uk ladów sterowania: otwarty uk lad sterowania, w którym urz adzenie steruj ace nie korzysta z informacji o aktualnym przebiegu procesów w obiekcie Urz adzenie steruj ace US sterowanie Obiekt sterowania OS wyjście zamkniȩty uk lad sterowania, w którym urz adzenie steruj ace korzysta z informacji o aktualnym przebiegu procesów w obiekcie - w uk ladzie tym wprowadzane jest wiȩc sprzȩżenie zwrotne od obiektu do urz adzenia steruj acego. Urz adzenie steruj ace US sterowanie Obiekt sterowania OS wyjście W otwartym uk ladzie sterowania zak ladana jest dok ladna aprioryczna znajomość modelu obiektu. Na tej podstawie określany jest algorytm sterowania - nie uwzglȩdnia on jednak bież acych zmian w obiekcie i może być ma lo dok ladny. 2

W zamkniȩtym uk ladzie sterowania wyjście obiektu jest mierzone i porównywane z jego poż adanym przebiegiem. Na tej podstawie określana jest korekta sterowania wprowadzana za pomoc a pȩtli sprzȩżenia zwrotnego. Korekta ta uwzglȩdnia bież ace zmiany w obiekcie wynikaj ace np. z fluktuacji jego parametrów. Dla szeregu uk ladów poż adane przebiegi zmiennych procesowych określane s a w rezultacie rozwi azania zadania sterowania optymalnego tj. optymalizacji wskaźnika jakości procesu (czas realizacji procesu, produkcja sk ladnika użytecznego, straty energetyczne, zużycie surowca) z uwzglȩdnieniem równań procesu i jego ograniczeń (ograniczenia dostȩpności surowców i energii, ograniczenia zakresu dopuszczalnych wartości zmiennych procesowych). W zamkniȩtych uk ladach sterowania optymalnego dokonywana jest korekta sterowania optymalnego uwzglȩdniaj aca odchylenie rzeczywistych przebiegów zmiennych procesowych od ich przebiegów optymalnych. Uk lad sterowania optymalnego sterowanie optymalne Optymalny regulator stanu + 1 + korekta sterowania optymalnego Obiekt sterowania x(t) czȩste fluktuacje parametru W uk ladach sterowania badane s a przebiegi wielkości charakteryzuj acych obiekt sterowania i urz adzenie steruj ace. Przebiegi te traktowane s a jako funkcje czasu ci ag lego t [t 0, + ) lub jako funkcje czasu dyskretnego k = k 0, k 0 + 1, k 0 + 2,... 3

Model matematyczny obiektu (uk ladu) obejmuje wielkości zwi azane z obiektem (uk ladem) i zależności miȩdzy nimi. Z obiektami sterowania o czasie ci ag lym zwi azane s a nastȩpuj ace charakterystyczne wielkości bȩd ace funkcjami czasu ci ag lego: Obiekt sterowania sterowanie u(t) zak lócenie ξ(t) stan obiektu x(t) wyjście y(t) sterowanie obiektu jest to wektor wielkości, za pomoc a których urz adzenie steruj ace oddzia luje na obiekt u 1 (t) u 2 (t) u(t) =,... u m (t) wyjście obiektu jest to wektor wielkości mierzonych w obiekcie lub wektor wielkości, za pomoc a których obiekt oddzia luje na inne uk lady y 1 (t) y 2 (t) y(t) =,... y p (t) zak lócenie obiektu jest to wektor wielkości niekontrolowanych, za pomoc a których otoczenie oddzia luje na obiekt sterowania (zak lócenia mog a być deterministyczne lub losowe) ξ 1 (t) ξ 2 (t) ξ(t) =,... ξ q (t) 4

stan obiektu jest to najmniejszy liczebnie zespó l wielkości, znajomość którego w danej chwili czasu t wraz ze znajomości a wymuszeń u(t) i ξ(t) pocz awszy od chwili t pozwala jednoznacznie określić zachowanie siȩ obiektu w przysz lości tj. przebiegi x(t) i y(t); stan obiektu charakteryzuje wnȩtrze obiektu i reprezentuje jego pamiȩć, w której gromadzone s a skutki przesz lych oddzia lywań na obiekt; wielkości x i (t) nazywane s a wspó lrzȩdnymi stanu lub zmiennymi stanu. Stan obiektu jest na ogó l wielkości a wektorow a i w zwi azku z tym jest nazywany wektorem stanu obiektu x 1 (t) x 2 (t) x(t) =,... x n (t) Przestrzeń n-wymiarowa o wspó lrzȩdnych x 1, x 2,..., x n jest zwana przestrzeni a stanu. Krzywa, wzd luż której przebiega wektor stanu w przestrzeni stanu, jest zwana trajektori a stanu obiektu sterowania. Stan obiektu jest w wielu przypadkach określany przez liczbȩ niezależnych zasobników energii w obiekcie. Zależności miȩdzy wielkościami charakteryzuj acymi uk lad sterowania o czasie ci ag lym obejmuj a równanie stanu obiektu, które określa jego ewolucjȩ w czasie przyjmuj ac postać równania różniczkowego (liniowego lub nieliniowego) ẋ(t) = f(x(t), u(t), ξ(t), t), x(t 0 ) = x 0, t [t 0, t 1 ], f : R n R m R q R R n, 5

równanie wyjścia obiektu, które wi aże wielkości mierzone ze stanem obiektu i wymuszeniami zewnȩtrznymi przyjmuj ac postać dynamicznego równania algebraicznego y(t) = g(x(t), u(t), ξ(t), t), t [t 0, t 1 ], g : R n R m R q R R p, równanie urz adzenia steruj acego, które wi aże sterowanie obiektu z jego wyjściem przyjmuj ac postać dynamicznego równania algebraicznego u(t) = k(y(t), ξ(t), t), t [t 0, t 1 ], k : R p R R m. k : R p R R m. Charakterystyczne klasy uk ladów sterowania z czasem ci ag lym. Liniowe stacjonarne uk lady sterowania: równanie stanu obiektu ma postać liniowego stacjonarnego równania różniczkowego ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), x(t 0 ) = x 0, t [t 0, t 1 ], gdzie A R n n jest macierz a stanu, a B R n m jest macierz a sterowania, równanie wyjścia obiektu ma postać liniowego stacjonarnego równania algebraicznego y(t) = Cx(t), t [t 0, t 1 ], gdzie C R p n jest macierz a wyjścia, równanie urz adzenia steruj acego ma postać liniowego stacjonarnego równania algebraicznego u(t) = Ky(t) + ξ(t), t [t 0, t 1 ], gdzie K R m p jest macierz a sprzȩżenia zwrotnego, zaś ξ(t) może reprezentować zak lócenie nak ladaj ace siȩ na pȩtlȩ sprzȩżenia zwrotnego. 6

Liniowe niestacjonarne uk lady sterowania: równanie stanu obiektu ma postać liniowego niestacjonarnego równania różniczkowego ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), x(t 0 ) = x 0, t [t 0, t 1 ], gdzie A(t) R n n jest niestacjonarn a macierz a stanu, a B(t) R n m jest niestacjonarn a macierz a sterowania równanie wyjścia obiektu ma postać liniowego niestacjonarnego równania algebraicznego y(t) = C(t)x(t), t [t 0, t 1 ], gdzie C(t) R p n jest niestacjonarn a macierz a wyjścia, równanie urz adzenia steruj acego ma postać liniowego niestacjonarnego równania algebraicznego u(t) = K(t)y(t) + ξ(t), t [t 0, t 1 ], gdzie K(t) R m p jest niestacjonarn a macierz a sprzȩżenia zwrotnego. Uk lady sterowania z opóźnieniami Opóźnione oddzia lywania stanu i sterowania na dynamikȩ obiektu prowadz a do równań stanu i równań wyjścia z odchylonym argumentem ẋ(t) = f(x(t), x(t h 1 ), u(t), u(t h 2 ), ξ(t), t), y(t) = g(x(t), x(t h 1 ), ξ(t), t), gdzie h 1 jest opóźnieniem stanu, a h 2 jest opóźnieniem sterowania. Dla liniowego stacjonarnego przypadku równania te przyjmuj a postać ẋ(t) = Ax(t) + Ãx(t h 1) + Bu(t) + Bu(t h 2 ), y(t) = Cx(t) + Cx(t h 1 ). 7

Uk lady sterowania z dynamik a czasowo-przestrzenn a Sterowanie procesem wymiany ciep la w rurowym wymienniku ciep la 0 T 1 (t, z) z 1 T 2 (t, z) Wspó lbieżny proces wymiany ciep la realizowany jest np. w wymienniku ciep la typu rura w rurze. Temperatura T 1 (t, z) zimnego strumienia ciep la jak i temperatura T 2 (t, z) ciep lego strumienia ciep la jest funkcj a wspó lrzȩdnej czasowej t i wspó lrzȩdnej przestrzennej z. Opis matematyczny obiektów tego rodzaju prowadzi do równań dynamiki czasowo-przestrzennej x(t, z) t = f(x(t, z), x(t, z)/ z, u(t, z), t, z), y(t, z) = g(x(t, z), u(t, z), t, z), (t, z) [t 0, t 1 ] [0, 1], gdzie stan uk ladu x(t, z) jest funkcj a czasu t i zmiennej przestrzennej z (lub zmiennych przestrzennych z 1, z 2, z 3 ), a równania stanu maj a postać równań różniczkowych o pochodnych cz astkowych. W charakterze ważnych przypadków szczególnych procesów sterowania o parametrach roz lożonych można wymienić procesy z przep lywem t lokowym opisywane równaniami o pochodnych cz astkowych pierwszego rzȩdu x(t, z) t x(t, z) = q(t) + f(x(t, z), u(t, z), t, z), z z prȩdkości a przep lywu q(t) oraz procesy z przep lywem t lokowo-dyfuzyjnym opisywane równaniami o pochodnych cz astkowych pierwszego i drugiego rzȩdu x(t, z) t x(t, z) = q(t) + α 2 x(t, z) z z 2 +f(x(t, z), u(t, z), t, z), 8

ze wspó lczynnikiem dyfuzji α. Stosowany jest też uproszczony zapis pochodnych cz astkowych dla procesów t lokowych x t (t, z) = q(t)x z (t, z) + f(x(t, z), u(t, z), t, z), oraz dla procesów t lokowo-dyfuzyjnych x t (t, z) = q(t)x z (t, z) + αx zz (t, z) +f(x(t, z), u(t, z), t, z). 9

Z obiektami sterowania o czasie dyskretnym k = k 0, k 0 + 1, k 0 + 2,... zwi azane s a nastȩpuj ace charakterystyczne wielkości bȩd ace funkcjami czasu dyskretnego: Obiekt sterowania sterowanie u(k) zak lócenie ξ(k) stan obiektu x(k) wyjście y(k) sterowanie obiektu z czasem dyskretnym jest to wektor wielkości zmienianych w chwilach czasu dyskretnego, za pomoc a których urz adzenie steruj ace oddzia luje na obiekt u 1 (k) u 2 (k) u(k) =,... u m (k) wyjście obiektu z czasem dyskretnym jest to wektor wielkości mierzonych w obiekcie w chwilach czasu dyskretnego y 1 (k) y 2 (k) y(k) =,... y p (k) zak lócenie obiektu z czasem dyskretnym jest to wektor wielkości niekontrolowanych, za pomoc a których otoczenie oddzia luje na obiekt sterowania w chwilach czasu dyskretnego ξ 1 (k) ξ 2 (k) ξ(k) =,... ξ q (k) 10

stan obiektu z czasem dyskretnym jest to najmniejszy liczebnie zespó l wielkości, znajomość którego w danej chwili czasu dyskretnego k wraz ze znajomości a wymuszeń u(k) i ξ(k) pocz awszy od chwili k pozwala jednoznacznie określić zachowanie siȩ obiektu z czasem dyskretnym w przysz lości tj. określić przebiegi x(k) i y(k) x 1 (k) x 2 (k) x(k) =,... x n (k) Zależności miȩdzy wielkościami charakteryzuj acymi uk lad sterowania o czasie dyskretnym obejmuj a równanie stanu obiektu w postaci równania różnicowego (liniowego lub nieliniowego) x(k + 1) = f(x(k), u(k), ξ(k), k), x(k 0 ) = x 0, k = k 0, k 0 + 1,..., k 1, f : R n R m R q R R n, równanie wyjścia obiektu w postaci dyskretnego równania algebraicznego y(k) = g(x(k), u(k), ξ(k), k), k = k 0, k 0 + 1,..., k 1, g : R n R m R q R R p, równanie urz adzenia steruj acego w postaci dyskretnego równania algebraicznego u(k) = k(y(k), ξ(k), k), k = k 0, k 0 + 1,..., k 1, k : R p R R m. 11

Charakterystyczne klasy uk ladów sterowania z czasem dyskretnym. Liniowe dyskretne stacjonarne uk lady sterowania: równanie stanu obiektu w postaci liniowego stacjonarnego równania różnicowego x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k), x(k 0 ) = x 0, k = k 0, k 0 + 1,...k 1, A R n n, B R n m, równanie wyjścia obiektu w postaci liniowego stacjonarnego dyskretnego równania algebraicznego y(k) = Cx(k), k = k 0, k 0 + 1,..., k 1, C R p n, równanie urz adzenia steruj acego w postaci liniowego stacjonarnego dyskretnego równania funkcyjnego u(k) = Ky(k) + ξ(k), k = k 0, k 0 + 1,..., k 1, K R m p, gdzie A - macierz stanu uk ladu dyskretnego, B - macierz sterowania uk ladu dyskretnego, C - macierz wyjścia uk ladu dyskretnego, K - macierz sprzȩżenia zwrotnego uk ladu dyskretnego. Liniowe dyskretne niestacjonarne uk lady sterowania: równanie stanu obiektu w postaci liniowego niestacjonarnego równania różnicowego x(k + 1) = A(k)x(k) + B(k)u(k), x(k 0 ) = x 0, k = k 0, k 0 + 1,..., k 1, A(k) R n n, B(k) R n m, 12

równanie wyjścia obiektu w postaci liniowego niestacjonarnego dyskretnego równania funkcyjnego y(k) = C(k)x(k), k = k 0, k 0 + 1,..., k 1, C(k) R p n, równanie urz adzenia steruj acego w postaci liniowego niestacjonarnego dyskretnego równania funkcyjnego u(k) = K(k)y(k) + ξ(k), k = k 0, k 0 + 1,..., k 1, K(k) R m p, gdzie A(k) - niestacjonarna macierz stanu uk ladu dyskretnego, B(k) - niestacjonarna macierz sterowania uk ladu dyskretnego, C(k) - niestacjonarna macierz wyjścia uk ladu dyskretnego, K(k) - niestacjonarna macierz sprzȩżenia zwrotnego uk ladu dyskretnego. Podstawowe zadania sterowania zwi azane z realizacj a poż adanych procesów w uk ladach sterowania obejmuj a: zadanie sterowania statycznego - zadanie polega na wyborze sta lego w czasie oddzia lywania na obiekt zapewniaj acego sta ly w czasie przebieg stanu obiektu. Poszukujemy takiego statycznego procesu sterowania, który ma duży zapas stabilności i/lub ma l a wrażliwość na zmiany parametrów. Zadanie to odnosi siȩ do autonomicznych obiektów sterowania funkcjonuj acych na d lugim horyzoncie czasowym przy braku zak lóceń, zadanie optymalnego sterowania statycznego - zadanie polega na wyborze takiego optymalnego statycznego procesu sterowania, który zapewnia optymaln a wartość wskaźnika jakości procesu (maksymalny poziom produkcji substancji użytecznej, minimalne zużycie substancji surowcowych niezbȩdnych do prowadzenia procesu produkcyjnego, maksymalna selektywność procesu tj. wzglȩdny poziom substancji użytecznej w odniesieniu do poziomu szkodliwej substancji ubocznej), zadanie sterowania docelowego - zadanie polega na przeprowadzeniu obiektu z zadanego stanu pocz atkowego do zadanego stanu końcowego lub 13

do zadanego zbioru stanów końcowych; poszukujemy takiego dynamicznego procesu sterowania, który ma duży zapas stabilności i/lub ma l a wrażliwość na zmiany parametrów, zadanie optymalnego sterowania docelowego - zadanie polega na tym, aby spośród wszystkich trajektorii stanu przeprowadzaj acych obiekt z zadanego stanu pocz atkowego do zadanego stanu końcowego wybrać trajektoriȩ optymaln a, dla której minimalizowany jest wskaźnik jakości procesu np. czas realizacji procesu (zadanie sterowania minimalnoczasowego) lub straty energetyczne na sterowanie (zadanie sterowania minimalnoenergetycznego), zadanie sterowania okresowego - zadanie polega na zastosowaniu okresowych oddzia lywań steruj acych na obiekt, które zapewniaj a poż adane uśrednione charakterystyki procesów zachodz acych w obiekcie np. kompensuj a okresowe zak lócenia oddzia luj ace na obiekt, zadanie optymalnego sterowania okresowego - zadanie polega na tym, aby spośród wszystkich okresowych oddzia lywań steruj acych wybrać takie, które zapewni optymalny uśredniony wskaźnik jakości procesu np. jego maksymaln a średni a wydajność, zadanie optymalnego sterowania stochastycznego- zadanie polega na tym, aby zminimalizować wartość oczekiwan a wskaźnika jakości dla uk ladu sterowania, na który oddzia luj a zak lócenia przypadkowe, zadanie sterowania adaptacyjnego - zadanie polega na modyfikacji sterowania uwzglȩdniaj acej zmiany parametrów uk ladu, 14

zadanie regulacji stanu - zadanie polega na tym, aby na podstawie pomiaru wyjścia obiektu określić tak a korektȩ sterowania, która zniweluje odchylenie aktualnej trajektorii stanu od jej nominalnego przebiegu; zadanie to realizowane jest wiȩc w uk ladzie ze sprzȩżeniem zwrotnym, zadanie optymalnej regulacji stanu - zadanie polega na wyborze optymalnego sterowania koryguj acego przebieg trajektorii stanu, które np. minimalizuje straty energetyczne na sterowanie koryguj ace. Podstawowe zagadnienia zwi azane z realizacj a zadań sterowania to: badanie stabilności uk ladów sterowania tj. badanie wrażliwości nominalnej trajektorii stanu na zaburzenia stanu pocz atkowego; zaburzona trajektoria stanu uk ladu niestabilnego może oddalać siȩ od trajektorii poż adanej powoduj ac awariȩ uk ladu (uszkodzenie mechaniczne wskutek nadmiernego naprȩżenia wa lu silnika, pożar instalacji wskutek nadmiernie narastaj acej temperatury uk ladu, wybuch nadmiernie sprȩżonego sk ladnika chemicznego procesu produkcyjnego), badanie wrażliwości parametrycznej uk ladów sterowania tj. badanie wrażliwości nominalnej trajektorii stanu na zaburzenia parametrów uk ladu, badanie sterowalności uk ladów sterowania tj. badanie istnienia sterowania docelowego przeprowadzaj acego obiekt z zadanego stanu pocz atkowego do zadanego stanu końcowego; w zwi azku z tym określane s a warunki ca lkowitej lub czȩściowej sterowalności uk ladu, badanie obserwowalności uk ladów sterowania tj. określanie warunków, przy których na podstawie znajomości sterowania i wyjścia uk ladu można jednoznacznie określić stan uk ladu; w zwi azku z tym określane s a warunki ca lkowitej lub czȩściowej obserwowalności uk ladu, synteza uk ladów sterowania o zadanych w lasnościach dynamicznych np. synteza uk ladu o zadanych wartościach w lasnych macierzy stanu, dla których uk lad sterowania ma duży zapas stabilności i ma l a oscylacyjność, 15

synteza wejściowo-wyjściowych uk ladów sterowania o zadanych zerach i biegunach transmitancji operatorowej zapewniaj acych zarówno duż a dok ladność jak i stabilność uk ladu sterowania, synteza obserwatorów stanu uk ladów sterowania zapewniaj acych dok ladne lub przybliżone odtwarzanie stanu uk ladu, badanie algorytmów sterowania optymalnego tj. określanie warunków ich zbieżności i szybkości ich zbieżności. Metody teorii sterowania stosowane s a do projektowania i optymalizacji uk ladów mechanicznych, elektromechanicznych, chemicznych procesów produkcyjnych, procesów biotechnologicznych i wielu innych. 16

Przyk lad: Uk lad sterowania tarcz a obrotow a i(t) tarcza obrotowa θ(t), Ω(t) U(t) silnik rewersyjny przek ladnia Wielkości fizyczne zwi azane z uk ladem: θ(t) - po lożenie k atowe tarczy w chwili t, Ω(t) - prȩdkość k atowa tarczy w chwili t, i(t) - natȩżenie pr adu obwodu steruj acego silnika w chwili t, U(t) - napiȩcie obwodu steruj acego silnika w chwili t, Z tarcz a zwi azane s a przetworniki w postaci uk ladu mostkowego przetwarzaj acego jej po lożenie k atowe na napiȩcie U 1 (t) oraz pr adnicy tachometrycznej przetwarzaj acej jej prȩdkość k atow a na napiȩcie U 2 (t). Zależności miȩdzy wielkościami fizycznymi uk ladu: k atowego tarczy określa jej prȩdkość k atow a θ(t) = Ω(t), θ(t 0 ) = θ 0, t [t 0, t 1 ], pochodna po lożenia pochodna prȩdkości k atowej tarczy (przyspieszenie tarczy) jest proporcjonalna do natȩżenia pr adu obwodu steruj acego silnika ze wspó lczynnikiem proporcjonalności b Ω(t) = b i(t), Ω(t 0 ) = Ω 0, t [t 0, t 1 ], napiȩcia wyjściowe przetworników s a proporcjonalne do mierzonych wielkości U 1 (t) = c 1 θ(t), U 2 (t) = c 2 Ω(t), t [t 0, t 1 ], gdzie c 1 i c 2 s a wspó lczynnikami proporcjonalności przetworników. Jeśli stosujemy sprzȩżenie zwrotne to wielkości a steruj ac a staje siȩ napiȩcie obwodu steruj acego silnika U(t) powi azane np. liniowo z napiȩciami wyjściowymi przetworników U(t) = k 1 U 1 (t) k 2 U 2 (t), t [t 0, t 1 ], 17

gdzie k 1 i k 2 s a wspó lczynnikami ujemnego sprzȩżenia zwrotnego. Stosujemy standardowe oznaczenia teorii sterowania: x 1 (t) =. θ(t), x 2 (t) =. Ω(t) - zmienne stanu uk ladu, u(t) =. i(t) - zmienna steruj aca uk ladu, y 1 (t) =. U 1 (t), y 2 (t) =. U 2 (t) - zmienne wyjściowe uk ladu. Zapisujemy równania stanu uk ladu ẋ 1 (t) = x 2 (t), t [t 0, t 1 ], x 1 (t 0 ) = x 10, ẋ 2 (t) = b u(t), t [t 0, t 1 ], x 2 (t 0 ) = x 20 równania wyjścia uk ladu, y 1 (t) = c 1 x 1 (t), y 2 (t) = c 2 x 2 (t), t [t 0, t 1 ], oraz równanie sprzȩżenia zwrotnego u(t) = k 1 y 1 (t) + k 2 y 2 (t), t [t 0, t 1 ]. Celem sterowania może być minimalizacja strat energetycznych na sterowanie lub minimalizacja czasu realizacji zadania sterowania. Wskaźniki jakości procesu sterowania docelowego tarcz a obrotow a tj. procesu przestawiania tarczy z zadanego po lożenia pocz atkowego do zadanego po lożenia końcowego mog a wiȩc przybierać postać: dla sterowania minimalnoenergetycznego Q = t1 t 0 a dla sterowania minimalnoczasowego Q = t1 u 2 (t)dt, t 0 dt = t 1 t 0. Jeśli stosujemy sprzȩżenie zwrotne to sterowanie minimalnoenergetyczne można zrealizować w uk ladzie z liniowym sprzȩżeniem zwrotnym, zaś sterowanie mi- 18

nimalnoczasowe - w uk ladzie z nieliniowym sprzȩżeniem zwrotnym. Przyk lad: Sterowanie statyczne chemicznym procesem produkcyjnym Proces syntezy A+B C Do zbiornikowego reaktora chemicznego wprowadzane s a substancje surowcowe A i B. W reaktorze zachodzi proces syntezy A+B C, gdzie C jest produktem użytecznym. Niech c A0 i c B0 oznaczaj a stȩżenia substancji A i B na wejściu reaktora, zaś c A i c B - stȩżenia tych substancji w reaktorze. Statyczne równania stanu procesu wynikaj ace z bilansu masy dla sk ladników A i B przybieraj a postać q 1 c A0 qc A κc p 1 A cp 2 B = 0, q 2 c B0 qc B κc p 1 A cp 2 B = 0, gdzie q 1 jest natȩżeniem dop lywu substancji A do reaktora, q 2 jest natȩżeniem dop lywu substancji B do reaktora, q = q 1 + q 2 jest natȩżeniem wyp lywu mieszaniny reaguj acej z reaktora, κ jest wspó lczynnikiem szybkości reakcji, a p 1 i p 2 s a wspó lczynnikami określaj acymi rz ad reakcji syntezy. Suma stȩżeń sk ladników reakcji jest sta la: c A + c B + c C = 1. Na podstawie tego równania można wyeliminować zmienn a c C = 1 c A c B. Zmienne steruj ace - stȩżenia substancji A i B na wejściu reaktora u 1 = c A0 i u 2 = c B0. Zmienne stanu - stȩżenia substancji A i B w reaktorze x 1 = c A i x 2 = c B. Zmienna wyjściowa - stȩżenie produktu użytecznego w strumieniu wyjściowym y = 1 c A c B. 19

Statyczne równania stanu obiektu: Statyczne równanie wyjścia: q 1 u 1 qx 1 κx p 1 1 x p 2 2 = 0, q 2 u 2 qx 2 κx p 1 1 x p 2 2 = 0, y = 1 x 1 x 2. Przedstawiony model opisuje proces sterowania przebiegaj acy w sta lej temperaturze tj. proces izotermiczny. Jeśli reaktor wyposażyć w obwód grzejny wymuszaj acy temperaturȩ T w reaktorze, to wspó lczynnik szybkości szybkości reakcji staje siȩ funkcj a temperatury zgodnie z prawem Arrheniusa κ(t ). = κ 0 e β/t, gdzie κ 0 i β s a dodatnimi parametrami. Zmieniaj ac natȩżenie dop lywu czynnika grzejnego możemy wp lywać na temperaturȩ procesu i traktować j a jako dodatkowe sterowanie u 3 = T. Statyczne równania stanu ze sterowaniem temperaturowym przybior a postać q 1 u 1 qx 1 κ 0 e β/u 3 x p 1 1 x p 2 2 = 0, q 2 u 2 qx 2 κ 0 e β/u 3 x p 1 1 x p 2 2 = 0, Oprócz równań stanu uwzglȩdnić należy także ograniczenia zakresu zmiennych procesowych u i u i u + i, x i x i x + i i = 1, 2, 3. Dla szeregu procesów sterowania statyczne s a ustalone na poziomach wynikaj acych z ograniczonych średnich wydajności źróde l surowców i energii tj. u i = ū i, i = 1, 2, 3. Określeniu podlegaj a wtedy statyczne przebiegi zmiennych stanu. Celem sterowania może być maksymalizacja wydajności procesu tj. minimalizacja wyrażenia x 1 + x 2. 20

Przyk lad: Sterowanie wsadowym chemicznym procesem produkcyjnym zbiornikowy reaktor chemiczny t 0, A proces przemiany A B obwód grzejny T t 1, A,B Do zbiornikowego reaktora chemicznego za ladowany zostaje w chwili t 0 substrat A (substancja surowcowa). Ulega on przemianie w produkt użyteczny B pod wp lywem katalizatora K w wyniku egzotermicznej reakcji przemiany A B. Reaktor zostaje roz ladowany w chwili t 1. Na temperaturȩ procesu można wp lywać za pomoc a obwodu grzejnego zainstalowanego w reaktorze. Wielkości fizyko-chemiczne zwi azane z procesem: c A (t) - stȩżenie substratu A w reaktorze w chwili t, T (t) - temperatura w reaktorze w chwili t, T 0 (t) - temperatura czynnika grzejnego na wejściu reaktora, Zależności miȩdzy wielkościami fizyko-chemicznymi procesu: szybkość zmiany stȩżenia substratu A (i produktu użytecznego B) w reaktorze określona jest przez szybkość reakcji A B zależn a od aktualnego stȩżenia A w reaktorze i temperatury mieszaniny reaguj acej zgodnie z prawem Arrheniusa ċ A (t) = a e b/t (t) c 2 A(t), t [t 0, t 1 ], c A (t 0 ) = c A0, 21

szybkość zmiany temperatury w reaktorze zależy od przebiegu temperatury wejściowej i szybkości poch laniania ciep la przez reakcjȩ T (t) = T 0 (t) c e b/t (t) c 2 A(t), t [t 0, t 1 ], T (t 0 ) = T 0, gdzie a, b i c s a parametrami procesu. Jeśli określony jest poż adany przebieg temperatury na wejściu reaktora ˆT 0 (t) i w reaktorze ˆT (t) (np. przebieg optymalny w sensie pewnego wskaźnika jakości), to zaburzenie tego przebiegu może być regulowane za pomoc a sprzȩżenia zwrotnego T 0 (t) = ˆT 0 (t) k(t (t) ˆT (t)), gdzie k jest wspó lczynnikiem sprzȩżenia zwrotnego. Stosujemy standardowe oznaczenia teorii sterowania: u(t). = T 0 (t) - zmienna steruj aca procesu, x 1 (t). = c A (t), x 2 (t) = T (t) - zmienne stanu procesu, y(t). = T (t) - zmienna wyjściowa procesu. Zapisujemy równania stanu procesu ẋ 1 (t) = a e b/x 2(t) x 2 1(t), t [t 0, t 1 ], x 1 (t 0 ) = x 10, ẋ 2 (t) = u(t) c a e b/x2(t) x 2 1(t), t [t 0, t 1 ],, x 2 (t 0 ) = x 20 równanie wyjścia procesu, y(t) = x 2 (t), t [t 0, t 1 ], oraz równanie sprzȩżenia zwrotnego procesu u(t) = û(t) k (x 2 (t) ˆx 2 (t), t [t 0, t 1 ]. Wskaźnik jakości procesu sterowania wsadowym chemicznym procesem produkcyjnym może przybierać postać kombinacji kosztów nagrzewania i wartości produktu użytecznego Q = t1 t 0 u(t)dt d (1 x 1 (t 1 )), gdzie d jest wspó lczynnikiem wartości tego produktu. Cel sterowania jest wiȩc równoważny maksymalizacji zysku z prowadzenia procesu. 22

Przyk lad: Sterowanie procesem biotechnologicznym w bioreaktorze przep lywowym bioreaktor przep lywowy S 0 (t) proces przemiany S P S(t), P (t) Rozważmy proces sterowania stȩżeniem wejściowym substratu S wprowadzanego do zbiornikowego bioreaktora przep lywowego, gdzie zachodzi jego przemiana w biomasȩ dokonywana przez populacjȩ mikrobiologiczn a P umieszczon a w bioreaktorze (lub przemiana w produkt metabolizmu tej populacji). Substratem może być specjalnie dobrana pożywka dla populacji P (produkcja farmaceutyków), a także ścieki lub odpady (procesy biooczyszczania). Wielkościami fizyko-biochemicznymi procesu s a: S 0 (t) - stȩżenie substratu S na wejściu bioreaktora w chwili t, S(t) - stȩżenie substratu S w bioreaktorze w chwili t, P (t) - stȩżenie populacji mikrobiologicznej P w bioreaktorze w chwili t. Zależności miȩdzy wielkościami fizyko-chemicznymi procesu: szybkości zmiany stȩżenia substratu i populacji s a określone przez wielkości dop lywu i odp lywu biosk ladników procesu oraz przez szybkość przetwarzania substratu przez populacjȩ Ṡ(t) = q(s 0 (t) S(t) a S(t) b + S(t) P (t), S(t 0 ) = S 0, t [t 0, t 1 ], t 1 >> t 0, P (t) = qp (t) + c S(t) b + S(t) P (t), P (t 0 ) = P 0, t [t 0, t 1 ], gdzie a, b i c s a parametrami funkcji przyrostu populacji, zaś q jest natȩżeniem przep lywu biomieszaniny przez bioreaktor. 23

Stosujemy standardowe oznaczenia teorii sterowania: u(t). = S 0 (t) - zmienna steruj aca procesu tj. stȩżenie wejściowe substratu w chwili t, x 1 (t). = S(t), x 2 (t). = P (t) - zmienne stanu procesu tj. stȩżenia substratu i populacji w reaktorze w chwili t, Zapisujemy równania stanu procesu w postaci standardowej ẋ 1 (t) = q(u(t) x 1 (t)) a x 1 (t 0 ) = x 0, t [t 0, t 1 ], ẋ 2 (t) = qx 2 (t) + c x 1 (t) b + x 1 (t) x 2(t), x 1 (t) b + x 1 (t) x 2(t), x 1 (t 0 ) = x 0, t [t 0, t 1 ]. Dla niektórych bioprocesów charakterystyczne jest opóźnienie szybkości przyrostu populacji po zmianie stȩżenia substratu. Równania stanu bioprocesu przybieraj a wtedy postać równań różniczkowych z odchylonym argumentem ẋ 1 (t) = q (u(t) x 1 (t)) a x 1 (t 0 ) = x 0, t [t 0, t 1 ], ẋ 2 (t) = q x 2 (t) + c x 1 (t) b + x 1 (t) x 2(t), x 1 (t h) b + x 1 (t h) x 2(t), x 1 (t 0 ) = x 0, t [t 0, t 1 ], gdzie h jest opóźnieniem szybkości przyrostu populacji po zmianie stȩżenia substratu. 24

Celem sterowania może być w tym przypadku maksymalizacja sumarycznego uzysku biomasy tj. maksymalizacja wskaźnika jakości procesu postaci t1 t 0 qx 2 (t)dt. Przyk lad: Sterowanie mechanicznym oscylatorem ściana podstawowa amortyzator sprȩżynowy Maszyna M si la stabilizuj aca Po lożenie l(t) maszyny M stabilizowane jest w punkcie l = 0 (po lożenie neutralne) za pomoc a si ly stabilizuj acej F (t) i amortyzatora sprȩżynowego o wspó lczynniku sprȩżystości a. Podstawowe równanie ruchu maszyny M odzwierciedla redukcjȩ jej przyspieszenia przez amortyzator proporcjonalnie do jej odchylenia od po lożenia neutralnego i proporcjonalnie do si ly stabilizuj acej F (t): l(t) = al(t) F (t), l(t 0 ) = l 0, l(t0 ) = l 0, t [t 0, t 1 ]. Równanie ruchu swobodnego maszyny (F (t) = 0) przybiera postać l(t) = al(t), l(t 0 ) = l 0, l(t0 ) = l 0, t [t 0, t 1 ]. Ostatnie równanie posiada równanie charakterystyczne r 2 = ar, którego pierwiastki s a urojone r 1,2 = ±j a. Oznaczaj ac ω. = a możemy zapisać rozwi azanie równania ruchu swobodnego jak nastȩpuje l(t) = C 1 cos ωt + C 2 sin ωt, t [t 0, t 1 ], gdzie sta le C 1 i C 2 s a określone przez warunki poczatkowe. Tak wiȩc ruch swobodny maszyny M ma charakter oscylacyjny. Obiekt sterowania można określić 25

mianem oscylatora mechanicznego. Jeśli uk lad jest wyposażony oprócz amortyzatora sprȩżynowego także w t lumik i wprowadzone s a dwa oddzia lywania zewnȩtrzne - stabilizuj ace F 1 (t) i t lumi ace drgania pochodz ace z otoczenia F 2 (t), to równanie ruchu maszyny przybierze postać l(t) = a 1 l(t) a 2 l(t) F1 (t) F 2 (t), l(t 0 ) = l 0, l(t0 ) = l 0, t [t 0, t 1 ], gdzie a 1 jest wspó lczynnikiem sprȩżystości amortyzatora, zaś a 2 - wspó lczynnikiem t lumienia t lumika. Amortyzator może wykazywać dzia lanie nieliniowe stabilizuj ace przy wiȩkszych odchyleniach obiektu od po lożenia równowagi l(t) = a 1 l(t) a 11 l 3 (t) a 2 l(t) F1 (t) F 2 (t), l(t 0 ) = l 0, l(t0 ) = l 0, t [t 0, t 1 ], oraz dzia lanie nieliniowe destabilizuj ace obiekt przy takich odchyleniach (tzw. efekt miȩkkiej sprȩżyny) l(t) = a 1 l(t) + a 11 l 3 (t) a 2 l(t) F1 (t) F 2 (t), l(t 0 ) = l 0, l(t0 ) = l 0, t [t 0, t 1 ], gdzie a11 jest wspó lczynnikiem sprȩżystości nieliniowej sk ladowej amortyzatora. W innych sytuacjach r ownież dzia lanie t lumika ma nieliniowy charakter l(t) = a 1 l(t) a 2 l 2 (t)sign( l(t)) F 1 (t) F 2 (t), l(t 0 ) = l 0, l(t0 ) = l 0, t [t 0, t 1 ], gdzie funkcja znaku sign jest wprowadzona dlatego, aby si la oporu by la zawsze przeciwna do prȩdkości. Zak ladamy, że zarówno po lożenie l(t) maszyny jak i jej prȩdkość l(t) s a mierzone za pomoc a przetworników reprezentuj acych te wielkości w postaci sygna lów napiȩciowych U 1 (t) i U 2 (t) (ze wspó lczynnikami proporcjonalności c 1 i c 2 ), które mog a być wykorzystane w pȩtli sprzȩżenia zwrotnego do generowania si ly stabilizuj acej F (t) w odpowiednim uk ladzie napiȩciowym. 26

Stosujemy oznaczenia standardowe teorii sterowania do modelu oscylatora mechanicznego: x 1 (t) =. l(t), x 2 (t) =. l(t) - zmienne stanu oscylatora, u 1 (t) =. F 1 (t), u 2 (t) =. F 2 (t) - zmienne steruj ace oscylatora, y 1 (t) =. U 1 (t), y 2 (t) =. U 2 (t) - zmienne wyjściowe oscylatora, równania stanu liniowego oscylatora mechanicznego ẋ 1 (t) = x 2 (t), x 1 (t 0 ) = 0, t [t 0, t 1 ], ẋ 2 (t) = a 1 x 1 (t) a 2 x 2 (t) b 1 u 1 (t) b 2 u 2 (t), x 2 (t 0 ) = 0, t [t 0, t 1 ], gdzie b 1 i b 2 s a wspó lczynnikami normalizacyjnymi sterowania, równania wyjścia oscylatora mechanicznego y 1 (t) = c 1 x 1 (t), t [t 0, t 1 ], y 2 (t) = c 2 x 2 (t), t [t 0, t 1 ], równania stanu oscylatora mechanicznego z nieliniowym amortyzatorem ẋ 1 (t) = x 2 (t), x 1 (t 0 ) = 0, t [t 0, t 1 ], ẋ 2 (t) = a 1 x 1 (t) ± a 11 x1 3 (t) a 2 x 2 (t) b 1 u 1 (t) b 2 u 2 (t), x 2 (t 0 ) = 0, t [t 0, t 1 ], równania stanu oscylatora mechanicznego z nieliniowym t lumikiem ẋ 1 (t) = x 2 (t), x 1 (t 0 ) = 0, t [t 0, t 1 ], ẋ 2 (t) = a 1 x 1 (t) a 2 x 2 2(t)sign(x 2 (t)) b 1 u 1 (t) b 2 u 2 (t), x 2 (t 0 ) = 0, t [t 0, t 1 ]. 27