05/06 Z1/1. NLIZ LK ZNI 1 1 Z1/1. NLIZ LK ZNI 1 Z1/1.1 Zadanie 1 Udowodnić geometryczną niezmienność belki złożonej na rysunku Z1/1.1 a następnie wyznaczyć reakcje podporowe oraz wykresy siły poprzecznej i momentu zginającego. Wszystkie wymiary są podane w metrach. Zadanie zostanie rozwiązanie z wykorzystaniem dokładnej postaci funkcji siły poprzecznej oraz momentu zginającego. Rys. Z1/1.1. elka złożona. Z1/1.2 naliza kinematyczna belki złożonej Rysunek Z1/1.2 przedstawia układ tarcz sztywnych, który jest modelem belki złożonej przedstawionej na rysunku Z1/1.1. 1 2 1 2 Rys. Z1/1.2. Układ tarcz sztywnych model belki złożonej. Układ tarcz sztywnych składa się z dwóch tarcz, które razem mają 6 stopni swobody. Układ jest podparty czterema prętami podporowymi oraz przegubem rzeczywistym, które to więzy odbierają 4 1 1 2=6 (Z1/1.1) stopni swobody. Został więc spełniony warunek konieczny geometrycznej niezmienności (1.4). Tarcza numer 1 jest podparta do tarczy podporowej za pomocą trzech prętów, których kierunki nie przecinają się w jednym punkcie. Tarcza ta jest więc geometrycznie zmienna i może stanowić podłoże dla tarczy numer 2. Rysunek Z1/1.3 przedstawia tarczę numer 2. Jak widać jest ona podparta do podłoża za pomocą przegubu rzeczywistego i pręta podporowego. Przegub rzeczywisty nie leży na kierunki pręta podporowego więc tarcza numer 2 jest także geometrycznie niezmienna. Skoro obie tarcze są geometrycznie niezmienne to i cały układ tarcz sztywnych jest geometrycznie niezmienny.
05/06 Z1/1. NLIZ LK ZNI 1 2 2 Rys. Z1/1. 3. Tarcza numer 2. Z1/1.3 Wyznaczenie reakcji podporowych Rysunek Z1/1.4 przedstawia podział belki złożonej na belki proste wraz z założonymi zwrotami reakcji podporowych. H V 2 H 1 H V V V V Rys. Z1/1.4. Założone zwroty reakcji podporowych. ałe obciążenie czynne jest prostopadłe do osi belki więc poziome reakcje H oraz H są równe zero. Reakcję V możemy wyznaczyć z warunku M 2 =0 V 4,0 8,0 5,0 10,0 4,0 1 2 4,0=0 V =30,0kN. (Z1/1.2) Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym. Reakcję V możemy wyznaczyć z warunku M 2 =0 V 4,0 8,0 1,0 10,0 4,0 1 2 4,0=0 V =18,0kN. (Z1/1.3) Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.
05/06 Z1/1. NLIZ LK ZNI 1 3 W celu sprawdzenia obliczeń zastosujemy warunek równowagi Y 2 =0 V V 8,0 10,0 4,0=30,0 18,0 10 4,0 8,0=0. (Z1/1.4) Reakcje działające na belkę numer 2 znajdują się więc w równowadze. Rysunek Z1/1.5 przedstawia belkę numer 2 w równowadze. 2 1 30,0 kn 4,0 1,0 Rys. Z1/1.5. elka numer 2 w równowadze. Reakcję V możemy wyznaczyć z warunku M 1 =0 V 6,0 V 8,0 12,0 1 2 15,0 6,0 2 3 6,0=0 V =52,0kN. (Z1/1.5) Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym. Reakcję V możemy wyznaczyć z warunku M 1 =0 V 6,0 V 2,0 12,0 1 2 15,0 6,0 1 3 6,0=0 V =11,0kN. (Z1/1.6) Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym. W celu sprawdzenia obliczeń zastosujemy warunek równowagi Y 1 =0 V V V 1 2 15,0 6,0=11,0 52,0 18,0 1 2 15,0 6,0=0. (Z1/1.7)
05/06 Z1/1. NLIZ LK ZNI 1 4 Reakcje działające na belkę numer 1 znajdują się więc w równowadze. Rysunek Z1/1.6 przedstawia belkę numer 1 w równowadze. 1 11,0 kn 52,0 kn 6,0 2,0 Rys. Z1/1.6. elka numer 1 w równowadze. Rysunek Z1/1.7 przedstawia całą belkę złożoną w równowadze. 11,0 kn 52,0 kn 30,0 kn Rys. Z1/1.7. ała belka złożona w równowadze. Z1/1.4 Siły przekrojowe w przedziale Rysunek Z1/1.8 przedstawia równowagę części belki w przedziale. Na rysunku zaznaczone są założone dodatnie zwroty siły poprzecznej i momentu zginającego. Oczywiście siła normalna w przedziale wynosi zero. Siły i momenty sił działające zgodnie z przyjętymi zwrotami siły poprzecznej i momentu zginającego w funkcjach T(x) i M(x) będziemy zapisywać z minusem natomiast siły i momenty sił działające przeciwnie do przyjętych zwrotów siły poprzecznej i momentu zginającego w funkcjach T(x) i M(x) będziemy zapisywać z plusem. Siła poprzeczna wynosi T x =11,0 1 2 15,0 6,0 x x= 5,0 4,0 x2 11,0. (Z1/1.8) Wartości siły poprzecznej na początku i końcu przedziału wynoszą T 0,0 = 11,0kN T 6,0 = 34,0kN. (Z1/1.9)
05/06 Z1/1. NLIZ LK ZNI 1 5 q x = 15,0 6,0 x=2,5 x 11,0 kn x 1 T(x) M(x) X Rys. Z1/1.8. Równowaga części belki w przedziale. Siła poprzeczna posiada miejsce zerowe w punkcie T x 0 = 5,0 4,0 x 2 0 11,0=0 x 0 =2,966m. (Z1/1.10) kstremum wykresu siły poprzecznej znajduje się w punkcie. Moment zginający wynosi M x =11,0 x 1 2 15,0 6,0 x x 1 5,0 x 12,0= 3 12,0 x3 11,0 x 12,0. (Z1/1.11) Wartości momentu zginającego na początku i końcu przedziału wynoszą M 0,0 = M 6,0 = 36,0 knm. (Z1/1.12) Wartość momentu zginającego w miejscu ekstremum (Z1/1.10) wynosi M 2,966 =9,754 knm. (Z1/1.13) Pochodna funkcji siły poprzecznej (Z1/1.8) wynosi dt dx = 5,0 2,0 x= 2,5 x = q x. (Z1/1.14) Spełnione zostało różniczkowe równanie równowagi (1.53). Pochodna funkcji momentu zginającego (Z1/1.11) wynosi
05/06 Z1/1. NLIZ LK ZNI 1 6 dm dx = 5,0 4,0 x2 11,0=T x. (Z1/1.15) Spełnione zostało różniczkowe równanie równowagi (1.54). Rysunek Z1/1.9 przedstawia wykresy siły poprzecznej i momentu zginającego w przedziale 11,0 kn 52,0 kn 30,0 kn +11,0 T(x) [kn] -34,0 12,0 9,754 36,0 M(x) [knm] Rys. Z1/1.9. Wykres sił przekrojowych w przedziale. Z1/1.5 Siły przekrojowe w przedziale Rysunek Z1/1.10 przedstawia równowagę części belki w przedziale. Na rysunku zaznaczone są założone dodatnie zwroty siły poprzecznej i momentu zginającego. Oczywiście siła normalna w przedziale także wynosi zero. Siły i momenty sił działające zgodnie z przyjętymi zwrotami siły poprzecznej i momentu zginającego w funkcjach T(x) i M(x) będziemy zapisywać z minusem natomiast siły i momenty sił działające przeciwnie do przyjętych zwrotów siły poprzecznej i momentu zginającego w funkcjach T(x) i M(x) będziemy zapisywać z plusem. Siła poprzeczna wynosi
05/06 Z1/1. NLIZ LK ZNI 1 7 X M(x) T(x) 1 Rys. Z1/10. Równowaga części belki w przedziale. x T x =1. (Z1/1.16) Moment zginający wynosi M x = 18,0 x. (Z1/1.17) Wartości momentu zginającego na początku i końcu przedziału wynoszą M 0,0 =0,0 knm M 12,0 = 36,0 knm. (Z1/1.18) Pochodna momentu zginającego wynosi dm dx = 18,0= T x. (Z1/1.19) Spełniona została więc zależność (1.56). Rysunek Z1/1.11 przedstawia wykresy sił przekrojowych w przedziale. Z1/1.6 Siły przekrojowe w przedziale Rysunek Z1/1.12 przedstawia równowagę części belki w przedziale. Na rysunku zaznaczone są założone dodatnie zwroty siły poprzecznej i momentu zginającego. Oczywiście siła normalna w przedziale wynosi zero. Siły i momenty sił działające zgodnie z przyjętymi zwrotami siły poprzecznej i momentu zginającego w funkcjach T(x) i M(x) będziemy zapisywać z minusem natomiast siły i momenty sił działające przeciwnie do przyjętych zwrotów siły poprzecznej i momentu zginającego w funkcjach T(x) i M(x) będziemy zapisywać z plusem. Siła poprzeczna wynosi T x =18,0 10,0 x. (Z1/1.20)
05/06 Z1/1. NLIZ LK ZNI 1 8 11,0 kn 52,0 kn 30,0 kn +18,0 +11,0 T(x) [kn] -34,0 12,0 9,754 36,0 0,0 M(x) [knm] Rys. Z1/1.11. Wykresy sił przekrojowych w przedziale. 2 1 x T(x) M(x) X Rys. Z1/1.12. Równowaga części belki w przedziale. Wartości siły poprzecznej na początku i końcu przedziału wynoszą T 0,0 = 1 T 4,0 = 22,0 kn. (Z1/1.21) Siła poprzeczna posiada miejsce zerowe w punkcie
05/06 Z1/1. NLIZ LK ZNI 1 9 T x 0 =18,0 10,0 x 0 x 0 =1,8 m. (Z1/1.22) Moment zginający wynosi M x =18,0 x 10,0 x 1 2 x=18,0 x 5,0 x2. (Z1/1.23) Wartości momentu zginającego na początku i końcu przedziału wynoszą M 0,0 =0,0 knm M 4,0 = m. (Z1/1.24) Wartość momentu zginającego w miejscu ekstremum (Z1/1.22) wynosi M 1,8 =16,2 knm. (Z1/1.25) Pochodna funkcji siły poprzecznej (Z1/1.20) wynosi dt dx = 10,0= q x. (Z1/1.26) Spełnione zostało różniczkowe równanie równowagi (1.53). Pochodna funkcji momentu zginającego (Z1/1.23) wynosi dm dx =18,0 10,0 x=t x. (Z1/1.27) Spełnione zostało różniczkowe równanie równowagi (1.54). Rysunek Z1/1.13 przedstawia wykresy siły poprzecznej i momentu zginającego w przedziale. Z1/1.7 Siły przekrojowe w przedziale Rysunek Z1/1.14 przedstawia równowagę części belki w przedziale. Na rysunku zaznaczone są założone dodatnie zwroty siły poprzecznej i momentu zginającego. Oczywiście siła normalna w przedziale także wynosi zero. Z1/1.7 Siły i momenty sił działające zgodnie z przyjętymi zwrotami siły poprzecznej i momentu zginającego w funkcjach T(x) i M(x) będziemy zapisywać z minusem natomiast siły i momenty sił działające przeciwnie do przyjętych zwrotów siły poprzecznej i momentu zginającego w funkcjach T(x) i M(x) będziemy zapisywać z plusem.
05/06 Z1/1. NLIZ LK ZNI 1 10 11,0 kn 52,0 kn 30,0 kn +18,0 +11,0 T(x) [kn] -34,0 1,8 2,2-22,0 12,0 9,754 36,0 0,0 16,2 8,0 M(x) [knm] 1,8 2,2 Rys. Z1/1.13. Wykresy sił przekrojowych w przedziale. M(x) X T(x) Rys. Z1/1.14. Równowaga części belki w przedziale. x Siła poprzeczna wynosi T x =8,0kN. (Z1/1.28) Moment zginający wynosi
05/06 Z1/1. NLIZ LK ZNI 1 11 M x = 8,0 x. (Z1/1.29) Wartości momentu zginającego na początku i końcu przedziału wynoszą M 0,0 =0,0 knm M 1,0 = m. (Z1/1.30) 11,0 kn 52,0 kn 30,0 kn +18,0 +11,0 +8,0 T(x) [kn] -34,0 1,8 2,2-22,0 12,0 9,754 36,0 0,0 16,2 8,0 M(x) [knm] 1,8 2,2 Rys. Z1/1.15. Wykresy sił przekrojowych w przedziale będące także wykresami ostatecznymi dla całej belki. Pochodna momentu zginającego wynosi dm dx = 8,0= T x. (Z1/1.31) Spełniona została więc zależność (1.56). Rysunek Z1/1.15 przedstawia wykresy sił przekrojowych w przedziale. Są to także wykresy ostateczne dla całej belki.