Ekonometria Szeregów Czasowych Wykªad: Niestacjonarno± 8/12 marca 2017 dr Karolina Konopczak Katedra Ekonomii Stosowanej
Plan zaj Poj cie stacjonarno±ci Stopie«zintegrowania szeregu Wyznaczenie piewiastków wielomianu charakterystycznego Testy pierwiastka jednostkowego / testy stacjonarno±ci
Plan wicze«poj cie stacjonarno±ci Stopie«zintegrowania szeregu Wyznaczenie piewiastków wielomianu charakterystycznego Testy pierwiastka jednostkowego / testy stacjonarno±ci
Zmienne losowe denicje Y t zmienna losowa przyjmuje warto±ci z okre±lonymi prawdopodobie«stwami {Y t } proces stochastyczny ci g zmiennych losowych Y t uporz dkowanych wedªug czasu {y t } szereg czasowy realizacja procesu stochastycznego w konkretnej próbie
Poj cie stacjonarno±ci procesu Stacjonarno± I rodzaju (w w»szym sensie / mocna) Rozkªad procesu jest niezmienny w czasie (w ka»dym okresie y t jest realizacj zmiennej Y t o identycznym rozkªadzie) Stacjonarno± II rodzaju (w szerszym sensie / sªaba) - ±rednia i wariancja procesu s staªe w czasie E(Y t) = µ < D 2 (Y t) = δ 2 < - kowariancja mi dzy zmiennymi zale»y wyª cznie od ich odlegªo±ci w czasie (a nie od konkretnego momentu) Cov(Y t, Y t+h ) = Cov(Y t+k, Y t+k+h ) = γ(h)
Biaªy szum Biaªy szum denicja E(ε t) = 0 D 2 (ε t) = δ 2 < [wahania maj tendencj do znoszenia si ] Cov(ε t, ε t+h ) = 0, h 0 [staªo± wariancji w czasie homoskedastyczno± ] [brak autokorelacji] Wªasno±ci biaªego szumu powinien wykazywa skªadnik losowy w klasycznym modelu regresji liniowej. ε t iid(0, δ 2 ) i independent i indentically d distributed
Zmienna stacjonarna biaªy szum
Zmienna niestacjonarna proces bª dzenia losowego Proces bª dzenia losowego denicja y t = y t 1 + ε t y t = y t 1 + ε t = y t 2 + ε t 1 + ε t = y t 3 + ε t 2 + ε t 1 + ε t =... = y 0 + t τ=1 ετ y 0 =0 t = ε τ τ=1 }{{} trend stochastyczny
Zmienna niestacjonarna proces bª dzenia losowego Proces bª dzenia losowego denicja y t = y t 1 + ε t y t = y t 1 + ε t = y t 2 + ε t 1 + ε t = y t 3 + ε t 2 + ε t 1 + ε t =... = y 0 + t τ=1 ετ y 0 =0 t = ε τ τ=1 }{{} trend stochastyczny Wªasno±ci bª dzenia losowego E(y t) = E( t τ=1 ετ ) = t τ=1 E(ετ ) = 0 D 2 (y t) = D 2 ( t τ=1 ετ ) cov(ετ,ε τ h)=0 = t τ=1 D2 (ε τ ) = tδ 2 cov(y t, y t h ) = E(y ty t h ) E(y t)e(y t h ) = E( t h t h τ=1 ετ τ=1 ετ ) t h t h E( ε τ ) E( ε τ ) = D 2 ( t h τ=1 ετ ) = t h τ=1 D2 (ε τ ) = (t h)δ 2 } τ=1 {{ }} τ=1 {{ } 0 0
Zmienna niestacjonarna proces bª dzenia losowego
Zmienna niestacjonarna proces bª dzenia losowego z dryfem Proces bª dzenia losowego z dryfem denicja y t = α 0 + y t 1 + ε t y t = α 0 + y t 1 + ε t = α 0 + α 0 + y t 2 + ε t 1 + ε t = t α 0 + α 0 + α 0 + y t 3 + ε t 2 + ε t 1 + ε t =... y 0=0 = T α 0 + ε τ τ=1 }{{} trend stochastyczny
Zmienna niestacjonarna proces bª dzenia losowego z dryfem Proces bª dzenia losowego z dryfem denicja y t = α 0 + y t 1 + ε t y t = α 0 + y t 1 + ε t = α 0 + α 0 + y t 2 + ε t 1 + ε t = t α 0 + α 0 + α 0 + y t 3 + ε t 2 + ε t 1 + ε t =... y 0=0 = T α 0 + ε τ τ=1 }{{} Wªasno±ci bª dzenia losowego z dryfem E(y t) = E(T α 0 + t τ=1 ετ ) = T α 0 + t τ=1 E(ετ ) = tα 0 trend stochastyczny Wariancja i kowariancja takie same, jak w przypadku bª dzenia przypadkowego, bo przesuniecie o staª nie wpªywa na dyspersj procesu.
Zmienna niestacjonarna proces bª dzenia losowego z dryfem
Plan wicze«poj cie stacjonarno±ci Stopie«zintegrowania szeregu Wyznaczenie piewiastków wielomianu charakterystycznego Testy pierwiastka jednostkowego / testy stacjonarno±ci
Stopie«zintegrowania szeregu Denicja zintegrowania zmiennej Zmienna y t jest zintegrowana w stopniu d (y t I (d)), je»eli mo»na j sprowadzi do stacjonarno±ci po d-krotnym ró»nicowaniu. Np. proces y t = y t 1 + ε t jest zintegrowany w stopniu 1 (y t I (1)), bo y t y t 1 = ε t, za± ε t I (0) z denicji. O zmiennej stacjonarnej mówimy,»e jest zintegrowana w stopniu 0.
Badanie stopnia zintegrowania 1. Je»eli znany jest proces generuj cy dane > wyznaczenie pierwiastków wielomianu charakterystycznego procesu 2. Je»eli nie jest znany proces generuj cy dane > testy pierwiastka jednostkowego / testy stacjonarno±ci
Pierwiastki wielomianu charakterystycznego (1) AR(p) : y t = α 1 y t 1 + α 2 y t 2 +... + α p y t p + ε t L - operator opó¹nie«ly t = y t 1 L(Ly t ) = L 2 y t = Ly t 1 = y t 2 Proces w postaci wielomianu opó¹nie«ar(p): y t = α 1Ly t + α 2L 2 y t +... + α pl p y t + ε t y t α 1Ly t α 2L 2 y t... α pl p y t = ε t y t (1 α 1L α 2L 2... α pl p ) }{{} = εt A(L) - wielomian opó¹nie«ar(p): y ta(l) = ε t y t = A 1 (L)ε t
Pierwiastki wielomianu charakterystycznego (2) Przykªad: AR(1) y t = α 1y t 1 + ε t y t α 1y t 1 = ε t y t(1 α 1L) = ε t y t = 1 1 α 1L εt }{{} suma niesko«czonego szeregu A wi c: y t = ε t + α 1Lε t + α 2 1L 2 ε t + α 3 1L 3 ε t +... y t = ε t + α 1ε t 1 + α 2 1ε t 2 + α 3 1ε t 3 +...
Pierwiastki wielomianu charakterystycznego (3) Stacjonarno± procesu AR(1) Je»eli α 1 = 1, to y t = T t=0εt szoki z przeszlo±ci nie wygasaj, a wi c yt jest procesem niestacjonarnym. Je»eli α 1 < 1, to y t = t i=0 αi 1ε t i szoki z przeszlo±ci maj coraz mniejszy wpªyw na bie» c warto± zmiennej, a wi c y t jest procesem stacjonarnym. Badanie stacjonarno±ci za pomoc pierwiastków wielomianu charakterystycznego Wielomian charakterystyczny procesu AR(1): 1 α 1z = 0 z = 1 α 1 - pierwiastek równania charakterystycznego Proces AR(1) jest stacjonarny, je»eli α 1 < 1, a wi c je±li pierwiastek wielomianu charakterystycznego 1 α 1 > 1.
Wielomian charakterystyczny procesu AR(2) Fakt 1. Ka»dy proces AR(p) mo»emy zapisa jako AR(1) po przedeniowaniu zmiennej na wektor zawieraj cy jej opó¹nienia. Np. y t = ay t 1 + by t 2 + ε t [ ] [ ] [ ] [ ] yt a b yt 1 εt = + y t 1 1 0 y t 2 0 yt = Ayt 1 + ε t Fakt 2. Gdy proces y t = Ay t 1 + ε t dotyczyª jednej zmiennej (A liczb ), to oczekiwali±my,»e przy stacjonarno±ci A n 0 dla n. Podobnie w przypadku macierzy A oczekujemy,»e A n 0 dla n.
Wielomian charakterystyczny procesu AR(2) Fakt 3. Niech P macierz zªo»ona z wektorów wªasnych macierzy A, D macierz zawieraj ca warto±ci wªasne macierzy A na gªównej przek tnej (w kolejno±ci odpowiadaj cej kolumnom w P) i zera poza ni. Istnieje dekompozycja: A = PDP 1 Fakt 4. Z algebry macierzy: A n = PD n P 1 Wniosek: A n 0 dla n gdy D n 0. D jest macierz diagonaln, a wi c d»y do zerowej gdy diagonalne elementy d» do 0 przy podnoszeniu do kolejnych pot g. Czyli ich warto±ci bezwzgl dne musz by < 1.
Wielomian charakterystyczny procesu AR(2) Warto±ci wªasne macierzy A: (a λ) (0 λ) b = 0 λ 2 aλ b = 0 a λ b 1 0 λ = 0 rozwa»my podstawienie z = 1 λ. Wówczas: 1 az bz 2 = 0 odpowiada to wielomianowi charakterystycznemu procesu AR(2) y t = ay t 1 + by t 2 + ε t gdy wszystkie pierwiastki z > 1, wówczas (z podstawienia) wszystkie λ < 1 i warunek stacjonarno±ci jest speªniony
Pierwiastki wielomianu charakterystycznego (4) Uogólnienie na proces AR(p) Je»eli wielomian charakterystyczny A(L) nie ma pierwiastków jednostkowych (wszystkie pierwiastki s co do moduªu wi ksze od jedno±ci le» poza koªem jednostkowym), to proces AR(p) jest stacjonarny [st d: testy pierwiastka jednostkowego, o których b dzie mowa za chwil ]. Koªo jednostkowe: pierwiastki wielomianu mog by liczbami zespolonymi, tzn. mie cz ± rzeczywist a i urojon b (a + bi). mo»na je przedstawi na pªaszczy¹nie jako punkt w przestrzeni dwuwymiarowej o wspóªrz dnych (a,b). a + bi = a 2 + b 2, wi c warunek stacjonarno±ci/odwracalno±ci a + bi > 1 oznacza a 2 + b 2 > 1 2 (pole poza okr giem o ±rodku (0, 0) i promieniu 1, czyli koªem jednostkowym). niektóre programy ekonometryczne podaj pierwiastki w formie odwrotno±ci (Inverse Roots). Skoro a + bi > 1, to 1 < 1. W tej sytuacji odwrotno± a+bi pierwiastka musi le»e wewn trz koªa jednostkowego.
Zadanie 1 Zbadaj stacjonarno± procesu generuj cego dane o nast puj cej specykacji: 1. y t = 1, 2y t 1 0, 3y t 2 + ε t 2. y t = 4 3 y t 1 1 3 y t 2 + ε t
Test Dickey'a-Fullera (1) W rzeczywisto±ci nie znamy procesów generuj cych dane, a jedynie ich realizacje w sko«czonej próbie. Dlatego te» do badania wªasno±ci stochastycznych u»ywamy testów statystycznych. Dickey i Fuller (1979, 1981) AR(1): y t = α 1 y t 1 + ε t Proces jest stacjonarny, je»eli α 1 < 1. Nie znamy prawdziwej warto±ci parametru α 1 mo»emy jedynie oszacowa jego warto± na podstawie realizacji procesu w sko«czonej probie i sprawdzi czy ró»ni si istotnie od 1 przy pomocy testu t-studenta: H 0 : α 1 = 1 H 1 : α 1 < 1 jednak hipotezy tej nie mo»na werykowa bezpo±rednio (w przypadku prawdziwo±ci hipotezy zerowej zmienne w równaniu s niestacjonarne, w zwi zku z czym estymator KMNK nie ma rozkªadu normalnego ani nie zbiega do»adnego rozkªadu o znanej postaci analitycznej)
Test Dickey'a-Fullera (2) W celu wyeliminowania potencjalnej niestacjonarno±ci zmiennej obja±nianej w regresji testowej, od obu stron równania odejmujemy y t 1 i w ten sposób otrzymujemy zró»nicowan (a wi c potencjalnie stacjonarn ) zmienn obja±nian. Ostatecznie regresja testowa testu Dickey'a-Fullera ma posta : y t = (α 1 1) }{{} y t 1 + ε t δ H 0 : δ = 0 α 1 = 1 y t I (1) H 1 : δ < 0 α 1 < 1 y t I (0) DF emp = ˆδˆ DF (konstrukcja jak w te±cie t-studenta, tylko inne rozkªady statystyk Sδ testowych zob. MacKinnon (1996) ) Je»eli DF emp < DF, to odrzucamy H 0 na rzecz H 1, czyli proces uznajemy za stacjonarny. W przeciwnym wypadku nie ma podstaw do odrzucenia H 0 o niestacjonarno±ci procesu.
Test Dickey'a-Fullera (3) Co zrobi w przypadku braku podstaw do odrzucenia H 0? W takim przypadku wiemy, ze zmienna jest niestacjonarna, ale nie wiemy, czy nie jest zintegrowana w stopniu wy»szym ni» 1... Znowu testujemy... Zmienna jest zintegrowana w stopniu 2 (y t I (2)), je»eli staje si ona stacjonarna dopiero po dwukrotnym ró»nicowaniu, wi c sprawdzamy, czy do sprowadzenia zmiennej do stacjonarno±ci wystarczyªo jednokrotne ró»nicowanie, czyli czy zmienna jednokrotnie zró»nicowana jest stacjonarna: ( y t) = δ y t 1 + ε t H 0 : δ = 0 y t I (2) H 1 : δ < 0 y t I (1) DF emp = ˆδ Sˆ DF δ
Test Dickey'a-Fullera (4) Co zrobi w przypadku ponownego braku podstaw do odrzucenia H 0? W takim wypadku nie wiemy, czy zmienna jest zintegrowana w stopniu 2, czy te» nieodrzucenie H 0 nie wynika przypadkiem z niskiej mocy testu... Znowu testujemy... 3 y t = δ 2 y t 1 + ε t H 0 : δ = 0 y t I (3) H 1 : δ < 0 y t I (2) DF emp = ˆδ Sˆ DF δ Je±li ponownie nie ma podstaw do odrzucenia, to oznacza,»e test ma sªab moc (zbyt rzadko odrzuca nieprawdziw hipotez zerow ), poniewa» w ekonomii niespotykane s szeregi zintegrowane w stopniu wy»szym ni» 2.
Test Dickey'a-Fullera (5) Said i Dickey (1985) test Dickey'a-Fullera opiera si na zaªo»eniu, i» skªadnik losowy regresji testowej (ε t) jest biaªym szumem je±li wyst puje autokorelacja skªadnika losowego, czyli cov(ε t, ε t+h ) 0, h 0, znacz co spada moc testu st d: nale»y pozby si autokorelacji skªadnika losowego z regresji testowej! najprostszym sposobem jest dynamizacja modelu poprzez dodanie opó¹nie«zmiennej zale»nej Augumented Dickey-Fuller test ADF y t = δy t 1 + γ 1 y t 1 + γ 2 y t 2 +... + γ k y t k + ε t
Test Dickey'a-Fullera (6) Ile opó¹nie«? ogólna zasada: nale»y zrealizowa cel, jakim jest usuni cie autokorelacji skªadnika losowego UWAGA! do oceny nie stosujemy testu DW (opó¹niona zmienna obja±niana jako regresor...) algorytmy wspomagaj ce: wskazujemy maksymalny rz d opó¹nie«i wybieramy najlepsz regresj testow przy u»yciu kryteriów informacyjnych (AIC, SIC, HQC) wskazujemy maksymalny rz d opó¹nie«i sprawdzamy, czy ostatnie z nich jest istotne w modelu (je»eli nie, usuwamy je i powtarzamy a» do uzyskania istotnego ostatniego opó¹nienia)
Test Dickey'a-Fullera (7) Inne postaci testu DF (ADF): ( k y t = β + δy t 1 + ) γ i y t i + ε t H 0: proces niestacjonarny z dryfem i=1 ( k ) y t = β + δy t 1 + γ i y t i + γt + ε t pozwala na sprawdzenie, czy i=1 szereg jest przyrosto czy trendostacjonarny je»eli odrzucimy H 0, a trend t oka»e si istotny szereg jest trendostacjonarny je»eli nie odrzucimy H 0, szereg jest przyrostostacjonarny dodatkowo mo»na uwzgl dnia trend kwadratowy, sezonowe zmienne zerojedynkowe...
Zadanie 2 Okre±l stopie«zintegrowania zmiennej x (odpowied¹ uzasadnij): ˆx t = 0, 6 0, 36x t 1 D W = 0, 23 (2, 1)( 3, 6) ˆx t = 0, 7 0, 18x t 1 + 0, 05 x t 1 h = 1, 1 (2, 4)( 1, 6) (2,7) 2ˆx t = 0, 3 0, 85Δx t 1 D W = 2, 02 (1, 1)( 4, 2) W nawiasie podano warto±ci statystyk t-studenta. Warto± krytyczna testu ADF przy 5% poziomie istotno±ci wynosi -2,8.
Zadanie 3 Badacz chce okre±li stopie«zintegrowania zmiennej x. W tym celu oszacowaª trzy alternatywne specykacje regresji pomocniczych testu DF/ADF. Otrzymaª nast puj ce wyniki estymacji: 1. ˆx t = 0, 7 0, 14x t 1 D W = 0, 15 (3, 1)( 0, 3) 2. ˆx t = 0, 6 0, 15x t 1 + 0, 05 x t 1 h = 1, 3, p value LM = 0, 00 (3, 5)( 2, 1) (2,3) 3. ˆx t = 0, 4 0, 64x t 1 + 0, 07 x t 1 + 0, 11 x t 2 h = 0, 4, p value LM = 0, 22 (1, 2)( 3, 2) (2,2) (3,6) 4. 2 ˆx t = 0, 1 0, 87Δx t 1 D W = 1, 98 (0, 7)( 5, 9), gdzie D-W oznacza statystyk Durbina-Watsona (warto±ci krytyczne: d L = 1, 23, d U = 1, 65), h statystyk h-durbina, za± p value LM empiryczny poziom istotno±ci testu Breuscha-Godfreya dla rz du opó¹nie«4. W nawiasie podano warto±ci statystyk t-studenta. Warto± krytyczna testu DF/ADF przy poziomie istotno±ci 0,05 wynosi -2,5. a) Uzasadnij, z których regresji pomocniczych mo»e korzysta badacz. b) Okre±l stopie«zintegrowania zmiennej x. Odpowied¹ uzasadnij. c) Opisz, jakie s skutki autokorelacji w regresji pomocniczej testu DF/ADF. Co zrobi w przypadku jej wykrycia.
Zadanie 4 W celu okre±lenia stopnia zintegrowania zmiennej y t oszacowano regresje pomocnicze testu DF. Wyniki estymacji dla poziomów i pierwszych przyrostów zmiennej s nast puj ce (w nawiasie podano bª dy szacunku parametrów): ŷ t = 0, 4 0, 52y t 1 (0, 31) (0, 24) 2 ŷ t = 0, 1 0, 82 y t 1 (0, 09) (0, 28) BG = 17, 26 BG = 12, 55 Warto± krytyczna testu DF przy poziomie istotno±ci 0,05 wynosi -3,45. BG oznacza warto± empiryczn statystyki Breuscha-Godfrey'a dla opó¹nienia rz du 4. Warto± krytyczna testu BG przy poziomie istotno±ci 0,05 wynosi 9,49. 1. Oblicz empiryczne warto±ci statystyki DF. Spróbuj na ich podstawie okre±li stopie«zintegrowania zmiennej. Wyniki skomentuj. 2. Czy w ±wietle zaprezentowanych wyników istnieje zagro»enie dla wnioskowania o stopniu zintegrowania zmiennej przy pomocy testu DF? Z czego ono wynika? Odpowied¹ uzasadnij. 3. Zaproponuj rozwi zanie tego problemu.
Inne testy test ADF-GLS (Elliot, Rothenberg, and Stock,1996) test KPSS (Kwiatkowski, Phillips, Schmidt, Shin, 1992) ª czny test ADF-KPSS (K bªowski i Welfe, 2004) test Phillipsa-Perrona (Phillips i Perron, 1988) test uwzgl dniaj cy zªamanie strukturalne testy HEGY (Hylleberg, Engle, Granger i Yoo, 1990) test uwzgl dniaj cy sezonowo±
Test ADF-GLS > próba zwi kszenia mocy testu ADF w przypadku procesów silnie autoregresyjnych krok 1: z szeregu usuwamy ±redni (i ewentualnie trend) przez oszacowanie regresji szeregu wzgl dem staªej (i ewentualnie trendu) za pomoc estymatora GLS (UMNK) krok 2: reszty z kroku 1 do testu ADF
Test KPSS (1) H 0 : y t I (0) H 1 : y t I (1) krok 1: estymacja OLS parametrów modelu (z trendem lub bez) y t = α(+βt) + ε t obliczamy reszty ˆε t
Test KPSS (2) krok 2: obliczamy sumy cz ±ciowe reszt t S t = ε r, r=1 dla t = 1,..., T i warto± zgodnego estymatora wariancji dªugookresowej reszt: [ T S 2 (k) = T 1 et 2 + 2 t=1 k w(s, k) s=1 gdzie w(s, k) oznacza wagi, np. Bartletta: w(s, k) = 1 s k + 1 T t=s+1 e t e t s ] k - dobieramy arbitralnie (np. k = 8 dla danych kwartalnych)
Test KPSS (3) krok 3: obliczamy statystyk testow KPSS = T t=1 S2 t T 2 S 2 (k) i porównujemy z warto±ciami krytycznymi, je±li KPSS > KPSS kryt odrzucamy H 0.