Rozdziaª 5. Modele wektorowej autoregresji

Transkrypt

1 Rozdziaª 5. Modele wektorowej autoregresji MODELOWANIE POLSKIEJ GOSPODARKI z R MPGzR (rozdz. 5) Modele VAR 1 / 32

2 Wielowymiarowe modele szeregów czasowych Modele VAR uwzgl dniaj wzajemne powi zania mi dzy zmiennymi ekonomicznymi narz dzie statystyczne pomocne w opisie dynamicznych wªa±ciwo±ci wielowymiarowej zmiennej VAR jako model ekonomiczny (SVAR) MPGzR (rozdz. 5) Modele VAR 2 / 32

3 Specykacja modelu VAR Model VAR jest postaci dla wektora y t = [y 1t, y 2t,..., y nt ] : lub szybciej: y t = A 0 + A 1 y t 1 + A 2 y t A p y t p + ϵ t, ϵ t N(0, Σ) Liczba parametrów wynosi: A 0 : N 1 A p : Σ: (I A 1 L... A P L P )y t = A(L)y t = A 0 + ϵ t N N N(N+1) 2 MPGzR (rozdz. 5) Modele VAR 3 / 32

4 Stacjonarno± modelu VAR Wa»n cech modelu VAR jest stacjonarno±, któr mo»na zdeniowa w kategoriach wygasania wpªywu szoku ϵ t na warto± wektora y t : y t+k lim = 0. k ϵ t W takim przypadku istnieje dªugookresowa warto± µ do której powraca proces y t : µ = A(1) 1 A 0, Tempo powrotu do równowagi jest dane przez pierwiastki równania: A(z) = 0, Dla stacjonarnego modelu VAR pierwiastki (których liczba wynosi P N) znajduj si poza koªem jednostkowym, tj.: { z i > 1 : i = 1, 2,..., PN} MPGzR (rozdz. 5) Modele VAR 4 / 32

5 Stacjonarno± modelu VAR Stacjonarny model VAR ma reprezentacj niesko«czonej wektorowej ±redniej ruchomej (vector moving vaerage, VMA): gdzie: y t = A(L) 1 (A 0 + ϵ t ) = µ + Θ i ϵ t i, i=0 Θ i = y t+i ϵ t. MPGzR (rozdz. 5) Modele VAR 5 / 32

6 Stacjonarno± modelu VAR - przykªad VAR(1) Dla modelu VAR(1) postaci y t = A 0 + Ay t + ϵ t : Θ k = y t+k ϵ t = A k. Czyli model VAR(1) jest stacjonarny je»eli: lim k Ak = 0. Posta niesko«czonej ±redniej ruchomej jest nast puj ca: y t = (I A) 1 A 0 + (A) i ϵ t i. i=0 MPGzR (rozdz. 5) Modele VAR 6 / 32

7 Stacjonarno± modelu VAR - przykªad VAR(1) cd Przy liczeniu granicy ci gu A k przydatna jest dekompozycja Jordanowska: A = V ΛV 1, gdzie Λ i V s macierzami zawieraj cymi warto±ci wªasne oraz odpowiadaj ce im wektory wªasne macierzy A: Λ = diag(λ 1, λ 2,..., λ n ) V = [v1, v2,..., v3], Zdeniujmy ỹ t = V 1 y t, Ã0 = V 1 A0 oraz ϵ t = V 1 ϵ t i zapiszmy model VAR(1) jako: ỹ t = Ã0 + Λỹ t 1 + ϵ t, Macierz Λ jest diagonalna o elementach na przek tnej {λ n : n = 1, 2,..., N}, za± równanie dla n-tej skªadowej wektora ỹ t jest nast puj ce: ỹ nt = α 0n + λ n ỹ n,t 1 + ϵ nt. Zmienna ỹ nt jest stacjonarna, je»eli λ n < 1. Model VAR(1) jest stacjonarny je»eli λ n < 1 dla n = 1, 2,..., N. MPGzR (rozdz. 5) Modele VAR 7 / 32

8 Stacjonarno± modelu VAR - przykªad VAR(1) cd Zauwa»my,»e: A k = V Λ k V 1, a zatem lim k Λ k = 0 implikuje,»e lim k A k = 0. Dla modelu VAR(1) warto±ci wªasne λ n macierzy A s odwrotno±ci pierwiastków równania A(z) = 0,tj. z n = 1 λ n Warto±ci wªasne: A λi = 0 Pierwiastki równania: I Az = 0 MPGzR (rozdz. 5) Modele VAR 8 / 32

9 Stacjonarno± modelu VAR(P) Stacjonarno± modelu VAR(P) mo»na ustali poprzez zapisanie go w postaci kanonicznej (tj. modelu VAR(1)): y t y t 1 y t 2... y t P+1 = A A 1 A 2 A 3... A P I I y t 1 y t 2 y t 3... y P + ϵ t oraz obliczenie N P warto±ci wªasnych dla macierzy kanonicznej. MPGzR (rozdz. 5) Modele VAR 9 / 32

10 Estymacja modelu VAR Najcz ±ciej stosowana metoda: MNK oddzielnie dla wszystkich równa«stosowanie MNK jest uzasadnione bo zmienne obja±niaj ce s z góry ustalone i tym samym niezale»ne wzgl dem skªadnika losowego ϵ t (brak problemu endogeniczno±ci zmiennych obja±niaj cych) MPGzR (rozdz. 5) Modele VAR 10 / 32

11 Estymacja modelu VAR Niech x t = [1 y t 1... y t P ] oraz A = [A 0 A 1... A P ], za± model VAR b dzie postaci: y t = Ax t + ϵ t, Estymator MNK dla parametrów n-tego równania modelu VAR: y nt = a n x t + ϵ nt, gdzie a n jest n-tym wierszem macierzy A, wynosi: ( T ) ( 1 T â n = y nt x t x t x t). t=1 t=1 Estymator MNK dla caªej macierzy parametrów: ( T ) ( 1 T Â = y t x t x t x t). t=1 t=1 MPGzR (rozdz. 5) Modele VAR 11 / 32

12 Estymacja modelu VAR Dla ϵ t N(0, Σ), tj. y t N(Ax t, Σ), warto± funkcji wiarygodno±ci wynosi: T L(A, Σ) = (2π) TN/2 T /2 Σ exp t=1 { 1 } 2 (y t Ax t ) Σ 1 (y t Ax t ). Estymator MNW macierzy A pokrywa si z estymatorem MNK, za± estymator macierzy kowariancji skªadnika losowego wynosi: ˆΣ = 1 T T e 2 t, t=1 gdzie e t = y t Âx t. Warto± funkcji wiarygodno±ci w maksimum jest proporcjonalna do ˆΣ : { L(Â, ˆΣ) = (2π) TN/2 ˆΣ T /2 exp TN }. 2 MPGzR (rozdz. 5) Modele VAR 12 / 32

13 Estymacja modelu VAR - Przykªad Model VAR(2) dla tempa wzrostu PKB oraz stopy bezrobocia w Polsce Dynamika PKB: dy Stopa bezrobocia: U MPGzR (rozdz. 5) Modele VAR 13 / 32

14 Estymacja modelu VAR - Przykªad Odwrotnosc modulu pierwiastków rownania charakterystycznego: Oszacowania równania tempa wzrostu PKB (dy): dy = dy.l1 + U.l1 + dy.l2 + U.l2 + const Estimate Std. Error t value Pr(> t ) dy.l U.l dy.l U.l const MPGzR (rozdz. 5) Modele VAR 14 / 32

15 Estymacja modelu VAR - Przykªad Oszacowania równania bezrobocia (U): U = dy.l1 + U.l1 + dy.l2 + U.l2 + const Estimate Std. Error t value Pr(> t ) dy.l U.l < 2e-16 *** dy.l U.l e-13 *** const * Macierz korelacji dla reszt dy U dy U MPGzR (rozdz. 5) Modele VAR 15 / 32

16 Estymacja modelu VAR - Przykªad Posta VMA( ) Theta0 Theta1 Theta2 dy U Theta3 Theta4 Theta100 dy U MPGzR (rozdz. 5) Modele VAR 16 / 32

17 Dobór opó¹nienia modelu VAR 1. Kryteria informacyjne: AIC = ln( ˆΣ ) + 2 K T BIC = ln( ˆΣ ) + K T ln T HQIC = ln( ˆΣ ) + 2 K T ln(ln T ) gdzie K = N(1 + NP) okre±la liczb parametrów. 2. Testy na autokorelacje oraz istotno± opó¹nie«mpgzr (rozdz. 5) Modele VAR 17 / 32

18 Dobór opó¹nienia modelu VAR Wartosci kryteriow informacyjnych P = 1 P = 2 P = 3 P = 4 Wybor AIC(n) P = 3 HQ(n) P = 2 SC(n) P = 2 MPGzR (rozdz. 5) Modele VAR 18 / 32

19 Test ilorazu wiarygodno±ci na istotno± opó¹nie«zespóª hipotez: H 0 :A P = 0 H 1 :A P 0. Statystyka testu ilorazu funkcji wiarygodno±ci: LR = T (ln ˆΣ r ln ˆΣ u ), ma asymptotyczny rozkªad χ 2 (m), gdzie m = N 2 jest równe liczbie restrykcji zerowych. MPGzR (rozdz. 5) Modele VAR 19 / 32

20 Testy na autokorelacj reszt 1. Autokorelacja: estymator MNK jest obci»ony oznaka zªej specykacji modelu VAR (zbyt niskie opó¹nienie) 2. Podstawowe testy Ljung-Box Breusch-Godfrey MPGzR (rozdz. 5) Modele VAR 20 / 32

21 Test Ljunga-Boxa Zespóª hipotez: H 0 : 1 j J Γ j = 0 H 1 : 1 j J Γ j 0, gdzie Γ j = Cov(ϵ t, ϵ t j ) jest macierz autokowariancji rz du j dla skªadnika losowego modelu VAR. Statystyka: LB = T 2 J j=1 1 T j tr(ˆγ j ˆΓ 1 0 ˆΓ i ˆΓ 1 0 ) (1) gdzie ˆΓ s = 1 T T t=s+1 y ty t s przy prawdziwo±ci H 0 ma rozkªad χ 2 o N 2 (J P) stopniach swobody. MPGzR (rozdz. 5) Modele VAR 21 / 32

22 Test Ljunga-Boxa - Przykªad Dla modelu VAR(2) Wyniki testu Ljunga-Boxa J stat. df prawd MPGzR (rozdz. 5) Modele VAR 22 / 32

23 Test Breuscha-Godfrey Test Breuscha-Godfrey'a = wielowymiarowy test mno»ników Lagrange'a. Dla regresji postaci: e t = F 0 + F 1 y t F P y t p + G 1 e t G J e t J + ν t, werykowany jest zespóª hipotez: Statystyka testu: H 0 : 1 j J G j = 0 H 1 : 1 j J G j 0. BG = T (N tr(ˆω 1 r ˆΩ u )), gdzie ˆΩ r i ˆΩ u oznaczaj oszacowanie macierzy kowariancji skªadnika losowego dla modelu z restykacjami oraz bez restrykcji, przy prawdziwo±ci hipotezy zerowej ma rozkªad χ 2 o JN 2 stopniach swobody. MPGzR (rozdz. 5) Modele VAR 23 / 32

24 Test Breusch-Godfrey'a - Przykªad Dla modelu VAR(2) Breusch-Godfrey'a J stat. df1 prawd MPGzR (rozdz. 5) Modele VAR 24 / 32

25 Normalno± rozkªadu skªadnika losowego Zespóª hipotez testu Dornika-Hansena (wielowymiarowe uogólnienie testu Jarque-Bera): H 0 : ϵ t N(0, Σ) H 1 : ϵ t N(0, Σ) Dla standaryzowanych reszty modelu VAR: u t = ˆΣ 1/2 e t, liczone s sko±no± s n i kurtoza k n dla n = 1, 2,..., N. Statystka testu: DH = T 6 N s 2 n + T 24 n=1 N (k n 3) 2 n=1 przy prawdziwo±ci H 0 ma rozkªad χ 2 o 2N stopniach swobody. MPGzR (rozdz. 5) Modele VAR 25 / 32

26 Stabilno± modelu VAR Metody testowania stabilno±ci modelu VAR: 1. rekursywna estymacja parametrów 2. formalne testy na zmian postaci strukturalnej, np. wielowymiarowe testy Chowa 3. analizie bª dów prognozy ex-post o horyzoncie jednego okresu MPGzR (rozdz. 5) Modele VAR 26 / 32

27 Stabilno± modelu VAR Etapy testu Chowa (typu break-point): 1. ustal obserwacj T 1 zmiany strukturalnej modelu 2. oszacuj model VAR na podstawie dwóch podprób oraz peªnej próby: model 1: t {1, 2,..., T1}, reszty e t(1), macierz ˆΣ (1) = T 1 T1 1 t=1 e (1) e (1)t model 2: model 3: 3. oblicz statystyk : t {T1 + 1,..., T }, reszty e t(2), macierz ˆΣ (2) = T 1 T2 2 t=1 e (2)t e (2) t {1, 2,..., T }, reszty e t, macierz ˆΣ = T 1 T t=1 et e t LR BP = T ln ˆΣ (T 1 ln ˆΣ (1) + T 2 ln ˆΣ (2) ) która przy prawdziwo±ci H 0 o stabilno±ci modelu ma rozkªad χ 2 o N(PN + 1) + (N+1)N 2 stopniach swobody (caªkowita liczba parametrów modelu VAR, wliczaj c parametry macierzy Σ). MPGzR (rozdz. 5) Modele VAR 27 / 32

28 Stabilno± modelu VAR Procedura dla testowania stabilno±ci na podstawie rekursywnych bª dów prognozy o horyzoncie jednego okresu: 1. Ustali moment pocz tkowy liczenia rekursywanych reszt: T 1 2. Oszacowa parametry T T 1 modeli VAR na podstawie obserwacji t = 1, 2,..., T, gdzie T = T 1, T 1 + 1,..., T 1 3. Obliczy prognoz punktow na okres T Obliczy bª d prognozy na jeden okres do przodu oraz oraz ±redni bª d prognozy ex-ante (eiτ P oraz S nτ P ) 5. Skonstruowa szereg oraz jego przedziaª ufno±ci: T enτ P CUMSUM nt = S P τ=t1+1 nτ 6. Je»eli szereg znajduje sie w przedziale ufno±ci: brak podstaw do odrzucenia hipotezy o stabilno±ci modelu. MPGzR (rozdz. 5) Modele VAR 28 / 32

29 Stabilno± modelu VAR równanie dla dy równanie dla U MPGzR (rozdz. 5) Modele VAR 29 / 32

30 Prognozowanie z modelem VAR Dla modelu VAR(P): Prognoza punktowa: y t = A 0 + A 1 y t A P y t P + ϵ t. y f T +1 =E(y T +1 ) = A 0 + A 1 y T A P y T +1 P y f T +2 =A 0 + A 1 y f T A P y T +2 P y f T +3 =A 0 + A 1 y f T A P y T +3 P... y f T +k =A 0 + A 1 y f T +k A P y f T +k P dla k > P MPGzR (rozdz. 5) Modele VAR 30 / 32

31 Prognozowanie z modelem VAR Posta niesko«czonej ±redniej ruchomej: y t = µ + Θ i ϵ t i Bª d prognozy wynikaj cy z wyst powania skªadnika losowego wynosi: i=0 Wariancja prognozy na k okresów: Prognoza przedziaªowa dla n-tej zmiennej: y T +1 y f T +1 =ϵ T +1 y T +2 y f T +2 =ϵ T +2 + Θ 1 ϵ T +1. k 1 y T +k y f = Θ T +k i ϵ T +k i i=0 k 1 Σ k = Var(y T +k y f ) = Θ T +k i ΣΘ i P(y n,t +k [y f n,t +k cα σk(nn) ; y f T +k + cα Σ k(nn) ]) = 1 α, gdzie cα jest warto±ci krytyczn rozkªadu normalnego dla poziomu istotno±ci 5%. i=0 MPGzR (rozdz. 5) Modele VAR 31 / 32

32 Prognozowanie z modelem VAR prognoza dla dy prognoza dla U MPGzR (rozdz. 5) Modele VAR 32 / 32