Testy własności składnika losowego Testy formy funkcyjnej. Diagnostyka modelu. Część 2. Diagnostyka modelu

Transkrypt

1 Część 2

2 Test Durbina-Watsona

3 Test Durbina-Watsona Weryfikowana hipoteza H 0 : cov(ε t, ε t 1 ) = 0 H 1 : cov(ε t, ε t 1 ) 0

4 Test Durbina-Watsona Weryfikowana hipoteza H 0 : cov(ε t, ε t 1 ) = 0 H 1 : cov(ε t, ε t 1 ) 0 Statystyka testowa DW = T i=2 (e t e t 1 ) 2 T i=1 e2 t

5 Test Durbina-Watsona Weryfikowana hipoteza H 0 : cov(ε t, ε t 1 ) = 0 H 1 : cov(ε t, ε t 1 ) 0 Statystyka testowa DW = T i=2 (e t e t 1 ) 2 T i=1 e2 t DW = 2(1 ρ εtε t 1 ) e2 1 + e2 T 2e 1e 0 T i=1 e2 t

6 Test Durbina-Watsona Dla dużej próby DW p 2(1 ρ εtε t 1 )

7 Test Durbina-Watsona Dla dużej próby Rozkład statystyki testowej DW p 2(1 ρ εtε t 1 )

8 Test Durbina-Watsona Dla dużej próby Rozkład statystyki testowej DW p 2(1 ρ εtε t 1 ) 1 jeżeli zakładana jest dodatnia autokorelacja, wtedy DW < 2, oraz

9 Test Durbina-Watsona Dla dużej próby Rozkład statystyki testowej DW p 2(1 ρ εtε t 1 ) 1 jeżeli zakładana jest dodatnia autokorelacja, wtedy DW < 2, oraz a) DW < d L, odrzucamy hipotezę zerową,

10 Test Durbina-Watsona Dla dużej próby Rozkład statystyki testowej DW p 2(1 ρ εtε t 1 ) 1 jeżeli zakładana jest dodatnia autokorelacja, wtedy DW < 2, oraz a) DW < d L, odrzucamy hipotezę zerową, b) d L < DW < d U brak konkluzji,

11 Test Durbina-Watsona Dla dużej próby Rozkład statystyki testowej DW p 2(1 ρ εtε t 1 ) 1 jeżeli zakładana jest dodatnia autokorelacja, wtedy DW < 2, oraz a) DW < d L, odrzucamy hipotezę zerową, b) d L < DW < d U brak konkluzji, c) DW > d U nie ma podstaw do odrzucenia H 0.

12 Test Durbina-Watsona Dla dużej próby Rozkład statystyki testowej DW p 2(1 ρ εtε t 1 ) 1 jeżeli zakładana jest dodatnia autokorelacja, wtedy DW < 2, oraz a) DW < d L, odrzucamy hipotezę zerową, b) d L < DW < d U brak konkluzji, c) DW > d U nie ma podstaw do odrzucenia H 0. 2 jeżeli zakładana jest ujemna autokorelacja, wtedy DW > 2, oraz

13 Test Durbina-Watsona Dla dużej próby Rozkład statystyki testowej DW p 2(1 ρ εtε t 1 ) 1 jeżeli zakładana jest dodatnia autokorelacja, wtedy DW < 2, oraz a) DW < d L, odrzucamy hipotezę zerową, b) d L < DW < d U brak konkluzji, c) DW > d U nie ma podstaw do odrzucenia H 0. 2 jeżeli zakładana jest ujemna autokorelacja, wtedy DW > 2, oraz a) DW > 4 d L, odrzucamy hipotezę zerową,

14 Test Durbina-Watsona Dla dużej próby Rozkład statystyki testowej DW p 2(1 ρ εtε t 1 ) 1 jeżeli zakładana jest dodatnia autokorelacja, wtedy DW < 2, oraz a) DW < d L, odrzucamy hipotezę zerową, b) d L < DW < d U brak konkluzji, c) DW > d U nie ma podstaw do odrzucenia H 0. 2 jeżeli zakładana jest ujemna autokorelacja, wtedy DW > 2, oraz a) DW > 4 d L, odrzucamy hipotezę zerową, b) 4 d U < DW < 4 d L brak konkluzji,

15 Test Durbina-Watsona Dla dużej próby Rozkład statystyki testowej DW p 2(1 ρ εtε t 1 ) 1 jeżeli zakładana jest dodatnia autokorelacja, wtedy DW < 2, oraz a) DW < d L, odrzucamy hipotezę zerową, b) d L < DW < d U brak konkluzji, c) DW > d U nie ma podstaw do odrzucenia H 0. 2 jeżeli zakładana jest ujemna autokorelacja, wtedy DW > 2, oraz a) DW > 4 d L, odrzucamy hipotezę zerową, b) 4 d U < DW < 4 d L brak konkluzji, c) DW < 4 d U nie ma podstaw do odrzucenia H 0.

16 Test Durbina-Watsona Dla dużej próby Rozkład statystyki testowej DW p 2(1 ρ εtε t 1 ) 1 jeżeli zakładana jest dodatnia autokorelacja, wtedy DW < 2, oraz a) DW < d L, odrzucamy hipotezę zerową, b) d L < DW < d U brak konkluzji, c) DW > d U nie ma podstaw do odrzucenia H 0. 2 jeżeli zakładana jest ujemna autokorelacja, wtedy DW > 2, oraz a) DW > 4 d L, odrzucamy hipotezę zerową, b) 4 d U < DW < 4 d L brak konkluzji, c) DW < 4 d U nie ma podstaw do odrzucenia H 0. 3 jeżeli DW = 2 to brak jest autokorelacji.

17 Test Durbina-Watsona Wady testu

18 Test Durbina-Watsona Wady testu 1 wykrywa jedynie autokorelację pierwszego rzędu

19 Test Durbina-Watsona Wady testu 1 wykrywa jedynie autokorelację pierwszego rzędu 2 wartości krytycznych nie można uzyskać analitycznie

20 Test Durbina-Watsona Wady testu 1 wykrywa jedynie autokorelację pierwszego rzędu 2 wartości krytycznych nie można uzyskać analitycznie 3 obszar braku konkluzji

21 Test Durbina-Watsona Wady testu 1 wykrywa jedynie autokorelację pierwszego rzędu 2 wartości krytycznych nie można uzyskać analitycznie 3 obszar braku konkluzji 4 niska moc testu

22 Test Durbina - Watsona - przykład. reg gnp armed_forces employment Source SS df MS Number of obs = F( 2, 13) = Model e e+10 Prob > F = Residual e R-squared = Adj R-squared = Total e e+09 Root MSE = gnp Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] armed_forces employment _cons estat dwatson Durbin-Watson d-statistic( 3, 16) =

23 Test Breuscha-Godfreya Test oparty o mnożniki Lagrange a.

24 Test Breuscha-Godfreya Test oparty o mnożniki Lagrange a. Jest w stanie wykryć obecność autokorelacji wyższych rzędów.

25 Test Breuscha-Godfreya Test oparty o mnożniki Lagrange a. Jest w stanie wykryć obecność autokorelacji wyższych rzędów. Weryfikowana hipoteza H 0 : brak autokorelacji H 1 : ε i = AR(p) ε i = MA(p)

26 Test Breuscha-Godfreya Test oparty o mnożniki Lagrange a. Jest w stanie wykryć obecność autokorelacji wyższych rzędów. Weryfikowana hipoteza H 0 : brak autokorelacji H 1 : ε i = AR(p) ε i = MA(p) W obu przypadkach taka sama statystyka testowa LM = TR 2 0 (1)

27 Test Breuscha-Godfreya Można jej wartość obliczyć dwoma metodami:

28 Test Breuscha-Godfreya Można jej wartość obliczyć dwoma metodami: 1 Sposób 1. szacujemy wartości parametrów równania regresji

29 Test Breuscha-Godfreya Można jej wartość obliczyć dwoma metodami: 1 Sposób 1. szacujemy wartości parametrów równania regresji bierzemy wektor reszt i przeprowadzamy regresję pomocniczą e t = γ 0 + γ 1e t 1 + γ 2e t γ pe t p + ξ t

30 Test Breuscha-Godfreya Można jej wartość obliczyć dwoma metodami: 1 Sposób 1. szacujemy wartości parametrów równania regresji bierzemy wektor reszt i przeprowadzamy regresję pomocniczą e t = γ 0 + γ 1e t 1 + γ 2e t γ pe t p + ξ t następnie obliczamy współczynnik LM = TR 2 0. Statystyka testowa ma rozkład χ 2 (p)

31 Test Breuscha-Godfreya Można jej wartość obliczyć dwoma metodami: 1 Sposób 1. szacujemy wartości parametrów równania regresji bierzemy wektor reszt i przeprowadzamy regresję pomocniczą e t = γ 0 + γ 1e t 1 + γ 2e t γ pe t p + ξ t następnie obliczamy współczynnik LM = TR 2 0. Statystyka testowa ma rozkład χ 2 (p) 2 Sposób 2. Zaczynamy od wyjściowego modelu

32 Test Breuscha-Godfreya Można jej wartość obliczyć dwoma metodami: 1 Sposób 1. szacujemy wartości parametrów równania regresji bierzemy wektor reszt i przeprowadzamy regresję pomocniczą e t = γ 0 + γ 1e t 1 + γ 2e t γ pe t p + ξ t następnie obliczamy współczynnik LM = TR 2 0. Statystyka testowa ma rozkład χ 2 (p) 2 Sposób 2. Zaczynamy od wyjściowego modelu do oryginalnego równania regresji dodajemy p kolumn, zawierających opóźnione reszty y t = X tβ + γ 1e t 1 + γ 2e t γ pe t p + ψ t

33 Test Breuscha-Godfreya Można jej wartość obliczyć dwoma metodami: 1 Sposób 1. szacujemy wartości parametrów równania regresji bierzemy wektor reszt i przeprowadzamy regresję pomocniczą e t = γ 0 + γ 1e t 1 + γ 2e t γ pe t p + ξ t następnie obliczamy współczynnik LM = TR 2 0. Statystyka testowa ma rozkład χ 2 (p) 2 Sposób 2. Zaczynamy od wyjściowego modelu do oryginalnego równania regresji dodajemy p kolumn, zawierających opóźnione reszty y t = X tβ + γ 1e t 1 + γ 2e t γ pe t p + ψ t sprawdzamy łączną istotność opóźnionych reszt za pomocą statystyki LM = TR 2 0. Ma ona rozkład χ 2 (p)

34 Test Breuscha - Godfreya - przykład. estat bgodfrey, lags(1 2 3) Breusch-Godfrey LM test for autocorrelation lags(p) chi2 df Prob > chi H0: no serial correlation. estat bgodfrey, lags(1 2 3) small Breusch-Godfrey LM test for autocorrelation lags(p) F df Prob > F ( 1, 12 ) ( 2, 11 ) ( 3, 10 )

35 Test RESET Testy własności składnika losowego Diagnostyka Poszukiwanie formy modelu Test poprawności specyfikacji formy funkcyjnej modelu

36 Test RESET Testy własności składnika losowego Diagnostyka Poszukiwanie formy modelu Test poprawności specyfikacji formy funkcyjnej modelu Regression Equation Specification Error Test

37 Test RESET Testy własności składnika losowego Diagnostyka Poszukiwanie formy modelu Test poprawności specyfikacji formy funkcyjnej modelu Regression Equation Specification Error Test Do modelu regresji liniowej y = X β + ε

38 Test RESET Testy własności składnika losowego Diagnostyka Poszukiwanie formy modelu Test poprawności specyfikacji formy funkcyjnej modelu Regression Equation Specification Error Test Do modelu regresji liniowej y = X β + ε Dodajemy macierz dodatkowych regresorów Z y = X β + Zγ + ε

39 Test RESET Testy własności składnika losowego Diagnostyka Poszukiwanie formy modelu Test poprawności specyfikacji formy funkcyjnej modelu Regression Equation Specification Error Test Do modelu regresji liniowej y = X β + ε Dodajemy macierz dodatkowych regresorów Z y = X β + Zγ + ε Weryfikujemy hipotezę H 0 : γ = 0

40 Test RESET Testy własności składnika losowego Diagnostyka Poszukiwanie formy modelu Procedura testowa jest analogiczna do testu łącznej istotności

41 Test RESET Testy własności składnika losowego Diagnostyka Poszukiwanie formy modelu Procedura testowa jest analogiczna do testu łącznej istotności Statystyka testowa ma rozkład F (r(z), N k)

42 Test RESET Testy własności składnika losowego Diagnostyka Poszukiwanie formy modelu Procedura testowa jest analogiczna do testu łącznej istotności Statystyka testowa ma rozkład F (r(z), N k) Alternatywna postać testu wykorzystuje rozwinięcie w szereg Taylora y = γ 0 + γ 1 X β + γ 2 (X β) γ p (X β) p + ε

43 Test RESET Testy własności składnika losowego Diagnostyka Poszukiwanie formy modelu Procedura testowa jest analogiczna do testu łącznej istotności Statystyka testowa ma rozkład F (r(z), N k) Alternatywna postać testu wykorzystuje rozwinięcie w szereg Taylora y = γ 0 + γ 1 X β + γ 2 (X β) γ p (X β) p + ε Podstawiając wartość dopasowaną uzyskujemy y = γ 0 + γ 1 ŷ + γ 2 ŷ γ p ŷ p + ε

44 Test RESET Testy własności składnika losowego Diagnostyka Poszukiwanie formy modelu Procedura testowa jest analogiczna do testu łącznej istotności Statystyka testowa ma rozkład F (r(z), N k) Alternatywna postać testu wykorzystuje rozwinięcie w szereg Taylora y = γ 0 + γ 1 X β + γ 2 (X β) γ p (X β) p + ε Podstawiając wartość dopasowaną uzyskujemy Test łącznej istotności y = γ 0 + γ 1 ŷ + γ 2 ŷ γ p ŷ p + ε LM = nr 2 a χ 2 (p)

45 Test RESET - przykład duża próba Diagnostyka Poszukiwanie formy modelu. estat ovtest, rhs (note: wiek2 dropped because of collinearity) (note: wiek2^2 dropped because of collinearity) Ramsey RESET test using powers of the independent variables Ho: model has no omitted variables F(5, 16141) = Prob > F = estat ovtest Ramsey RESET test using powers of the fitted values of lzarobki Ho: model has no omitted variables F(3, 16142) = Prob > F =

46 Test RESET - przykład mała próba Diagnostyka Poszukiwanie formy modelu. estat ovtest, rhs (note: wiek2 dropped because of collinearity) (note: wiek2^2 dropped because of collinearity) Ramsey RESET test using powers of the independent variables Ho: model has no omitted variables F(5, 158) = 0.87 Prob > F = estat ovtest Ramsey RESET test using powers of the fitted values of lzarobki Ho: model has no omitted variables F(3, 159) = 0.25 Prob > F =

47 Przekształcenie Boxa-Coxa Diagnostyka Poszukiwanie formy modelu Forma przekształcenia g(x, λ) = x λ 1 λ

48 Diagnostyka Poszukiwanie formy modelu Przekształcenie Boxa-Coxa - przykład Number of obs = LR chi2(16) = Log likelihood = Prob > chi2 = zarobki Coef. Std. Err. z P> z [95% Conf. Interval] /theta Estimates of scale-variant parameters Coef Notrans _Iplec_ wiek wiek _Iwyksztal~ _Iwyksztal~ _Iwyksztal~ _Iwyksztal~ _Iwyksztal~ _Iwyksztal~ _Iklm_12_ _Iklm_12_ _Iklm_12_ _Iklm_12_ _Iklm_12_ _Iklm_12_ _Iklm_12_ _cons /sigma

49 Diagnostyka Poszukiwanie formy modelu Przekształcenie Boxa-Coxa - przykład Test Restricted LR statistic P-value H0: log likelihood chi2 Prob > chi theta = theta = theta =

50 Rozszerzenia regresji Diagnostyka Poszukiwanie formy modelu 1 modele wielomianowe

51 Rozszerzenia regresji Diagnostyka Poszukiwanie formy modelu 1 modele wielomianowe 2 modele schodkowe

52 Rozszerzenia regresji Diagnostyka Poszukiwanie formy modelu 1 modele wielomianowe 2 modele schodkowe 3 modele krzywej łamanej