Egzamin z ekonometrii - wersja ogólna

Transkrypt

1 Egzamin z ekonometrii - wersja ogólna Pytania teoretyczne. Dlaczego w modelu nie powinno si umieszcza staªej i wszystkich zmiennych zero-jedynkowych, zwi zanych z poziomami zmiennej dyskretnej? 2. Wyprowadzi rozkªad maªopróbkowy estymatora MNK. Jakie zaªo»enie, poza standardowymi zaªo-»eniami KMRL, nale»y w tym przypadku przyj? 3. Pokaza,»e w modelu ze staª ±rednia warto± zmiennej zale»nej równa jest ±redniej z warto±ci dopasowanych. 4. Jaki skutek mo»e mie pomini cie istotnej zmiennej w modelu?

2 Zadanie Analizowano model z jedn zmienn obja±niaj c i bez wyrazu wolnego: y i = βx i + ε i, ε i N(0, σ 2 ) gdzie x jest nielosowe.. Wyznaczy estymator MNK parametru β. 2. Obliczy wariancj estymatora MNK parametru β. 3. Zaproponowano jako estymator parametru β wyra»enie w postaci jest nieobci»ony. 4. Wyznaczy wariancj estymatora parametru β postaci ȳ x. ȳ x. Pokaza,»e ten estymator 5. Czy istnieje estymator parametru β postaci Cy, gdzie C jest pewnym wektorem a y jest wektorem zawieraj cym obserwacje zmiennej zale»nej, który jest nieobci»ony i ma mniejsz wariancj ni» estymator uzyskany w punkcie? Odpowied¹ nale»y uzasadni. Rozwi zanie Zadanie. Wyznaczy estymator MNK parametru β. X X = X y = x x 2. x N x x 2. x N b = (X X) X y = x x 2. x N y y 2. y N ( N = N = N i= x iy i ) N i= x iy i = N i= x ( N iy ) i 2

3 2. Obliczy wariancj estymatora MNK parametru β. Zakªadaj c, i» w modelu nie wyst puje autokorelacja skªadnika losowego: V ar(y i ) = V ar(βx i + ε i ) wiedz c,»e { ε i N(0, σ 2 ) } i x jest nielosowe otrzymujemy V ar(y i ) = σ 2. Wobec tego: ) V ar(b) = V ar = [ ( N ( N i= x ( N iy ) i = [ ( N )] 2 N V ar(y i) = )] 2 V ar( N i= x iy i ) [ ( N σ 2 3. Zaproponowano jako estymator parametru β wyra»enie w postaci jest nieobci»ony. ] ) ȳ x. Pokaza,»e ten estymator E [ ] ȳ x = x E(ȳ) = x E( N N i= y i) = x N N i= E(y i) = N xn i= (x iβ) = β N xn i= x i = β 4. Wyznaczy wariancj estymatora parametru β postaci ȳ x. Zakªadaj c, i» w modelu nie wyst puje autokorelacja skªadnika losowego: V ar [ [ ȳ x] = x] 2 [ ] 2 V ar(ȳ) = x V ar( N N i= y i) = [ ] 2 N xn i= σ2 = [ ] 2 xn N σ 2 = σ2 x 2 N 5. Czy istnieje estymator parametru β postaci Cy, gdzie C jest pewnym wektorem a y jest wektorem zawieraj cym obserwacje zmiennej zale»nej, który jest nieobci»ony i ma mniejsz wariancj ni» estymator uzyskany w punkcie? Odpowied¹ nale»y uzasadni. Zakªadaj c, i» w modelu nie wyst puje autokorelacja skªadnika losowego: model speªnia zaªo»enia twierdzenia Gaussa-Markowa, wobec tego estymator MNK w klasie liniowych (estymator postaci Cy) i nieobci»onych estymatorów ma najmniejsz wariancj. Nie istnieje estymator liniowy i nieobci»ony, który miaªby mniejsz wariancj ni» estymator MNK. 3

4 Zadanie 2 Na podstawie danych BAEL z 200 roku oszacowano dªugo± trwania bezrobocia ( trwanie - logarytm dªugo±ci trwania bezrobocia). Zmiennymi obja±niaj cymi s wiek, miejsce zamieszkania ( miasto: 0 - wie±, - miasto), pªe (plec: 0 - m»czyzna, - kobieta), wyksztaªcenie (educ: 0 - podstawowe, - ±rednie, 2 - wy»sze), interakcja mi dzy pªci a wyksztaªceniem. Oszacowania parametrów znajduj si poni»ej. Hipotezy testowa na poziomie istotno±ci 0,05. Odpowiedzi uzasadni podaj c p-value. Source SS df MS Number of obs = F( 7, 6040) = Model Prob > F = Residual R-squared = Adj R-squared = Total Root MSE = trwanie Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] wiek _Imiasto_ _Iplec_ _Ieduc_ _Ieduc_ _IpleXedu_~ _IpleXedu_~ _cons RESET F(3,6037) =.00 [0.0000] Jarque-Berra chi2(2) = [0.0000] White chi2(9) = [0.0670] Breusch-Pagan chi2() = 3.86 [0.0002]. Czy zmienne obja±niaj ce s ª cznie istotne? 2. Zinterpretowa warto± wspóªczynnika determinacji. 3. Oceni, które zmienne s istotne. 4. Zinterpretowa oszacowania parametrów przy zmiennych istotnych. 5. Zbada, czy w modelu wyst puje heteroskedastyczno±. 6. Zbada, czy bª d losowy ma rozkªad normalny. 7. Sprawdzi, czy forma funkcyjna modelu jest poprawna. 8. Je»eli model nie speªnia zaªo»e«kmrl okre±li : (a) Które zaªo»enia nie sa speªnione? (b) Jakie to ma konsekwencje dla interpretacji modelu i wnioskowania statystycznego? (c) W jaki sposób mo»na rozwi za problemy zasygnalizowane przez wyniki testów? 4

5 Rozwi zanie Zadanie 2. Test na ª czn istotno± regresji: F =42.97, p value = < 0.05 odrzucamy hipotez zerow o ª cznej nieistotno±ci regresji % zmienno±ci czasu trwania bezrobocia zostaªo wyja±nione za pomoc zmiennych niezale»nych. 3. Istotne zmienne, to te dla których p value jest mniejsze od przyj tego poziomu istotno±ci wynosz cego Czyli istotne zmienne to: (a) wiek ( t = 3.26, p value = 0.000) (b) educ_2 ( t = -3.4, p value= 0.002) (c) plecxeduc_2 ( t = -2., p value = 0.035) (d) miasto_ ( t = -3.66, p value = 0.000) 4. Interpretacja oszacowa«parametrów: (a) wzrost wieku o rok powoduje wzrost czasu trwania bezrobocia ±rednio o.5% ceteris paribus (β wiek ). (b) m»czy¹ni z wyksztaªceniem wy»szym maj ±rednio o 7.8% krótszy czas trwania bezrobocia ni» m»czy¹ni z wyksztaªceniem podstawowym ceteris paribus (β educ_2). (c) kobiety z wyksztaªceniem wy»szym maj ±rednio o 34.2% (6.4%+7.8%) krótszy czas trwania bezrobocia ni» kobiety z wyksztaªceniem podstawowym ceteris paribus (β educ_2+β plecxeduc_2). (d) osoby mieszkaj ce w mie±cie maj ±rednio o 9.9% krótszy czas trwania bezrobocia ni» osoby mieszkaj ce na wsi ceteris paribus (β miasto_). 5. Wyst powanie heteroskedastyczno±ci testujemy za pomoc : (a) testu White'a: i. hipoteza zerowa: homoskedastyczno± skªadnika losowego. ii. warto± statystyki testowej wynosi: chi2(9)= oraz p value = > 0.05, wi c brak podstaw do odrzuceniu hipotezy zerowej o homoskedastyczno±ci. (b) testu Breuscha-Pagana: i. hipoteza zerowa: homoskedastyczno± skªadnika losowego. ii. warto± statystyki testowej wynosi chi2() = 3.86 oraz p value = < 0.05, wi c odrzucamy hipotez zerow o homoskedastyczno±ci. 6. Normalno± zaburzenia losowego testujemy za pomoc : (a) testu Jarque-Bera: i. hipoteza zerowa: zaburzenie losowe ma rozkªad normalny. ii. warto± statystyki testowej wynosi chi2(2) = oraz p value = <0.05, czyli odrzucamy hipotez zerow o normalno±ci zaburzenia losowego. 7. Poprawnosc przyjetej formy funkcyjnej modelu testujemy za pomoc : (a) test RESET: i. hipoteza zerowa: przyj ta posta funkcyjna modelu jest prawidªowa. ii. warto± statystyki testowej F(3, 6037) =.00 i p value = < 0.05, wi c odrzucamy hipotez zerow o poprawno±ci przyj tej formy funkcyjnej. 8. Odpowiedzi s nast puj ce: (a) Nie jest speªnione zaªo»enie o homoskedastyczno±ci zaburzenia losowego oraz zaªo»enie o sposobie generowania danych: y = βx + ε (czyli zaªo»enie o liniowej zaleno±ci mi dzy zmienn zale»n i zmiennymi niezale»nymi). Nie jest tak»e speªnione dodatkowe zaªo»enie o normalno±ci skªadnika losowego. (b) Konsekwencje dla interpretacji modelu i wnioskowania statystycznego s nast puj ce: 5

6 i. W przypadku nie speªnienia zaªo»enia o homoskedastyczno±ci zaburzenia losowego, estymator b jest co prawda nieobci»ony i zgodny, ale nieefektywny. Estymator macierzy wariancji-kowariancji b jest ju» obci»ony i niezgodny. Macierz wariancji-kowariancji jest wykorzystywana do testowania hipotez na temat istotno±ci zmiennych, wi c poprawno± wnioskowania statystycznego jest podwa»ona. ii. Odrzucenie hipotezy o poprawno±ci przyj tej formy funkcyjnej podwa»a interpretacj ekonomiczn modelu (interpretacja oszacowanych parametrów). Takie wªasno±ci jak nieobcia-»ono± czy efektywno± estymatora MNK s wyprowadzane przy zaªo»eniu prawdziwo±ci przyj tej formy funkcyjnej modelu. iii. Próba zawiera 6048 obserwacji (mo»na przyj, i» jest to du»a próba). Dla du»ych prób rozkªady statystyk s bliskie standardowym rozkªadom. (c) Rozwi zanie problemów zasygnalizowanych przez wyniki testów: i. Niepoprawna forma funkcyjna: mo»emy próbowa poprawi form funkcyjn modelu wprowadzaj c do modelu interakcje mi dzy zmiennymi, dokona przeksztaªce«zmiennych (np. przeksztaªcenie Boxa-Coxa), zastosowa model wielomianowy, schodkowy lub krzywej ªamanej. ii. Problem heteroskedastyczno±ci mo»na rozwi za za pomoc Stosowalnej UMNK lub odpornego estymatora White'a macierzy wariancji kowariancji. 6

7 Zadanie 3 Na podstawie danych BAEL z 200 roku oszacowano dªugo± trwania bezrobocia ( trwanie - logarytm dªugo±ci trwania bezrobocia). Zmiennymi obja±niaj cymi s wiek, miejsce zamieszkania ( miasto: 0 - wie±, - miasto), pªe (plec: 0 - m»czyzna, - kobieta), wyksztaªcenie (educ: 0 - podstawowe, - ±rednie, 2 - wy»sze), interakcja mi dzy pªci a wyksztaªceniem. Oszacowania parametrów znajduj si poni»ej. Hipotezy testowa na poziomie istotno±ci 0,05. Source SS df MS Number of obs = F( 8, 6039) = Model Prob > F = Residual R-squared = Adj R-squared = Total Root MSE = trwanie Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] wiek wiek _Imiasto_ _Iplec_ _Ieduc_ _Ieduc_ _IpleXedu_~ _IpleXedu_~ _cons Variable VIF /VIF wiek wiek _IpleXedu_~ _IpleXedu_~ _Ieduc_ _Iplec_ _Ieduc_ _Imiasto_ Mean VIF W modelu uwzgl dniono dodatkowo zmienn wiek do kwadratu (wiek2 ). Nast pnie obliczono wielko±ci statystyk VIF. Sprawdzi, czy w modelu wyst puje problem niedokªadnej wspóªliniowo±ci. Je±li wyst puje niedokªadna wspóªliniowo±, to w jaki sposób mo»na rozwi za ten problem? 2. Je±li wykonywany zawód wpªywa na dªugo± trwania bezrobocia, a estymowany jest model bez tej zmiennej, to jakie b d wªasno±ci estymatora MNK? 3. Je±li pªe respondenta nie wpªywa na dªugo± trwania bezrobocia, ale w estymowanym modelu zawarta jest zmienna zero-jedynkowa zwi zana z pªci, to jakie b d wªasno±ci estymatora MNK? 4. Zaproponowa sposób przetestowania hipotezy,»e wyksztaªcenie nie wpªywa na trwanie bezrobocia. 7

8 Rozwi zanie Zadanie 3. Wynik wskazuje na zbyt siln korelacj zmiennych wiek i wiek2 (V IF >0). Nie jest to jednak wynik zaskakuj cy, obydwie te zmienne s w modelu istotne, za± wprowadzeniu do modelu zmiennej wiek2 byªo uzasadnione merytorycznie - zmienne powinny w modelu pozosta. 2. Pomini ta zostanie jedna ze zmiennych obja±niaj cych czyli wykonywany zawód, co spowoduje obci»enie estymatora MNK. 3. Uwzgl dnienie w estymowanym modelu zmiennej obja±niaj cej, dla której w rzeczywisto±ci β = 0, spowoduje,»e estymator MNK stanie si nieefektywny, cho dalej b dzie nieobci»ony. 4. Musimy przetestowa ª cznie cztery ograniczenia, które mo»na zapisa w nast puj cy sposób: H 0 : β educ_ = β educ_2 = β plecxeduc_ = β plecxeduc_2 = 0 Nast pnie szacujemy model bez ogranicze«. Korzystaj c z modelu bez ogranicze«i modelu z ograniczeniami obliczamy statystyk : F = (S R S)/g F (g, N K) S/(N K) gdzie: S R - suma kwadratów reszt modelu z ograniczeniami, S - suma kwadratów reszt modelu bez ograniczeniami, g - liczba ogranicze«. Je±li statystyka testowa F jest wi ksza od statystyki krytycznej F (g, N K), to odrzucamy hipotez zerow o braku wpªywu wyksztaªacenia na trwanie bezrobocia. 8