Podstawy matematy fasowej ubezpeczeowej oreślea, wzory, przyłady, zadaa z rozwązaam KIELCE
2
SPIS TREŚCI WSTEP... 7 STOPA ZWROTU...... 9 2 RACHUNEK CZASU W MATEMATYCE FINANSOWEJ. 0 2. DOKŁADNA LICZBA DNI 2.2 ZASADA RÓWNYCH MIESIĘCY 2.3 REGUŁA BANKOWA 2.4 PRZYKŁADY 2.5 Zadaa 3 PROCENT PROSTY...... 3 3. ODSETKI, WARTOŚĆ PRZYSZŁA KAPITAŁU 3.2 PRZECIĘTNA STOPA PROCENTOWA 3.3 SYNTETYCZNA OCENA WIELU TRANSAKCJI JEDNEGO PODMIOTU 3.4 DYSKONTOWANIE PROSTE 3.5 DYSKONTO HANDLOWE 3.6 PRZYKŁADY 3.7 Zadaa 4 DYSKONTOWANIE WEKSLI...... 27 4. WARTOŚĆ NOMINALNA I WARTOŚĆ AKTUALNA 4.2 RÓWNOWAŻNOŚĆ WEKSLI 4.3 KOSZT ZŁOŻENIA WEKSLA DO DYSKONTOWANIA 4.4 PRZYKŁADY 4.5 Zadaa 5 BONY SKARBOWE...... 37 5. PRZYKŁADY 5.2 Zadaa 5 PROCENT SKŁADANY...... 43 6. STOPA PROCENTOWA 6.2 ODSETKI, CZAS 6.3 CZAS PODWOJENIA KAPITAŁU 6.4 OPROCENTOWANIE CIĄGŁE 6.5 PRZECIĘTNA STOPA PROCENTOWA 6.6 DYSKONTOWANIE SKŁADANE 6.7 PRZYKŁADY 3
6.8 Zadaa 7 OPROCENTOWANIE WKŁADÓW OSZCZEDNOŚCIOWYCH... 52 7. WKŁADY ZGODNE Z OKRESEM KAPITALIZACJI 7.2 ZDYSKONTOWANA WARTOŚĆ SUMY WPŁAT ZGODNYCH Z OKRESEM KAPITALIZACJI 7.3 WKŁADY NIEZGODNE Z OKRESEM KAPITALIZACJI 7.4 ZDYSKONTOWANA WARTOŚĆ SUMY WPŁAT W PODOKRESACH OKRESU KAPITALIZACJI 7.5 PRZYKŁADY 7.6 Zadaa 8 ROZLICZANIE POŻYCZEK -RATY O STAŁEJ CZESCI KAPITAŁOWEJ... 62 8. WZORY OGÓLNE 8.2 RATY O Z GÓRY USTALONYCH WYSOKOŚCIACH 8.3 RATY O STAŁEJ CZĘŚCI KAPITAŁOWEJ -SPŁATY ZGODNE Z OKRESEM KAPITALIZACJI 8.4 RATY O STAŁEJ CZĘŚCI KAPITAŁOWEJ -SPŁATY W PODOKRESACH, ODSETKI DOLICZANE W PODOKRESACH WG AKTUALNEGO STANU DŁUGU 8.5 RATY STAŁE, O STAŁEJ CZĘŚCI KAPITAŁOWEJ -SPŁATY W PODOKRESACH, ODSETKI OBLICZANE W PODOKRESACH WG AKTUALNEGO STANU DŁUGU, UŚREDNIANE NA CAŁY OKRES SPŁAT 8.6 RATY STAŁE W OKRESACH KAPITALIZACJI, OSTAŁEJ CZĘŚCI KAPITAŁOWEJ -SPŁATY W PODOKRESACH, ODSETKI OBLICZANE W PODOKRESACH WG AKTUALNEGO STANU DŁUGU, UŚREDNIANE NA OKRES KAPIALIZACJI 8.7 RATY O STAŁEJ CZĘŚCI KAPITAŁOWEJ -SPŁATY W PODOKRESACH, ODSETKI DOLICZANE W PODOKRESACH W RÓWNYCH CZĘŚCIACH WEDŁUG STANU DŁUGU NA POCZĄTKU OKRESU KAPITALIZACJI 8.8 RATY O STAŁEJ CZĘŚCI KAPITAŁOWEJ -SPŁATY W PODOKRESACH, ODSETKI W PODOKRESACH WEDŁUG AKTUALNEGO STANU DOLICZANE RAZ NA OKRES KAPITALIZACJI. 8.9 PRZYKŁADY 8.0 Zadaa 9 ROZLICZANIE POŻYCZEK -RATY O RÓWNYCH WYSOKOSCIACH... 75 9. RATY O RÓWNYCH WYSOKOŚCIACH SPŁATY ZGODNE Z OKRESEM KAPITALIZACJI 4
9.2 RATY O RÓWNYCH WYSOKOŚCIACH PŁACONE W PODOKRESACH, ODSETKI WEDŁUG AKTUALNEGO STANU DŁUGU 9.3 RATY O RÓWNYCH WYSOKOŚCIACH PŁACONE W PODOKRESACH, ODSETKI DOLICZANE W PODOKRESACH W RÓWNYCH CZĘŚCIACH WEDŁUG STANU DŁUGU NA POCZĄTKU DANEGO OKRESU KAPITALIZACJI 9.4 RATY O RÓWNYCH WYSOKOŚCIACH, ODSETKI KAPITALIZOWANE (DOLICZANE) W ODOKRESACH 9.5 PRZYKŁADY 9.6 Zadaa 0 KREDYTY Z DODATKOWA OPŁATA...... 0 0. WZORY OGÓLNE 0.2 RATY O STAŁEJ CZĘŚCI KAPITAŁOWEJ ZGODNE Z OKRESEM KAPITALIZACJI, Z DODATKOWĄ OPŁATA 0.3 RATY O STAŁEJ WYSOKOŚCI Z DODATKOWĄ OPŁATĄ. 0.4 PRZYKŁADY 0.5 Zadaa KREDYTY Z OPÓZNIONYM OKRESEM SPŁAT...... 06. PRZYKŁADY.2 Zadaa 2 KREDYTY W WARUNKACH WYSOKIEJ INFLACJI...... 09 2. STOPA OPROCENTOWANIA JEST SUMĄ STOPY ZYSKU ORAZ STOPY INFLACJI 2.. Raty o stałej częśc aptałowej spłaty zgode z oresem aptalzacj 2..2 Raty o rówych wysooścach płate z dołu spłaty zgode z oresem aptalzacj 2.2 KREDYT JEST WALORYZOWANY O STOPĘ INFLACJI 2.2. Raty o stałej częśc aptałowej spłaty zgode z oresem aptalzacj 2.2.2 Raty o rówych wysooścach płate z dołu spłaty zgode z oresem aptalzacj 2.3 PRZYKŁADY 2.4 Zadaa 5
3 RENTY... 7 3. WZORY OGÓLNE 3.2 RENTA O STAŁEJ WYSOKOŚCI 3.3 RENTA TWORZĄCA CIĄG ARYTMETYCZNY 3.4 RENTA TWORZĄCA CIĄG GEOMETRYCZNY 3.5 RENTA TWORZĄCA UOGÓLNIONY CIĄG ARYTMETYCZNY 3.6 RENTA TWORZĄCA UOGÓLNIONY CIĄG GEOMETRYCZNY 3.7 RENTA TWORZĄCA UOGÓLNIONY CIĄG GEOMETRYCZNO- ARYTMETYCZNY 3.8 RENTA WYPŁACANA W PODOKRESACH OKRESU KAPITALIZACJI 3.9 PRZYKŁADY 3.0 Zadaa 4. PODSTAWY MATEMATYKI UBEZPIECZENIOWEJ.32 5 PODSTAWY WYCENY PAPIERÓW WARTOSCIOWYCH..45 6
WSTĘP Słuchacze wyładu Podstawy matematy fasowej ubezpeczeowej od zawsze arzeal a mogość wzorów, pojawających sę a wyładach co gorsza taże a ćwczeach z tego przedmotu. Podręcz omawające te temat zawerają zdecydowaą węszość potrzebych studetom wzorów, lecz ch ops często jest uryty w teśce rozdzału, w tórym wzór sę pojawa. Sprawa wpłat z dołu lub z góry, zgodych z oresem aptalzacj lub e, że e wspomę o west ret, plaów spłaty długu, czy oblczeach dotyczących dysotowaa wesl, spędzała dotychczas se z oczu welu studetom studetom. I jaolwe a ryu wydawczym zajdują sę podręcz, sprawe czytele omawające zawartość wspomaego wyładu, to problem sporządzea eco bardzej somplowaych oblczeń z zaresu matematy fasowej rozbja sę ajczęścej o ezajomość wzorów lub bra sąż, przedstawającej te wzory w sposób pozwalający szybo sprawe zastosować do rozważaego problemu właścwy zestaw oblczeń. To właśe stało sę przyczyą, dla tórej powstał te podręcz. Zamysłem autora było sporządzee zestawu zwązów, pozwalających sprawe poruszać sę po gruce matematy fasowej pod waruem wcześejszego wysłuchaa wyładu z tego przedmotu lub przeczytaa jedej z lu sąże, tóre o matematyce fasowej tratują. Poeważ welu studetów wcąż jeszcze uważa, że są zacze ceawsze rzeczy a tym śwece ż chodzee a wyłady, autor pozwala sobe a przytoczee trzech tach sąże, tóre reomeduje tym studetom jao ewetualą leturę zastępującą wyład. Są to m..: Podstawy matematy fasowej ubezpeczeowej (autorzy: Meczysław Dobja Edward Smaga, Wydawctwo Nauowe PWN, Warszawa-Kraów 995), Matematya fasowa (autorzy: Mara Podgórsa, Joaa Klmowsa, PWN, Warszawa 203), Matematya fasowa (autorzy: Pasec Krzysztof, Roa- Chmelowec Wada, C.H. BECK, 20) Matematya fasowa (autor: Meczysław Sobczy, Agecja wydawcza Placet, Warszawa 20)., Poszczególe sąż eco różą sę od sebe ozaczeam, ale treśc w ch zawarte są w peł zgode. Jeśl węc toś uza, że 7
wol uczyć sę z sąż ż słuchać wyładu, zapraszam do letury jedej z wymeoych wyżej sąże lub ych, tratujących o matematyce fasowej w sposób ompatybly z treścą wyładu, a potrzeby tórego powstał te podręcz. Słada sę o z szesastu częśc, przy czym ajrótsza jest jedostrocowa (mająca oddzely umer tratowaa jao oddzela część tylo dlatego, aby studet zapamętał przyswoł sobe pojęce stopy zwrotu). Poszczególe częśc podzeloe są a mejsze awał po to, aby w spse treśc moża było szybo zaleźć te zares materału, tóry jest właśe potrzeby. Oprócz perwszej ostatej częśc wszyste pozostałe zawerają po la przyładów zastosowań prezetowaych tam wzorów oraz zadaa do samodzelego przerobea przez studetów. Ostata część to tablce, w tórych podao wartość przyszłą wpłat jedostowych, wartośc czya umorzeowego oraz tablce trwaa życa dla lat 985-986 oraz 990-99. Życząc Użytowom podręcza, aby stał sę o dla ch prawdzwą pomocą w opaowau tajów matematy fasowej autor jeszcze raz przypoma, że podręcz te to tylo materały pomoccze uzupełające. Podstawą do opaowaa matematy fasowej jest wyład lub odpoweda sąża. Krzysztof Grysa 8
. STOPA ZWROTU Ozaczea: K 0 K r z r aptał początowy (zawestoway w jaeś przedsęwzęce) aptał otrzymay po zaończeu przedsęwzęca (ońcowy) stopa zwrotu (tempo przyrostu aptału) stopa zwrotu (tempo przyrostu aptału) podaa w sal rou Gdy rozważa sę opłacalość westycj aptału K 0 w jaeś przedsęwzęce, to do ocey opłacalośc używa sę wsaźa azywaego stopą zwrotu: K rz = K 0 K 0 stopa zwrotu Gdy jest to aptał złożoy a sążeczce PKO lub p. a roczą loatę termową, to mówmy o stope procetowej. Oprocetowae władów gotówowych w baach podaje sę w procetach, a ogół w sal rou (chyba, że wyraźe jest powedzae, że dotyczy to ego ż ro oresu czasu), przy czym przelcza sę je a ułame dzesęty, dzeląc stopę procetową przez sto (p. r = 3% = 0,3). Gdy stopa zwrotu ma być podaa w sal rou, otrzymay z podaego wyżej wzoru wy trzeba podzelć przez, gdze - czas, poday w latach lub jao część rou, tz.: r= K K 0 K 0 stopa zwrotu podaa w sal rou Kwestą często sporą, tóra sę tu euchroe pojawa, jest sprawa odpowedz a pytae: ja lczyć czas? Bo le to jest p. pół rou? 9
2. RACHUNEK CZASU W MATEMATYCE FINANSOWEJ 2.. DOKŁADNA LICZBA DNI m - dołada lczba d od daty do daty (bez perwszego da rozważaego oresu). Każdy mesąc ma tyle d, le wya z aledarza. Każdy ro ma 365 d (jest to węc ro aledarzowy). Przelczee d a lata odbywa sę wg. wzoru: m = 365 gdze - lczba lat. Tu w pozostałych przypadach podaje sę ją z doładoścą co ajmej do 4 mejsc po przecu. Odset, oblczoe a tej podstawe, azywa sę procetem doładym. 2.2. ZASADA RÓWNYCH MIESIĘCY Zasada ta e jest już (od stycza 998 r.) stosowaa w systeme baowym w Polsce. Jest oa jeda bardzo wygoda. Z tego względu podajemy tu sposób posługwaa sę tą zasadą. Wg ej ażdy ro słada sę z 2 rówych mesęcy mających po 30 d, tz. ma 360 d (jest to tzw. ro baowy). Przy tej rachube czasu od 28 lutego do ońca mesąca są 2 d, a 3 marca e steje. Przelczee d a lata odbywa sę wg. wzoru m = 360 gdze m - lczba d od daty do daty (bez perwszego da), - lczba lat. Odset, oblczae a tej podstawe, azywae były sę procetem zwyłym. 0
2.3. REGUŁA BANKOWA Lczbę d m od daty do daty oblcza sę ja przy doładej lczbe d. Jao ro berze sę ro baowy, tz. ro lczący 360 d. Przelczee d a lata odbywa sę wg. wzoru m = 360 gdze m - lczba d od daty do daty (bez perwszego da), - lczba lat. 2.4. PRZYKŁADY 2.4.. Oblcz długość oresu czasu od 6 czerwca do 6 wrześa, stosując zasadę doładej lczby d, zasadę rówych mesęcy oraz regułę baową Rozwązae: Ozaczmy: DLD - dołada lczba d, ZRM - zasada rówych mesęcy, RB - reguła baowa. DLD ZRM RB od 6 czerwca 24 24 24 lpec 3 30 3 serpeń 3 30 3 do 6 wrześa 6 6 6 razem d, tz. m = 92 90 92 wzór: wg 2. wg 2.2 wg 2.3 ores (le lat) = 0,2520548 0,25 0,2555 Odpowedź: Długość oresu od 6 czerwca do 6 wrześa wyos: wg DLD - 0,2520548 rou; wg ZRM - 0,25 rou; wg RB - 0,2555 rou. 2.4.2. Zawestowao aptał K 0 w przedsęwzęce, tóre po czase dało aptał K. Oblczyć stopę zwrotu r z oraz stopę
zwrotu w sal rou r dla astępujących daych: K 0 =000 zł, K = 500, =8 mesęcy. Rozwązae: Przyjmujemy zasadę rówych mesęcy. Wtedy = 8 mesęcy = 8/2 rou = 0,6667 rou. Otrzymujemy: r z = 500 000 = 05, ; 500 000 r= = 075, 000 000 0,6667 Odpowedź: Stopa zwrotu r z = 0,5. Stopa zwrotu w sal rou r = 0,75. 2.5. Zadaa 2.5.. Oblcz długość oresu czasu, stosując zasadę doładej lczby d, zasadę rówych mesęcy oraz regułę baową, dla astępujących przedzałów czasowych:: a) 3 stycza - 0 marca b) stycza - 5 weta c) 9 czerwca - 9 wrześa d) 3 serpa - 24 gruda e) lutego - 2 wrześa f) 2 czerwca - 3 gruda 2.5.2. Zawestowao aptał K 0 w przedsęwzęce, tóre po czase dało aptał K. Oblczyć stopę zwrotu r z oraz stopę zwrotu w sal rou r dla astępujących daych: a) K 0 =000 zł, K = 400 zł, - ores od stycza do 3 serpa; b) K 0 =2000 zł, K = 2400 zł, =3 mesące; c) K 0 =500 zł, K = 400 zł, - ores od 20 marca do 20 gruda; d) K 0 =200 zł, K = 500 zł, - ores wartału; e) K 0 =000 zł, K = 800 zł, = ro. f) K 0 =2000 zł, K = 5000 zł, = 3 lata. 2.6. Rozwązaa zadań 2.5.. Czas oblczamy z doładoścą do 6 mejsc po przecu. DLD - dołada lczba d, ZRM - zasada rówych mesęcy, RB - reguła baowa. Odpowedz zazaczoo tłustym druem. Ilość d wg Czas w latach, czyl = ppt DLD ZRM wg DLD wg ZRM wg RB a) 66 67 0,80822 0,86 0,83333 2
b) 04 04 0,284932 0,288889 0,288889 c) 92 90 0,252055 0,250000 0,255556 d) 43 4 0,3978 0,39667 0,397222 e) 223 22 0,60959 0,63889 0,69444 f) 74 7 0,47672 0,475000 0,483333 2.5.2. Czas oblczamy z doładoścą do 6 mejsc po przecu. Stopy procetowe r z oraz r oblczamy z doładoścą do 5 mejsc po przecu. DLD - dołada lczba d, ZRM - zasada rówych mesęcy. Odpowedz zazaczoo tłustym druem. K 0 K czas czas r z r ppt zł zł wg d lata (=) uł. % uł. % a) 000 400 DLD 242 0,66304 0,4 40 0,6033 60 b) 2000 2400 ZRM 90 0,250000 0,2 20 0,8 80 c) 500 400 DLD 275 0,753424,8 80 2,38909 238,909 d) 200 500 ZRM 90 0,250000 6,5 650 26,0 2600 e) 000 800 - - 0,8 80 0,8 80 f) 2000 500 0 - - 3 6,5 650 2,6667 26,667 3. PROCENT PROSTY 3.. ODSETKI, WARTOŚĆ PRZYSZŁA KAPITAŁU Ozaczea: P r I F początowa wartość aptału czas oprocetowaa w latach rocza stopa procetowa odset (jest to opłata za prawo dyspoowaa aptałem P przez ores czasu ) wartość aptału po czase lat Wzór a wysoość odsete (opłaty za prawo dyspoowaa aptałem) od aptału P, pożyczoego a ores czasu przy oprocetowau r: I = Pr 3
odset po czase przy stope procetowej r z aptału P Wzór te moża przeształcć, wyzaczając z ego P, r lub : aptał początowy P stopa procetowa r czas P = I r r = I P F = P + I = P + Pr = P( + r), tz. F = P( + r) = I Pr wartość przyszła aptału P po czase przy stope procetowej r Wzór te moża przeształcć, wyzaczając z ego P, r lub : aptał początowy P stopa procetowa r czas P = F + r r F P = P = F P Pr Ozaczea: 3.2. PRZECIĘTNA STOPA PROCENTOWA, 2,..., r,r,...,r 2 Wtedy długośc podoresów; ores czasu jest rówy = j= j wartość przyszła aptału P 4 stopy procetowe, obowązujące w podoresach, 2,..., F = P( + jr j j= )
a przecętą stopę procetową dla oresu oblcza sę ze wzoru r prz = jr j= przecęta stopa procetowa dla oresu Dla tej stopy F = P( + rprz ) wartość przyszła aptału P j = j= j 3.3. SYNTETYCZNA OCENA WIELU TRANSAKCJI JEDNEGO PODMIOTU Ozaczea:, 2,..., długośc oresów oprocetowaa loat termowych r,r 2,...,r stopy procetowe, obowązujące w oresach,2,..., P,P 2,...,P woty a loatach termowych o długoścach oresu oprocetowaach ja wyżej Relacja pomędzy podaym wyżej weloścam a przecętą stopą procetową r prz a ores (tóry może być dowoly), dającą te same odset co wspomae wyżej loat termowych ma postać r prz P = j j = j = P j j r j Przy zadaym moża z tego wzoru wyzaczyć r prz ; przy założoej wartośc r prz moża wyzaczyć. Odpowede wzory mają postać: 5
r prz j j= = P j= j P j r j j j= = r P prz j= j r P j j 3.4. DYSKONTOWANIE PROSTE Oblczee wartośc atualej P aptału a podstawe zajomośc wartośc przyszłej F podao w cz. 3.; odpowed wzór ma postać: F P = + r dysotowae proste (jest to operacja odwrota do oprocetowaa prostego, gdze r - stopa procetowa, - czas). Oczywśce D = F - P, sąd otrzymujemy wzór Fr D = + r dysoto proste Zauważmy, że zależość aptału P od jego przyszłej wartośc F wyrażoa jest poprzez fucję, tóra jao fucja czasu opsuje hperbolę. Warto zauważyć, że zależość F od P była lowa względem czasu. Ozaczea: 3.5. DYSKONTO HANDLOWE d stopa dysotowa czas w latach P atuala wartość aptału (po zdysotowau o czas ) F wartość aptału w przyszłośc 6
D H = F P = Fd dysoto hadlowe P = F DH = F( d) wartość atuala przyszłych peędzy Wzór te moża przeształcć, wyzaczając z ego F, d lub : wartość aptału F stopa dysotowa d czas : F = P d d = F P F = F P Fd Relacje pomędzy stopam procetową r a dysotową d, dającym po czase odset dysoto tej same wysoośc: r = d d d = r + r Czas, po tórym odset dysoto od tej samej woty będą sobe rówe (przy zadaych stopach procetowej r dysotowej d): = d r 3.6. PRZYKŁADY 3.6.. Oblcz odset od aptału P= 2000 zł po czase = wartał przy stope procetowej r = 24%. Rozwązae: Wobec brau oretych dat przyjmujemy zasadę rówych mesęcy. Mamy wówczas astępujące dae: P=2 000 zł =wartał=0,25 rou 7
r=24%=0,24 Odset oblczamy wg perwszego wzoru z cz. 3.: I = Pr = 2000 0,24 0,25 = 20 zł Odpowedź: Odset od aptału 2000 zł przy oprocetowau 24% po wartale będą rówe I=20 zł. 3.6.2. Wyzaczyć przyszłą wartość aptału P = 200 zł po upływe czasu = 3 wartały, jeśl w poszczególych podoresach oresu stopa procetowa (zawsze podaa w sal rou) była astępująca: w perwszym wartale wyosła 40%, w drugm - 36%, w trzecm - 30%. Rozwązae: Dae: P=200 zł wartał: I II III stopa r: 40% 36% 30% wobec brau oretych dat czas oblczamy zgode z zasadą rówych mesęcy, sąd = 0,75 rou Wartość przyszłą aptału oblczamy ze wzorem z cz.3. pamętając, że w ażdym wartale odset oblczae są a podstawe ej stopy procetowej. Stąd: F = P[ + ( r + r22 + r33 )] = = 200 [ + ( 0,40 0,25 + 0,36 0,25 + 0,30 0,25 )] = 58,00 zł Odpowedź: Wartość przyszła aptału P będze wyosła F = 58 zł. 3.6.3. Oblczyć wartość początową P aptału F= 650,00 zł, otrzymaego po złożeu aptału P a ores czasu od stycza do weta a oprocetowae proste przy stope procetowej rówej r = 22 %. Rozwązae: Korzystając ze wzoru z cz.3.4 otrzymujemy: = 90 d = 0,246575 rou F 650,00 P = = = 565,0 + r + 0,22 0,266575 zł 8
Odpowedź: Wartość początowa aptału F=650,00 zł wyos P=565,0 zł. 3.6.4. Oblcz wysoość dysota hadlowego fatyczą welość długu F, gdy rótotermowa pożycza, udzeloa a ores = 3,5 mesąca przy stope dysotowej d = 25%, zamya sę wotą P = 2000,00 zł. Rozwązae: Posługujemy sę wzoram z cz.3.5. Dae: P=2000 zł wobec brau oretych dat czas lczoy jest wg zasady rówych mesęcy: = 3,5/2=0,29667 d=25%=0,25 Fatycza welość długu: P F = d = 2000, 00 0 25 35,, 2 Wysoość dysota hadlowego: = 257, 30 D = H Fd = 35, 257, 30 0, 25 2 = 57, 30 zł Ta sam wy otrzymuje sę, odejmując od woty F wotę P. Odpowedź: Wysoość dysota hadlowego wyos D H = 57,30 zł a fatycza welość długu F = 257,30 zł 3.6.5..Oblcz długość oresu (w mesącach - przy zastosowau zasady rówych mesęcy, w dach - przy zastosowau zasady doładej lczby d), dla tórego dysoto proste dysoto hadlowe są sobe rówe przy daych stopach procetowej r = 45% dysotowej d = 42%. Rozwązae: Dae: r = 45 % = 0,45 d = 42% = 0,42 Posługując sę ostatm wzorem z cz. 3.5 otrzymujemy: = = 0,5873058 lat 0,42 0,45 9
Zgode z zasadą rówych mesęcy staow to 57 d, tz. mesąc 27 d. Zastosowae zasady doładej lczby d daje wy rówy 58 d. Odpowedź: Długość oresu wyos 0,58773058 rou. Wg ZRM jest to 57 d ( mesąc 27 d), a wg DLD jest to 58 d. 3.7. Zadaa W ażdym z podaych żej zadań oreśl - gdy zachodz taa potrzeba - sposób, w ja oblczasz ores czasu. 3.7.. Oblcz odset od aptału P po czase przy stope procetowej r: a) P = 000 zł, =7 mesęcy, r=24% b) P = 200 zł, - czas od 20 stycza do 4 czerwca, r=20% c) P =300 zł, - czas od marca do 3 paźdzera, r = 30% d) P = 2000 zł, = 2 wartały, r = 24% 3.7.2. Oblcz wartość przyszłą aptału P po czase przy stope procetowej r ja w zadau 3.7.. 3.7.3. Po jam czase aptał P zwęszy sę do wartośc F przy stope procetowej r? Wy przelcz a d stosując zasadę doładej lczby d. a) P = 000 zł, F = 200 zł, r = 20% b) P = 200 zł, F = 500 zł, r = 24% c) P = 300 zł, F = 400 zł, r = 30% d) P = 2000 zł, F = 3000 zł, r = 6% e) F = 2P, r = 30% f) F =.5 P, r = 36% 3.7.4. Oblcz wysoość oprocetowaa r, w wyu tórego odset od woty P po czase były rówe I: a) P = 000 zł, = 7 mesęcy, I = 200 zł b) P = 200 zł, - czas od 2 stycza do 5 maja, I = 245,20 zł c) P = 300 zł, - czas od 5 marca do 20 weta, I = 3,20 zł d) P = 2000 zł, = wartał, I = 500 zł 3.7.5. Ile peędzy ależy pożyczyć a 32%, aby po dwóch mesącach otrzymać aptał F rówy: a) 000 zł b) 5000 zł c) 5000 zł 20
3.7.6. Wyzaczyć przyszłą wartość aptału P po upływe czasu, jeśl w poszczególych podoresach oresu stopa procetowa (zawsze podaa w sal rou) była daa: a) P = 000 zł, w perwszym półroczu stopa procetowa wyosła 32%, w drugm 30%; b) P = 200 zł, w perwszym wartale stopa procetowa wyosła 40%, w drugm - 36%, w trzecm - 30%; c) P = 500 zł, w styczu stopa procetowa wyosła 20%, w lutym marcu - 23%, w wetu - 26%, w maju czerwcu - 24%.; d) P = 300 zł, stopa procetowa zmeała sę co wartał wyosła 40%, 36%, 32% oraz 24%. 3.7.7. Frma uzysała trzy rótotermowe redyty: 2 000 zł a 3 mesące przy stope procetowej 40% 3 000 zł a 6 mesące przy stope procetowej 43 % 5 000 zł a 9 mesęcy przy stope procetowej 45% Frma chcałaby zmeć waru udzelea redytów w te sposób, aby cały dług spłacć po 7 mesącach. Jae oprocetowae przecęte odpowada temu oresow czasu? 3.7.8. Frma uzysała 3 redyty rótotermowe: 0 000 zł a 4 mesące przy stope procetowej 45%, 5000 zł a 6 mesęcy przy stope 43 % oraz 4000 zł a 9 mesęcy przy stope 42%. Czy sytuacja frmy byłaby orzystejsza, gdyby stopa procetowa dla wszystch redytów była jedaowa rówa 43%? 3.7.9. Frma zacągęła 4 rótotermowe pożycz w 4 baach przy astępujących waruach: w bau A 000 zł a 2 mesące przy stope procetowej 8% w bau B 200 zł a 4 mesące przy stope procetowej 20% w bau C 600 zł a 3 mesące przy stope procetowej 9% w bau D 2000 zł a 5 mesęcy przy stope procetowej 2% Czy sytuacja frmy byłaby orzystejsza, gdyby oprocetowae wszystch pożycze było jedaowe rówe 20% w sal rou? Jae przecęte oprocetowae odpowadałoby oresow rówemu dla całego długu 4 mesące? 3.7.0. Oblczyć wartość początową P aptału F, otrzymaego po złożeu aptału P a ores czasu a oprocetowae proste przy stope procetowej rówej r: 2
a) F = 2000 zł, = 4 mesące, r = 24%; b) F = 650 zł, = wartał, r = 22%; c) F = 2400 zł, - ores od 20 stycza do 5 maja, r = 25% d) F = 3000 zł, = 3,5 mesąca, r = 2%; e) F = 244,26 zł, = 56 d, r = 9%. 3.7.. Dla daych z zadaa 3.7.0 oblcz dysoto proste. 3.7.2. Dla poższych daych oblcz dysoto hadlowe wartość atualą przyszłego aptału F: a) F = 2000 zł, = 4 mesące, d = 20%; b) F = 650 zł, = wartał, d = 22%; c) F = 2400 zł, - ores od 20 stycza do 5 czerwca, d = 25%; d) F = 3000 zł, = 4,5 mesąca, d = 2%; e) F = 2460 zł, = 56 d, d = 8%. 3.7.3. Oblcz wysoość dysota hadlowego fatyczą welość długu F, gdy rótotermowa pożycza, udzeloa a ores przy stope dysotowej d, zamya sę wotą P: a) P = 000 zł, = 4 mesące, d = 24%; b) P = 2650 zł, = wartał, d = 22%; c) P = 400 zł, - ores od 20 stycza do 5 maja, d = 25% d) P = 2000 zł, = 3,5 mesąca, d = 2%; e) P = 2240 zł, = 56 d, d = 9%. 3.7.4. Oblcz (z doładoścą do 4 cyfr zaczących), jaa jest wysoość stopy procetowej, przy tórych dysota proste hadlowe wot, wymeoych w zadau 3.7.2. są rówe. 3.7.5. Oblcz (z doładoścą do 4 cyfr zaczących), jaa jest wysoość stopy dysotowej, przy tórych dysota proste hadlowe wot, wymeoych w zadau 3.7.0. są rówe. 3.7.6. Oblcz długość oresu (w mesącach - przy zastosowau zasady rówych mesęcy, w dach - przy zastosowau zasady doładej lczby d), dla tórego dysoto proste dysoto hadlowe są sobe rówe przy daych stopach procetowej r dysotowej d: a) r = 50%, d = 45% b) r = 52%, d = 46% c) r = 45%, d = 42% d) r = 4%, d = 40% e) r = 20%, d = 2% f) r = 5%, d = 4%. 22
3.8. Rozwązaa zadań 3.7.. 3.7.2. Czas oblczamy z doładoścą do 6 mejsc po przecu. Odset oblczamy z doładoścą do grosza. Stosujemy wzory z częśc. 3., a odset: I = Pr oraz a wartość przyszłą aptału: F = P( + r). DLD - dołada lczba d, ZRM - zasada rówych mesęcy. Odpowedz zazaczoo tłustym druem. P czas czas r I (zł) F (zł) ppt zł wg d lata (=) % zad 3.7. zad 3.7.2 a) 000 ZRM 20 0,583333 24 40,00 40,00 b) 200 ZRM 34 0,372222 20 89,33 289,33 b) 200 DLD 35 0,369863 20 88,77 288,77 c) 300 ZRM 239 0,663889 30 59,75 359,75 c) 300 DLD 244 0,668493 30 60,6 360,6 d) 2000 ZRM 80 0,500000 24 240,00 2240,00 3.7.3. Czas oblczamy z doładoścą do 6 mejsc po przecu, lczbę d - z doładoścą do da. Stosujemy wzory z cz. 3. 2.: a czas w latach = F P Pr oraz a lczbę d: m = 365. Odpowedz zazaczoo tłustym druem. P F r czas ppt zł zł % lata (=) d a) 000 200 20 365 b) 200 500 24,04667 380 d) 2000 3000 6 3,25000 4 c) 300 400 30, 406 e) P 2P 30 3,333333 27 f) P,5P 36,388889 507 3.7.4. Czas oblczamy z doładoścą do 6 mejsc po przecu, stopę procetową r - z doładoścą do 5 mejsc po przecu. DLD - dołada lczba d, ZRM - zasada rówych mesęcy. Wzór z cz. 3..: r = I P Odpowedz zazaczoo tłustym druem. P czas czas I r ppt zł wg d lata (=) zł ułame % a) 000 ZRM 20 0,583333 200,00 0,34286 34,286 23
b) 200 ZRM 23 0,34667 245,20 0,59805 59,805 b) 200 DLD 23 0,336986 245,20 0,60636 60,636 c) 300 ZRM 35 0,097222 3,20 0,097 0,97 c) 300 DLD 36 0,098630 3,20 0,085 0,85 d 2000 ZRM 90 0,250000 500 00 3.7.5. Czas lczymy wg ZRM, stosujemy wzór z cz.3.: P Odpowedz: a) P = 949,37 zł b) P = 4 746,84 zł c) P = 4 240,5 zł. = F. + r 3.7.6. Wobec brau dat czas lczymy wg ZRM, stosujemy wzór z cz.3.2: F = P( + j= jr j ) a) F = 000 ( + 0,32 + 0,30 ) = 30 zł 2 2 b) F = 200 ( + 0,40 + 0,36 + 0,30 ) = 58 zł 4 4 4 c) 2 2 F = 500 ( + 0,20 + 0,23 + 0,26 + 0,24 ) = 675 zł 2 2 2 2 d) F = 300 (+ 0,40 + 0,36 + 0,32 + 0,24 ) = 399 zł 4 4 4 4 3.7.7. Wobec brau oretych dat czas lczymy wg ZRM, stosujemy P j j r j j wzór z cz.3.3: rprz = = 3, gdze P j = 40000 zł, = 7/8. j= P j j = Po podstaweu daych z zadaa do wzoru otrzymujemy: 2000 3 + + r prz = 2 0 40 3000 6 9, 0, 43 5000 2 2 045, =0,58227 7 40000 8 czyl r prz = 58,227% Spłacee całego długu po 7 mesącach bez straty odsete przez ba ozaczałoby, że oprocetowae łączego długu musałoby być rówe 58,227%. Byłoby węc oo bardzo wysoe w stosuu do stóp procetowych podaych w zadau. 24
3.7.8. Czas lczymy wg ZRM, stosujemy wzór a odset z cz.3. przy uwzględeu zma stopy procetowej. Dla daych stóp procetowych suma odsete (łączy oszt redytu) ształtuje sę astępująco: I = 0000 4 + + = 2 045, 5000 6 2 0, 43 4000 9 0 42 3835 00 2,, zł Dla wspólej dla wszystch redytów stopy procetowej, rówej 43%, oszt redytu wyos: I = ( 0000 4 + 5000 6 + 4000 9 ) 0, 43 = 3798, 33 zł 2 2 2 Ja z tego wya, wspóla dla tych redytów stopa procetowa, wyosząca 43%, byłaby orzystejsza dla dłuża ż oprocetowaa podae w zadau. 3.7.9. Rozumując podobe, ja w zad. 3.7.8, oblczamy oszt redytów przy podaych stopach procetowych przy stope procetowej wspólej, wyoszącej 20%. W perwszym przypadu otrzymujemy: 2 4 3 5 I = 000 0,8 + 200 0,20 + 600 0,9 + 2000 0,2 = 36,00 zł 2 2 2 2 zaś dla wspólego oprocetowaa mamy: I = ( 000 2 + + + ), =, 2 200 4 2 600 3 2000 5 0 20 360 00 zł 2 2 Różca jest węc mmala, ale orzystejszy dla frmy jest warat drug. Natomast gdybyśmy rozważal sytuację taą, w tórej wszyste pożycz byłyby spłacae po 4 mesącach przy odsetach, ja w warace perwszym, tz. wyoszących 36 zł, to posługując sę wzorem cytowaym w zad. 3.7.7. otrzymuje sę astępujące przecęte oprocetowae dla wszystch tych pożycze: 36, 00 r prz = = 0,8672 czyl r 4 prz = 8,672%. 5800 2 3.7.0. 3.7.. Czas oblczamy z doładoścą do 6 mejsc po przecu. DLD - dołada lczba d, ZRM - zasada rówych mesęcy F Stosujemy wzory z cz. 3.4.: P =, D = F P. Odpowedz + r zazaczoo tłustym druem. F czas czas r P (zł) D (zł) ppt zł wg d lata % z. 3.7.0 z. 3.7. a) 2000,00 ZRM 20 0,333333 24 85,85 48,5 b) 650,00 ZRM 90 0,250000 22 563,98 86,02 c) 2400,00 ZRM 5 0,39444 25 2222,5 77,49 25
c) 2400,00 DLD 5 0,35068 25 2224,76 75,24 d) 3000,00 ZRM 05 0,29667 2 2826,85 73,5 e) 244,26 ZRM 56 0,55556 9 208,54 35,72 e) 244,26 DLD 56 0,53425 9 209,02 35,24 3.7.2. Czas oblczamy wg reguły baowej z doładoścą 6 mejsc po przecu. Stosujemy wzory z cz. 3.5.: P = F ( d ) oraz DH = F P = Fd. Odpowedz zazaczoo tłustym druem. F ores czas d D P ppt zł czasu d lata % zł zł a) 2000,0 4 mes. 20 0,333333 20 33,33 866,67 0 b) 650,0 wartał 90 0,250000 22 90,75 559,25 0 c) 2400,0 20.0-5.06 46 0,405556 25 243,33 256,67 0 d) 3000,0 3,5 mes. 35 0,375000 2 236,25 2763,75 0 e) 2460,0 0 56 d 56 0,55556 8 68,88 239,2 3.7.3. Czas oblczamy wg reguły baowej z doładoścą 6 mejsc po P przecu. Stosujemy wzory z cz. 3.5.:. F = oraz d DH = F P. Odpowedz zazaczoo tłustym druem. P czas d D F ppt zł d lata % zł zł a) 000 20 0,333333 24 86,96 086,96 b) 2650 90 0,250000 22 54,23 2804,23 c) 400 5 0,39444 25 2,5 52,5 d) 2000 05 0,29667 2 30,49 230,49 e) 2240 56 0,55556 9 68,22 2308,22 3.7.4. Czas oblczamy wg reguły baowej z doładoścą 6 mejsc po d przecu. Stosujemy wzór z cz. 3.5.: r =. d Odpowedz: a) r = 2,429 % b) r = 23,28 % c) r = 27,7 % d) r = 22,37 % e) r = 8,59 % 26
3.7.5. Czas oblczamy wg reguły baowej z doładoścą 6 mejsc po przecu. Stosujemy wzór z cz. 3.5.: d = r + r. Odpowedz: a) d= 22,222% b) d= 20,853% c) d= 23,5% d) d= 9,788% e) d= 8,455 % 3.7.6. Czas oblczamy z doładoścą do 6 mejsc po przecu. DLD - dołada lczba d, ZRM - zasada rówych mesęcy. Stosujemy wzór z cz. 3.5.: =. Odpowedz zazaczoo tłustym druem. d r r d ZRM DLD ppt % % lata d d a) 50 45 0,222222 80 8 b) 52 46 0,250836 90 92 c) 45 42 0,58730 57 58 d) 4 40 0,060976 22 22 e) 20 2 3,333333 200 27 f) 5 4 5 800 825 4. DYSKONTOWANIE WEKSLI Ozaczea: 4.. WARTOŚĆ NOMINALNA I WARTOŚĆ AKTUALNA m d W om dołada lczba d do termu spłaty wesla stopa dysotowa wartość omala wesla Dysoto hadlowe (czas jest tu lczoy zgode z regułą baową) oblcza sę wg wzoru: 27
d D H = m W om 360 dysoto hadlowe Przeształcając te wzór moża oblczyć doładą lczbę d do termu spłaty wesla, stopę dysotową lub wartość omala wesla, zając pozostałe welośc. Otrzymujemy: dołada lczba d stopa dysotowa wartość omala wesla 360 D m = H 360 D H 360 D H d = W om = m dm dw om W om Ozaczamy: W at - wartość atuala wesla. Wartość atualą wesla defuje sę astępująco: W at = W om DH Podstawając za dysoto hadlowe prawą stroę wzoru podaego wyżej przeształcając otrzymuje sę: W at wartość atuala wesla md = Wom ( ) 360 wartość omala wesla W om = W at m d 360 Gdy zaa jest wartość omala wesla W om oraz jego wartość atuala W at lczba d do termu wyupu wesla m, to stopę dysotową d moża oblczyć ze wzoru d W = W W om om at stopa dysotowa 360 m 28
zaś przy zaych W om, W at stope dysotowej d moża oblczyć lczbę d do termu wyupu wesla: Wom W m = W at 360 d om lczba d do termu wyupu wesla 4.2. RÓWNOWAŻNOŚĆ WEKSLI W przypadu wesla o wartośc omalej W om, zgłoszoego do odowea a m d przed termem wyupu, wartość omala wesla ' odowoego W om, z termem wyupu za m d od da zgłoszea, przy stope dysotowej d, obowązującej w tym du, jest daa wzorem: md W om ( ) ' W 360 om = m' d 360 wartość omala wesla odowoego Z tego wzoru moża łatwo oblczyć welośc W om, m, m oraz d przy zaych pozostałych weloścach: W d om W = m' d ( ) 360 md 360 ' om 360 ( W = m' W ' om ' om W mw om om ) W m = W m' = m' d ( ) 360 W om ' om 360 md ( ) 360 ' W om d om 360 d Ozaczmy: 29
2 W, W,..., W wartośc omale wesl o umerach om om om m,m,...,m 2 W om m d, 2,..., termy wyupu tych wesl, lczoe od da rówoważośc wesl wartość omala wesla rówoważego tym weslom czas w dach do termu wyupu wesla rówoważego stopa dysotowa w du rówoważośc wesl Wtedy mamy astępujące wzory a rówoważość wesl: W om m d W j j om( ) j= 360 = md 360 m j 360 d m= j W om( ) d Wom j= 360 wartość omala wesla lczba d do wyupu rówoważego wesla Ozaczea: R p K rz D H 4.3. KOSZT ZŁOŻENIA WEKSLA DO DYSKONTOWANIA opłata ryczałtowa poberaa przez ba przy dysotowau wesla stopa procetowa zwązaa z opłatą proporcjoalą do wartośc omalej dysotowaego wesla oszt złożea wesla do dysotowaa dysoto hadlowe Oczywśce K rz = DH + R + W om p m 360 oszt złożea wesla do dysotowaa 30
W at = W K om rz Rzeczywsta stopa osztu zdysotowaa wesla (będąca stopą zwrotu dla tego, to zawestował w wesel peądze): W Wat r = om 360 W m rzeczywsta stopa osztu zdysotowaa wesla (por. wzór a stopę zwrotu, cz..) at 4.4. PRZYKŁADY 4.4.. Dłuż, tóry ma do spłacea 3 wesle (wszyste temu samemu werzycelow) o wartoścach omalych W om = 000 zł, 2 3 W om = 2000 zł, W om =3000 zł termach wyupu odpowedo.07,.08.09, zamea w du 25.05 wszyste te wesle a jede, rówoważy m, płaty w du 5.08. Oblcz wartość omalą tego wesla, przyjmując stopę dysotową w du 25.05 rówą 32%. Rozwązae: Dae: W om = 000 zł 2 W om = 2 000 zł 3 W om = 3 000 zł termy wyupu: A =.07 m = 37 d do D B =.08 m 2 = 68 d do D C =.09 m 3 = 99 d do D data rówoważośc D = 25.05 data płatośc E = 5.08 m = 82 d od daty E do daty D d = 32% Szuae: W om =? Korzystamy z przedostatego wzoru z cz. 4.2. Otrzymujemy: 3