Wykład - LICZBY ZESPOLONE Algebra licb espolonych, repreentacja algebraicna i geometrycna, geometria licb espolonych. Moduł, argument, postać trygonometrycna, wór de Moivre a.' Zbiór Licb Zespolonych Niech a, b, c, d,... będą elementami bioru licb recywistych R. Uogólnienie licby recywistej - uporądkowana para licb recywistych spełniająca pewne definicje i nawana licbą espoloną. Licbami espolonymi naywamy uporądkowane pary licb recywistych, np. (a, b), (c, d), dla których określamy równość, dodawanie i mnożenie w sposób następujący: a, b c, d a c b d a, b c, d a c, b d a, b c, d ac bd, ad bc Dodawanie i mnożenie licb espolonych są diałaniami wewnętrnymi tn., że ich wynikiem jest licba espolona. Prykład Oblicyć sumę i ilocyn licb espolonych (,-) i (3,7) (, -) + (3, 7) = ( + 3, - + 7) = (5, 6) (, -)(3, 7) = ( 37, 7 3) = (3, ) Zbiór licb espolonych onacymy literą C; jest to pocątkowa litera łacińskiego słowa complexus espolony. Zbiór licb espolonych jest ciałem. Odejmowaniem licb espolonych naywamy diałanie odwrotne do dodawania. Wynik odejmowania licb espolonych naywamy różnicą licb espolonych. (x,y) = (a,b) (c,d) (x,y) + (c,d) = (a,b) Z definicji dodawania i równości licb espolonych wynika, że wtedy x + c = a i y +d = b, cyli (a, b) - (c, d) = (a - c, b - d) Prykład (,-) (3,7) = ( 3, - - 7) = (-,-8). Dieleniem licb espolonych naywamy diałanie odwrotne do mnożenia. Wynik dielenia licb espolonych naywamy iloraem licb espolonych. ( a, b) (x, y) = (x, y)(c, d) = (a, b) ( c, d)
Z definicji mnożenia i równości licb espolonych wynika, że wtedy cx dy a dx cy b Układ ten jest jednonacnie rowiąalny, gdy wynacnik tego układu era, cyli gdy licba espolona (c, d) nie jest erem. Stąd a, b ac bd ad bc, c, d c d c d Prykład, 3 7 7 3 7,, 3,7 3 7 3 7 58 58 c d jest różny od W biore licb espolonych o elementach postaci (a, b) można wyodrębnić podbiór o elementach (a, 0) Dodawanie i mnożenie licb postaci (a,0) (a, 0) + (b, 0) = (a + b, 0) (a, 0) (b, 0) = (ab, 0) Element neutralny dodawania - (0, 0) Element neutralny mnożenia - (, 0) Element preciwny do (a,0) - - (a, 0) Element odwrotny do (a,0) -, 0 dla (a, 0) (0, 0). a Wyodrębniony podbiór bioru licb espolonych ma wględem dodawania i mnożenia jego elementów analogicne właściwości jak biór R licb recywistych. Pryjmujemy (a, 0) = a tn. licba espolona (a, 0) jest utożsamiona licbą recywistą a. W scególności licba (0,0) ostała utożsamiona erem recywistym. Jedynka urojona Licby (0, b), różnej od era espolonego, nie można w analogicny sposób utożsamić żadną licbą recywistą. Licbę (0,) będiemy onacać symbolem i. i = (0,) Licbę tę naywamy jedynką urojoną Urojona, dlatego że i =, ponieważ i i (0, )(0, )=(-, 0)= -
a, bc, d ac bd, ad bc gdy tymcasem nie istnieje licba recywista, której kwadrat byłby licbą ujemną. Ponieważ (a, b) = (a, 0) + (0, b) ora (0, b) = (0, )(b, 0) możemy licbę espoloną (a, b) apisać w postaci kanonicnej Gaussa a + bi a R - cęść recywista licby espolonej, br - cęść urojona licby espolonej, a = Re(a + bi), Re - realis - recywisty (łac.) b = Im(a + bi), Im - imaginarius - urojony (łac.) Licba espolona ib, gdy b 0 - licba urojona. Licbę espoloną będiemy dalej naywać krótko licbą i onacać także jedną litera, np., Pry cym = a + bi. Diałania na licbach espolonych w postaci kanonicnej a ib c id a c ib d a ib c id a c ib d a ib c id ac iad ibc i bd ac bd i ad bc Modułem licby espolonej = a + bi, onacanym pre, naywamy recywistą licbę nieujemną, będącą pierwiastkiem sumy kwadratów cęści recywistej i cęści urojonej tej licby Prykład 3 4i 3 a b 4 5,, i, 0 0. Twierdenie Licba espolona jest wtedy i tylko wtedy erem, gdy jej moduł jest równy eru (=0) (//=0) Licbą sprężoną licbą a bi, naywamy licbę postaci a bi. Onacenie = a bi. Dwie licby, których jedna jest sprężona drugą, naywamy licbami sprężonymi.
Wniosek (i) Licby sprężone mają równe moduły, (ii) Ilocyn licb sprężonych jest równy kwadratowi ich wspólnego modułu Wór (ii) można napisać w postaci a b a bia bi Wniosek W biore licb espolonych sumę kwadratów można rołożyć na ilocyn cynników pierwsego stopnia. Prykład 3 4 3 4i3 4i a b a ba b Prykład 3 4i 3 4i 3 4 a ib a ib c id c id 3 5 c id c id i i3 4i 4 5 ac bd iad bc c d i i 3 4i 3 4 5 5 Prykład Rowiąanie równania kwadratowego dla 0 3 3 3i 3 i, x x 3 i x 0 x 3 i INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA LICZB ZESPOLONYCH Diagram Arganda Interpretacje licby espolonej: a) x yi punkt P(x, y) diagram Arganda r, Arg b) x yi wektor [x, y] w R (prestreń wektorowa, odpowiedniość międy C, a prestrenią wektorową R ) x yi x, y x yi x, y
Oś urojona =Im Matematyka I Płascynę espoloną licb onacymy symbolem C. Y =x+yi P(x,y) [x,y] i 0 Oś recywista =Re Geometrycna interpretacja diałań dla licb espolonych Dodawanie licb espolonych = dodawanie wektorów x y i x y i x x y y i Odejmowanie licb espolonych = x y ix y i x x y y i odejmowanie wektorów Argumentem licby x yi 0, onacanym pre Arg, naywamy każdą licbę recywistą, spełniającą dwa warunki gdie x y >0 cos x, sin Argument licby 0 nie jest określony. Argument główny licby argument licby, który należy do prediału Onacenie arg Stąd <arg ora y Arg = arg + k, k 0,,... Prykład arg = 0, Arg = k, argi = /, Argi = / + k (,.
Moduł licby espolonej długość wektora wodącego punktu odpowiadającego tej licbie (interpretacja geometrycna). Argument licby espolonej - miara wględna kąta, jaki twory wektor wodący punktu osią recywistą (interpretacja geometrycna). Im =x+yi 0 r=// Re Postać trygonometrycna licby espolonej r cos isin r moduł licby espolonej - argument licby espolonej Prykład Napisać w postaci trygonometrycnej licbę argumentem. r 3 cos sin Im 3 k stąd 6 = 3 i posługując się jej głównym 3 i cos 6 i sin 6 = 3 + r= =/6 3 Re
równość dwóch licb espolonych Uwaga Zapis Arg / / 0 0 0 i 0, Arg mod Arg Arg onaca, że argumenty licb i są równe modulo, Arg Arg +k Mnożenie licb espolonych w postaci trygonometrycnej r (cos isin ), r (cos isin ) [ r (cos isin )][ r (cos isin )] = rr [(cos cos sin sin ) i(cos sin sin cos ) = r r [cos( ) isin( ) Wniosek (i) Moduł ilocynu dwóch licb espolonych jest równy ilocynowi ich modułów (ii) Argument ilocynu dwóch licb espolonych jest równy sumie ich argumentów Arg( ) Arg Arg (iii) Moduł ilorau licb espolonych jest równy iloraowi ich modułów (iv) Argument ilorau dwóch licb espolonych jest równy różnicy ich argumentów Arg = Arg Arg Twierdenie ( de Moivre a) Dla każdej licby espolonej Dielenie licb espolonych w postaci trygonometrycnej r [cos( ) i sin( )] r ora dla licby naturalnej n 0,,,..., achodi: n r r cos i sin n n i n cos sin
Powyżse twierdenie achodi również dla licb całkowitych ujemnych: n = n n r cos n i sin n r n cos n i sin n r n cos n isin n cos n i sin n cos n sin n r n W scególności, dla: r cos i sin 0 licba odwrotna do wyraża się worem: cos i sin r