ZASTOSOWANIE TEORII MASOWEJ OBSŁUGI DO MODELOWANIA SYSTEMÓW TRANSPORTOWYCH

Pior KISIELEWSKI, Łukasz SOBOTA ZASTOSOWANIE TEORII MASOWEJ OBSŁUGI DO MODELOWANIA SYSTEMÓW TRANSPORTOWYCH W arykule przedsawiono zasosowanie eorii masowej obsługi do analizy i modelowania wybranych sysemów ransporowych. WSTĘP Teoria masowej obsługi jes dziedziną nauki oparą na rachunku prawdopodobieńswa i saysyce maemaycznej. Jes jedną z gałęzi badań operacyjnych [], lecz ze względu na wykorzysywany apara maemayczny uznać ją można również za część eorii procesów sochasycznych [2]. Wykorzysanie jej może posłużyć do analizy i modelowania rzeczywisych sysemów ransporowych [4]. Celem eorii masowej obsługi jes opracowanie meod, kóre służą do wyznaczenia warości wskaźników charakeryzujących proces obsługi pozwalających dokonać oceny jakości sysemu kolejkowego, jak również wyboru opymalnej organizacji i srukury sysemu. Dla zarządzającego sysemem najważniejszym będzie wykorzysanie sysemu w sposób efekywny, naomias dla użykownika wypracowanie wskazania do decyzji o użykowaniu lub nie sysemu. Teoria kolejek jes silnie związana z echniką, co wynika z jej ciągłego zaporzebowania prakycznego. Znajduje zasosowanie w różnych gałęziach gospodarki, w ym ransporcie i komunikacji [3]. W poniższym arykule przedsawiono zasosowanie eorii masowej obsługi do modelowania i analizy rzeczywisych sysemów sacji paliw i myjni samochodowej.. TEORETYCZNE PODSTAWY SYSTEMÓW MASOWEJ OBSŁUGI Podsawowe pojęcia związane z eorią kolejek o: Zgłoszenie - jes o żądanie spełnienia określonej czynności przez sysem, gdzie zgłoszenie o jes idenyfikowane z jego nośnikiem. Tak więc, zamias używania sformułowania: klien soi w kolejce lub oczekuje na obsługę zasosujemy: zgłoszenie jes w kolejce albo oczekuje na obsługę. Obsługa - jes o spełnienie określonej porzeby zgłoszonej do sysemu. Naomias środki kóre umożliwiają realizację zgłoszeń nazywamy sanowiskami obsługi, urządzeniami obsługującymi lub kanałami. Zbiór akich samych urządzeń obsługujących nazywamy sysemem obsługi. Srumień zdarzeń - ciąg zdarzeń losowych związanych z procesem przybywania zgłoszeń do sysemu bądź eż samym procesem obsługi. Srumień wejściowy - ciąg zgłoszeń wymagających obsługi pojawiający się na wejściu sysemu. W przypadku wolnych kanałów obsługi, pojawiające się w sysemie kierowane są proso do obsługi, naomias w przypadku zajęych kanałów obsługi, gromadzone w poczekalni. Srumień wyjściowy - srumień zgłoszeń uzyskany na wyjściu sysemu; srumień en może zawierać obsłużone, bądź nie obsłużone, kóre zaniechały zrealizowania obsługi w sysemie. Działanie sysemu masowej obsługi można przedsawić za pomocą schemau blokowego przedsawionego na rysunku. Rys.. Schema blokowy sysemu masowej obsługi Oznaczenia schemau blokowego:. Srumień wejściowy, 2. Poczekalnia (kolejka), 3. Kanały obsługi, 4. Srumień wyjściowy. Meody analizy sysemów masowej obsługi dzielą się na dwie grupy: Meody analiyczne - opierające się na równań różniczkowych, kóre wiążą ze sobą prawdopodobieńswo zdarzeń wysępujących w procesie obsługi. Najczęściej równania rozwiązywane są w sanie usalonym, przy. Założenie o sprawia, że układ równań różniczkowych przekszałca się w odpowiadający mu układ algebraiczny. Meoda a sosowana jes do prosych sysemów przy ściśle określonych założeniach: srumień zgłoszeń wysępujący w układzie jes srumieniem prosym, a czasy obsługi mają rozkład wykładniczy [3]. W prakyce sanowi o dużą idealizację, sąd prakyczne zasosowania ej meody są rzadkie. Przykładami akich zagadnień są miedzy innymi: problem posoju aksówek, oczekiwanie na połączenia elefoniczne, obsługa zgłoszeń w bankach czy urzędach. 6 AUTOBUSY 6/26

Meody symulacyjne - poprzez szybki rozwój informayki nabierają szczególnego znaczenia w analizie złożonych wielokanałowych i wielofazowych sysemów obsługi. Częse implemenacja ych meod w zagadnieniach prakycznych jes skukiem możliwości obliczeń przy dowolnych funkcjach rozkładów czasów obsługi i dowolnych srumieniach wejściowych zgłoszeń. Możliwość wielokronej symulacji kompuerowej procesu obsługi i saysyczne opracowanie wyników pozwala znaleźć opymalne warości paramerów i wskaźników badanego sysemu. Zagadnienia charakeryzują się realizacją wielu czynności obsługi. Przykładem wielofazowego sysemu kolejkowego jes proces echnologiczny, kóry niesie za sobą ciąg operacji nasępujących po sobie... Wielkości charakeryzujące sysemy kolejkowe Naężenie srumienia zgłoszeń, jak i szybkość obsługi podlegają przypadkowym wahaniom. Pomijając aspek ekonomiczny sysem masowej obsługi powinien obsługiwać w czasie szybszym niż przybywają. Jednakże nie są o warości sałe, więc mogą wysępować przedziały czasu, w kórych wysępuje większa ilość zgłoszeń niż może być w ym czasie obsłużonych, sąd część z nich musi czekać na realizację obsługi. Zgłoszenia akie worzą kolejkę. Nasycenie sysemu kolejkowego można opisać za pomocą podsawowych charakerysyk: Srumienia zgłoszeń, Procesu obsługi, Regulaminu (dyscypliny) kolejki. Srumień zgłoszeń jes saysycznym opisem procesu napływu zgłoszeń do sysemu obsługi. Opisywany jes zazwyczaj za pomocą funkcji rozkładu odsępu czasu między kolejnymi mi. Jeżeli aki srumień czasu nie wykazuje zmienności, zn. inerwał en jes sały, srumień ma charaker deerminisyczny. Naomias, gdy są losowe, zn. inerwał jes zmienną losową, należy wówczas określić jego funkcję rozkładu. Jeżeli przyjmiemy nasępujące oznaczenia: a - średnia długość inerwału pomiędzy dwoma sąsiadującymi mi, - średnie naężenie srumienia zgłoszeń, zależność między ymi wielkościami ma posać () a Do opisu własności srumienia zgłoszeń zazwyczaj sosuje się funkcję rozkładu B(), kóra określa prawdopodobieńswo, że inerwał jes większy od pewnej warości, czyli B( ) F( ) (2) F() - prawdopodobieńswo ego, że inerwał en jes mniejszy od. Podsawowym warunkiem, kóry musi być spełniony aby móc zasosować meody analiyczne, jes założenie że srumień jes srumieniem prosym, zn. jes sacjonarny, bez pamięci i pojedynczy. Sacjonarność srumienia zgłoszeń dla dowolnej grupy ze skończonej liczby, nie zachodzących na siebie przedziałów czasu prawdopodobieńswa wysąpienie w nich odpowiednio k, k2,... k n zgłoszeń jes uzależniona ylko od wymienionych liczb i od długości odpowiednich przedziałów czasu, lecz nie zależy od umiejscowienia na osi czasu. Szczególnie prawdopodobieńswo wysąpienia k zgłoszeń w przedziale czasu (, ) nie zależy od, lecz jes jedynie funkcją zmiennych k oraz. Brak pamięci prawdopodobieńswo wysąpienia k zgłoszeń w przedziale czasu nie zależy od ego, ile zgłoszeń, jak również w jaki sposób wysąpiło do ego momenu. Pojedynczość wyraża prakyczną niemożność wysąpienia dwóch lub większej ilości zgłoszeń w ym samym czasie. Rozkład dyskreny, zwany rozkładem Poissona, posiada wszyskie własności srumienia prosego. Rozkład en znalazł duże zasosowania w eorii masowej obsługi, gdyż pozwala na uzyskanie rozwiązań analiycznych. Proces obsługi jes kolejnym eapem po zgłoszeniu obieku do realizacji. Częso się zdarza, że czas obsługi w sysemie nie jes sały. Gdy ulega on sochasycznym wahaniom, musi być opisany za pomocą właściwych funkcji rozkładu. Isoną wielkością charakeryzującą sysem jes czas obsługi T reprezenowany odpowiednią zmienną losową. Niech G() przedsawia funkcję rozkładu zmiennej określoną nasępująco: G( ) p( T ) (3) (, ) Funkcję gęsości rozkładu g() określić można zależnością: g( ) G( ) (4) W prakyce duże znaczenie ma przypadek, gdy zmienna losowa T podlega rozkładowi wykładniczemu o funkcji gęsości rozkładu opisanej wzorem: g( ) e (5) Naomias paramer rozkładu wynosi wielkość (6) jes o średni czas obsługi. Do opisu procesu obsługi oprócz rozkładu wykładniczego sosuje się inne rozkłady np. rozkład Erlanga, kóry mogą lepiej opisywać proces. Prakyczne charakerysyki sysemu masowej obsługi bardzo częso jednak nie zależą od rodzaju rozkładu czasów obsługi, a bardzo częso od warości średniej czasu. Z ej przyczyny częso zakłada się, że aki proces obsługi podlega procesowi wykładniczemu [3]. Tak sformułowana hipoeza umożliwia uproszczenie aparau maemaycznego służącego do opisu akich sysemów i zapis w posaci prosych formuł analiycznych. Regulamin obsługi kolejki jes rzecim bardzo ważnym elemenem, kóry wpływa na nasycenie sysemu masowej obsługi. Określa on kolejność realizacji zgłoszeń oczekujących w poczekalni. Podsawowe dyscypliny o: FIFO Dyscyplina FIFO (ang. Firs-In, Firs-Ou) -, kóre oczekują najdłużej w kolejce kierowane są w pierwszej kolejności do obsługi. LIFO Dyscyplina LIFO (ang. Las-In, Firs-Ou) -, kóre przybyły do sysemu jako osanie, zosają obsłużone w pierwszej kolejności. RSS Dyscyplina RSS (ang. Random Selecion of Service) - obsługiwane są losowo, przy czym wybór każdego ze zgłoszeń jes ak samo prawdopodobny. Opisane dyscypliny doyczą sysemów, w kórych czekają na obsługę. Wysępują również przypadki w kórych zgłoszenie z różnych powodów opuszcza kolejkę. Wówczas, gdy wysępuje akie zjawisko, zw. odsępowanie, należy określić jego regułę. 6/26 AUTOBUSY 6

Może ono zależeć od czasu oczekiwania w kolejce, bądź eż od długości kolejki. Najczęściej zjawisko odsępowania opisuje się odpowiednią funkcją rozkładu. Wyróżniamy również sysemy, w kórych z kolejki mogą mieć priorye obsługi, zw. pierwszeńswo obsługi przed mi, kóre maja niższy priorye obsługi. Dodakowo możemy przeprowadzić klasyfikację sysemów masowej obsługi z prioryeem. Pierwszy podział doyczy kolejności wejścia do sysemu w przypadku zwolnienia się kanału obsługi. Wyróżniamy u sysem z prioryeem zewnęrznym, gdzie decyzja wejścia do sysemu zależy ylko od klasy jednoski, sysem z prioryeem wewnęrznym, w kórym decyzja zależy również od akualnego sanu sysemu, między innymi oczekiwania jednosek będących w kolejce, bądź długości kolejki zgłoszeń. Drugi podział doyczy zachowania się wobec realizowanych akualnie zgłoszeń, gdy do sysemu zosanie zgłoszona jednoska o wyższym prioryecie. Sysem, gdzie zosaje przerwana obsługa o niższym prioryecie i zaczęa realizacja wyższego rzędu, nazywa się sysemem z prioryeem rugującym. Jeżeli naomias jednoska z prioryeem musi poczekać na koniec poprzedniego, jes o sysem z prioryeem nierugującym []..2. Klasyfikacja sysemów masowej obsługi Różnorodność elemenów, kóre w znaczący sposób wpływają na główne paramery charakeryzujące pracę sysemu wymusiła konieczność uporządkowania oraz klasyfikację ych sysemów [2]. W charakerze cech klasyfikacyjnych przyjąć można różne wielkości określające sysem obsługi: yp rozkładu wejściowego srumienia zgłoszeń, yp rozkładu czasów obsługi, liczbę kanałów obsługi, dyscyplinę kolejki, liczbę faz obsługi, ip. W klasyfikacji można również uwzględnić: obecność i różnego rodzaju ograniczenia nałożone na długość kolejki, czas oczekiwania w poczekalni, możliwość wyjścia z sysemu i ewenualne przejście do drugiej kolejki. W celu oznaczenia sysemu kolejkowego i modelu maemaycznego, kóry mu odpowiada wykorzysuje się kod, w kórym zaware są informacje przynależności sysemu do odpowiedniej grupy [2]. Podsawowymi klasyfikacjami sysemów masowej obsługi są: Klasyfikacja według D. Kendalla Angielski maemayk i saysyk D. Kendall przedsawił symbolikę, w kórej sysem kolejkowy oznacza się w nasępujący sposób: X / Y / m X symbol rozkładu wejściowego srumienia zgłoszeń, Y symbol rozkładu czasów obsługi zgłoszeń, m liczb kanałów obsługi, Naomias aby oznaczyć ypy rozkładów srumienia wejściowego oraz czasów obsługi zasosowano nasępująco symbole: D srumień zdeerminowany lub regularny, M wykładniczy rozkład czasów obsługi lub odsępów czasu pomiędzy sąsiednimi mi, zn. poissonowski rozkład przybyć, Ek rozkład Erlanga k-ego rzędu, kóry może wysępować po sronie urządzeń obsługujących jak i sronie zgłoszeń, Hr rozkład hiperwykładniczy rzędu r, Ck rozkład Cox rzędu k, GI srumień ogólnego ypu, dowolny i niezależny, G srumień o dowolnym rozkładzie czasów obsługi. Zgodnie z nasępującą symboliką, np. kod M/M/ opisuje sysem kolejkowy z jednym kanałem obsługi, w kórym srumień wejściowy zgłoszeń opisany jes rozkładem Poissona, a czas obsługi podlega rozkładowi wykładniczemu. Ograniczeniem przedsawionego sposobu kodowania jes warunek, że nasępujący kod odnosi się wyłącznie do jednofazowych sysemów obsługi, a akże nie posiada informacji o isnieniu kolejki, ograniczeń lub braku ograniczeń nałożonych na ilość zgłoszeń przebywających w sysemie oraz sposobu likwidacji kolejki, zw. dyscypliny kolejki. Te elemeny odgrywają isoną rolę w działaniu sysemu kolejkowego, co czyni ą klasyfikację niedoskonałą. Klasyfikacja według A. M. Lee Specjalisa z eorii masowej obsługi A. M. Lee dążąc do udoskonalenia niedogodności związanymi z klasyfikacją Kendalla, zaprezenował rozszerzony o dodakowe czynniki kod o posaci: X / Y / m / d / l d kod przyjęej dyscypliny kolejki, l rozmiar sysemu, zn. maksymalna liczba zgłoszeń mogących się pomieścić w sysemie (w kanałach obsługi i w poczekalni). Na przykład, kod wzbogacony o dodakowe czynniki z ej klasyfikacji wygląda nasępująco: M/M/3/FIFO/, co oznacza sysem poissonowski, zawierający rzy kanały obsługi, kóre działają według dyscypliny FIFO i posiadają nieskończoną ilość miejsc w poczekalni. Ten sysem kodowania może zosać poszerzony o dodakowy elemen: O sysem owary, F sysem zamknięy. Z ak określonym sposobem klasyfikacji i dodakowym elemenem kod M/E2/2/FIFO/4/F oznacza sysem z poissonowskim srumieniem wejściowym, o erlangowskim rozkładzie czasów obsługi drugiego rzędu, posiadający dwa kanały obsługi, z zasosowaniem reguły likwidacji kolejki w poczekalni według dyscypliny FIFO, liczbą miejsc w poczekalni ograniczoną do 2, a akże oznaczającym, że sysem en jes zamknięy[2]. 2. ZASTOSOWANIE SYSTEMÓW MASOWEJ OBSŁUGI DO MODELOWANIA SYSTEMÓW TRANSPORTOWYCH 2.. Modelowanie myjni samochodowej jako sysemu kolejkowego Celem badania była analiza pracy myjni samochodowej i możliwości modyfikacji sysemu. Schema modelu myjni samochodowej zosał przedsawiony na Rys. 2. Rys. 2. Schema modelu myjni samochodowej Oznaczenia:. Srumień wejściowy modelu, 2. Obieky, 3. Poczekalnia (kolejka obieków), 4. Kanały obsługi, 62 AUTOBUSY 6/26

5. Srumień wyjściowy. Charakerysyka modelu: 2 jednakowe, równoległe, niezależne od siebie kanały obsługi, wykładniczy rozkład odsępów, czasów pomiędzy kolejnymi mi, jak również wykładniczy rozkład czasu obsługi, poczekalnia nieograniczonej pojemności (dosępny duży plac posoju samochodów), źródło zgłoszeń nieskończenie wymiarowe, przysępują do obsługi przy regulaminie FIFO kolejki, inensywność srumienia zgłoszeń wynosiła.8 obsłużonych samochodów na minuę, średnia długość obsługi jednego wynosiła, 8.4min ilość kanałów obsługi m 2, według klasyfikacji Lee dany sysem można charakeryzować jako M/M/2/FIFO/. Graf sanów dla akiego sysemu przedsawiono poniżej na rys. 3. Rys. 5. Charakerysyka czasu oczekiwania w kolejce od momenu Rys. 3. Graf sanów myjni jako sysemu ransporowego. W badaniach przeprowadzono pomiary na rzeczywisym obiekcie, kóre posłużyły do oceny paramerów i charakerysyki sysemu. Dla uzyskania charakerysyki rzeczywisego obieku dokonano jednokronej serii pomiarów w jednym dniu ygodnia, kóre miały posłużyć wyłącznie do ilusracji zagadnienia, bez przygoowania saysycznego wielokronej serii pomiarów w różnych dniach. Poniżej na rysunkach 4, 5 i 6 przedsawiono charakerysyki sysemu i porównanie najważniejszych danych. Rys. 6. Charakerysyka czasu przebywania w sysemie od momenu Kolejnym krokiem w badaniach były obliczenia wykonane dla przypadku, gdyby myjnia posiadała m=3 kanały obsługi. Pozosałe paramery modelu pozosały bez zmian. Porównanie czasu przebywania w sysemie 2-kanałowym i 3- kanałowym przedsawiono na rysunku 7. Rys. 4. Charakerysyka liczby pojazdów w kolejce od momenu Rys. 7. Charakerysyka czasu przebywania w sysemie od momenu 2.2. Wyniki analizy charakerysyk myjni samochodowej Badany obiek zosał scharakeryzowany jako sysem masowej obsługi z oczekiwaniem M/M/2/FIFO/. Do obliczeń zosały wyko- 6/26 AUTOBUSY 63

rzysane dane z pomiarów dla rzeczywisego obieku, a wyniki obliczeń zosały zesawione na wykresach porównawczych wraz z warościami pomiarowymi. Średnia ilość zgłoszeń oczekujących w kolejce w obliczeniach v 2.2 v 2.4 wyniosła, naomias w rzeczywisym pomiarze wyniosła. Błąd względny symulacji w sosunku do pomiaru na obiekcie rzeczywisym wyniósł: 2.4 2.2 % 5.6% 2.4 Orzymany błąd względny, wynika nie ylko z przybliżenia modelu sysemu, ale z jednej serii pomiarów na realnym obiekcie, bez realizacji pomiarów w wielu różnych dniach ygodnia. Kolejnym krokiem było modelowanie sysemu z 3 kanałami obsługi. Orzymane wyniki również zosały przedsawione w posaci wykresu. W przypadku sysemu obsługi z 3 kanałami obsługi znacząco zmalała średnia liczba zgłoszeń oczekujących w kolejce do v.25, a średni czas przebywania w sysemie, przeszło dwukronie do s 9.69 min. Orzymane wyniki pozwalają swierdzić, że poprzez powiększenie sysemu o dodakowy kanał obsługi, czas oczekiwania i płynność obsługi pojazdów uległaby znaczącej poprawie. 2.3. Modelowanie sacji paliw W kolejności badaniu poddano rzeczywisy obiek sacji paliw z czerema sanowiskami dysrybucji. Pomiary użye do analizy sysemu zosały przeprowadzone w przypadkowym dniu ygodnia, w ciągu 5 godzinnego cyklu pomiarowego W budowie modelu przyjęo poniższe założenia: 4 jednakowe, równoległe, niezależne od siebie kanały obsługi, wykładniczy rozkład odsępów, czasów pomiędzy kolejnymi mi, jak również wykładniczy rozkład czasu obsługi, poczekalnia nieograniczona, nieskończenie wymiarowe źródło zgłoszeń, przysępują do obsługi przy regulaminie FIFO kolejki. Inensywność srumienia zgłoszeń wynosiła:.7 samochodów na minuę. Średni czas obsługi jednego wynosił 2.8min Według klasyfikacji Lee kod analizowanego sysemu zapisać można jako M/M/4/FIFO/. 8. Graf sanów dla akiego sysemu przedsawiono poniżej na rys. Rys. 8. Graf sanów sacji paliw jako sysemu ransporowego W badaniach uwzględniono obliczenia wielu charakerysyk. Przykładową zależność czasu przebywania w sysemie od momenu przedsawiono na rysunku 9. Rys. 9. Wykres czasu przebywania w sysemie od momenu. 2.4. Analiza charakerysyki sacji paliw Obliczenia na podsawie pomiarów zosały przeprowadzone według sysemu kolejkowego z oczekiwaniem M/M/4/FIFO/. Na podsawie dokonanych obliczeń można swierdzić, że obsługa na sacji nasępuje płynnie i nie jes konieczna większa ilość kanałów obsługi. Średnia ilość oczekujących zgłoszeń w kolejce wynosiła.5, średni czas oczekiwania na obsługę.7 min, a średni całkowiy czas przebywania pojazdu na sacji paliw ok. 2.25 min. Wynik analizy wskazuje na brak konieczności rozbudowy analizowanego obieku do większej ilości kanałów obsługi. Byłaby o dla ego obieku nieuzasadniona ekonomicznie inwesycja. PODSUMOWANIE Zasosowanie eorii masowej obsługi odgrywa znaczącą rolę w modelowaniu nowych sysemów ransporowych, jak również w ocenie jakości funkcjonowania już isniejących sysemów w kórych wysępuje proces wielosanowiskowej obsługi z kolejkowaniem pojazdów. Poprzez odpowiednią klasyfikację modelu oraz badania analiyczne lub symulacyjne można wykonać szereg analiz charakerysyki sysemu ransporowego. Wyniki analizy mogą posłużyć np. do oceny opłacalności rozbudowy sysemów pod względem wydajności ransporowej. Isonym problemem możliwym do rozwiązania dzięki badaniom symulacyjnym na modelach masowej obsługi jes odpowiednia organizacji pracy sysemu, kóra może skrócić czasy obsługi, zwiększyć płynność przepływu pojazdów, jak również wpłynąć na większą ilość zgłoszeń poprzez lepsze posrzeganie sysemu przez poencjalnych klienów. BIBLIOGRAFIA. Nawarecki E.: Wprowadzenie do badań operacyjnych, Skrypy uczelniane, Kraków 98. 2. Filipowicz B.: Modele sochasyczne w badaniach operacyjnych. Analiza i syneza sysemów obsługi i sieci kolejkowych, Wydawnicwo Naukowo-Techniczne, Warszawa 996. 3. Daka S.: Inżynieria ruchu, Wydawnicwo komunikacji i łączności Warszawa, Warszawa 999. 4. Jacyna M.: Modelowanie i ocena sysemów ransporowych, Oficyna wydawnicza Poliechniki Warszawskiej, Warszawa 29. Auorzy: dr inż. Pior Kisielewski, Poliechnika Krakowska inż. Soboa Łukasz, KreaTech 64 AUTOBUSY 6/26