Cyfrowe rzewarzanie sygnałów Jace Rezmer --. Sygnały i sysemy dysrene (LI, SLS (w=h.. Sysemy LI Pojęcie sysemy LI oznacza liniowe sysemy niezmienne w czasie (ang. Linear ime - Invarian. W lieraurze olsiej częściej używa się erminu SLS ( sysemy liniowo sacjonarne. Rozumienie ojęcia liniowości i sacjonarności ozwala na idenyfiację lasy sysemu i rzyjęcie odowiednich meod analizy. ermin sysemy liniowe definiuje lasę sysemów, w órych odowiedź (sygnał wyjściowy jes suerozycją sładowych sanowiących odowiedzi sysemu na ojedyncze sładowe wymuszenia (sygnału wejściowego. liniowy sysem dysreny y Założymy, że jeżeli na wejście sysemu odamy sygnał o na wyjściu orzymamy sygnał y oraz jeżeli na wejście sysemu odamy sygnał o na wyjściu orzymamy sygnał y. sysem [] n y [] n sysem [] n y [] n Jeżeli sysem jes liniowy o sełniony jes warune addyywności oraz jednorodności a sysem [] n + b [] n a y [] n + b y [] n Inaczej mówiąc sygnał wyjściowy y zależy wyłącznie od sygnału wejściowego oraz charaerysy sysemu, nie zależy naomias od żadnego innego sygnału wejściowego.
Cyfrowe rzewarzanie sygnałów Jace Rezmer -- Przyład dysrenego sysemu liniowego y [] n = [] n Sysem cyfrowy jes zdefiniowany w en sosób, że ażda róba odana na jego wejście zmieni zna i zmniejszy swoją warość dwuronie. Podamy na wejście uładu dysrene sygnały sinusoidalne n = sin( n o częsoliwości f=hz róbowany z częsoliwością f =Hz [] [] n sin(3n = o częsoliwości f=3hz róbowany z częsoliwością f =Hz oraz sumę sygnałów i n = n + n = sin( n + sin(3n [] [] [] 3 y Y [m].5 f 3 4 y Y [m].5 f 3 4 3 = + y 3 Y 3 [m].5 f 3 4 Z wyresu czasowego oraz widmowego widać, że sygnał y 3 sanowi sumę sygnałów y i y (sumowanie róba o róbce, suma dwóch harmonicznych, ierwszej i rzeciej.
Cyfrowe rzewarzanie sygnałów Jace Rezmer -3- Przyład sysemu nieliniowego [] n ( [] n y = Sysem cyfrowy jes zdefiniowany w en sosób, że ażda róba odana na jego wejście zosanie odniesiona do wadrau. Podamy na wejście uładu dysrene sygnały sinusoidalne [] n sin( n [] n sin(3n = o częsoliwości f=hz róbowany z częsoliwością f =Hz = o częsoliwości f=3hz róbowany z częsoliwością f =Hz y Y [m].5 f 3 4 5 6 y Y [m].5 f 3 4 5 6 3 = + y 3 Y 3 [m].5 f 3 4 5 6 Obliczymy rzebiegi wyjściowe y i y [] n = sin( n
Cyfrowe rzewarzanie sygnałów Jace Rezmer -4- y [] n = ( [] n = sin( n sin( n Wyorzysując rzeszałcenia rygonomeryczne sin ( α sin( β = [ cos( α β cos( α + β ] Orzymujemy ierwszy rzebieg wyjściowy y [] n = [ cos(n ] oraz analogicznie drugi rzebieg wyjściowy y [] n = [ cos(6n ] Jeżeli sygnałem wejściowym będzie suma sygnałów i orzymamy: sąd [] n = [] n + [] n = sin( n + sin(3n 3 [] n = ( [] n [] y + 3 n [] n = ( [] n + [] n [] n ( [] y + 3 n y [] n = [ cos(n ] + [ cos(n cos(4n ] + [ cos(6n ] 3 Zauważmy, że w sygnale wyjściowym y 3 ojawiają się harmoniczne, óre nie wysęują w żadnym sygnale wejściowym (,4. Równanie definiujące liniowość nie jes zaem sełnione. Sysem jes nieliniowy. Sysemy nieliniowe są rudne do analizowania, są jedna soradycznie wyorzysywane w rayce cyfrowego rzewarzania sygnałów. Przyładem mogą być nieliniowe filry cyfrowe. W dalszym ciągu będziemy rozarywać ylo sysemy liniowe.
Cyfrowe rzewarzanie sygnałów Jace Rezmer -5- W sysemie niezmiennym w czasie rzesunięcie w czasie w ciągu wejściowym owoduje równoważne rzesunięcie w ciągu wyjściowym. Jeżeli reacją uładu na wymuszenie będzie odowiedź y [] n sysem y[] n o na wymuszenie rzesunięe w czasie (o róbe uład odowie sygnałem y a samo oóźnionym sysem [ n ] y[ n ] Przyład sysemu niezmiennego w czasie y [] n = [] n sysem ' [] n = [ n + 4] y [] n = y[ n + 4] ' y.5 ' y'.5 Przyładem rocesu cyfrowego rzewarzania nie sełniającego warunu niezmienności w czasie jes odróbowywanie (wybieranie nieórych róbe rzebiegu. Dalej będziemy rozarywać ylo sysemy niezmienne w czasie Czasami można soać definicję sacjonarności jao bra zmian aramerów uładu w czasie. Jedna aa definicja nie jes omlena.
Cyfrowe rzewarzanie sygnałów Jace Rezmer -6- Analiza sysemów LI Dzięi właściwościom sysemów LI, można w rosy sosób rzewidywać ich funcjonowanie. Pełną informację o sysemie gwaranuje znajomość odowiedzi imulsowej. Odowiedź imulsowa sysemu jes o sygnał (ciąg wyjściowy w dziedzinie czasu, gdy sygnałem wejściowym jes imuls jednosowy, zn. sygnałem wejściowym jes ojedyncza róba o warości jeden, naomias wszysie róbi rzed i o niej mają warość równą zero. liniowy sysem dysreny y y Znając odowiedź imulsową sysemu LI, można oreślić odowiedź dla dowolnego sygnału wejściowego jao slo ego sygnału z odowiedzią imulsową. Odowiedź imulsowa umożliwia wyznaczenie ransmiancji widmowej sysemu LI, oraz analizę sysemu w dziedzinie częsoliwości. Sysemy LI mają użyeczną dla analizy właściwość rzemienności, dzięi órej można zamieniać olejność ołączonych szeregowo bloów sysemu, bez wływu na sygnał wyjściowy.
Cyfrowe rzewarzanie sygnałów Jace Rezmer -7-.. Sygnały ermin rzewarzanie sygnałów należy rozumieć jao analizowanie zmiennych w czasie rocesów fizycznych. Ze względu na y rerezenacji sygnałów w dziedzinie czasu rzewarzanie dzieli się na: analogowe rzewarzanie sygnałów (sygnały o czasie ciągłym, syg. analogowe Zmienna niezależna czasu jes ciągła. cyfrowe rzewarzanie sygnałów (sygnały o czasie dysrenym, syg. dysrene W ym rzyadu zmienna niezależna czasu jes wanowana, a że orzymuje się warości sygnału w dysrenych unach. Sygnał jes rerezenowany jao ciąg warości. Orócz wanowania osi czasu, sygnał dysreny może mieć wanowane warości, ai sygnał nazywany jes sygnałem cyfrowym. Sygnały analogowe f( f( Rys. Sygnał analogowy Sygnałem analogowym oreślamy sygnał ciągły w czasie, óry może rzyjmować ciągły zares warości chwilowej. Przyładem aiego sygnału jes naięcie odawane na wejście oscylosou, dając na jego eranie obraz rzebiegu jao ciągłą w czasie funcję. Eleryczne sygnały analogowe rzewarza się w uładach analogowych aich ja n. rezysory, ondensaory, dławii, ransformaory, filry analogowe, wzmacniacze oeracyjne id., lub rzewarza się je do osaci dysrenej (róbuje. ermin analogowy wywodzi się od eleronicznych omuerów analogowych, óre rozwiązywały złożone ułady równań różniczowych. Wyorzysywano analogie badanych modeli maemaycznych do modeli elerycznych.
Cyfrowe rzewarzanie sygnałów Jace Rezmer -8- Sygnały dysrene f f[] n Rys. Sygnał dysreny Wyorzysując rzewornii analogowo-cyfrowe 3 sygnały analogowe róbuje się w równych odsęach czasu. Przedział czasu omiędzy olejnymi róbami nazywa się oresem róbowania. Orzymuje się sygnał dysreny jao ciąg warości, óre są indesowane za omocą liczb całowiych: [] n f n f = ( Częsoliwość róbowania f jes równa odwroności oresu róbowania: f = Wybór warości częsoliwości róbowania zależy od własności widmowych rzewarzanego sygnału analogowego oraz secyfii rocesu róbowania. Maemayczna rerezenacja sygnału dysrenego Maemaycznie roces róbowania olega omnożeniu sygnału analogowego f( z niesończonym szeregiem imulsów (del Diraca d(. Imulsy w aim szeregu owarzają się z oresem. Szereg imulsów Diraca oisuje zależność: ( ( n = d δ Na wyresie rzedsawia się ai szereg w osaci srzałe o jednosowej długości ( jes o miara ola owierzchni dely, oddalonych od siebie o sały rzedział czasu równy (ores róbowania. 3 Parz ema doyczący budowy i działania rzeworniów A/C
Cyfrowe rzewarzanie sygnałów Jace Rezmer -9- d( δ ( n = n Rys.3 Szereg imulsów Diraca Zaem sygnał dysreny (ozn. f*( oisuje zależność: f * f * ( = f ( d( ( f ( δ ( n = Wyorzysując własność filracyjną dely Diraca orzymujemy wyrażenie oisujące sygnał dysreny: f * ( f ( n δ ( n = Zais en należy inerreować jao szereg imulsów Diraca o olach równych warościom róbowanej funcji analogowej w unach, w órych znajdują się dely szeregu d(. f*( f ( n δ ( n = n Rys.4 Sygnał dysreny
Cyfrowe rzewarzanie sygnałów Jace Rezmer -- { } Widmo sygnału dysrenego. F f *( Analiza sygnałów w dziedzinie częsoliwości ozwala na leiej rozumieć zagadnienia rzewarzania sygnałów. Przewarzaniu sygnałów dysrenych, echniami Fouriera będą oświęcone osobne wyłady wyjaśniające zagadnienia dysrenej ransformay Fouriera (DF oraz FF. u wyorzysamy znane już ciągłe rzeszałcenie Fouriera. Widmo dely Diraca zgodnie z definicją rzeszałcenia Fouriera wynosi: F { δ ( } δ ( j = e d = δ ( F Pary ransforma wyniające z właściwości rzeszałcenia Fouriera: δ F j ( e F ( j ( F πδ πδ e Widmo rzebiegu oresowego, ozwala zauważyć charaerysyczną właściwość widma sygnału dysrenego. Wyorzysamy zesolony szereg Fouriera. Przebieg oresowy f( w osaci zesolonego szeregu Fouriera ma osać Jego ransformaa Fouriera = F c e = ( j ( = = F f c e j ( { } j j = c F e = F j gdzie c = F ( j π c δ ( j f ( e = + = d wsółczynnii szeregu π = odsęy między imulsami widma Wynia z ego, że widmo dowolnego sygnału oresowego, oisuje szereg imulsów Diraca oddalonych od siebie o sałą warość i o olach równych odowiednio π c.
Cyfrowe rzewarzanie sygnałów Jace Rezmer -- Wyorzysując właściwość symerii rzeszałcenia Fouriera można swierdzić, że sygnał złożony z imulsów Diraca odległych od siebie o sałą warość (sygnał dysreny osiada oresowe widmo. a właściwość charaerysyi widmowej sygnału dysrenego, ma swoje ważne onsewencje w eorii róbowania. Szereg imulsów Diraca rozarzymy jao szczególny rzyade rzebiegu oresowego ( = ( = d δ Po rzedsawieniu d( w osaci zesolonego szeregu Fouriera d ( = = wsółczynnii ego szeregu wynoszą c e j c = δ / / ( e j d = Sąd charaerysya widmowa szeregu imulsów Diraca rzyjmuje osać D π ( j = = π δ + ransformaa Fouriera szeregu imulsów Diraca owarzających się z oresem (w dziedzinie czasu jes również szeregiem imulsów Diraca owarzających się z oresem π / (w dziedzinie częsoliwości. Ważne sosrzeżenie, że zmniejszając odsęy między imulsami w dziedzinie czasu ( więsza częsoliwość róbowania zwięszają się odsęy miedzy delami w dziedzinie częsoliwości (i odwronie. a rosa zależność ma fundamenalne znaczenie odczas realizacji zadania róbowania rzebiegów analogowych.
Cyfrowe rzewarzanie sygnałów Jace Rezmer -- Do obliczenia ransformay Fouriera sygnału dysrenego F { f *( } wyorzysamy wcześniejsze zależności. ransformaa Fouriera iloczynu dwóch rzebiegów ( wierdzenie o slocie z dziedzinie częsoliwości : π F{ f ( d( } = F{ f ( } F{ d( } F{ f *( } F{ f ( } F{ d( } = π W uroszczonej osaci zaiszemy ransformaę Fouriera sygnału dysrenego jao F * ( j F( j D( j = π oraz znając ransformaę szeregu imulsów Diraca orzymamy: F * ( ( j = F j = π δ + Pamięamy, że slo funcji z imulsem Diraca owoduje rzesunięcie ej funcji do unu, w órym znajduje się dela. Dodaowo jeżeli funcja slaana jes z szeregiem imulsów, o nasęuje owielanie ej funcji i rzesuwanie owieleń do miejsc, w órych znajdują się imulsy Diraca. Wniosujemy zaem, że widmo sygnału dysrenego owsaje w wyniu owielania widma sygnału analogowego niesończoną ilość razy i rzesuwania ych owieleń o wieloroności. π = ransformaa Fouriera sygnału dysrenego ma zaem nasęującą osać: F * ( j = = F j + π j Oerację róbowania sygnału analogowego f( można rzedsawić graficznie w osaci wyresów w dziedzinie czasu i częsoliwości.
Cyfrowe rzewarzanie sygnałów Jace Rezmer -3- f( f( d( D( π f*( F*( Rys 5. Graficzne rzedsawienie oeracji róbowania Ja wynia z wyrowadzeń osać widma sygnału dysrenego zależy od częsoliwości róbowania. W nieórych wyadach w wyniu owieleń i rzesunięć widma sygnału analogowego, może wysęować naładanie się owieleń. en nieożądany efe nazywany aliasingiem wymusza sosowanie dodaowej filracji analogowej (filry anyaliasingowe oraz odowiednich echni róbowania. ( oniec