etody Numerycze i Progrmowie Stro z Wykłd. Rozwiązywie ukłdów rówń liiowych () etody dokłde rozwiązywi ukłdów rówń liiowych etody dokłde pozwlą uzyskie rozwiązi w skończoe liczbie kroków obliczeiowych. etody itercye podą oszcowie poszukiwego rozwiązi z pewym przybliżeiem. riusz B. Bogcki Stro 009-0-6 Zkłd Iżyierii Procesowe Wydził Techologii Chemicze PP
etody Numerycze i Progrmowie Stro z Wykłd. Rozwiązywie ukłdów rówń liiowych () etody dokłde rozwiązywi ukłdów rówń liiowych Przykłd 6.. Rozwiązć ukłd czterech rówń liiowych z czterem iewidomymi: y z 6y 0z 0 y 8z 8. Rozwiązie Krok : y z y z 8y 9z. Krok : y z y z z. Krok : y z y z z. y y ( ) ( ) z. y y z. y y z () () y y y. z. z. z. riusz B. Bogcki Stro 009-0-6 Zkłd Iżyierii Procesowe Wydził Techologii Chemicze PP
etody Numerycze i Progrmowie Stro z Wykłd. Rozwiązywie ukłdów rówń liiowych () etody dokłde rozwiązywi ukłdów rówń liiowych Te sposób postępowi zywy est metodą elimici Guss. Wykorzystuemy włściwość rówń liiowych zgodie z którą kombic liiow dwóch rówń posid tkie smo rozwiązie k rówi wyściowe. riusz B. Bogcki Stro 009-0-6 Zkłd Iżyierii Procesowe Wydził Techologii Chemicze PP
etody Numerycze i Progrmowie Stro z Wykłd. Rozwiązywie ukłdów rówń liiowych () etod elimici Guss Sposób postępowi:. : : : b b b K K K (6.) b A (6.) gdzie: K O K K A (6.) ( T K ) ) (6.) ( T b b b K b. (6.5) riusz B. Bogcki Stro 009-0-6 Zkłd Iżyierii Procesowe Wydził Techologii Chemicze PP
etody Numerycze i Progrmowie Stro 5 z Wykłd. Rozwiązywie ukłdów rówń liiowych (5) etod elimici Guss Ze względów formlych mcierz A łączy się z wektorem b otrzymuąc mcierz: [ ] ~ K O K K b A A. (6.6) Zkłdmy że 0 i dl kżdego i... przeprowdzmy opercę elimici: ( ) i i i (6.7) mące celu wyelimiowie współczyików i występuących przy wyrzie w kżdym z wierszy mcierzy A czyli z kżdego z rówń.... 0 0 ~ K O K K A. riusz B. Bogcki Stro 5 009-0-6 Zkłd Iżyierii Procesowe Wydził Techologii Chemicze PP
etody Numerycze i Progrmowie Stro 6 z Wykłd. Rozwiązywie ukłdów rówń liiowych (6) etod elimici Guss Zkłdmy że 0 i dl kżdego i... przeprowdzmy opercę elimici: i (6.7) i ( ) i mące celu wyelimiowie współczyików i występuących przy wyrzie w kżdym z wierszy mcierzy A czyli z kżdego z rówń.... K ~ 0 K A. O 0 0 K riusz B. Bogcki Stro 6 009-0-6 Zkłd Iżyierii Procesowe Wydził Techologii Chemicze PP
etody Numerycze i Progrmowie Stro 7 z Wykłd. Rozwiązywie ukłdów rówń liiowych (7) etod elimici Guss W te sposób elimiuemy w koleych wierszch z koleych kolum... - współczyiki występuące przy zmiee : i i i (6.8) ( ) dl kżdego i... zkłdąc kżdorzowo że 0. W efekcie uzyskmy mcierz trókątą górą: K 0 K A ~ 0 K. (6.9) O O 0 0 K 0 UWAGA: lemety digoli główe muszą być róże od zer! riusz B. Bogcki Stro 7 009-0-6 Zkłd Iżyierii Procesowe Wydził Techologii Chemicze PP
etody Numerycze i Progrmowie Stro 8 z Wykłd. Rozwiązywie ukłdów rówń liiowych (8) etod elimici Guss cierz t przedstwi liiowy ukłd rówń postci:. : : : O K K (6.0) Te ukłd rówń rozwiązuemy metodą koleych podstwień:. Rozwiązuemy te rówie uzyskuąc: (6.). Podstwimy do rówi obliczoe i rozwiązuemy e względem - otrzymuąc: (6.). Te proces obliczeiowy kotyuuemy dl koleych rówń i... otrzymuąc: ii i i i ii i i i i i i i K (6.) riusz B. Bogcki Stro 8 009-0-6 Zkłd Iżyierii Procesowe Wydził Techologii Chemicze PP
etody Numerycze i Progrmowie Stro 9 z Wykłd. Rozwiązywie ukłdów rówń liiowych (9) etod elimici Guss Przykłd 6.. Stosuąc metodę elimici Guss rozwiązć ukłd rówń:. 0 8 : : : : Rozwiązie cierz rozszerzo dl powyższego ukłdu rówń liiowych: () 0 0 8 ~ ~ A A. Przeprowdząc koleo operce: orz elimiuemy elemety pierwsze kolumy otrzymuąc: ( ) ( ) ) ) ( ) ( ( ) ( ( ) 0 0 6 0 0 0 8 ~ A. riusz B. Bogcki Stro 9 009-0-6 Zkłd Iżyierii Procesowe Wydził Techologii Chemicze PP
etody Numerycze i Progrmowie Stro 0 z Wykłd. Rozwiązywie ukłdów rówń liiowych (0) etod elimici Guss Przykłd 6.. cd. Przeprowdzmy opercę ( ) ( ) otrzymuąc ową mcierz: 8 ~ ( ) ( ) ~ 0 6 A A. 0 0 0 0 Wykouąc opercę ( ) ( ) otrzymmy mcierz trókątą postci: 8 ~ ( ) 0 6 A. 0 0 0 0 0 Nleży terz przez kolee podstwiei obliczyć iewidome: ( ) ( ) 6 ( ) ( ) 8 7. Tki sposób postępowi zyw się: metod elimici Guss z wyborem elemetu główego riusz B. Bogcki Stro 0 009-0-6 Zkłd Iżyierii Procesowe Wydził Techologii Chemicze PP
etody Numerycze i Progrmowie Stro z Wykłd. Rozwiązywie ukłdów rówń liiowych () etod elimici Guss Przykłd 6.. ) y 6 ± 0. 5y 9 ± 0.. b) 5y 9 ± 0. y 6 ± 0.. Rozwiązie dokłde dl ieobciążoego błędmi ukłdu rówń wyosi y. Obliczei przeprowdzić w czterocyfrowe rytmetyce mszyowe. Rozwiązie Ad ) 5 y () y () y 5 0 05 5 Rysuek 6.. Iterpretc geometrycz rozwiązi ie zburzoego ukłdu rówń z przykłdu 6.. riusz B. Bogcki Stro 009-0-6 Zkłd Iżyierii Procesowe Wydził Techologii Chemicze PP
etody Numerycze i Progrmowie Stro z Wykłd. Rozwiązywie ukłdów rówń liiowych () etod elimici Guss Przykłd 6.. cd. Zburzoy ukłd rówń rozptruemy ko cztery ukłdy rówń: y 6 0. 5y 9 0.. y 6 0. 5y 9 0.. y 6 0. 5y 9 0.. y 6 0. 5y 9 0.. Kżde z tych ukłdów rówń geerue edo rozwiązie:.076 y.095.. y.90. 0.8857 y.057. 0.98 y.908. riusz B. Bogcki Stro 009-0-6 Zkłd Iżyierii Procesowe Wydził Techologii Chemicze PP
etody Numerycze i Progrmowie Stro z Wykłd. Rozwiązywie ukłdów rówń liiowych () etod elimici Guss Przykłd 6.. cd. 5 y () y () y 5 0 05 5 Rysuek 6.. Iterpretc geometrycz rozwiązi wyściowego zburzoego ukłdu rówń z przykłdu 6. potrktowych ko cztery iezleże rówi.. Pole powierzchi rówoległoboku 0.007. Poszukiwe rozwiązie wyściowego zburzoego ukłdu rówń zdue się wewątrz rówoległoboku którego wierzchołkmi są rozwiązi powyższych czterech ukłdów rówń liiowych: riusz B. Bogcki Stro 009-0-6 Zkłd Iżyierii Procesowe Wydził Techologii Chemicze PP
etody Numerycze i Progrmowie Stro z Wykłd. Rozwiązywie ukłdów rówń liiowych () etod elimici Guss Przykłd 6.. cd. Formlie stosuąc metodę elimici Guss wyściowy ukłd rówń y 6 ± 0. 5y 9 ± 0.. przeksztłcmy do ukłdu rówń z trókątą mcierzą współczyików postci: y 6 ± 0. 5.5y 0.5 ± 0.5. Jko rozwiązie drugiego z tych rówń otrzymuemy y ± 0.095. Podstwiąc to rozwiązie do rówi pierwszego:.076 y.095..8 y.908. 0.876 y.095. 0.98 y.908. riusz B. Bogcki Stro 009-0-6 Zkłd Iżyierii Procesowe Wydził Techologii Chemicze PP
etody Numerycze i Progrmowie Stro 5 z Wykłd. Rozwiązywie ukłdów rówń liiowych (5) etod elimici Guss Przykłd 6.. cd. 5 y () y () y 5 0 05 5 Rysuek 6.. Iterpretc geometrycz rozwiązi zburzoego ukłdu rówń z przykłdu 6. po przeprowdzeiu elimici Guss. Pole powierzchi rówoległoboku 0.08. riusz B. Bogcki Stro 5 009-0-6 Zkłd Iżyierii Procesowe Wydził Techologii Chemicze PP
etody Numerycze i Progrmowie Stro 6 z Wykłd. Rozwiązywie ukłdów rówń liiowych (6) etod elimici Guss Przykłd 6.. cd. Ad b) 5y 9 ± 0. y 6 ± 0.. y 5 y () y () 5 0 05 5 Rysuek 6.. Iterpretc geometrycz rozwiązi ie zburzoego ukłdu rówń z przykłdu 6.. riusz B. Bogcki Stro 6 009-0-6 Zkłd Iżyierii Procesowe Wydził Techologii Chemicze PP
etody Numerycze i Progrmowie Stro 7 z Wykłd. Rozwiązywie ukłdów rówń liiowych (7) etod elimici Guss Przykłd 6.. cd. Stosuąc metodę elimici Guss otrzymuemy ukłd rówń o mcierzy trókąte: 5y 9 ± 0. y ±. Rozwiązuąc drugie z tych rówń otrzymuemy że y ± 0.095 (idetyczie k w przykłdzie ). Podstwiąc to rozwiązie do rówi pierwszego otrzymmy cztery róże rozwiązi wyzczące wierzchołki rówoległoboku:.076 y.095..8760 y.095. 0.0 y.908. 0.98 y.908. riusz B. Bogcki Stro 7 009-0-6 Zkłd Iżyierii Procesowe Wydził Techologii Chemicze PP
etody Numerycze i Progrmowie Stro 8 z Wykłd. Rozwiązywie ukłdów rówń liiowych (8) etod elimici Guss Przykłd 6.. cd. y 5 5 y () y () 0 05 5 Rysuek 6.. Iterpretc geometrycz rozwiązi zburzoego ukłdu rówń z przykłdu 6.b po przeprowdzeiu elimici Guss. Pole powierzchi rówoległoboku 0.5. riusz B. Bogcki Stro 8 009-0-6 Zkłd Iżyierii Procesowe Wydził Techologii Chemicze PP
etody Numerycze i Progrmowie Stro 9 z Wykłd. Rozwiązywie ukłdów rówń liiowych (9) etod elimici Guss Przykłd 6.5. ). 6 5 b). Rozwiązie Stosuąc metodę elimici Guss po pierwszym kroku otrzymue się: ). b). W rytmetyce dokłde ko rozwiązie pierwszego ukłdu rówń otrzymmy tomist ko rozwiązie drugiego ukłdu rówń otrzymmy orz 0. riusz B. Bogcki Stro 9 009-0-6 Zkłd Iżyierii Procesowe Wydził Techologii Chemicze PP
etody Numerycze i Progrmowie Stro 0 z Wykłd. Rozwiązywie ukłdów rówń liiowych (0) etod elimici Guss UWAGI:. Do elimici zmieych z koleych rówń leży zwsze brć to rówie w którym przy elimiowe zmiee est większy współczyik.. etod elimici Guss prcue poprwie w tych przypdkch gdy elemety digoli główe mcierzy współczyików A są silie domiuące to zczy gdy ii > i i. Gdy rozwiązie ukłdu rówń est czułe iewielkie zburzei współczyików to mówimy o zdiu umeryczie źle uwrukowym. riusz B. Bogcki Stro 0 009-0-6 Zkłd Iżyierii Procesowe Wydził Techologii Chemicze PP
etody Numerycze i Progrmowie Stro z Wykłd. Rozwiązywie ukłdów rówń liiowych () Psmowe ukłdy rówń liiowych Psmowe ukłdy rówń liiowych: Chrkteryzuą się tym że mcierz współczyików est mcierzą psmową częście tródigolą lub pięciodigolą. Przykłd 6.6. Stosuąc metodę elimici Guss rozwiązć stępuący ukłd czterech rówń liiowych:. 0 0 Rozwiązie: Kolee kroki elimici wykouemy w te sposób by współczyik występuący digoli główe był rówy ede.. 0 0 Używąc pierwszego rówi elimiuemy z rówi drugiego zmieą :. 0 riusz B. Bogcki Stro 009-0-6 Zkłd Iżyierii Procesowe Wydził Techologii Chemicze PP
etody Numerycze i Progrmowie Stro z Wykłd. Rozwiązywie ukłdów rówń liiowych () Psmowe ukłdy rówń liiowych Przykłd 6.6. cd. Dokouemy trsformci drugiego rówi otrzymuąc:. 0 limiuemy z rówi trzeciego zmieą otrzymuąc:. riusz B. Bogcki Stro 009-0-6 Zkłd Iżyierii Procesowe Wydził Techologii Chemicze PP
etody Numerycze i Progrmowie Stro z Wykłd. Rozwiązywie ukłdów rówń liiowych () Psmowe ukłdy rówń liiowych Przykłd 6.6. cd. odyfikuemy rówie trzecie:. limiuemy zmieą z rówi czwrtego:. 5 5 riusz B. Bogcki Stro 009-0-6 Zkłd Iżyierii Procesowe Wydził Techologii Chemicze PP
etody Numerycze i Progrmowie Stro z Wykłd. Rozwiązywie ukłdów rówń liiowych () Psmowe ukłdy rówń liiowych Przykłd 6.6. cd. Przeprowdzmy trsformcę osttiego czwrtego rówi:. Stosuąc kolee podstwiei obliczmy:. riusz B. Bogcki Stro 009-0-6 Zkłd Iżyierii Procesowe Wydził Techologii Chemicze PP
etody Numerycze i Progrmowie Stro 5 z Wykłd. Rozwiązywie ukłdów rówń liiowych (5) Psmowe ukłdy rówń liiowych lgorytm Thoms. r d b r d b r d b r d b r d L (6.7) Przeksztłcmy pierwsze rówie:. d r r d (6.8) Kolee rówi... -:. dl t r b r r t b d t K (6.9) Ostie rówie :. b d r b r r (6.0) Rozwiązie uzyskuemy w ciągu obliczeń:. dl K r r (6.) riusz B. Bogcki Stro 5 009-0-6 Zkłd Iżyierii Procesowe Wydził Techologii Chemicze PP
etody Numerycze i Progrmowie Stro 6 z Wykłd. Rozwiązywie ukłdów rówń liiowych (6) etody itercye rozwiązywi ukłdów rówń liiowych Dy est ukłdów rówń liiowych w postci mcierzowe: A b (6.) Przeprowdzmy trsformcę tego ukłdu rówń do ukłdu rówowżego: ( k ) ( k ) C d k L. (6.) Wychodząc z początkowego przybliżei (0) geeruemy kolee przybliżei: () ().... etody tkie zkwlifikowć moż do wcześie omwie metody iterci proste zstosowe do rozwiązywi rówń ieliiowych. Kryterium przerwi obliczeń: ( k ) ( k ) ( k ) ε (6.5) gdzie ε est pewą młą liczbą będącą dokłdością obliczeń. Ze metody: Jcobiego Guss Seidler orz SOR (g. successive overreltio). riusz B. Bogcki Stro 6 009-0-6 Zkłd Iżyierii Procesowe Wydził Techologii Chemicze PP
etody Numerycze i Progrmowie Stro 7 z Wykłd. Rozwiązywie ukłdów rówń liiowych (7) etody itercye rozwiązywi ukłdów rówń liiowych etod Jcobiego Przykłd 6.7. : 0 : : : 0 8 6 5 5. ( ) T Jko pukt strtowy przyąć 0 ( 0 0 0 0). Rozwiązie dokłde ( ) T Rozwiązie. Ukłd rówń A b przeksztłcmy do postci C d. 0 5 5 0 0 8 8 5 5 0 5. 8 riusz B. Bogcki Stro 7 009-0-6 Zkłd Iżyierii Procesowe Wydził Techologii Chemicze PP
etody Numerycze i Progrmowie Stro 8 z Wykłd. Rozwiązywie ukłdów rówń liiowych (8) etody itercye rozwiązywi ukłdów rówń liiowych etod Jcobiego Przykłd 6.7. cd. Korzystąc z puktu strtowego obliczmy pierwsze przybliżeie rozwiązi: () ( 0) ( 0) 5 0 () ( 0) ( 0) ( 0) 0 8 5 () ( 0) ( 0) ( 0) 8 () ( 0) ( 0) 0 5 0.6000 5.77.00 0 5 8.8750. Tbel 6.. Kolee przybliżei rozwiązywego metodą itercyą w przykłdzie 6.7 ukłdu rówń. k 0 5 6 7 8 9 0 ( k ) 0 0.6000.07 0.96.05 0.9890.00 0.998.0006 0.9997.000 ( k ) 0.77.759.05.957.0.99.00.9987.000.9998 ( k ) 0 -.00-0.805 -.09-0.968 -.00-0.995 -.000-0.9990 -.000-0.9998 ( k ) 0.8750 0.885.09 0.979.0 0.99.006 0.9989.0006 0.9998 riusz B. Bogcki Stro 8 009-0-6 Zkłd Iżyierii Procesowe Wydził Techologii Chemicze PP
etody Numerycze i Progrmowie Stro 9 z Wykłd. Rozwiązywie ukłdów rówń liiowych (9) etody itercye rozwiązywi ukłdów rówń liiowych etod Jcobiego Przykłd 6.7. cd. Kryterium przerwi obliczeń: dl 0 te iterci otrzymmy: ( 0) ( 9) ( 0) 8.0 0.9998 < 0. Porówuą uzyske rozwiązie z rozwiąziem dokłdym otrzymmy: ( 0) 0.000. riusz B. Bogcki Stro 9 009-0-6 Zkłd Iżyierii Procesowe Wydził Techologii Chemicze PP
etody Numerycze i Progrmowie Stro 0 z Wykłd. Rozwiązywie ukłdów rówń liiowych (0) etody itercye rozwiązywi ukłdów rówń liiowych etod Jcobiego. Zkłdmy że ii 0.. Rozwiązuemy kżde z i rówń wyściowego ukłdu A b ze względu zmieą i i bi. Otrzymuemy ukłd rówń w postci: i dl i K ii ii i. Geeruemy kolee przybliżei i (k) ( ) k i ( k ) bi i dl i K ii ii i stosuąc rówie: riusz B. Bogcki Stro 0 009-0-6 Zkłd Iżyierii Procesowe Wydził Techologii Chemicze PP
etody Numerycze i Progrmowie Stro z Wykłd. Rozwiązywie ukłdów rówń liiowych () etody itercye rozwiązywi ukłdów rówń liiowych etod Jcobiego Przykłd 6.8. y 6 y 6. Jko wrtości strtowe przyąć ( 0). T Rozwiązie y y. Pierwsze przybliżeie poszukiwego rozwiązi wyosi: y y () ( 0) () ( 0). Drugie przybliżeie: y y ( ) () ( ) () 8 8. 8 8 Trzecie przybliżeie: y y ( ) ( ) ( ) ( ) 5 6 6 5. 6 6 riusz B. Bogcki Stro 009-0-6 Zkłd Iżyierii Procesowe Wydził Techologii Chemicze PP
etody Numerycze i Progrmowie Stro z Wykłd. Rozwiązywie ukłdów rówń liiowych () etody itercye rozwiązywi ukłdów rówń liiowych etod Jcobiego Przykłd 6.8. cd 5 y () y y () y (0) 0 0 05 5 5 (0) () () () Rysuek 6.5. Iterpretc geometrycz koleych rozwiązń uzyskych metodą Jcobiego. Rozwiązie ukłdu rówń z przykłdu 6.8. riusz B. Bogcki Stro 009-0-6 Zkłd Iżyierii Procesowe Wydził Techologii Chemicze PP
etody Numerycze i Progrmowie Stro z Wykłd. Rozwiązywie ukłdów rówń liiowych () etody itercye rozwiązywi ukłdów rówń liiowych etody Guss Seidel Przykłd 6.0. Korzystąc z metody Guss Seidel rozwiązć ukłd rówń z przykłdu 6.7. 5. 8 : 0 : 5 : 6 0 : Rozwiązie ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). 8 5 8 8 0 0 0 5 5 5 5 0 k k k k k k k k k k k k k k riusz B. Bogcki Stro 009-0-6 Zkłd Iżyierii Procesowe Wydził Techologii Chemicze PP
etody Numerycze i Progrmowie Stro z Wykłd. Rozwiązywie ukłdów rówń liiowych () etody itercye rozwiązywi ukłdów rówń liiowych etody Guss Seidel Przykłd 6.0. cd Tbel 6.. Kolee przybliżei rozwiązywego metodą itercyą Guss - Seidel ukłdu rówń z przykłdu 6.8. k 0 5 ( k ) 0 0.6000.000.0065.0009.000 ( k ) 0.7.70.006.000.0000 ( k ) 0-0.987 -.00 -.005 -.000 -.0000 ( k ) 0 0.8789 0.98 0.998 0.9999.0000 Jko kryterium przerwi obliczeń wykorzystuemy rówie (6.5). Dl 5 te iterci otrzymmy: ( 5) ( ) ( 5).0000 8.0 0 0 co przy zstosowe dokłdości obliczeń est kceptowlą dokłdością. riusz B. Bogcki Stro 009-0-6 Zkłd Iżyierii Procesowe Wydził Techologii Chemicze PP