Spis treści Macierze wyznaczniki równania liniowe Geometria analityczna 7 Granice pochodne funkcji i ich zastosowania 0 4 Liczby zespolone 6 5 Całki nieoznaczone 8 6 Zastosowania geometryczne całek 0 7 Pochodne cząstkowe różniczki zupełne i ich zastosowania 8 Całki podwójne 5 9 Równania różniczkowe zwyczajne 7 0 Szeregi liczbowe szeregi potęgowe 0 Analiza wektorowa Literatura 5
Macierze wyznaczniki równania liniowe Które z iloczynów AB BA A B istnieją? Obliczyć te które istnieją jeżeli A = 0 B = 0 0 7 Odpowiedź AB = istnieją 6 0 8 4 A = 0 7 5 4 4 6 Pozostałe iloczyny nie Obliczyć [ ] 0 0 4 [ 0 Odpowiedzi [ 0 0 ] 5 [ ] [ 0 0 0 0 0 0 ] [ 0 0 ] [ ] ] [ 4 0 [ ] [ 0 0 ] 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 Czy dla macierzy A i B zawsze zachodzi A + B = A +AB+B? Czy prawdą jest że AB = A B? [ ] a b 7 Wykazać że macierz spełnia równanie: c d Obliczyć wyznaczniki: 8 0 0 0 7 6 4 8 9 a + d + ad bc = 0 cos sin cos y sin y cos z sin z cos t 4 sin t 0 5 0 0 0 0 a 0 0 a 0 0 a 0 0 a a b m n r s b c n p s t c a p m t r ]
+ a b c a + b c a b + c 4 a b c a b c Odpowiedzi 8 6; 9 ; 0 a 4 a + ; 0; 0; + a + b + c; 4 a b a c b c Pokazać że 5 + y +y y y y = y y 6 + y +y y y = 0 Rozwiązać równania: 7 0 0 = 0 8 = 0 9 0 4 9 4 = 0 4 4 4 5 = 0 Odpowiedzi 7 0 ; 8 ; 9 ; 0 0 Pokazać że macierz 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 spełnia równanie = 0 Znaleźć A jeżeli:
4 A = 4 A = 6 A = 8 A = cos ϕ sin ϕ 0 sin ϕ cos ϕ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A = 5 A = 0 0 5 0 0 0 0 6 4 0 0 7 A = Odpowiedzi A T ; A T ; 4 6 8 0 0 0 9 A = ; 7 5 0 0 0 0 0 0 0 0 cos ϕ 0 sin ϕ 0 0 sin ϕ 0 cos ϕ 0 5 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 ; 9 0 Macierz A spełnia równanie A + A = Obliczyć A + A Rozwiązać równanie macierzowe: [ ] [ ] 0 X = 4 5 [ ] [ ] X = 5 [ ] [ ] T [ 0 4 X = 0 [ ] [ ] 4 X = + X 0 0 ; 0 0 5 0 0 6 4 0 0 0 0 ; 5 0 0 0 0 5 0 0 0 0 ] 0 0 0 5 0 0 0 0 ;
5 X 0 4 0 0 0 = 7 6 T 5 [ ] Odpowiedzi 0 [ ] [ ] 6 4 5 4 4 0 [ ] [ 4 0 6 la jakiej wartości parametru a równanie macierzowe a 0 0 X = 0 0 0 ma rozwiązanie? 0 0 a 0 0 a Rozwiązać podane układy Cramera: ] 7 9 { + y = 4 y = 8 + y + z = 0 y + z = 0 + 4y 5z = 0 40 + y + z = 4 y + z = + y z = + y + z + t = 4 + y + z + t = y + z + t = 0 y z + t = Odpowiedzi 7 = y = ; 8 = y = z = ; 9 = y = z = 0; 40 = y = z = t = Rozwiązać podane układy równań: 4 4 45 + y = 4 y = + y = 4 + y = + y = + y = 4 + y + z = 4 + y z = + y + z = 5 4 44 46 + y = 4 y = + y = 4 y = 6 y = 9 4 y = 6 + y + z = 4 + y z = + y + z = 6
6 47 49 + y + z = 0 + 4y 4z = 0 + y 5z = 0 + y + z = 0 + y + z = 0 + y + z = 0 y + z = 0 48 50 + y + z t = 0 y + z + t = 0 y + z + t = 0 + y + z = 4 y + z = + y z = + y + z = 6 5 y z t = y + z t = + z t = 4 y + 4z 4t = 5 y z t = y + z t = + z = 4 y + 4z t = 4 5 + y + z t = y + z + t = + y + z t = y + z + t = 5 54 { + y + z = y + z + t + v = Odpowiedzi 4 = y = ; 4 układ sprzeczny; 4 układ sprzeczny; 44 = y = + 45 = y + y = y z = ; 46 układ sprzeczny ; 47 = 8z y = 7z z = z; 48 = y = +t z = 5 t = t; 49 układ sprzeczny ; 50 = y = z = ; 5 = z + y = 4z + z = z t = ; 5 = z + y = y z = z t = 4 4z y 5 układ sprzeczny; 54 = y = z + z = z t = t v = t W zależności od parametru a podać warunki rozwiązalności układu: { { + y + z = 6 + y = a 55 + ay + az = 56 + y = ay 57 a + y + z = ay z = + y z = a 58 a + 4y + 9z = a a + y + z = a + y + z = Odpowiedzi 55 układ ma nieskończenie wiele rozwiązań dla a nie ma rozwiązań dla a = 56 układ ma dokładnie jedno rozwiązanie dla a R 57 układ ma dokładnie jedno rozwiązanie dla a i a 4 ma nieskończenie wiele rozwiązań dla a = nie ma rozwiązań dla a = 4; 58 układ ma dokładnie jedno rozwiązanie dla a i a ma nieskończenie wiele rozwiązań dla a = nie ma rozwiązań dla a =
Geometria analityczna * Pokazać że środki boków dowolnego czworokąta są wierzchołkami równoległogoku * Pokazać że przekątne równoległoboku przecinają się w połowie la jakich wartości parametrów m i k wektory a = 4 6k b = m 4 są równoległe 4 Znaleźć kąt między wektorami: a a = b = b a = b = + 6 + 6 c a = b = 5 la jakiej wartości parametru λ wektory a = b = λ + λ są wzajemnie prostopadłe? 6 Sprawdzić czy trójkąt ABC a A = 5 4 B = C = b A = 5 4 B = C = 6 5 jest prostokątny 7 Znaleźć cosinusy kierunkowe wektora a = 8 Znaleźć rzut prostokątny wektora a = na oś o kierunku wektora b = 9 Znaleźć wektor jednostkowy m prostopadły do wektorów a = b = 0 Obliczyć pole trójkąta o wierzchołkach: a P = 4 Q = 6 R = 0 5 b P = Q = 4 R = 0 * Pokazaćże pole równoległoboku zbudowanego na przekątnych danego równoległoboku jest równa podwojonemu polu danego równoległoboku * Wyprowadzić twiedzenie sinusów Wskazówka: Wykorzystać fakt że warunkiem aby niewspólinowe wektory a b c tworzyły trójkąt jest a + b + c = 0 Następnie wykorzystać iloczyn wektorowy Obliczyć objętość równoległościanu o wierzchołkach O = 0 0 0 P = 4 Q = 6 R = 0 5 7
8 4 Wykazać że punkty P = Q = 0 5 R = S = 0 leżą w jednej płaszczyźnie i obliczyć pole czworoboku o wierzchołkach P Q R S 5 Wykazać że punkty P = 0 Q = R = 4 0 S = 5 są wierzchołkami trapezu i policzyć jego wysokość 6* Wykazać że objętość równoległościanu zbudowanego na przekątnych ścian danego równoległościanu jest równa podwojonej objętości danego równoległościanu 7 Napisać równania prostej przechodzącej przez punkty: a P = Q = 4 b P = Q = 4 8 Napisać równanie prostej przechodzącej przez punkt P = = t i równoległej do prostej l : y = + t z = + t 9 Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt P = i równoległej do płaszczyzny π : y + 4z 7 = 0 0 Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt P = = + t i prostopadłej do prostej l : y = + t z = + t = + t Znaleźć odległość punktu P = do prostej l : y = + t z = + t Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez: a punkty P = 0 0 Q = 4 0 R = = + t b prostą l : y = + t i punkt P = 0 c proste l : d proste l : z = t = + t y = + t z = t = + t y = + t z = t l : l : = s y = 4s z = s = + s y = s z = + s
Czy przez proste l : można poprowadzić płaszczyznę? = + t y = + t z = t l : = + s y = s z = 5 + s 9 4* W zależności od parametru a podać wzajemne położenie prostych: l : y = + t l : y = as = t = a s z = + at z = s = + 4t 5* la jakich wartości parametrów A B prosta l : y = 4t z = + t leży w płaszczyźnie π : A + y 4z + B = 0 6 Przedstawić prostą l : w postaci parametrycznej { y + 5z = y + z = 7 Na sferze danej wzorem + y + z = wyznacz współrzędne punktów najbliższych i najdalszych od punktu 4 8 6 Odpowiedzi k = m = ; 4 a π b π c π; 5 λ = 6 6 a nie; b tak 7 cos α = 6 cos β = 6 cos γ = 6 ; ± ; 9 5 5; 0 a 49; b 7 6; 4 ; 5 = + t { = t = + t ; 7 a y = + t b y = + t ; 8 y = + t z = + t z = + t 5 9 + y + 4 z = 0 0 a 7 y + 4z 8 = 0; b y 5 = 0; c + y + 5z = 0; d = + t y 4z = 0 nie 5 A = B = 6 y = 4 + 4t z = t 7 ± 6 4 6 6
0 Granice pochodne funkcji i ich zastosowania Znaleźć funkcje złożone f f g g g f f g dla: f = g = + ; f = g = cos ; f = g = ; 4 f = g = ; + 5 f = g = cos ; 6 f = g = ; 7 f = g = + Odpowiedzi f f = g g = + g f = + f g = ; f f = + 4 g g = cos cos g f = cos f g = cos ; f f = g g = 4 g f = f g = ; 4 f f = g g = + 4 g f = f g = ; 5 f f = 4 g g = + cos cos g f = cos f g = cos ; 6 f f = 9 g g = 9 g f = f g = ; 7 f f = + g g = g f = + f g = + + 4 + Niech f = g = + Funkcję h przestawić za pomocą złożenia funkcji f i g 8 h = + 9 h = + 0 h = + h = + h = + h = 4 Odpowiedzi 8 h = g f ; 9 h = f g ; 0 h = f g f ; h = g g ; h = f g g ; h = f f Obliczyć: 4 arc sin ; 5 arc sin ; 6 arc tg ; 7 arc tg ; 8 arc sin sin 5π 7 ; 9 arc cos sin 5π 7 Odpowiedzi 4 π; 5 π; 6 π; 7 π; 8 π 5π ; 9 6 4 7 4 0 Rozwiązać równanie arc sin + arc sin = π Odpowiedź = 5
Obliczyć granice n lim n lim 5 lim n n+! n! n n+!+n! + + 4 ++ n n + + 9 ++ sin n 7 lim n 5n 9 lim n 6n+ n lim n n+ n n 4 + +4+6++n n n n n 5n 07 n n 5n n+ n+ n n+ n+ n+ n n n 4 lim n 6 lim 8 lim n 0 lim 4 lim n 5 n lim n 4 n +7 n lim 4n + 7n n 4 lim n + n n n 5 lim n n n + 6 lim n n n a n n + 7 lim n + a n + b 8 lim n + n 5 n n + n 9 lim n + n + n n n 40 lim n n 4 lim + n n n 4 lim 4 lim n n n 44 lim 45 lim n n n n+ 46 lim 0 47 lim 48 lim + a 50 lim 4 49 lim + 5 lim e + + + 0 5 lim 0 55 lim 57 lim 59 lim 0 sin sin 5 6 lim 0 6 lim 65 lim 0 n + n n n n + n n n n+ + e 5 lim 54 lim 56 lim + + a 4 5 4 +7 + 0 58 lim 0 sin 60 lim sin 0 cos 67 lim 69 lim + 7 lim + 6 lim 64 lim +sin sin 66 lim sin 68 lim + 70 lim tg 0 sin 0 +sin sin 0 + + sin+ + sin arc tg 7 lim + + +e ln + ln Odpowiedzi 0; ; ; 4 ; 5 4 ; 6 0; 7 0; 8 0; 9 ; 0 ; 0; ; 7; 4 0; 5 ; 6 a ; 7 0; 8 ; 4 9 + ; 40 e ; 4 e; 4 ; 4 nie istnieje 44 0; 45 ; e 46 ; 47 4; 48 ; 49 0; 50 ; 5 ; 5 ; 5 + ; 8
5 ; 54 ; 55 ; 56 ; 57 ; 58 ; 59 ; 60 ; 6 5; 6 ; 6 ; 64 6 ; 65 ; 66 ; 67 0; 68 e 6 ; 69 e ; 70 ; 4 7 ; 7 Korzystając z definicji wyprowadzić wzór na pochodną funkcji: 7 f = 74 f = + 75 f = 76 f = 77 f = +5 78 f = 79 f = + Wyznaczyć pochodne podanych funkcji: 80 f = + 8 f = 8 f = + 8 f = 0 5 84 f = + 5 85 f = + 5 86 f = +5 87 f = arc sin + 88 f = e 89 f = e sin 90 f = e sin 9 f = ln cos 9 f = ln + 9 f = ln + arc tg 94 f = arc tg 95 f = tg 96 f = arc sin + ln 5 97 f = ln + + k 98 f = sin ln + cos ln 99 f = e + Odpowiedzi 80 f = 8 + 4; 8 f = ; 8 f = 6 + ; 8 f = ; 84 f = ; 85 f = 5+ ; +5 +5 86 f 5 = ; 87 f +5 = ; 88 f = e ; 89 f = e sin cos ; 90 f = e sin cos ; 9 f = tg ; 9 f = sin ; 9 f = arc tg ; 94 f = ; 95 f = tg + 96 f = cos + 5 ln4 97 f = 98 f 4 = +k cos ln 99 f = e + 7 00 f = arc sin ; obliczyć f 5 Odpowiedź 5 0 y = e +e ; wyznaczyć d y d Odpowiedź dy = d e e d y = e + e ; d 0 y = ln ; wyznaczyć d y d Odpowiedź dy = ln + d y = d d 0 f = ln + ; obliczyć f0 f 0 i f 0 Odpowiedź f0 = 0 f 0 = 0 f 0 =
04 Wykazaćże funkcja y = arc tg y + y = 0 spełnia równanie różniczkowe 05 Wykazaćże funkcja y = e cos spełnia równanie różniczkowe y IV + 4y = 0 06 Napisać równanie stycznych do wykresów podanych funkcji we wskazanych punktach: a f = 0 f0 ; b f = f ; c f = f ; d f = 0 f0 ; + e f = f ; + f f = arc tg f ; g f = arc sin 0 f0 ; + h f = arc tg 0 f0 + Odpowiedzi a y = ; b y = ; c y = ; d y = ; e y = ; f y = + + π 4 ; g y = ; h y = + π 4 07 Na krzywej y = znaleźć punkty w których styczne są równoległe do osi O 08 Obliczyć f i df dla: a f = przy = 0 i = 0 ; b f = + przy = i = 0 ; c f = przy = 4 i = 0 05 Odpowiedzi a f = 9 df = 9; b f = 46 i df = 4; c f = 0 05 df = 0 05065 09 Przy pomocy różniczki obliczyć wartość przybliżoną a arc tg 0; b 6; c sin ; d ln 0 99 Odpowiedzi a 0 8004; b 979; c 0 55; d 0 0 Za pomocą reguły de L Hospitala obliczyć granice: 0 lim ; lim π 4 ; lim sin 0 lim ln 4 lim + + tg sin cos ; ln + ; lnln ln sin ; 5 lim ; 0 + ln tg
4 6 lim e a e b 0 sin 8 lim 0 ln cos ln ; 7 lim ; e e ; 9 lim arc sin ; 0 +arc tg 0 lim 0 + ln ; lim lim e ; lim e + ; 4 lim tg π; 5 lim ; 0 + 6 lim 7 lim e + ; 0 8 lim 0 + sin ; 9 lim 0 e ; tg 0 + tg Odpowiedzi 0 0; ; ; ln ; 4 0; 5 ; 6 a b 7 ; 8 ; 9 ; 0 0; ; 0; e 4 ; 5 ; 6 π e ; 7 e ; 8 e; 9 0 Uzasadnić podane tożsamości: a arc tg = π arc tg dla > 0 b arc tg = π arc tg dla < 0 c arc tg = π arc tg dla 4 + d arc sin = arc tg dla + Znaleźć przedziały monotoniczności oraz ekstrema podanych funkcji: f = e f = + f = 4 f = 4 + 4 5 f = + 6 f = e 7 f = + 4 8 f = 5 4 9 f = 40 f = ln + + 4 f = 4 f = 4 f = ln 44 f = ln Odpowiedzi w 0 + w 0 ; 0 maksimum; w 0 + w 0 ; 0 maksimum; w ; + w ; minimum -maksimum; 4 w i 0 + 5 w 5 + 0 i 5 + ; 5 + 5 minima 0 maksimum 5 w 0 i 0 w i + ; maksimum minimum; 6 w 0 i 0 brak ekstremów; 7 w 5 i 5 7 w i 7 + ; maksimum 7 minimum; 8 w i + ; brak ekstemów; 9 w i + w i ; maksimum minimum; 40 funkcja rosnąca; brak ekstemów; 4 w i w ; minimum maksimum; 4 w 0 i w 5
i e 0 ; minimum; 44 w 0 i e w e + ; e minimum maksima; 4 w 0 e w e + ; Znaleźć najmniejszą i największą wartość podanych funkcji we wskazanych przedziałach 45 f = + 9 [ 4 4]; 46 f = 6 + 9 [0 4] 47 f = + 6 [ ] Odpowiedzi 45 największa 76 najmniejsza 5; 46 największa 4 najmniejsza 0 47 największa najmniejsza ; 48 Liczbę rozbić na sumę dwóch składników dodatnich tak aby ich iloczyn był największy 49 Ile razy objętość kuli jest większa od objętości największego walca wpisanego w tę kulę? Odpowiedź 50 Z koła wycięto wycinek o kącie α a następnie zwinięto go tworząc powierzchnię stożka la jakiej wartości kąta α objętość stożka będzie największa? Odpowiedź π 5
6 4 Liczby zespolone Pokazać że z z = z z z + z = Re z z z = i Im z 4 z jest liczbą rzeczywistą z = z Obliczyć: 5 + i i 6 + i 7 i 9 i +i 8 i +i 0 0 i 8 +i 4 i Re +i i 4 Im +i i 5 5 k=0 ik 6 i + i + i + i 4 + i 5 Odpowiedzi 5 5; 6 + 4i 7 + i; 8 i; 9 i; 0 5 i; ; ; ; 4 ; 5 + i; 6 i 4 5 7 Niech z = +i Obliczyć Re z + i z oraz Im z + z 8 Niech b +αxi b = b b 4 αc i gdzie b b b b 4 α X i C są liczbami rzeczywistymi Pokazać że X = Cb b α C b 4 + 9 Niech a + bi = z Znaleźć z z z Rozwiązać równania: 0 z z + = 0 z z + 4 = 0 z iz + = 0 z + + i z + i = 0 4 i z 4 5i z 0 = 0 5 z + 5i z + 0i = 0 6 i z i z 4i = 0 7 z + = 0 8 z i = 0 Odpowiedzi 9 ± i ± i i i; i; 4 4 4 i i; 5 + i + 9i; 6 i i 7 5 5 ± i 8 i ± + i 9 Liczby zespolone u i v spełniają warunki u = v Czy u = v? Odpowiedź uzasadnić
Następujące liczby przedstawić w postaci trygonometrycznej: 0 z = + i z = i z = i z = i ctg α α 0 π Odpowiedzi 0 cos 5π + i sin 5π ; cos 7π + i sin 7π ; 6 6 4 4 cos 4π + i sin 4π ; sin α cos π + α + i sin π + α Obliczyć 4 cos π + i sin π 7 7 7 5 cos π + i sin π 7 7 7 6 + i 6 7 i +i 8 i +i 9 + 4i 40 i 4 4 4 4 i 44 6 64 45 6 4 46 + 4i 4 47 5 Odpowiedzi 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ± + i ; 40 ± + i ; 4 ± ± i ; 4 ± i 4 i ± i 44 ± ± ± i 45 ±i ± 5+±i 0 5 5 ±i 0+ 5 4 4 ± 7 i 46 ±4 ± i; 47 Czy wzory 48 cos α i sin α n = cos nα i sin nα; 49 cos α + i sin α n+ = cos n + α + i sin n + α; 50 cos α i sin α n+ = cos n + α i sin n + α; są prawdziwe? Odpowiedź uzasadnić Podane wielomiany rzeczywiste przedstawić w postaci iloczynu nierozkładalnych czynników rzeczywistych: 5 6 5 6 + 5 4 + + 54 4 + Odpowiedzi 5 + + + + ; 5 + + + + ; 5 + + + ; 54 + + +
8 Obliczyć całki 5 Całki nieoznaczone + + d; + + d; + d; 4 tg d; 5 e + e d; 6 arc sin d; 7 e sin e d; 8 e e d; 9 +ln d; 0 e cos sin d; ln d; d ; ln d 4 e d; +ln ; 5 cos d; 6 d; 7 d; 8 cos d sin ; 9 tg d; 0 sin cos d; sin 5 cos d; cos d; e d; 4 ln d; 5 cos d; 6 arc cos d; 7 arc tg d; 8 ln d; 9 e d; 0 cos d; d; d ; + + 4 d; 4 d; + 5 +4 + d; 6 + d; ++ ; + 7 ++ ++ d; 8 d 9 d 4 ; 40 d ; 4 d; 4 d; + 4 d; 44 sin d; 4 + 45 cos d; 46 d; cos 47 tg d; 48 d ; e 49 e d; 50 ln + + d; 5 d; 5 arc tg d; + 5 arc tg d; 54 arc tg d; 55 ln+ d; 56 d; + 57 sin d; 58 d ; 59 sin cos 4 d; 60 sin cos d Odpowiedzi + + ln + C; ln + C; + 4 + C; 4 tg + C; 5 4 e + e + C; 6 + arc sin 4 4 +C; 7 cos e +C; 8 e +C; 9 + ln C 0 e cos +C; ln +C; ln ln +C; ln + ln + C; 4 e + C; 5 sin + C; 6 + C; 7
+C; 8 sin +C; 9 ln cos +C; 0 sin +C; sin 6 6 + C; sin sin + C; e e + C; 4 ln +C; 5 cos + sin +C; 6 arc cos +C; 7 arc tg ln + + C; 8 ln + C; 9 e e + C; 0 cos + sin + C; ln + + C; arc tg + C; + arc tg + C; 4 + + 4 ln +C; 5 + arc tg +C; 6 ln + + +C; 7 + ln + + + C; 8 ln + + ln + C; 9 ln ln + + C; 40 ln ln + C; 4 4 4 arc tg + C; 4 ln + C; 4 arc tg + C 44 sin + + C 45 sin + + C 46 tg + 4 4 ln cos + C; 47 tg + ln cos + C; 48 ln e + C; 49 e arc tg e + C; 50 ln + + + +C; 5 arc tg +C; 5 arc tg +arc tg +C; arc tg +C; 55 ln + ; 56 arc sin + +C; 57 ± + sin +C; 5 arc tg + arc tg +C; 54 ln ln + ln+ 58 arc sin + C 59 tg + C 60 cos + cos + C 9
0 6 Zastosowania geometryczne całek Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi y = y =; 0 y = 4 y = 0; y = y = 0; 4 y = y = 4 ; 5 y = y = ; 6 y = + 4 y = ; 7 y = y = 5; 8 y = y = + y = ; 9 y = 4 y = + 4; y = y = 0; y = y = ; y = y = ; 4 y = = 4; 5 y = y = ; 6 y = y = 4 y = y = 4; 7 y = 4 + y = 5; 8 y = e y = e = 0; 9 y = e y = e y = e; 0 y = 4 y = 0; y = y = 0; y = y = 0 = = ; + y = ln y = 0; 4 y = ln y = 4 Odpowiedzi 4 4 5 6 9 7 5 8 5 6 8 9 0 9 4 5 6 6 ln 4 5 5 7 8 ln 8 9 0 6 π ln 4 4 4 e Obliczyć długośc łuku krzywej 5 y = gdzie 0 ; 6 y = + ; 7 y = gdzie 0 ; 8 y = arc tg + arc tg gdzie ; 9 y = + arc tg + arc tg gdzie ; + 0 y = arc cos ; y = + arc sin ; y = e + e gdzie 0 ; y = 5 + gdzie ; 0 6 4 y = ln 5 5 gdzie 0 Odpowiedzi 5 0 6 π 7 74 8 9 5 0 e e 779 4 ln 40 Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchnią powstałą przez obrót dookoła osi O krzywych 5 y = gdzie 0 ; 6 y = y = ; 7 y = 9 y = 0; 8 + y = 4; 9 y = y = 0; 40 + y 0y + 75 = 0
Odpowiedzi 5 500 π π 6 π 7 6π 8 5 π 9 π 40 0 5 Obliczyć pole powierzchni powstałej przez obrót dookoła osi O krzywej 4 y = gdzie 0 ; 4 y = e +e gdzie 0 ; 4 y = 9 ; 44 y = gdzie ; 45 + y 0y + 75 = 0 46 y = arc tg + arc tg gdzie + Odpowiedzi 4 8 5 π; 4 6 π; 4 π e4 e 4 + 4 ; 44 π; 45 00 9 π ; 46 π
7 Pochodne cząstkowe różniczki zupełne i ich zastosowania Pokazać że funkcja z y = y spełnia równanie z + z = z y ln y Pokazać że funkcja z y = y + F y spełnia równanie y z + z = dla y a F u = sin u b F u = arc tg u Pokazać że funkcja z y = e y ln y spełnia równanie z + y z = z y ln y 4 Pokazać że funkcja T l g = π spełnia równanie l T l + g T g = 0 5 Pokazać że funkcja z y = yf y spełnia równanie z dla + y z = z y y a F u = arc tg u b F u = sin u 6 Pokazać że funkcja z y = ln + y spełnia równanie z + y z = y 7 Pokazać że funkcja z y = sin spełnia równanie y z + y z = z y 8 Pokazać że funkcja u y z = + y + z spełnia równanie u + u y + u z = 9 Pokazać że funkcja V y z = spełnia równanie +y +z V + V y + V z = 0 0 Pokazać że funkcja z y = e y spełnia równanie y z y = z y z Pokazać że funkcja z y = ln e + e y spełnia równanie z z = y z y Pokazać że funkcja u y = e y spełnia równanie u + u + u = y u y y y Pokazać że funkcja z y = ln spełnia równanie y z + z = y l g
4 Obliczyć f df dla funkcji f y = y gdy = y = = 0 y = 0 5 Przy odkształcaniu stożka jego promień R zwiększył się z 0 do 0 cm zaś wysokość H zmniejszyła się z 60 do 59 5 cm Obliczyć w przybliżeniu zmianę objętości V stosując wzór dv V Znaleźć wszystkie punkty krytyczne podanych funkcji: 6 g y = + y + + y ; 7 gt s = + t + t + s ; 8 f y = y 4R y Odpowiedzi 6 7 0 ; 8 0 0 0 ±R ±R 0 ± R ± R Znaleźć ekstrema podanych funkcji: 9 f y = + 6y y y 0 f y = y 4 y f y = y + 5 + y f y = + y 9y f y = y6 y 4 f y = y + + y 5 f y = + y + y 6 ln 6 f y = + y ln y 7 f y = + y + y 8 f y = y + + y 9 f y = + y + 8 0 f y = 8 + + y y y f y = y y + 6y f y = e y f y = e y 4 f y = + y e y 5 f y = e y+y 6 f y = e +y + Odpowiedzi 9 0 maksimum 0 brak ekstremum 0 0 minimum minimum maksimum 4 0 0 minimum 5 minimum 6 minimum 7 minima 8 minimum maksimum 9 minimum 0 4 minimum 4 4 maksimum brak ekstremum 0 maksimum 4 0 minimum 5 0 0 minimum 6 0 maksimum 7 Znaleźć odległość punktu M = 5 od płaszczyzny π : + y z + = 0 8 Znaleźć odległość między prostymi l : = + t y = t z = 0 l : = 0 y = 0 z = s
4 9 Znaleźć najmniejszą i największą wartość funkcji f y = y 4R y na zbiorze gdzie : 0 y 0 + y 4R 40 W sferę o średnicy R wpisać prostopadłościan o największej objętości 4 Znaleźć wartość najmniejszą i największą funkcji f y = y y = y y y na domkniętym trójkącie ograniczonym prostymi + y = = 0 y = 0 4 Wśród prostopadłościanów których suma długości wszystkich krawędzi wynosi znaleźć ten o największej objętości 4 Znaleźć wartość najmniejszą i największą funkcji f y = y + y + y y na domkniętym trójkącie ograniczonym prostymi + y = = 0 y = 0 44 Wśród prostopadłościanów których suma długości wszystkich krawędzi wynosi znaleźć ten o największym polu powierzchni 45 Znaleźć wartość najmniejszą i największą funkcji f y = y + y+y y na domkniętym trójkącie ograniczonym prostymi + y = = 0 y = 0 46 Wśród prostopadłościanów których suma długości wszystkich krawędzi wynosi znaleźć ten którego suma powierzchni pięciu ścian jest największa
5 Obliczyć całki podwójne: 8 Całki podwójne y ddy gdzie = [0 ] [0 ] y ddy gdzie = [ ] [0 ] 4 + y ddy gdzie = [0 ] [ ] y ddy gdzie = [ ] [ ] 5 y y ddy gdzie = [0 a] [0 b] 6 ddy gdzie = [0 ] [0 ] +y 7 e y ddy gdzie jest prostokątem o wierzchołkach O = 0 0 P = 0 Q = R = 0 8 + y ddy gdzie jest obszarem ograniczonym krzywymi: = 0 y = 0 y = 9 + ddy gdzie jest trójkątem o wierzchołkach A = y B = C = 0 + ddy gdzie jest trójkątem o wierzchołkach: a 0 0 0 ; b 0 0 0 ; c 0 0 0 0 ; d 0 0 y ddy gdzie jest obszarem ograniczonym krzywymi: = 0 y = 0 + y = 0 Niech będzie trójkątem o wierzchołkach 0 0 0 Obliczyć a ddy; b y ddy ddy gdzie jest trójkątem o wierzchołkach O = 0 0 P = Q = 4 4 y ddy gdzie jest obszarem ograniczonym krzywą + y =
6 5 a ddy gdzie jest obszarem ograniczonym krzywą + y = a 6 a ddy gdzie jest obszarem ograniczonym krzywą + y = a 7 + y ddy gdzie jest obszarem ograniczonym krzywymi: = = y = 0 y = 8 ddy gdzie jest obszarem ograniczonym krzy- wymi: = y = 9 6 ddy gdzie jest obszarem ograniczonym krzywymi: = 6 y = y = 0 4 y ddy gdzie jest obszarem ograniczonym krzywymi: y = y = Odpowiedzi 44 4 0 5 4 6 b a + 6 b a 6 π 7 e e 4 e 7 + 8 9 0 a 5; b ; c ; d 6 5 0 a 0; b 4 0 5 4a 6 8 6 a 7 5 8 6 9 48 05 5 6 0 56 Pokazać że: π π 4 0 sin y dy y d = e y dy d = e 0 a a a 0 a a a y dy a 0 +y dy d = 8 a d = a
7 9 Równania różniczkowe zwyczajne Narysować linie całkowe równań: y = sin y + y tg = 0 y 4 = y 4 yy + = 0 5 y y = 0 6 y + y = 0 7 y = y 8 y = y Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych 9 y + y = 0 0 y a + = y y = y dr + r tg ϕ dϕ = 0; rπ = d = dt 0 = 4 y = 0 005y y0 = 0 5 5 y = 0 005y + 5 y0 = 0 5 6 y = e y cos y0 = 0 7 y = y; y4 = 8 + y + y + = y; y0 = 9 y + y = 0; y = 0 y = y + ctg ; y = gdy = π 4 + y + + y = 0 + y = y + y = 0 +y 4 y = y ln ; ye = Odpowiedzi 9 y = Ce ; 0 y = C + a + ; y = C e ; r = cos ϕ; = ; 4 y = 0 5 e 0005t ; 5 +e t y = 5000 + 9e 0005t ; 6 y = ln sin + ; 7 y = e ; e 8 y = + + 9 y = ; 0 y = sin C ; y = ; + +C y+ = C ; 0 y = 0 +C; 4 y = ln +; + Równania różniczkowe postaci y = f y 5 y = +y 6 y = y + y 7 ds = s t 8 dt t s y + y = y 9 yy = y 0 y y = + y y = 0 y = y y; y = y = y + ln y ; y = e y + y = + y y 4 y y arc tg y = ; y = 0 5 yy = y 6 y = y Odpowiedzi 5 y = ln + C; 6 y = ; 7 C ln s = t ln C ; 8 gdy > 0 y = ln C gdy < 0 y = ln C; 9 t + y = C; 0 y = ; y = ; y = e ; y = Ce y ; 4 + y = e y arc tg y ; 5 y = Ce y ; 6 y = C + y Wyznaczyć równanie rodziny krzywych prostopadłych do rodziny: 7 parabol ay = 8 hiperbol y = c 9 elips + 4y = a 40 okręgów + y = a Odpowiedzi 7 y + = c ; 8 y = C; 9 y = C 4 ; 40 + y = Cy
8 Równania różniczkowe liniowe 4 y y = y = 4 y y tg = cos 4 y + y = e 44 y + y = e 45 + y y = + 46 y = y+ 47 y + y = e 48 y + y = ln + 49 y + y = 4 50 y + y = + 5 + 4 y + y = 5 y y = y0 = 0 5 t ds dt y cos y sin = sin 55 y + y cos = sin 56 t ds s dt = t ln t dt 57 y y tg = ctg 58 + y + y = 59 y + y = 60 a + y + y = Odpowiedzi 4 y = +; 4 y = ; 4 y = cos e 5 e5 + C 44 y = + C e ; 45 y = + C + ; 46 y = C ; 47 y = e + C ; 48 y = ln + C ; 49 y = + C e ; 50 y = + C e ; + 5 y = + C ; 5 y = +4 + C ; 5 s = + t t ; 54 y = sin +C ; 55 y = sin + C cos e sin ; 56 s = t ln t t + Ct ; 57 y = ln tg +cos +C ; 58 y = + C cos 59 y = + C e ; 60 y = ln C+ a + a + Równania różniczkowe zupełne 6 + y d + dy = 0 6 y 4y d + 4 y + y dy = 0 6 4 y d + y dy = 0 64 e y d + e y dy = 0 65 e y d + e y dy = 0 66 y y d + y ln dy = 0 67 cos yd + y sin y dy = 0 68 cos y + d sin ydy = 0 + ; Odpowiedzi 6 + y y = C; 6 y y + y 4 = C; 6 y + 4 = C; 64 e y y = C; 65 e y + y = C; 66 y = C 67 cos y + y = C; 68 cos y + = C Równania różniczkowe rzędu drugiego 69 y = y y0 = 0 y 0 = ; 70 y = y y0 = y 0 = 0; 7 y = y y0 = y 0 = 0; 7 yy = y ; 7 y + y y = 0; 74 4y y = y0 = y 0 = ;
9 75 + y y = y y ; cos y 76 y = sin y y ; 77 yy y = y ; 78 d y = α + dy d d y0 = α y 0 = 0; 79 y y = e ; 80 y ln = y ; 8 y + y = 0; 8 y + y = Odpowiedzi 69 y = sin ; 70 y = cos ; 7 y = e +e ; 7 y = C e C y ; 7 + yc = + C ; 74 y = 4 4 ; 75 y = tg C + C ; 76 tg y = C + C ; 77 y = C C e C + C ; 78 y = e α +e α α ; 79 y = e + C + C ; 80 y = C ln + C ; 8 gdy C > 0 y = C arc tg C + C gdy C < 0 y = C ln C + C + C gdy C = 0 y = C ; 8 y = + C ln + C
0 0 Szeregi liczbowe szeregi potęgowe Korzystając z definicji zbadać zbieżność szeregu: n n + n n= n= n 4 n! nn+ n= n= 5 6 ln + n n+ n n= n= 7 n 8 n= n= n n Odpowiedzi rozbieżny rozbieżny zbieżny 4 zbieżny 5 zbieżny 6 rozbieżny 7 rozbieżny 8 rozbieżny Obliczyć sumę szeregu: 9 0 n n=0 n=0 n= n+ n n + n +4 n 6 n 5 + 7 + 9 + + Odpowiedzi 9 0 4 Zbadać zbieżność szeregu n 4 n+ n + n n= n= 5 n+ n n 6 n n n= n= 7 n+ n + n 8 n + n= n= 9 ln n n+ 0 n n= n= ln n ne n n n= Odpowiedzi rozbieżny 4 rozbieżny 5 zbieżny 6 zbieżny 7 zbieżny warunkowo zbieżny 8 zbieżny 9 rozbieżny 0 rozbieżny zbieżny zbieżny n= Wyznaczyć przedziały zbieżności szeregów:
5 7 9 n n 4 n + n 6 n n 0 n 8 + n n+ 0 n= n= n= n= n= n n n n= n= n= + n n + n n n n + n n= n n n n n n n= Odpowiedzi < < 4 < 0 5 < < 0 6 0 7 0 < 0 8 0 < < 9 < 0 < 5 < Pokazać że sin = 4 + 6 8 + ;! 5! 7! 4 sin =! + 5 5! 7 7! + ; 5 e d = C + + 5 5! 7 7! + Obliczyć z dokładnością do trzech miejsc po przecinku 6 05 d : 7 05 0 + 4 0 + d 8 0 e d 9 sin d 0 Odpowiedzi 6 0 867 7 0 508 8 0 747 9 0 60
Analiza wektorowa Znaleźć jednostkowy wektor normalny do powierzchni stożka opisanej równaniem + y = z w punkcie Wyznaczyć jednostkowy wektor normalny do powierzchni opisanej równaniem yz = w punkcie Wyznaczyć jednostkowe pole wektorowe normalne do powierzchni sfery o środku w początku układu i promieniu a i skierowane na zewnątrz 4 Obliczyć div A oraz rot A dla A = y i + yz j + y z k 5 Obliczyć div A oraz rot A dla A = sin yz i + sin z j + sin y k 6 Niech r = i + y j + z k Wykazać że r = oraz r = 0 o ile r 0 7 Niech r = i + y j + z k Wykazać że grad r = r r o ile r 0 8 Obliczyć y dl gdzie Γ jest łukiem paraboli y = zawartym Γ między punktami 4 9 Obliczyć Γ + ydl gdzie Γ jest brzegiem trójkąta o wierzchołkach 0 0 0 0 0 Obliczyć Γydl gdzie Γ jest obwodem prostokąta o wierzchołkach: O = 0 0 P = 4 0 Q = 4 R = 0 Obliczyć z dl gdzie Γ jest pierwszym zwojem linii śrubowej: +y Γ = a cos t y = a sin t z = at Obliczyć Γ y dy + d gdzie Γ jest okręgiem + y = w kierunku dodatnim Obliczyć y d + dy gdzie Γ jest okręgiem +y = +y +y Γ w kierunku dodatnim 4 Obliczyć Γ y d + dy gdzie Γ jest sparametryzowana równaniem rt = t i + t t j dla t 5 Czy całka Γ y + d + dy zależy od drogi całkowania? 6 Obliczyć 00 y + d + dy 7 Czy całka Γ yzd + zdy + ydz zależy od drogi całkowania?
8 Sprawdzić twierdzenie Greena dla + y d + + dy gdzie Γ Γ jest brzegiem trójkąta o wierzchołkach 0 0 0 0 9 Sprawdzić twierdzenie Greena w przypadku całki y dy y Γ d gdzie Γ jest okręgiem + y = 4 w kierunku dodatnim; 0 Stosując twierdzenie Greena obliczyć całkę y + + y d + Γ y + y dy gdzie Γ jest brzegiem kwadratu o wierzchołkach O = 0 0 A = 0 B = C = 0 ; Stosując twierdzenie Greena obliczyć całkę d dy gdzie Γ y Γ jest brzegiem trójkąta o wierzchołkach A = B = C = Stosując twierdzenie Greena obliczyć całkę Γ y d+ + y dy gdzie Γ jest brzegiem prostokąta o wierzchołkach A = B = 4 C = 4 = Pokazać że Γ y + e y d + y + e y y dy = 0 gdzie Γ jest krzywą zamkniętą symetryczną względem osi współrzędnych 4 Obliczyć pole elipsy = a cos t y = b sin t Σ 5 Obliczyć pole pętli linii = t y = t t 6 Korzystając ze wzoru Σ = ds obliczyć pole powierzchni bocznej walca o promieniu R i wysokości H 7 Obliczyć 6 + z y ds po powierzchni sparamatryzowanej Σ równaniem ru v = u i + v j + u k dla 0 u i 0 v 8 Obliczyć ds po tej części sfery + y + z = a która leży w Σ pierwszej oktancie 9 Obliczyć dydz +y dzd+z dd po zewnętrznej stronie sfery Σ + y + z = a 0 Za pomocą wzoru Gaussa obliczyć Obliczyć Γ Σ dydz + y dzd + z ddy braną po zewnętrznej stronie ostosłupa utworzonego z płaszczyzn + y + z = a = 0 y = 0 z = 0 d+ + y dy+ + y + z dz gdzie Γ : = a sin t y = a cos t z = a sin t + cos t t [0 π]
4 Odpowiedzi ± 6 ; ± ; 4 div A = y + z rot A = yz y i + yz y k; 5 div A = 0 rot A = cos y cos z i y cos y y cos yz j + z cos z z cos yz k; 8 7 5 ; 9 + ; 0 4; a8π ; 0; π; 4 6; 5 nie; 6 4; 7 nie; 8 9 0; 0 0; ; 6; 5 6 4 πab 5 8 5 7 9 6 ; 8 πa 4 ; 9 4πa ; 0 a4 4 ; πa
Literatura [] GNBerman Zbiór zadań z analizy matematycznej PWN Warszawa 966 [] M Gewert Z Skoczylas Analiza matematyczna Cz - Oficyna Wydawnicza GIS Wrocław 00 [] B Gdowski E Pluciński Zbiór zadań z rachunku wektorowego i geometrii analitycznej Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej Warszawa 000 [4] l Jeśmanowicz J Łoś Zbiór zadań z algebry PWN Warszawa 969 [5] WKrysicki L Włodarski Analiza matematyczna w zadaniach Cz I-II PWN Warszawa 00 [6] A McQuarrie Matematyka dla przyrodników i inżynierów PWM Warszawa 005 [7] WPMinorski Zbiór zadań z matematyki wyższej WNT Warszawa 974 5