Ea ŁKSIK Beaa PŃCZYK Jan SIKOR OBLICZENI SYMBOLICZNE N PRZYKŁDZIE METODY ELEMENTÓW BRZEGOWYCH GLERKIN STRESZCZENIE Meoa elemenów brzegowch MEB [] es nmerczną meoą rozwązwana równań całkowo-brzegowch w kórch poszkwana nkca znae sę po znakem całk oblczane po brzeg pewnego obszar. Do oblczeń całek zwkle sosowane es całkowane nmerczne. Poeśce Galerkna prowaz o kła równań lnowch w kórm znane neznane warośc brzegowe enowane są za pomocą opowench całek []. Celem nnesze prac es zasosowane smbolcznego całkowana o wznaczena współcznnków kła równań MEB Galerkna na przkłaze równana Possona z wkorzsanem zamplemenowanego w Malabe pake o oblczeń smbolcznch []. Słowa klczowe: meoa elemenów brzegowch meoa Galerkna całkowane smbolczne r Ea ŁKSIK r Beaa PŃCZYK e-mal: ea@cs.pollb.pl beaap@cs.pollb.pl pro. r hab. nż. Jan SIKOR e-mal: sk59@wp.pl Ins Inormak Kaera Elekronk Polechnka Lbelska PRCE INSTYTT ELEKTROTECHNIKI zesz 47 00
00 E. Łkask B. Pańczk J. Skora. WSTĘP W arkle przesawono nezbęne meo wkorzswane w pakece Malab o oblczeń smbolcznch. Zaprezenowano równeż króke wprowazene o meo elemenów brzegowch poano osaeczną posać kła równań MEB w poeśc Galerkna. Przkła oblczenow emonsre wnk rozwązana równana Possona.. OBLICZENI SYMBOLICZNE W PKIECIE MTLB Smbolc Mah ToolBo w Malabe [] osarcza narzęza o wkonwana oblczeń na wrażenach smbolcznch. Pake wposażon es w nkce o smbolcznego wznaczana granc rozwązwana równań różnczkowana całkowana. Smbolczne oprogramowane ene now p anch zwan obekem smbolcznm ang. smbolc obec. Jes o srkra anch kóra zawera smbol przesawon w posac łańccha. Obek e reprezeną zmenne smbolczne całe wrażena macerze. Oblczena smbolczne wkonwane są na baze pake Maple Waerloo Maple Inc.... Wprowazene Pake o oblczeń smbolcznch pozwala realzować oblczena smbolczne poprzez opowene zenowane smbolcznch wrażeń żwane ch prz pomoc nkc wwołwanch poobne ak zwkłe nkce Malaba. Polecena sm sms eklarą zmenne wrażena smbolczne. Na przkła ab zrealzować smbolczne oblczena la nkc kwaraowe posac: a b c należ zaeklarować zmenne w nasępąc sposób: a sm'a' b sm'b' c sm'c' sm'' lb enm polecenem: sms a b c.
Oblczena smbolczne na przkłaze meo elemenów brzegowch Galerkna 0 snęce zmennch z pamęc Maple ne es enoznaczne z snęcem zmennch z przesrzen robocze Malaba. Na przkła eśl es zaeklarowane ako zmenna p real za pomocą polecena: sms real o es obekem smbolcznm w przesrzen Malaba oraz oaną zmenną p real la Maple. Polecene: sms nreal znos eklaracę p real la zmenne a polecene: maple resar swa wszske eklarace zmennch z przesrzen Maple. Polecene: clear swa lko z przesrzen robocze Malaba. Na przkła la zmenne p real polecene: sms bez snęca z ąra Maple la Malaba cągle oznacza że es oaną zmenną p real... Smbolczne oblczena granc Denca pochone określona es ako granca eśl lko snee: ' lm h 0 h h Malab osępna nkcę lm kóra wznacza smbolczne grancę nkc. Na przkła polecene: sms h n lmcosh - cos/hh0 zwraca w wnk: ans -sn. Naomas polecene: lm/nˆnnn zwraca wnk: ans ep. Możlwe es równeż wznaczane granc enosronnch. Na przkła polecene: lm/abs0 le wznacza grancę prz ążącm o zera z lewe sron zwraca w wnk: ans.
0 E. Łkask B. Pańczk J. Skora Naomas wwołane nkc: lm/abs 0'rgh' wznacza grancę prz ążącm o zera z prawe sron zwraca w wnk: ans. W m przpak ne snee granca prz ążącm o 0 Malab zwróc wnk ako NaN No a Nmber na przkła: lm/abs 0 ans NaN. Domślne wwołane nkc: lm es równoważne wwołan: lm 0... Całkowane smbolczne Jeśl es wrażenem smbolcznm o: n znae nne wrażene smbolczne F ake że ego pochona F. Oznacza o że wnkem wwołana nkc n es smbolczna posać całk neoznaczone z nkc. Polecene: n v oznacza że wrażene ma bć całkowane wzglęem smbolczne zmenne v. Całkowane smbolczne es rnm zaanem oblczenowm. Całka F może ne sneć w ogóle lb e posać może bć wrażona za pomocą skomplkowane nkc. Całka F może sneć ale oprogramowane ne bęze w sane e wznaczć lb może porzebować zb wele czas pamęc na realzacę oblczeń. Tm nemne la wel zaań Malab es w sane wznaczć smbolczną posać całk a w raze nepowozena zwracan es po pros wnk posac wrażena weścowego: n. Możlwe es równeż smbolczne wznaczane całek oznaczonch. Polecena: n a b oraz n v a b wznaczaą smbolczne wrażena określaące opoweno całk posac: b a b a v v.
Oblczena smbolczne na przkłaze meo elemenów brzegowch Galerkna 0.4. Całkowane z parameram rzeczwsm Jeną z sbelnośc oblczeń smbolcznch są różne zezn paramerów całkowana. Na przkła eśl a es zaeklarowane ako oana e a zmenna p real o wrażene es określone oanm waroścam krzwe w kszałce zwon zbeżne o 0 prz ±. Na przkła la a / mam: sms a sm/; epa * ˆ; Jenak prz oblczan całk e a bez określena p zmenne a Malab założ że a es lczbą zespoloną laego zwróc wnk w posac zespolone. W przpak ke a ma bć oaną lczbą p real całka pownna bć oblczana za pomocą nasępącch poleceń: sms a posve; sms ; epa * ˆ; nnn. W wnk orzme sę: ans /aˆ/ * pˆ/. W cel wznaczena całk la owolne warośc rzeczwse zmenne a nekoneczne oane paramer a należ zenować nasępąco: sms a real epa * ˆ; F n n n. W wnk orzme sę: F PIECEWISE[/aˆ/ * pˆ/ sgnma ] [In oherwse]. Za pomocą polecena: pref wnk bęze przesawon w barze konwenconalne posac: / p sgnma / a In oherwse.
04 E. Łkask B. Pańczk J. Skora Znak l meszczon po zmenne a oznacza lko że a es zmenną rzeczwsą. Fnkca sgnm określa znak zmenne a. Wobec ego wnkem π całkowana es la a>0 oraz la a 0. a Można równeż zaeklarować klka zmennch rzeczwsch za pomocą enego polecena na przkła: sms w z real..5. Całkowane z parameram zespolonm W cel wznaczena poprzene całk la zespolone warośc paramer a należ zasosować polecene: sms a nreal epa * ˆ; F n n n. Orzman wnk m razem ma posać: F PIECEWISE[/aˆ/ * pˆ/ csgna ] [In oherwse] a po zasosowan polecena: pref π wnk można przesawć ako la csgna>0 oraz la csgna 0. a Denca nkc csgn es nasępąca: g Rea > 0 lb Rea 0 Ima > 0 csgn a. g Rea < 0 lb Rea 0 Ima < 0. METOD ELEMENTÓW BRZEGOWYCH GLERKIN n Nech an bęze obszar R z warnkam Drchlea Nemana na ego brzeg. Posawowm równanem MEB w n-wmarowe przesrzen es: n Δ R Δ / n k k
Oblczena smbolczne na przkłaze meo elemenów brzegowch Galerkna 05 gze: Δ operaor Laplace a neznana welkość znana warość w obszarze. Srmeń na brzegach obszar opse równane: ν ν gze: ν graen wekor normaln skerowan na zewnąrz obszar ν operaor brzegow / k pochona cząskowa oznaczana ako k n-wmarow wekor oznacza lb. Warośc brzegowe na na mszą bć określone przez warnk brzegowe. Nmerczna realzaca MEB korzsa ze słabe orm równana różnczkowego znanego ako werzene Be ego: υ υ υ ν ν Δ Δυ równoważnego ormle Greena []... Rozwązane namenalne Posawowe równane całkowe la MEB es zenowane przez splo z wkorzsanem rozwązana namenalnego. Orzme sę e poprzez zasąpene υ we wzorze przez - ake że la δ mam: Δ n δ R. Dla operaora Laplace a Δ orzme sę π C 0 ln R π
06 E. Łkask B. Pańczk J. Skora. 4 R π Rozwązane namenalne zezcz charaker osoblwośc po srbc Draca δ. nalczna posać rozwązana namenalnego może bć wznaczona lko la prosch operaorów różnczkowch. Nemne opók współcznnk operaora różnczkowego są sałe zapewnone es snene rozwązana namenalnego []... Tożsamość Somglana Wsawene rozwązana namenalnego - o wzor prowaz o równana []: [ ] Δ Δ T gze:. T ν Po posawen o lewe sron równana oraz korzsaąc z właścwośc splo mam: δ Powższe zależnośc zachozą akże la pnków. Tożsamość Somglana la pnków wewnęrznch obszar ma posać []: [ ] T 4.. Brzegowe równane całkowe Lewa srona równana we wzorze 4 może bć pomnożona przez cznnk ] [0 κ : κ δ
Oblczena smbolczne na przkłaze meo elemenów brzegowch Galerkna 07 co prowaz o orzmana brzegowego równana całkowego: [ ] T κ 5 Dla głakch brzegów przme sę κ..4. proksmaca warośc brzegowch Znane neznane warośc oraz są aproksmowane przez sm welomanów nkc esowch ze współcznnkam posac: N N. 6 Fnkce esowe wzglęem pownn bć co nawże lnowe a wzglęem sałe..5. Brzegowe równane całkowe Galerkna Scałkowane wzor 6 po brzeg z nkcą esową prowaz o równana: [ ] T κ 7 Dskreną posać brzegowego równana całkowego Galerkna orzme sę posawaąc 6 o 7: N N κ 8
08 E. Łkask B. Pańczk J. Skora.6. Różnczkowane brzegowego równana całkowego W cel orzmana macerz smerczne w meoze Galerkna należ o równana 4 wprowazć operaor różnczkow ν. Równane 4 pownno bć zróżnczkowane wzglęem wekora normalnego o -e nkc esowe: N N 9 gze T es zasąpone przez. Z własnośc splo v v v oraz z oznaczena orzme sę osaeczną ożsamość Somglana la : N N.7. Brzegowe równane całkowe Galerkna Dla pnków po zamane na κ prawa srona równana 9 przme posać: } { κ κ κ a osaeczna posać brzegowego równana całkowego Galerkna może bć opsana równanem [0]: N N } { κ 0
Oblczena smbolczne na przkłaze meo elemenów brzegowch Galerkna 09 W brzegowm równan całkowm korzsa sę z nasępącch pochonch : ] [ R k k π ] [ 4 R k k π. Drga pochona ma posać: [ ] 4 R kl π [ ] 5 4 R kl π..8. Smerczn kła brzegowch równań całkowch Osaeczn kła równań lnowch w MEB Galerkna ze wzorów 8 oraz 9 es posac: G H F K oraz G H F K. Macerze H G wekor F są enowane równeż prz żc nkc wełg nasępącch wzorów: F : H :
0 E. Łkask B. Pańczk J. Skora G : K : κ F : H : G : K : κ κ. 4. PRZYKŁD OBLICZENIOWY Rozważm wwmarow obszar ] [0 0] [ z wewnęrznm saconarnm źrółem cepła. Temperara na brzeg ego obszar ma warość 0. Prz ch warnkach problem Drchlea prowaz o równana Possona posac: Δ 0. Brzeg zosał pozelon na elemenów rs.. Rozwązanem namenalnm es nkca: ln π gze ln π.
Oblczena smbolczne na przkłaze meo elemenów brzegowch Galerkna Rs.. Kwaraow obszar z elemenam brzegowm Prz warnk 0 kła równań lnowch MEB Galerkna reke sę o kła: gze: 0 F H 4 H F. Wzor oblczenowe la wbranch elemenów macerz H la przpak elemenów brzegowch rs. maą posać: H H H 4 67 / / 0 / 0 / / ln π / ln 0 / / 0 0 / π / 0 ln π / /. Elemen prawe sron kła oblcza sę ze wzor: F / 0 0 0.
E. Łkask B. Pańczk J. Skora Ogólne elemen: g g g g rk H prz żc pake smbolcznego w Malabe lcz sę za pomocą nkc n: H r k nn g g. 5 Na przkła: H nn 00 0/ 0/ H 4 nn 0 0/ /. Problem we wzorze 5 sanow przpaek g oraz górna granca całkowana akże es równa. We w wnk orzme sę NaN należ skorzsać z nkc lm: lm n g lm n 6 H r k lmn g lm n. 7 Dla przkła elemen H 67 lcz sę żwaąc wzorów 6 7 nasępąco: lm n lm n H 67 lmn lm n. Ten sam problem poawa sę la elemenów Hr7 la r 4 5 6 oraz H6 k la k 7 8 9. We równeż rzeba skorzsać ze wzorów 6 7. Warośc prawe sron kła lcz sę akże wkorzsąc nkce n lm: lm n lm n 0 nn 0 g gze [ g] opse brzeg.
Oblczena smbolczne na przkłaze meo elemenów brzegowch Galerkna Dla przkła: lm n lm n 0 nn 0 0. Macerz H oraz wekor prawe sron F oblczone la elemenów maą posać: kolmn macerz H o o 6: H 0.0460 0.04 0.0076 0.009 0.0005 0.009 0.000 0.000 0.00 0.059 0.0 0.009 0.04 0.0460 0.04 0.0 0.006 0.0005 0.000 0.000 0.000 0.0 0.006 0.0005 0.0076 0.04 0.0460 0.059 0.0 0.009 0.00 0.000 0.000 0.009 0.0005 0.009 0.009 0.0 0.059 0.0460 0.04 0.0076 0.009 0.0005 0.009 0.000 0.000 0.00 0.0005 0.006 0.0 0.04 0.0460 0.04 0.0005 0.006 0.0 0.000 0.000 0.000 0.009 0.0005 0.009 0.0076 0.04 0.0460 0.009 0.0 0.059 0.00 0.000 0.000 kolmn macerz H o 7 o : 0.000 0.000 0.00 0.009 0.0005 0.009 H 0.0460 0.04 0.0076 0.009 0.0 0.059 0.000 0.000 0.000 0.0005 0.006 0.0 0.04 0.0460 0.04 0.0005 0.006 0.0 0.00 0.000 0.000 0.009 0.0 0.059 0.0076 0.04 0.0005 0.009 0.0005 0.009 0.059 0.0 0.009 0.000 0.000 0.00 0.009 0.0005 0.009 0.0460 0.04 0.0076 0.0 0.006 0.0005 0.000 0.000 0.000 0.0 0.006 0.0005 0.04 0.0460 0.04 0.009 0.0005 0.009 0.00 0.000 0.000 0.059 0.0 0.009 0.0076 0.04 0.0460
4 E. Łkask B. Pańczk J. Skora Wekor prawch sron la analzowanego przpak ma posać: T F [ 0. 07 0. 07 0. 08 0. 08 0. 07 0. 07 0. 07 0. 07 0. 08 0. 08 0. 07 0. 07] Rozwązanem es wekor: T X [ 0.969 0.969 0.64 0.64 0.969 0.969 0.969 0.969 0.64 0.64 0.969 0.969] Rozkła warośc srmena es ak sam na wszskch bokach kwaraowego obszar. Na rsnk zaprezenowane są wnk oblczeń la enego bok kwara pozelonego na lb 8 elemenów opoweno lb elemen brzegowe. Rs.. Warośc srmena la oraz elemenów na enm brzeg obszar 5. WNIOSKI Oblczena smbolczne przspeszaą wznaczane współcznnków oraz zwększaą preczę oblczeń. Z wag na skomplkowane całkowane we wzorach Meo Elemenów Brzegowch swarzaą enak szereg problemów oblczenowch. Pommo ego w prosszch przpakach całkowane smbolczne es możlwe ak pokazano na przkłaze równana Possona.
Oblczena smbolczne na przkłaze meo elemenów brzegowch Galerkna 5 LITERTR. Deck F.: Forer BEM. Generalzaon o Bonar Elemen Meho b Forer Transorm. Sprnger. Berln 00.. Skora J.: Posaw Meo Elemenów Brzegowch. Wawncwo Ksążkowe Ins Elekroechnk Warszawa 009.. hp://www.mahworks.com. Rękops osarczono na 7.08.00 r. Opnował: r hab. nż. Sean F. Flpowcz pro. PW NLYTICL CLCLTION OF GLERKIN BEM MTRIX COEFFICIENTS E. ŁKSIK B. PŃCZYK J. SIKOR BSTRCT large nmber o he one an wo mensonal negraon can be compe analcall b means o he smbolc Malab oolbo []. The man problem s reamen o he snglares. The negraon ools mplemene n Malab are n general no able o hanle snglar negrals. The raonal Bonar Elemen Meho BEM [] makes possble solon he erenal problems n comple geomeres. The Galerkn bonar negral eqaons BIE [] lea o he algebrac ssem where known an nknown bonar vales are ene b one or wo mensonal negrals. The man goal o hs paper s o solve he Posson eqaon sng Malab smbolc ncons an o evalae he coecens or he Galerkn mar ssem o BIEs. Dr Ea ŁKSIK kończła sa maemaczne na MCS w Lblne. Tł okora zskała na Wzale Maemak Fzk Inormak MCS w Lblne w 007 r. Tł rozpraw okorske: Meo eracne la nelnowch reglarne osoblwch kłaów równań. O 998 rok pracownk nakow Polechnk Lbelske. W laach 998-007 zarnona na sanowsk assena a o maa 007 r. na sanowsk anka w Insce Inormak PL. Obszar zaneresowań nakowch o przee wszskm ęzk programowana algormzaca srkr anch meo nmerczne meo opmalzac.
6 E. Łkask B. Pańczk J. Skora Dr Beaa PŃCZYK kończła sa maemaczne na MCS w Lblne. O 989 rok pracownk nakow Polechnk Lbelske obecne na sanowsk anka w Insce Inormak PL. Tł okora zskała w rok 996 na Wzale Elekrcznm Polechnk Lbelske. Tł rozpraw okorske: Konsrkca obraz rozkła właścwośc zcznch obek meoą Impeancne Tomogra Komperowe. Obszar zaneresowań akcznch nakowch o meo nmerczne ęzk programowana oraz echnologe worzena aplkac nerneowch. Pro. r hab. nż. Jan SIKOR kończł Wzał Elekrczn Polechnk Warszawske. W cąg 4 la prac zawoowe zobł wszske sopne ł sanowska łączne ze sanowskem proesora zwczanego na swoe macerzse czeln. Z Insem Elekroechnk w Warszawe es zwązan o 998 rok. O 008 r. prace na Wzale Elekroechnk Inormak Polechnk Lbelske w Kaerze Elekronk. W laach 00-004 pracował ako Senor Research Fellow w nvers College Lonon w Grpe Tomogra Opczne Pro. S. rrge a. Jego zaneresowana nakowe skpaą sę wokół nmercznch meo pola elekromagnecznego.