uh iała twnego i retałenia jednorodne
Definija: uład wółrędnh Zbiór n baowh wetorów ortonormalnh roinająh n Na rład ereentują unt muim odać uład wółrędnh Wględem o : Wględem o : ora ą niemiennimi obietami geometrnmi Ale ih rereentaja jet ależna od wboru uładu wółrędnh ereentowanie oji 6 5 4..8 j i 4..8 5..8 7.77 6 5
Obrot D Obrot ereentowanie jednego uładu wółrędnh w ategoriah innego gdie wetor jednotowe definiuje ię natęująo: o in o in in o in o Jet to maier obrotu
Maiere obrotu jao rojeje utowanie oi o na oie uładu o Podejśie alternatwne o in in o o o o o
Włanośi maier obrotu Obrot odwrotne: Lub też inna interretaja użwa relaji artośi/nieartośi: T o in in o o o o o T o in in o o in in o
Włanośi maier obrotu Odwrotność maier obrotu: Wnani maier obrotu jet awe równ ± + jeżeli ograniam ię do uładów raworętnh T o in in o det o in in o o o o o
Podumowanie: Włanośi maier obrotu Kolumn (wiere) ą wajemnie ortogonalne Każda olumna (wier) jet wetorem jednotowm T det Zbiór wtih n n maier mająh te włanośi nawa ię gruą obrotów (ang. Seial Orthogonal grou) rędu n SOn
Obrot trójwmiarowe 3 SO Ogóln obrót 3D: Pradi ególne Podtawowe maiere obrotu o in in o o in in o o in in o
Ćwienie: Wna maier obrotu
Włanośi maier obrotu (.d.) SO(3) jet gruą e wględu na mnożenie. Zamniętość: SO3 SO3. Jedność: 3. Odwrotność: 4. Łąność: I SO T W ogólnośi element SO(3) nie ą remienne: 3 3 3 Powala ładać obrot: a ab b
Obrot wględem adanej oi Blo na r. (b) owtał re obrót blou r. (a) o ąt π wględem oi.
Załóżm że jet danm untem obietu twnego utalonm uładem wółrędnh o Punt może bć redtawion w uładie o ( ) ore rojeję na oie uładu baowego Pretałenia atoowaniem obrotów w u w u w u w u w u w u w u w u
Obraanie wetora Jee jedna interretaja maier obrotu: Obraanie wetora doooła ewnej oi w utalonm uładie wółrędnh N.: obróć doooła o ąt / o in in o / /
Podumowanie maier obrotu Tr interretaje roli maier obrotu:. ereentuje retałenie wółrędnh untu w dwóh różnh uładah odnieienia.. Wnaa orientaję retałonego uładu wółrędnh w odnieieniu do utalonego uładu wółrędnh. 3. Jet oeratorem retałająm wetor re obrót w now wetor w tm amm uładie wółrędnh.
Pretałenia re odobieńtwo Wtie uład wółrędnh ą definiowane re biór wetorów baowh Te roinają n N. wetor jednotowe i j W algebre liniowej n n maier A tanowi odworowanie n do n = A gdie: obra ore retałenie A. Mśl o ja o liniowej ombinaji wetorów jednotowh (wetorów bawoh) n. wetorów jednotowh T...... e... T e n Wted olumn A ą obraami th wetorów baowh. Jeśli hem rereentować wetor wględem innej ba n. f f n retałenie A można redtawić w otai A T AT r m olumn T ą wetorami f f n.
Pretałenia re odobieńtwo A ora A mają identne wartośi włane. Wetor włan maier A odowiada wetorowi wł. T - maier A. Maier obrotu tanowi również mianę ba Jeśli A jet retałeniem liniowm w o ora B jet retałeniem liniowm w o wted ą one wiąane relają N. uład o ora o ą wiąane maierą obrotu Jeśli A jet też maierą obrotu (wględem o ) ten am obrót wrażon w o jet otai A B o in in o o in in o A B
Sładanie obrotów wględem bieżąego uładu wółrędnh N. roważm tr uład wółrędnh o o o To definiuje rawo ładania dla olejnh obrotów wględem bieżąego uładu wółrędnh: mnożenie rawotronne.
Sładanie obrotów N. nieh rereentuje obrót wględem bieżąej oi o ąt o tórm natęuje obrót o ąt wględem bieżąej oi. o in o in o o o in in in o in o in o in o in in o Co robić w radu odwróonej olejnośi obrotów?
Sładanie obrotów wględem utalonego uładu wółrędnh (o ) Nieh obrót omięd uładami o ora o będie definiowan re Nieh będie adanm obrotem wględem utalonego uładu wółrędnh o. Stoują definiję retałenia re odobieńtwo mam: Definiuje to rawo ładania dla obrotów wględem utalonego uładu wółrędnh: mnożenie lewotronne.
Sładanie obrotów N. hem wnać maier obrotu tóra jet łożeniem obrotu o ąt wględem ( ) a natęnie o ąt wględem ( ). Drugi obrót należ rowadić do baowego uładu wółrędnh Tera ombinają dwóh obrotów jet
Podumowanie: Sładanie obrotów Kolejne obrot wględem bieżąego uładu wółrędnh: Mnożenie rawotronne re olejne maiere obrotu wględem utalonego uładu wółrędnh (o ) Mnożenie lewotronne re olejne maiere obrotu Możem również mieć do nienia hbrdowm ładaniem obrotów wględem bieżąego i utalonego uładu wółrędnh toują te ame reguł.
Parametraja obrotów Ab definiować dowoln obrót iała twnego wtar użć treh arametrów. Oiem tr taie arametraje:. Kąt Euler. Kąt obrotu nahlenia i odhlenia 3. ereentaja oś ąt
Parametraja obrotów Kąt Euler Kolejno obrót o ąt woół oi otem o ąt b woół bieżąej oi i dalej o ąt woół bieżąej oi ZYZ
Parametraja obrotów Kąt obrotu nahlenia odhlenia Tr olejne obrot wględem utalonh oi głównh: Odhlenie Yaw ( ) nahlenie ith ( ) obrót roll ( ) XYZ
Parametraja obrotów ereentaja oś ąt Każdą maier gru SO(3) można redtawić w otai ojednego obrotu woół odowiedniej oi o odowiedni ąt N. ałóżm że mam wetor jednotow: Mają dan ąt hem naleźć : Kro ośredni: rutuj oś na : r m obrót jet definiowan re
Parametraja obrotów ereentaja oś ąt Jet dana re Problem odwrotn: Mają dane dowolne naleźć ora 3 3 3 3 in o r r r r r r Tr
uh twne uh twn jet ombinają tego obrotu i tego reunięia Zdefiniowan re maier obrotu () ora wetor reunięia (d) SO 3 3 d Grua wtih ruhów twnh (d) nana jet jao grua eulideowa (ang. Seial Eulidean grou) SE(3) SE3 n SO3 oważm tr uład o o ora o raem odowiednimi maierami obrotu ora Nieh d będie wetorem od oątu o do o d od o do o Dla untu wiąanego o możem redtawić wetor ołożenia w uładah o and o : d d d d d d
Pretałenia jednorodne uh twne (obrot i reunięia) można redtawić a omoą mnożenia maierowego Zdefiniujm: Tera unt można redtawić w uładie o : gdie P ora P ą otai d H d H P H P H P P
Pretałenia jednorodne Mnożenie re maier H nawa ię retałeniem jednorodnm i onaa aiem H SE Pretałenie owrotne: 3 H T T d
Pretałenia jednorodne Podtawowe retałenia: Tr te reunięia tr te obrot b a b a Tran Tran Tran ot ot ot