Ruchy ciała sztywnego i przekształcenia jednorodne

Podobne dokumenty
Podstawowe pojęcia analizy wektorowej - przypomnienie

Rozważa się dwa typy odwzorowań: 1. Parametryzacja prosta

Rozdział 9. Baza Jordana

,..., u x n. , 2 u x 2 1

Algebra liniowa. Zadania przygotowujące do egzaminu: .Wskazówka: Zastosować wzór de Moivre'a;

Zestaw zadań 12: Przekształcenia liniowe. z z + 2 2x + y. x y z. x y + 2t 2x + 3y + 5z t x + z t. x y + 2t 2x 3y + 5z t x z t

( ) O k k k. A k. P k. r k. M O r 1. -P n W. P 1 P k. Rys Redukcja dowolnego przestrzennego układu sił

Postać Jordana macierzy

Zestaw zadań 12: Przekształcenia liniowe. Macierze przekształceń liniowych. z z + 2 2x + y. x y z. x y + 2t 2x + 3y + 5z t x + z t

23. CAŁKA POWIERZCHNIOWA NIEZORIENTOWANA

Przestrzeń liniowa R n.

G:\WYKLAD IIIBC 2001\FIN2001\Ruch falowy2001.doc. Drgania i fale II rok Fizyki BC

Podstawy robotyki. Wykład II. Robert Muszyński Janusz Jakubiak Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki Politechnika Wrocławska

Zadania z AlgebryIIr

Kompresja fraktalna obrazów. obraz. 1. Kopiarka wielokrotnie redukująca 1.1. Zasada działania ania najprostszej kopiarki

Algebra z geometrią 2012/2013

P K. Położenie punktu na powierzchni kuli określamy w tym układzie poprzez podanie dwóch kątów (, ).

Wielokryteriowa optymalizacja liniowa (WPL)

3. Kinematyka podstawowe pojęcia i wielkości

Geometria analityczna w przestrzeni. Kierunek. Długość. Zwrot

Fale skrętne w pręcie

o zasilaniu napięciowym Gałąź normalna o zasilaniu mieszanym

Idea metody LINIE PIERWIASTKOWE EVANSA. Idea metody. Przykład. 1 s1,2 k

Mechanika Robotów. Wojciech Lisowski. 2 Opis położenia i orientacji efektora Model geometryczny zadanie proste



Blok 2: Zależność funkcyjna wielkości fizycznych

SYSTEMY STEROWANIA. Serwomechanizm edukacyjny. Ćwiczenia laboratoryjne 1-7 WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY KATEDRA AUTOMATYKI I ELEKTRONIKI















1. Liczby zespolone i

Równanie Modowe Światłowodu Planarnego

Iloczyn skalarny

XXX OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP I Zadania teoretyczne

Przykład 6.1. Przestrzenny stan naprężenia i odkształcenia

Matematyka A, kolokwium trzecie, 1 czerwca 2010, rozwia. a b. y = = ( 2) 13 5 ( 5) = 1, wie c macierz

MODELOWANIE I WIZUALIZACJA TEKSTURY

1 Przekształcenie Laplace a

PRZESTRZEŃ WEKTOROWA (LINIOWA)

Ćwiczenie - Fale ciśnieniowe w gazach







cz.2 Dr inż. Zbigniew Szklarski Katedra Elektroniki, paw. C-1, pok.321

POTENCJALNE POLE SIŁ. ,F z 2 V. x = x y, F y. , F x z F z. y F y

Animowana grafika 3D. Opracowanie: J. Kęsik.

M A N I P U L A T O R Y Przestrzenne Analiza kinematyczna

Reprezentacje grup symetrii. g s

ZADANIA Z FUNKCJI ANALITYCZNYCH LICZBY ZESPOLONE

F p. F o. Modelowanie złożonych systemów biocybernetycznych. Na poprzednim wykładzie uczyliśmy się, jak tworzyć modele prostych obiektów biologicznych

INSTYTUT ENERGOELEKTRYKI POLITECHNIKI WROCŁAWSKIEJ Raport serii SPRAWOZDANIA Nr LABORATORIUM TEORII STEROWANIA INSTRUKCJA LABORATORYJNA

GRUPY SYMETRII Symetria kryształu

Sterowanie Ciągłe. Używając Simulink a w pakiecie MATLAB, zasymulować układ z rysunku 7.1. Rys.7.1. Schemat blokowy układu regulacji.

Wybrane modele ubezpieczeń wielostanowych na przykładzie PHI

Wykład 4. Zasada zachowania energii. Siły zachowawcze i niezachowawcze

; B = Wykonaj poniższe obliczenia: Mnożenia, transpozycje etc wykonuję programem i przepisuję wyniki. Mam nadzieję, że umiesz mnożyć macierze...

Złożone działanie sił wewnętrznych w prętach prostych

Logika klasyczna i rozmyta. Rozmyte złożenie relacji (ang. fuzzy composition) Złożenie relacji (ang. composition)

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 5

Analiza progu rentowności

Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze

= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3

Zadanie 0 Obliczyć całki. Wyniki sprawdzić obliczając pochodne otrzymanych funkcji pierwotnych. x 4. x x. x x 1 , 11)

Grupa obrotów. - grupa symetrii kuli, R - wszystkie możliwe obroty o dowolne kąty wokół osi przechodzących przez środek kuli

ZASADY ZACHOWANIA ENERGII MECHANICZNEJ, PĘDU I MOMENTU PĘDU

ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA,

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ

ILOCZYNY WEKTORÓW. s równoległe wtedy i tylko wtedy. b =

Funkcje wielu zmiennych

Z e s p ó ł d s. H A L i Z

SELEKCJA: JAK JEDNA POPULACJA (STRATEGIA) WYPIERA INNĄ

M O D E L R U C H U W Y R Z U T N I O K RĘTOWEJ O P I S A N Y P R Z E Z T R A N S F O R M A C J E U K Ł A D Ó W W S P Ó Ł R ZĘ D N Y C H

J. Szantyr - Wykład 7 Ruch ogólny elementu płynu

F - wypadkowa sił działających na cząstkę.

Macierze normalne. D : Dowolną macierz kwadratową można zapisać w postaci A = B + ic gdzie ( ) B = A + A B = A + A = ( A + A)

Algebra z geometrią 2012/2013

Zadania egzaminacyjne

Funkcje wielu zmiennych

Przykład 3.7. Naprężenia styczne przy zginaniu belki cienkościennej.

2 1 3 c c1. e 1, e 2,..., e n A= e 1 e 2...e n [ ] M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I

Ciśnienie i nośność w płaskim łożysku ślizgowym przy niestacjonarnym laminarnym smarowaniu

Ż Ę ć Ć ć ć Ą

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice

Metody komputerowe i obliczeniowe Metoda Elementów Skoczonych. Element jednowymiarowy i jednoparametrowy : spryna

KilkazadańzAMII Tekst poprawiony 14 sierpnia po skrytykowaniu poprzedniej wersji przez dwie rozsądne panie. Obytakichbyłowięcej... inietylkopań.

Transkrypt:

uh iała twnego i retałenia jednorodne

Definija: uład wółrędnh Zbiór n baowh wetorów ortonormalnh roinająh n Na rład ereentują unt muim odać uład wółrędnh Wględem o : Wględem o : ora ą niemiennimi obietami geometrnmi Ale ih rereentaja jet ależna od wboru uładu wółrędnh ereentowanie oji 6 5 4..8 j i 4..8 5..8 7.77 6 5

Obrot D Obrot ereentowanie jednego uładu wółrędnh w ategoriah innego gdie wetor jednotowe definiuje ię natęująo: o in o in in o in o Jet to maier obrotu

Maiere obrotu jao rojeje utowanie oi o na oie uładu o Podejśie alternatwne o in in o o o o o

Włanośi maier obrotu Obrot odwrotne: Lub też inna interretaja użwa relaji artośi/nieartośi: T o in in o o o o o T o in in o o in in o

Włanośi maier obrotu Odwrotność maier obrotu: Wnani maier obrotu jet awe równ ± + jeżeli ograniam ię do uładów raworętnh T o in in o det o in in o o o o o

Podumowanie: Włanośi maier obrotu Kolumn (wiere) ą wajemnie ortogonalne Każda olumna (wier) jet wetorem jednotowm T det Zbiór wtih n n maier mająh te włanośi nawa ię gruą obrotów (ang. Seial Orthogonal grou) rędu n SOn

Obrot trójwmiarowe 3 SO Ogóln obrót 3D: Pradi ególne Podtawowe maiere obrotu o in in o o in in o o in in o

Ćwienie: Wna maier obrotu

Włanośi maier obrotu (.d.) SO(3) jet gruą e wględu na mnożenie. Zamniętość: SO3 SO3. Jedność: 3. Odwrotność: 4. Łąność: I SO T W ogólnośi element SO(3) nie ą remienne: 3 3 3 Powala ładać obrot: a ab b

Obrot wględem adanej oi Blo na r. (b) owtał re obrót blou r. (a) o ąt π wględem oi.

Załóżm że jet danm untem obietu twnego utalonm uładem wółrędnh o Punt może bć redtawion w uładie o ( ) ore rojeję na oie uładu baowego Pretałenia atoowaniem obrotów w u w u w u w u w u w u w u w u

Obraanie wetora Jee jedna interretaja maier obrotu: Obraanie wetora doooła ewnej oi w utalonm uładie wółrędnh N.: obróć doooła o ąt / o in in o / /

Podumowanie maier obrotu Tr interretaje roli maier obrotu:. ereentuje retałenie wółrędnh untu w dwóh różnh uładah odnieienia.. Wnaa orientaję retałonego uładu wółrędnh w odnieieniu do utalonego uładu wółrędnh. 3. Jet oeratorem retałająm wetor re obrót w now wetor w tm amm uładie wółrędnh.

Pretałenia re odobieńtwo Wtie uład wółrędnh ą definiowane re biór wetorów baowh Te roinają n N. wetor jednotowe i j W algebre liniowej n n maier A tanowi odworowanie n do n = A gdie: obra ore retałenie A. Mśl o ja o liniowej ombinaji wetorów jednotowh (wetorów bawoh) n. wetorów jednotowh T...... e... T e n Wted olumn A ą obraami th wetorów baowh. Jeśli hem rereentować wetor wględem innej ba n. f f n retałenie A można redtawić w otai A T AT r m olumn T ą wetorami f f n.

Pretałenia re odobieńtwo A ora A mają identne wartośi włane. Wetor włan maier A odowiada wetorowi wł. T - maier A. Maier obrotu tanowi również mianę ba Jeśli A jet retałeniem liniowm w o ora B jet retałeniem liniowm w o wted ą one wiąane relają N. uład o ora o ą wiąane maierą obrotu Jeśli A jet też maierą obrotu (wględem o ) ten am obrót wrażon w o jet otai A B o in in o o in in o A B

Sładanie obrotów wględem bieżąego uładu wółrędnh N. roważm tr uład wółrędnh o o o To definiuje rawo ładania dla olejnh obrotów wględem bieżąego uładu wółrędnh: mnożenie rawotronne.

Sładanie obrotów N. nieh rereentuje obrót wględem bieżąej oi o ąt o tórm natęuje obrót o ąt wględem bieżąej oi. o in o in o o o in in in o in o in o in o in in o Co robić w radu odwróonej olejnośi obrotów?

Sładanie obrotów wględem utalonego uładu wółrędnh (o ) Nieh obrót omięd uładami o ora o będie definiowan re Nieh będie adanm obrotem wględem utalonego uładu wółrędnh o. Stoują definiję retałenia re odobieńtwo mam: Definiuje to rawo ładania dla obrotów wględem utalonego uładu wółrędnh: mnożenie lewotronne.

Sładanie obrotów N. hem wnać maier obrotu tóra jet łożeniem obrotu o ąt wględem ( ) a natęnie o ąt wględem ( ). Drugi obrót należ rowadić do baowego uładu wółrędnh Tera ombinają dwóh obrotów jet

Podumowanie: Sładanie obrotów Kolejne obrot wględem bieżąego uładu wółrędnh: Mnożenie rawotronne re olejne maiere obrotu wględem utalonego uładu wółrędnh (o ) Mnożenie lewotronne re olejne maiere obrotu Możem również mieć do nienia hbrdowm ładaniem obrotów wględem bieżąego i utalonego uładu wółrędnh toują te ame reguł.

Parametraja obrotów Ab definiować dowoln obrót iała twnego wtar użć treh arametrów. Oiem tr taie arametraje:. Kąt Euler. Kąt obrotu nahlenia i odhlenia 3. ereentaja oś ąt

Parametraja obrotów Kąt Euler Kolejno obrót o ąt woół oi otem o ąt b woół bieżąej oi i dalej o ąt woół bieżąej oi ZYZ

Parametraja obrotów Kąt obrotu nahlenia odhlenia Tr olejne obrot wględem utalonh oi głównh: Odhlenie Yaw ( ) nahlenie ith ( ) obrót roll ( ) XYZ

Parametraja obrotów ereentaja oś ąt Każdą maier gru SO(3) można redtawić w otai ojednego obrotu woół odowiedniej oi o odowiedni ąt N. ałóżm że mam wetor jednotow: Mają dan ąt hem naleźć : Kro ośredni: rutuj oś na : r m obrót jet definiowan re

Parametraja obrotów ereentaja oś ąt Jet dana re Problem odwrotn: Mają dane dowolne naleźć ora 3 3 3 3 in o r r r r r r Tr

uh twne uh twn jet ombinają tego obrotu i tego reunięia Zdefiniowan re maier obrotu () ora wetor reunięia (d) SO 3 3 d Grua wtih ruhów twnh (d) nana jet jao grua eulideowa (ang. Seial Eulidean grou) SE(3) SE3 n SO3 oważm tr uład o o ora o raem odowiednimi maierami obrotu ora Nieh d będie wetorem od oątu o do o d od o do o Dla untu wiąanego o możem redtawić wetor ołożenia w uładah o and o : d d d d d d

Pretałenia jednorodne uh twne (obrot i reunięia) można redtawić a omoą mnożenia maierowego Zdefiniujm: Tera unt można redtawić w uładie o : gdie P ora P ą otai d H d H P H P H P P

Pretałenia jednorodne Mnożenie re maier H nawa ię retałeniem jednorodnm i onaa aiem H SE Pretałenie owrotne: 3 H T T d

Pretałenia jednorodne Podtawowe retałenia: Tr te reunięia tr te obrot b a b a Tran Tran Tran ot ot ot