Funkcja wyk ladnicza, logarytmy, sinus i kosinus

Podstawowe oznaczenia Funkcja wyk ladnicza, logarytmy, sinus i kosinus zbiór wszystkich liczb rzeczywistych zbiór wszystkich liczb naturalnych, tj. liczb 0,,, 3,...; zbiór wszystkich liczb naturalnych dodatnich, tj. liczb,,... zbiór wszystkich liczb ca lkowitych, tj. liczb 0,,,,,... zbiór wszystkich liczb wymiernych, tj. takich, które można zapisać w postaci ilorazu dwu liczb ca lkowitych. [a, b] przedzia l domknie ty, tzn. [a, b] = x : a x b}, czyli [a, b] to zbiór z lożony z tych wszystkich liczb rzeczywistych, które sa jednocześnie wie ksze lub równe a i mniejsze lub równe b. [a, b) = x IR: (a, b) = x IR: (a, b] = x IR: a x < b} przedzia l domknie to otwarty. a < x < b} przedzia l otwarty. a < x b} przedzia l otwarto domknie ty. lub + ten symbol oznacza nieskończoność, to nie liczba, ale dodatkowy symbol. ten symbol oznacza minus nieskończoność, to nie liczba, ale dodatkowy symbol. Przyjmujemy, że dla każdej liczby rzeczywistej x zachodzi nierówność < x < oraz że x + = ; x = ; x = ; x = ; + = ; ( ) + ( ) = ; = ( ) ( ) = ; ( ) = ( ) = ; jeśli x > 0, to x = i x ( ) = ; jeśli x < 0, to x = i x ( ) = ; x = i x = 0 ; jeśli 0 < x <, to x = 0 i x =. x == x = 0 ; jeśli x >, to Innych dzia lań z udzia lem symboli nieskończonych nie definiujemy, bo jak sie później okaże nie mia loby to sensu, np. nie definiujemy, 0,,, 0 0. Końcem przedzia lu może być symbol nieskończony. Jeśli jeden z końców jest nieskończony, to przedzia l nazywany jest pó lprosta ; jeśli oba końce sa nieskończone prosta. Uwaga. Niektóre z oznaczeń odbiegaja od stosowanych w polskich liceach, ale nie mamy wyjścia, musimy stosować oznaczenie przyje te na ca lym świecie, bo na ich stosowanie poza szko lami w RP (nr 3,4,... ) polscy specjaliści od dydaktyki wp lywu nie maja, wie c świat sie do nich nie dostosuje, a nauka jest mie dzynarodowa. Przypomnijmy teraz, że jeśli n jest liczba naturalna parzysta, x jest liczba nieujemna, to istnieje dok ladnie jedna liczba nieujemna y stopnia n z liczby x i oznaczamy symbolem dla każdej liczby x taka, że y n = x. Nazywamy ja pierwiastkiem n x. Jeśli n jest liczba naturalna nieparzysta, to istnieje dok ladnie jedna liczba rzeczywista y taka, że x = y n. Nazywamy ja pierwiastkiem stopnia n z liczby x i oznaczamy symbolem n x. Jeśli stopień pierwiastka równy jest, to piszemy x, zamiast x. Np. 96 = 4, 5 3 = itd. Definiujemy pote ge o wyk ladniku wymiernym w naste puja cy sposób a k/l = l ak. Bez trudu sprawdzić można, że jeśli

a > 0, to dla dowolnych liczb wymiernych u, v zachodzi równość a u+v = a u a v. Przypomnijmy, że a 0 = dla dowolnej liczby a 0. Jeśli a > i u > v, to a u > a v. Jeśli natomiast 0 < a < i u > v, to a u < a v. Jeśli a > 0, to definiujemy pote ge o wyk ladniku rzeczywistym. Opiszemy jak to można zrobić. Dla ustalenia uwagi zak ladać be dziemy w dalszym cia gu, że a >. Zauważmy po pierwsze, że dla dowolnej liczby b > zachodzi nierówność b < +b, bo +b b = ( b) > 0. Sta d wynika, że 4 b < + b < + +b = + 4 + b 4. Analogicznie 8 b < + 4 b < + + 4 + b 4 = + 4 + 8 + b 8. Kontynuuja c dochodzimy do nierówności n b < + 4 + 8 + + n + b n = + b n. Widzimy wie c, że jeśli u < x < v i v u < n dla pewnej liczby naturalnej n >, u, v, to 0 < a v a u = a u( a v u ) < a u( a /n ) = a u( n a ) < au a n. Jeśli ustalimy liczbe x i wybierzemy liczbe naturalna k > x+, to otrzymamy nierówność 0 < a v a u < a u a n < a k a n. Wynika z niej, że jeśli ε > 0, to można znaleźć liczbe naturalna m taka, że a k a m < ε. Jeśli n m oraz u < x < v i v u < n, to 0 < a v a u < a u a n < a k a n a k a m < ε. Przed zdefiniowaniem pote gi o wyk ladniku niewymiernym sformu lujemy jedno twierdzenie, którego dowodu podawać nie be dziemy. Lemat o przedzia lach zste puja cych Jeśli [a, b ] [a, b ] [a 3, b 3 ]..., to istnieje liczba x taka, że dla każdego n a n x b n.* zachodzi Dowodu nie możemy podać, bo jest on zbyt bliski podstawom teorii liczb rzeczywistych, których w ogóle nie omawiamy. Stwierdzić jednak wypada, że chodzi w tym lemacie wyraźnie o przedzia ly domknie te. Przyk ladowo (0, ] (0, ] (0, 3 ]..., ale cze ścia wspólna wszystkich przedzia lów (0, ], (0, ], (0, 3 ],... jest zbiór pusty. Przedzia ly domknie te [0, ], [0 ], [0, 3 ],... maja dok ladnie jeden wspólny element: 0. Twierdzenie o istnieniu pote gi o wyk ladniku rzeczywistym Niech a, x, a >. Istnieje wtedy dok ladnie jedna liczba rzeczywista y taka, że jeśli u < x < v, u, v, to a u < y < a v. Dowód. Niech u, u,..., v, v,... be da liczbami wymiernymi takimi, że n+ + x < u n < u n+ < x < v n+ < v n < n+ + x dla n =,, 3,.... Mamy zatem a un < a un+ < a vn+ < a vn a v. Wobec tego [a u, b v ] [a u, b v ] [a u3, b v3 ]... Istnieje wie c liczba y, która jest elementem każdego przedzia lu [a un, b vn ], n =,, 3,.... Ponieważ 0 < v n u n < n, wie c 0 < a vn a un < a v a n. Za lóżmy, że dla każdego n =,, 3,... zachodzi * Innymi s lowy: istnieje punkt należa cych do wszystkich przedzia lów.

nierówność a un < y < z < a vn, tzn. zak ladamy, że liczby y, z sa elementami wspólnymi wszystkich rozpatrywanych przedzia lów, przy czym y < z. Wtedy dla każdej liczby n =,, 3,... mamy 0 < z y < a v a n, co nie jest możliwe, bo po odpowiednim wybraniu n otrzymujemy nierówność z y < a v a n, przeciwna do poprzedniej. Dowód zosta l zakończony. Teraz możemy podać definicje pote gi o dowolnym wyk ladniku i dowolnej dodatniej podstawie. Definicja pote gi o wyk ladniku dowolnym Jeśli a >, x, to a x jest jedyna liczba taka, że dla każdej pary liczb wymiernych u, v takich, że u < x < y zachodzi nierówność a u < a x < a y. Jeśli 0 < a <, x, to a x = ( a ) x. Na pote gi o dowolnym wyk ladniku przenosza sie w lasności pote gowania, o których wspominaliśmy w kontekście wyk ladników wymiernych i dodatniej podstawy. Prócz tego dochodza nowe. Twierdzenie o w lasnościach funkcji wyk ladniczej Jeśli a > 0, to 0. dla każdej liczby x zachodzi x = ;. dla dowolnych x, y zachodzi a x+y = a x a y ;. dla dowolnych x, y zachodzi a x y = ax a y ; 3. a 0 =, a = a ; 4. dla dowolnych x, y zachodzi ( a x) y = a xy ; 5. dla dowolnej liczby x zachodzi a x = a x ; 6. dla dowolnych b, x, b > 0 zachodzi (ab) x = a x b x ; 7. jeśli a >, x, y i x < y, to a x < a y (funkcja wyk ladnicza o podstawie wie kszej niż jest ściśle rosna ca); 8. jeśli 0 < a <, x, y i x < y, to a x > a y (funkcja wyk ladnicza o podstawie dodatniej, mniejszej niż jest ściśle maleja ca); 9. dla każdej liczby rzeczywistej y > 0 i dla każdej liczby dodatniej a istnieje dok ladnie jedna liczba rzeczywista x taka, że y = a x. Dowód tego twierdzenie pomijamy, wie ksza jego cze ść powinna być znana ze szko ly. Niektóre w lasności funkcji wyk ladniczej wymienione w twierdzeniu sa latwe do uzasadnienia lub wynikaja latwo z pozosta lych umieszczonych na tej liście, dowody innych wymagaja pewnej pracy. Definicja logarytmu Logarytmem liczby y > 0 przy podstawie a > 0, a nazywamy taka liczbe x, że y = a x. Piszemy x = log a y. Z twierdzenia o w lasnościach funkcji wyk ladniczej, punkt 9 wynika, że ta definicja ma sens, tzn. każda liczba dodatnia ma logarytm przy dowolnej podstawie dodatniej, różnej od. Zachodzi wie c równość a log a x = x przy za lożeniu: 0 < a, x > 0. Przypomnijmy, że funkcja wyk ladnicza o podstawie a to funkcja przypisuja ca liczbie x liczbe a x. Argumentem jest w tym przypadku wyk ladnik pote gi, a wartościa pote ga. 3

Funkcja logarytmiczna o podstawie a to funkcja odwrotna do funkcji wyk ladniczej o podstawie a, czyli funkcja, która liczbie y przypisuje wartość wyk ladnika x w taki sposób, że podstawa podniesiona do pote gi x daje liczbe logarytmowana y. Zapiszemy to wzorem y = a log a y. Funkcja pote gowa o wyk ladniku α nazywamy funkcje, która liczbie x > 0 przypisuje liczbe x α. Logarytmów liczb ujemnych nie definiujemy, bo nie sa nam potrzebne i nie można ich dobrze zdefiniować w zbiorze liczb rzeczywistych. Sytuacja ulegnie pewnej zmianie po rozszerzeniu naszego zapasu liczb (tzn. gdy zaczniemy zajmować sie liczbami zespolonymi). Wtedy be dziemy w stanie zdefiniować logarytmy liczb ujemnych i innych (ale nie logarytm 0), ale nie be dziemy sie tymi kwestiami intensywnie zajmować. Przyk lady log 8 = 3, bo 3 = 8 ; log 0 0000 = 4, bo 0 4 = 0000 ; log 0 0000 = 4, bo 0 4 = 0000 ; log 0 0 =, bo 0/ = 0 ; log 0 000 = 3, bo 0 3/ = 0 3 = 000. Ponieważ funkcja logarytmiczna jest funkcja odwrotna do wyk ladniczej, wie c w lasnościom funkcji wyk ladniczej odpowiadaja w lasności funkcji logarytmicznej. Twierdzenie o w lasnościach funkcji logarytmicznej Jeśli a > 0, to. dla dowolnych x, y > 0 zachodzi log a (xy) = log a x + log a y ;. dla dowolnych x, y > 0 zachodzi log a x y = log a x log a y ; 3. log a = 0 i log a a = ; 4. dla dowolnych x, y, x > 0 zachodzi log a ( x y ) = y log a x ; 5. dla dowolnej liczby x > 0 zachodzi log a x = log a x ; 6. jeśli b, x > 0 i b, to log a x = log b x log b a, czyli log b a log a x = log b x ; 7. jeśli a >, x, y i 0 < x < y, to log a x < log a y (funkcja logarytmiczna o podstawie wie kszej niż jest ściśle rosna ca); 8. jeśli 0 < a <, x, y i 0 < x < y, to log a x > log a y (funkcja wyk ladnicza o podstawie dodatniej, mniejszej niż jest ściśle maleja ca); 9. dla każdej liczby rzeczywistej y i dla każdej liczby dodatniej a istnieje dok ladnie jedna liczba rzeczywista x taka, że y = log a x. W lasność szósta to twierdzenie znane niektórym studentom ze szko ly pod nazwa : twierdzenie o zmianie podstawy logarytmu. Jest ono bezpośrednim wnioskiem z w lasności 4 funkcji wyk ladniczej. Wynika z niego, że znaja c logarytmy przy podstawie b można znaleźć logarytmy przy nowej podstawie a. Warto powiedzieć, że logarytmy zosta ly wynalezione przez astronomów, bo ludzie obserwuja cy niebo w nocy przeprowadzali wiele obliczeń, a w przeciwieństwie do obecnie żyja cych nie 4

mieli do dyspozycji urza dzeń elektronicznych. Mnożenie liczb pochodza cych z obserwacji by lo trudne (na ogó l nie by ly to ma le liczby naturalne), wie c usi lowano zasta pić mnożenie znacznie mniej pracoch lonnym dodawaniem. Pocza tkowo używano do tego tablic trygonometrycznych i wzorów typu sin α + sin β = sin α+β cos α β, a później stworzono tablice logarytmów* i używano w lasności : znajdowano logarytmy mnożonych liczb x, y w tablicach, sumowano je i za pomoca tablic znajdowano liczbe, której logarytmem by la liczba log a x + log a y. Podobnie pierwiastkowano i podnoszono do pote gi ( ln(x y ) = y ln x ). Tak by lo do pocza tku lat osiemdziesia tych XX wieku, czyli do momentu, w którym komputery osobiste sta ly sie powszechne. Dziś do re cznych obliczeń logarytmy nie sa używane, tym niemniej sa, i zapewne be da, stosowane różne skale logarytmiczne. W chemii używana jest wielkość ph, która jest równa minus logarytmowi (o podstawie 0 ) ze ste żenia jonów wodorowych w roztworze, chemicy mówia ujemny logarytm... maja c na myśli liczbe przeciwna do logarytmu. W czystej wodzie ste żenie jonów wodorowych wynosi oko lo 0, 000000 = 0 7, zatem ph czystej wody jest równe 7. Chodzi o to, by operować mniejszymi liczbami, co w przypadku jednokrotnego użycia znaczenia nie ma, ale ph jest używane przez bardzo wielu ludzi wielokrotnie, wie c prostota definicji ma duże znaczenie. Innym przyk ladem jest np. skala Richtera trze sień Ziemi: trze sienie o jeden stopień silniejsze ma dziesie ciokrotnie wie ksza energie. Podobnie jest jest z nate żeniem dźwie ku, również w tym przypadku skala jest logarytmiczna. Podobnie skala jasności gwiazd. Sa one użyteczne, bo ich użycie sp laszcza skale. Zilustrujemy to na przyk ladzie log 0 0, 000000 = 7, log 0 0, 00000 = 6, log 0 0, 0000 = 5, log 0 0, 000 = 4, log 0 0, 00 = 3, log 0 0, 0 =, log 0 0, =, log 0 =, log 0 0 =, log 0 00 =, log 0 000 = 3, log 0 0000 = 4, log 0 00000 = 5, log 0 000000 = 6, log 0 0000000 = 7. Chodzi o to, że trudno jest ogla dać te zera w dużych ilościach, a czasem mamy do czynienia z wielkościami, jak wspomniane wyżej, które zmieniaja sie w szerokim zakresie. Wtedy wygodniej jest je zlogarytmować, bo wtedy latwiej można sie porozumiewać mówia c lub pisza c o nich, zw laszcza jeśli to zrobione zostaje, jak w podanych przyk ladach na sta le. Funkcje trygonometryczne Przypomnimy teraz znane ze szko ly definicje funkcji trygonometrycznych. Rozpocznijmy od tego, że dosyć powszechnie stosowana jednostka miary ka ta stopień jest dosyć sztuczna i nie wsze dzie stosowana. Na statkach stosowano rumby (rumb to ka ta pe lnego), po 789 r (Rewolucja 3 we Francji) ustalono nowy system miar, ka ty mia ly być mierzone w gradusach (ka t prosty mia l mieć 00 gradusów), ta miara jest gdzieś stosowana do dziś, bo niektóre kalkulatory można przestawić na gradusy. W rozważaniach teoretycznych najważniejsza jednostka miary ka ta to radian. Za lóżmy, że * Tablice logarytmów stworzono w XVII wieku (J.Napier). Pierwsza podstawa by la liczba e,7, o której be dzie mowa później, a po oko lo 0 latach przeliczono (J.Briggs) logarytmy naturalne (czyli o podstawie e ) na logarytmy o podstawie 0, czyli dziesie tne. 5

rozważamy ka ty o wierzcho lku w pocza tku uk ladu wspó lrze dnych, których pierwszym ramieniem jest dodatnia pó loś pozioma, czyli zbiór wszystkich punktów postaci (x, 0), gdzie x 0. Ka ty odmierzamy w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Ka t ma t radianów, jeśli drugie ramie przecina okra g C o środku w punkcie (0, 0) i promieniu, w punkcie P takim, że d lugość luku okre gu C zaczynaja cego sie w punkcie (, 0) i kończa cego sie w punkcie P jest równa t. Ka t prosty 90 ma wie c miare równa 4 d lugości okre gu o promieniu, czyli 4 π = π. Ka t pó lpe lny (80 ), równy dwóm ka tom prostym, ma miare π = π. Ka t o mierze π, to również ka t prosty, lecz odmierzony w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara, tj. oparty na luku o końcach (, 0) i (0, ). Rozważamy tu, jak widać, ka ty zorientowane, tzn. wiadomo, które ramie jest pierwsze, a które drugie, jeśli od pierwszego ramienia do drugiego poruszamy sie w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, to mówimy o ka cie dodatnim, jeśli w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara o ka cie ujemnym. Można mówić o ka tach wie kszych od pe lnego, np. ka t o mierze 9π 4 powstaje w wyniku przejścia w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara najpierw ca lego okre gu, a potem jeszcze 8 okre gu; ka t o mierze 5π to ka t odmierzony w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara, najpierw obchodzimy ca ly okra g, potem jeszcze ćwiartke, ca ly czas w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara. π/ < α < π ( cos, sin α α ) α sinα cos α cos β (,0) sin β β ( cos β, sin β) (0, ) π < β < π/ Za lóżmy teraz, że odmierzyliśmy luk o mierze t od punktu (, 0) do punktu P. Wtedy wspó lrze dnymi punktu P sa cos t i sin t to definicja kosinusa i sinusa ka ta t, np. cos π = 0, sin π =, 6

cos 3π = 0, sin 3π π =, cos 4 = π, sin 4 = sin t cos t. Wiemy też, że tg t = cos t, ctg t = sin t.* Wprowadzane sa również sekans i kosekans: sec t = cos t, csc t = sin t. My be dziemy używać g lównie funkcji kosinus, sinus i tangens. Przypomnimy kilka podstawowych w lasności funkcji sinus i kosinus. T. Dla każdej liczby t zachodzi wzór sin t + cos t =. T. Dla dowolnych liczb rzeczywistych t, s zachodzi wzór sin(s + t) = sin s cos t + sin t cos s. T3. Dla dowolnych liczb rzeczywistych t, s zachodzi wzór cos(s + t) = cos s cos t sin s sin t. T4. Dla każdej liczby rzeczywistej t zachodza wzory cos( t) = cos t oraz sin( t) = sin t wzory te wynikaja z tego, że punkty (cos t, sin t), (cos( t), sin( t)) leża symetrycznie wzgle - dem poziomej osi uk ladu wspó lrze dnych. T5. Dla każdej liczby rzeczywistej t zachodza wzory cos(t + π ) = sin t i sin(t + π ) = cos t te wzory wynikaja natychmiast z tego, że przy obrocie o ka t π wokó l punktu (0, 0) punkt (x, y) przekszta lcany jest na punkt ( y, x), można je też wyprowadzić z wzorów T i T3 oraz cos π = 0, sin π =. T6. Dla każdej liczby rzeczywistej t zachodza wzory cos(t + π) = cos t oraz sin(t + π) = sin t te wzory wynikaja od razu z tego, że obrót o ka t π jest przekszta lceniem tożsamościowym: punkt (x, y) przekszta lcany jest na ten sam punkt (x, y) ; można też je wyprowadzić stosuja c czterokrotnie wzory T5.** Reszty wzorów redukcyjnych wypisywać nie be dziemy, zache camy czytelników do wyprowadzania ich w razie potrzeby z rysunku, albo z wzorów T4, T5. Zapamie tywać ich nie ma potrzeby, bo wyprowadzenia sa bardzo proste. Wa tpliwej jakości utwory poetyckie maja ce u latwić zapamie tywanie wzorów redukcyjnych powinny ulec szybkiemu zapomnieniu, pomimo rozpowszechniania ich przez tych autorów i nauczycieli, którzy sa przekonani o tym, że uczniowie i studenci nie sa w stanie przeprowadzać samodzielnie jednolinijkowych rozumowań. T7. Dla dowolnych liczb rzeczywistych s, t zachodza wzory: sin s±sin t = sin s±t cos t = cos s+t s t cos oraz cos s cos t = sin s t s+t sin te cztery wzory wynikaja latwo z wzorów T, T3 i T4. T8. Jeżeli 0 < t < π, to 0 < sin t < t < tg t. cos s t, cos s+ Podamy dowód tej nierówności. Niech O = (0, 0), A = (, 0 ), P = (cos t, sin t), Q = (, tg t). Trójka t P OA jest zawarty w wycinku ko la P OA, a ten wycinek ko la w trójka cie prostoka tnym QOA. Wobec tego pole trójka ta P OA jest mniejsze niż pole wycinka ko lowego P OA, a to pole jest mniejsze od pola trójka ta QOA. Obliczaja c te pola za pomoca wzorów znanych ze szko ly podstawowej otrzymujemy nierówność podwójna równoważna nierówności, która dowodzimy. sin t < t π π < tg t, która jest * W niektórych krajach używane sa skróty tan (tangens) i cot (kotangens) **40 7

(cos t, sin t) t tg t sin t (0,0) cos t (,0) (0, ) Nierówność sin t < t zachodzi dla każdego dodatniego t, bo dla t π prawdziwa jest nierówność t > sin t. Ponieważ sin( t) = sin t, wie c dla t 0 mamy sin t < t. Wobec tego mamy sin s sin t = sin s t s+t cos s t = s t dla dowolnych liczb rzeczywistych s, t. Analogicznie dowodzimy, że cos s cos t s t. Udowodniliśmy wie c, że T9. Dla dowolnych liczb rzeczywistych s, t zachodza nierówności sin s sin t s t oraz cos s cos t s t. T0. Jeśli lim t n = t, to lim sin t n = sin t oraz lim cos t n = cos t, czyli sinus i kosinus sa n n n funkcjami cia g lymi dowód wynika z twierdzenia o trzech cia gach i w lasności T9. T. Jeśli lim t sin t n n = 0 i t n 0 dla każdego n, to lim =. n n t n Udowodnimy to stwierdzenie. Ponieważ sin( t) t = sin t t, wie c można zak ladać, iż t n > 0 dla każdego n. Ponieważ lim t n = 0, wie c dla dostatecznie dużych n mamy t n <, co w n po la czeniu z za lożeniem t n > 0 daje 0 < t <. Dla takich liczb t, dzie ki w lasności T8, możemy napisać t( t ) < t( sin t) = t cos t < t cos t < sin t < t, zatem t t 3 < sin t < t i wobec tego t < sin t t Dowód zosta l zakończony. <. Teraz w lasność T wynika z twierdzenia o trzech cia gach. Podany wyżej dowód można nieco skrócić: z T8 wynika, że cos t n < sin tn t n <, a ponieważ lim cos t n = cos 0 =, wie c teza wynika z twierdzenia o trzech cia gach. Podaliśmy dowód n 8

jedynie nieco wyd lużony po to, by uzyskać konkretne oszacowanie b le du w cze sto stosowanej równości przybliżonej sin t t dla t 0. To szacowanie nie jest najlepsze. Później be dziemy w stanie latwo wykazać, że t t3 6 < sin t dla t > 0, ale to już niewiele zmieni. Jeśli np. 0 < t < 0,, to 0 < t sin t < t 3 < 0, 0 t, wobec tego w tym przypadku b la d, który pope lniamy zaste puja c liczbe sin t liczba t jest mniejszy niż % liczby t (w rzeczywistości < 6 % ). Jest wie c ca lkiem przyzwoita dok ladność, a pamie tać należy, że ka ty sa tu wyrażane w radianach (0, radiana to ponad 5 ), sa to wielkości wyste puja ce w optyce, przy ruchu d lugiego wahad la matematycznego, czy też przy strzelaniach z armat do w miare odleg lych celów. W szkolnych podre cznikach do fizyki znajduje sie twierdzenie mówia ce, że okres wahań wahad la matematycznego jest niezależny od amplitudy. Ma lo kto zwraca uwage na za lożenie: amplituda musi być dostatecznie ma la, po to by równość przybliżona sin t t dawa la dobra dok ladność. Bez trudu każdy może stwierdzić, że jeśli zaczniemy wychylać wahad lo daleko od dolnego pionowego po lożenia to okres wzrośnie w zauważalny sposób. Jeśli jednak rozważamy dostatecznie ma le amplitudy, to wtedy różnice albo sa niemierzalne, bo mniejsze od dok ladności pomiaru, albo trudno mierzalne. Jest to kolejne ostrzeżenie dotycza ce równości przybliżonych. Na ogó l wolno je stosować w określonych zakresach poza dopuszczalnym zakresem nie ma to na ogó l sensu. Wie cej powiemy o tym zjawisku w końcu drugiego semestru, gdy zajmiemy sie równaniami różniczkowymi. Niektórzy studenci moga różnych rzeczy ze szko ly nie pamie tać z różnych przyczyn. Wiele poniższych zadań nie jest przeznaczonych na ćwiczenia. Umieszczone zosta ly po to, by studenci, którzy maja braki wiedzieli z czym musza sobie umieć poradzić. Należy próbować rozwia zywać zadania w domu, a jeśli sie nie uda pytać na konsultacjach.. Oblicz: a) 4% liczby 58, b) 3 % liczby 30 4, c) 5% liczby 45, d) 04,5% liczby 5 000, e) 0,5% liczby 0, f) a % liczby b.. Bez wykonywania obliczeń wyjaśnić, która z dwu liczb jest wie ksza a) 5 + 6 3 czy 6 3 + 5 3 b) 7 3 3 7 czy 4 6 7 c) 5 5 6 czy 5 3 5 d) 3 7 : ( 3 5 ) czy 7 : ( 5 ) 3. Wykonać obliczenia używaja c jedynie g lowy w lasnej, kartki i o lówka (dwa ostatnie elementy nie sa konieczne, kalkulatory oraz komputery sa chwilowo zakazane) a) 5 3 0 49 9 3,65 + 8 : 7 5 : 0,048 9,8 + 0,65 : 0,75 (,,965) : (, 0,045) b) : 4 0,0035 : 0,03 3 5 5 8 (,4 0,5 c) 5 ( 0,0(6) +, ) ) :,(6) 0,75 0,03 : 00 9 : 85 00 + 47 9 7

4. Znajdź: a) liczbe, której 5% wynosi 4, b) liczbe, której 0,% wynosi 5, c) liczbe, której 8% wynosi 5, d) liczbe, której p % wynosi a. 5. Jakim procentem liczby a jest liczba b, gdy: a) a = 4, b = ; b) a = 5, b = 50 ; c) a = 0,5, b = 0,75. 6. Zmieszano kg stopu o zawartości 5% miedzi i 3 kg stopu o zawartości 40% miedzi. Ile procent miedzi zawiera otrzymany stop? 7. Zmieszano a kg stopu o zawartości p % miedzi i b kg stopu o zawartości q % miedzi. Ile procent miedzi zawiera stop? 8. Cene towaru obniżono o p %. Towar ten kosztuje obecnie a z l. Ile kosztowa l ten towar przed obniżka? 9. Cene towaru obniżono najpierw o 0%, a naste pnie nowa cene podwyższono o 0%. Czy końcowa cena jest równa pocza tkowej? 0. Mleko zawiera (wagowo) % śmietany, ze śmietany uzyskuje sie mas lo, którego waga równa jest 3% użytej śmietany. Ile kilogramów mleka trzeba zużyć by otrzymać 483 kilogramy mas la?. Ile kilogramów wody należy dodać do 5 kilogramów 90 procentowego spirytusu, by otrzymać spirytus 60 procentowy?. W sadzie znajduje sie 860 drzew owocowych. Na każde 0 jab loni przypadaja 3 grusze i dwie śliwy. Liczba wiśni to 33 3 % liczby jab loni, grusz i śliw razem wzie tych. Ile drzew każdego rodzaju rośnie w tym sadzie? +a+a 3. Oblicz wartość wyrażenia: +a a + b +b+ b b+, jeśli a = 3 ; b = 3. 4. Oblicz wartość wyrażenia: 5. Wykonaj dzia lania: (x+y) (x y) 4xy, jeśli x =,7; y = 0,7. a) (a b 3 c) 6 ( ab c d) 4, b) (xy ) ( 3x y 4 z 5 ) 3 : ( 3x yz) 3, c) ( 3a m+n b m n c) : (,5a m b n ), d) (8x p y n z n ) : ( 4x p y z n 4 ). 6. Wykonaj dzia lania: a),5x [0,6x (3,5x + x ) (x + 3x)] + [0,x (x 3,5x) + x ], b) x,4xy +,y,6xy [0,6y (,4x,4xy)] (,4xy 6y)}, c),6x,8y [,x (y 0,6x) +,4y] (,6x 0,x)}, d) 3x[5y (7x 4y)] 8y[3x (7y 5x) + (6x y)], e) x [4,8x 0,6y(,6x,4y)],y [3,6x,6x(0,8x,4y) +,4y ], f) 3 x[4 x (3 3 4 y 3 )] [3 3 x ( 3 7 8 3 y)] 4 5 y. 7. Wykonaj dzia lania i zredukuj wszystko, co sie da: a) (3 + x) + 5( x) 3( x)( + x), b) 4(m + 3n) + 3(4m n) (m + n)(m n), 0

c) (c + 5d)(c 5d) 6(d 5c) + 3(5c + d), d) [(3x + y) (x + 3y) ] xy. 8. Uprość i oblicz wartość otrzymanego wyrażenia: a) 3(m ) + (m + )(m m + 4) (m + ) 3 dla m = 3, b) (a ) 3 4a(a + )(a ) + 3(a )(a + a + ) dla a =, 9. Wykonaj dzia lania i zredukuj wyrazy podobne: a) (a 3) 3 (a )(a + 4)(a + ), b) (a 3) 3 4a(a + 3)(a 3) + (3 a), c) (x )(x 4 + x + ) (x ) 3. 0. Dla jakich liczb (par liczb) prawdziwe sa równości a) x + 5 = x + 5, b) x y = xy, c) x y = 0, d) x + =, e) 3 x = 4, f) x + x + = 3.. Uprość wyrażenia a) x + x + x, gdy < x <, b) x + x + + x, gdy x <,3 c) x + x x x +, gdy x <.. Z definicji pierwiastka arytmetycznego wynika, że x = x. Korzystaja c z tego wzoru uprość a) x + x, b) (x 5) + x, c) a b gdy b 0, d) x 6x + 9 + x. 3. Zapisz podane wyrażenia bez symbolu wartości bezwzgle dnej a) m ; b) m n, gdy m < n ; c) m n, gdy m > n ; d) m, gdy m < 0. 4. a) Jakie wartości przyjmuje wyrażenie x x? b) Wykazać, że a = maxa, a}. c) Wykazać, że max a, b} = (a + b + a b ). d) Wykazać, że mina, b} = (a + b a b ). Definicja: maxa, b} oznacza wie ksza z liczb a, b, jeśli a = b, to maxa, b} = a. Analogicznie mina, b} oznacza mniejsza z liczb a, b. 5. Do jakiego przedzia lu liczbowego należy x, jeśli a) x 3 = x 3, b) x + = x, c) x 6 = 6 x, d) (x 4) = x 4? 7. Wy la cz czynnik przed pierwiastek i przeprowadź redukcje a) 3 0 + 5 45 80, b) 0,5 50 + 0,8 7 0, 3, c) x 3 + 36x3 x 3 9x, gdy x > 0, d) (0,5 4 3 40) ( 50 + 54 000). 8. Wykonaj mnożenie a) ( 3 + )( 3 ), b) (3 5 6)( 6 5), c) (a b)(a + b). x 9. Dane sa liczby x i y. Znajdź x y, x + y, xy i y. Otrzymane wyniki przedstaw w postaci

a + b c. a) x = 3 + 3, y = 3 3 ; b) x =, y = + ; c) x = 5 7, y = 7 ; d) x = 3 3, y = 3. 30. Oblicz a z równań a) (a + 3)(3 3) = 9 + 3 ; b) (3 a )( ) = ; c) ( 5)(a + 5) = + 5 ; d) (3 5)(3 + 5) = 4 + a 5. 3. Wykaż, nie używaja c kalkulatora ani komputera, że 3,4 < + 3 < 3,6. 3. Rozwia zać równanie 3x + x =. 33. Rozwia zać równanie 4x + 9x = 5 x + x = x. 34. Rozwia zać równanie + x x + 4 = x +. 35. Rozwia zać równanie 5 x x 5 5 x+ x 5 = 4. 36. Rozwia zać równanie x 3x + 5 + x = 3x + 7. 37. Rozwia zać równanie 3 x 3 x 6 = 0. 38. Rozwia zać równanie 3 x = x. x 39. Rozwia zać równanie x+ x x + x x x+ = 34. x 40. Rozwia zać równanie + 3x + = 3 4 + 3x. 4. Rozwia zać równanie x + 3 = 9 + 4 x 9 + x. 4. Rozwia zać równanie 3 8 x + 3 8 + x = 3. 43. Rozwia zać równanie 3 x + + 3 x + + 3 x + 3 = 0. 44. Rozwia zać równanie 3x + 5x + 8 3x + 5x + =. 45. Rozwia zać równanie x + x = 4 x. 46. Rozwia zać równanie x + 4x 49 + x 4x 49 = 4. 47. Rozwia zać równanie x + + x = 4 3 x. 48. Rozwia zać równanie x + x = 4 3. 49. Rozwia zać równanie x x x+ = x+ x x W zadaniach 50. 5. rozwia zać uk lady równań x x+. 50. 3 x+y y 3 x y y + 3 x+y x = 8 8 ; 3 x y x = 8. 5. 5. x + x 3 xy = 80; y + y 3 x y = 5. y x x + x y x = 34 5 ; x(x ) + y(y + ) xy = 7. 53. Znaleźć log 4, log 5, log 6, log 8, log 9, log 5 wiedza c, że log 0,3003, log 3 0,477, log 7 0,84509.

54. Uprościć 0 00 log 9 log. 54. Uprościć 5 log 5 40. 55. Uprościć 7 log 49 5. 56. Uprościć 5 log 5 6. 57. Jaki warunek musza spe lniać liczby dodatnie a i b, by zachodzi la równość log c a log c b = a b? Podać przyk lady liczb a i b, dla których ta równość nie zachodzi. 58. Czy log 0 > 0,3? Odpowiedź należy uzasadnić nie korzystaja c ani z tablic, ani z urza dzeń elektronicznych. 59. Wykazać, że log 0 < 3 oraz log 0 7 < log 0. 60. Rozwia zać równanie log(64 4 x 40x ) = 0. log x+7 6. Rozwia zać równanie x 4 = 0 log x+. 6. Rozwia zać równanie log (9 x + 7) = + log (3 x + ). 63. Rozwia zać równanie log x 7 + log x 7 = 6. 64. Rozwia zać równanie log(x 3 + 8) log(x + ) =. 65. Rozwia zać równanie x log x + 3x log x = 5. 66. Rozwia zać równanie x log 5 x = 65. 67. Rozwia zać równanie x log x 9 = 4x. 68. Rozwia zać równanie x log x = 00 x. 69. Rozwia zać równanie log 5 (log 4 (log 3 x)) = 0. 70. Rozwia zać równanie log(3x + 4) + log(x 8) =. 7. Rozwia zać równanie log 3 3 + 4 log 5 7 = log 5 x. 7. Znaleźć nie używaja c tablic, kalkulatorów, komputerów (ani pomocy kolegów lub koleżanek) log(tg ) + log(tg ) + log(tg 3 ) +... + log(tg 88 ) + log(tg 89 ). 73. Wyraź w radianach: 0, 45, 05, 50, 0, 70, 35, 330, 450, 570. 74. Wyraź w stopniach: 6 π rad, 3 π rad, 3 4 π rad, π rad, 7 π rad, 8 9 π rad, 5 8 π rad. 75. Wyraź radian w (należy wesprzeć sie np. kalkulatorem): a) stopniach z dok ladnościa do 0,00, b) w stopniach i minutach z dok ladnościa do. 76. Wyraź w radianach (należy wesprzeć sie np. kalkulatorem): a) z dok ladnościa do 0,00 rad, b) z dok ladnościa do 0,000 rad. 77. Określ (bez użycia tablic) znak różnicy: a) sin 7 sin 80, b) cos 5 cos 6, c) cos 300 cos 340, d) tg 35 sin 35, e) sin 00 sin 00, f) cos 00 cos 0, g) sin 00 sin 0, h) sin 400 sin 40. 78. Jaka liczba (dodatnia, czy ujemna ) jest: a) sin, b) sin, c) sin 0, d) cos, 3

e) cos 5, f) cos( 8), g) tg,5, h) tg( 0, 75), i) tg 0, j) ctg 5, k) ctg,5, l) ctg,5? 79. Zbadaj, która z liczb w każdej z podanych par jest wie ksza: a) sin, tg, b) cos, ctg, c) sin, cos, d) sin π 4, sin π 3, e) ctg 3 4 π, tg 3 4π, f) sin 5π, cos 3π. 80. Jaka liczba (dodatnia czy ujemna ) jest: a) sin(cos ), b) cos(sin ), c) ctg(cos 0,3), d) tg(sin,5), e) tg(cos 3 4 π), f) cos(tg 3 4 π)? 8. Oblicz wartości pozosta lych funkcji trygonometrycznych ka ta α, jeżeli: a) sin α = 5 7 i 90 < α < 80, b) cos α = 5 3 i 70 < α < 360, c) tg α = 7 4 i 80 < α < 70, d) sin α = 0, i 80 < α < 70, e) cos α = n n+ i 0 < α < 90. 8. Sprawdź naste puja ce tożsamości: a) (tg x sin x) ctg x = sin x, b) (sin x + cos x) + (sin x cos x) =, c) ( + cos x)( cos x) = sin x, d) cos x sin x = sin x, e) cos x cos x = sin x tg x, f) cos4 x sin 4 x = cos x sin x. Dla jakich x równości te nie zachodza? 83. Sprawdź naste puja ce tożsamości: a) + ctg x = sin x+cos x sin x, b) cos 4 x + sin 4 x = sin x cos x, c) (tg x + ctg x) =, d) tg x ctg x = (tg x )(ctg x + ), sin x cos x e) ctg x + sin x +cos x = sin x, f) ( + sin x)( cos x tg x) = cos x. 84. Sprawdź naste puja ce tożsamości: sin x a) +cos x + +cos x sin x = sin x, b) tg x+tg y ctg x+ctg y = tg x tg y, c) sin x = tg x +tg x, d) ( sin x cos x )(sin x + cos x) = ctg x tg x, e) ( sin x + cos x )(sin x + cos x) = + sin x cos x. 85. Wykaż, że jeśli x = a cos u i y = b sin u, to b x + a y = a b. 86. Rozwia zać uk lady równań a) x 3 y = 648; 3 x y = 43. x y = y x ; x 3 = y. log (x + y) log 3 (x y) = ; b) 8 x = 0y; x = 5y. x y+ = 7; x y 5 = 3. logxy (x y) = ; log xy (x + y) = 0. log(x + y ) = log 3; log(x + y) log(x y) = 3 log. c) d) e) x y =. log x+log y log(x+y) = ; x + y = 8. f) g) h) 4

xy = 40; i) x log y = 4. j) logy x log x y = 8 3 ; xy = 6. k) l) n) x 3 + y = 33; 3 log x + log y = + log. 3 x y = 77; 3 x y = 7. m) log x + log 4 y + log 4 z = ; log 3 y + log 9 z + log 9 x = ; log 4 z + log 6 x + log 6 y =. l) o) 9 5 x + 7 x+y = 457; 6 5 x 4 x+y = 890. log(x y) log log(x+y) = ; log x log 3 log y log 7 =. log4 x log y = 0; x 5y + 4 = 0. 5