PRACA I ENERGIA Wykład 7, 015/016 1
ENERGIA A PRACA Enegia jest to wielkość skalana, chaakteyzująca stan, w jakim znajduje się jedno lub wiele ciał. Enegia kinetyczna jest związana ze stanem uchu ciała. Paca jest to enegia pzekazana ciału lub od niego odebana w wyniku działania na ciało siłą. Gdy enegia jest pzekazana ciału, paca jest dodatnia, a gdy enegia jest ciału odebana, paca jest ujemna. Paca jest ówna zmianie enegii. Jednostką pacy i enegii w układzie SI jest 1J. Wykład 7, 015/016
PRACA STAŁEJ SIŁY W = F o s = Fscos ϕ F φ φ A v A B Wekto pzesunięcia v B s = AB v > v B A Wskutek wykonanej nad ciałem pacy wzasta jego pędkość od v A do v B czyli ośnie enegia kinetyczna Wykład 7, 015/016 3
Pzykład 1: Koalik może się ślizgać (bez tacia) po żyłce ozciągniętej wzdłuż poziomej osi OX. Stała siła F, skieowana pod kątem φ do żyłki powoduje uch jednostajnie pzyspieszony koalika wzdłuż żyłki. Jaki jest związek pacy wykonanej pzez siłę F z enegią kinetyczną koalika? F φ F F v A F v B Oś OX Pacę wykonuje tylko składowa F. Zatem W = F s = ma s Wykład 7, 015/016 4
F φ F F v A F v B Oś OX v = v + B A a s W AB = m a s a = v B v s A W AB = 1 mv B 1 mv A = E kb E ka Wykład 7, 015/016 5
Paca wykonana pzez siłę nad cząstką swobodną jest ówna zmianie enegii kinetycznej cząstki W = ΔE k Im większa pędkość ciała, tym większa jego enegia kinetyczna. Gdy ciało pozostaje w spoczynku jego enegia kinetyczna jest ówna zeu. E = k 1 mv ale p = mv E k = p m Wykład 7, 015/016 6
Zadanie domowe 7.1 Chłopiec ciągnie sanki o masie m=5kg, ze stałą pędkością, po poziomej powiezchni, na dodze d=9 m. Jaką pacę wykona on pzy ciągnięciu, jeżeli współczynnik tacia kinetycznego wynosi μ k =0,0 a sznuek twozy kąt φ=45 o z poziomem? Diagam sił Wykład 7, 015/016 Q 7
PRACA SIŁY ZMIENNEJ Załóżmy, że siła F zależy od położenia czyli F() Dzielimy pzedział < 1, > na odcinki, na któych można pzyjąć, że siła jest stała. Obliczamy pacę W wykonaną pzez siłę stałą na odcinku W = F Wykład 7, 015/016 Pace cząstkowe W sumujemy W = 1 F Δ 8
PRACA JAKO CAŁKA Gdy 0 Wykład 7, 015/016 W = lim Δ 0 F Δ = 1 1 Fd 9
PRACA JAKO CAŁKA W = dw = 1 Fd Paca elementana dw wykonana pzez siłę stałą na odcinku d dw = F d Elementane pace dw sumujemy Wykład 7, 015/016 10
Wykład 7, 015/016 UOGÓLNIENIE NA PRZYPADEK 3D Definicja pacy wykonanej pzez dowolną siłę pzy pzesunięciu od A do B Z definicji pędkości: Zatem pacę można wyazić: W AB v = Moc jest definiowana : P = dw/dt = B Fod A d dt t W = B AB F o vd t W AB t A t = B Pdt t A P = F o v 11
Wiemy z doświadczenia, że paca wykonana nad ciałem może zmienić nie tylko enegię kinetyczną lecz ównież lub tylko enegię potencjalną ciała ZADANIE DOMOWE 7. Podnosimy ciało o masie m na wysokość h działając siłą zewnętzną ównoważącą siłę ciężkości. Jaką pacę wykonała siła zewnętzna, a jaką siła ciężkości? Jaką pacę wykonają te siły pzy opuszczaniu ciała na ziemię? Wykład 7, 015/016 1
Pytanie: Co to jest enegia potencjalna? Czy jest związana wyłącznie z polem gawitacyjnym czyli E p =mgh? Czy znamy inne niż gawitacyjna, odzaje enegii potencjalnej? Wykład 7, 015/016 13
PRACA SIŁY ZALEŻNEJ OD POŁOŻENIA SIŁY HARMONICZNEJ k F = k( ) 1 k k k Wykład 7, 015/016 k-współczynnik spężystości Pzyjmując 1 =0 F = k lub ogólnie F = k 14
W = W dw = 1 1 Fd = = k d = k 1 ( k)d 1 k k W = k ( 1 ) W = ΔE p k Enegia potencjalna spężystości E = p k k Wykład 7, 015/016 15
Kittel, Mechanika Wykład 7, 015/016 16
ENERGIA POTENCJALNA Pzedmiot: Fizyka Enegia potencjalna E p jest to enegia związana z konfiguacją układu ciał, działających na siebie siłami. Aby móc wpowadzić pojęcie enegii potencjalnej, pole sił musi mieć okeśloną własność, taką, że paca wykonana w tym polu nie może zależeć od dogi, wzdłuż któej zachodzi pzemieszczenie Takie pola i siły nazywamy zachowawczymi Wykład 7, 015/016 17
B Doga 1 Doga 3 Wykład 7, 015/016 Doga A Paca wykonana pzez siłę zachowawczą nie zależy od dogi lecz zależy jedynie od położeń punktów A i B. W AB doga1 = W AB doga = W AB doga3 Paca wykonana pzez siłę zachowawczą nad cząstką pouszającą się po dodze zamkniętej jest ówna zeu. W AA = W AB + W BA = 0 18
ISTOTNE SIŁY RZECZYWISTE: Siła ciężkości (siła gawitacji) Siła oddziaływania elektostatycznego (siła Coulomba) są siłami zachowawczymi Siła tacia to pzykład siły, któa nie jest zachowawcza Wykład 7, 015/016 19
PRACA W JEDNORODNYM POLU GRAWITACYJNYM Pzedmiot: Fizyka W = F 1 s = Q s h / sinα ale Q s = Q sin α i Q = mg g czyli W = mgh F h α F 1 Q s Q Q paca siły zewnętznej Wykład 7, 015/016 W = E p zmiana enegii potencjalnej 0
JEDNORODNE POLE GRAWITACYJNE JEST ZACHOWAWCZE g C Paca siły zewnętznej ównoważącej siłę ciężkości nie zależy od sposobu pzemieszczania ciała lecz od położeń punktów początkowego i końcowego F h α F 1 Q B Q A W AC = W AB + W BC = E p Wykład 7, 015/016 0 1
SIŁA CENTRALNA JEST SIŁĄ ZACHOWAWCZĄ Siła centalna F = f () ˆ Pzykłady sił centalnych: Mm siła gawitacji F( ) = G ˆ siła Coulomba 1 Qq F( ) = 4π ε 0 ˆ siła spężystości F( ) = kˆ Wykład 7, 015/016
Wykład 7, 015/016 Pzedmiot: Fizyka JAK OBLICZAĆ ENERGIĘ POTENCJALNĄ? Według definicji, óżnica enegii potencjalnej cząstki w punktach A i B jest ówna pacy wykonanej pzez siłę pzyłożoną do cząstki pzy jej pzesunięciu od A do B Watość enegii potencjalnej w punkcie jest okeślona z dokładnością do stałej E p (A), któą można obać umownie. Sens fizyczny ma jedynie óżnica enegii potencjalnej pomiędzy dwoma punktami. E E p E (B) E p ( ) = p E (A) p = (A) W(A A F o d B) siła oddziaływania (siła pola) Umowa: A leży w nieskończoności czyli E p ( )=0 p ( ) = F o d 3
Siła zachowawcza Enegia potencjalna układu: F = mg E p () = mg masa m - Ziemia Mm F( ) = G ˆ E p () Mm G = masa m masa M 1 Qq F( ) = 4π ε 0 ˆ E p () = ± 1 4πε 0 Qq ładunek q ładunek Q F( ) = kˆ Wykład 7, 015/016 1 E p() = k masa m spężyna k 4
F = F ˆi + y + F ˆj SIŁY ZACHOWAWCZE F kˆ z W AB = B Fod A d = dˆi + dyˆj + dzkˆ WAB = F d + Fydy + F dz z Jest to całka kzywoliniowa, któa może zależeć od dogi całkowania a nie tylko od położenia punktów A i B. Gdy paca nie zależy od dogi całkowania, siłę nazywamy zachowawczą Paca wykonana po dodze zamkniętej jest ówna zeu Wykład 7, 015/016 WAA = Fod = 0 L 5
Pzykład : Na cząstkę działa siła F = (3 N)ˆi + (4y N) ˆj gdzie i y są wyażone w metach. W wyniku działania siły cząstka pzemieszcza się z punktu A( m, 3 m) do punktu B( m, 0). Zakładamy, że cząstka w punktach A i B spoczywa względem pzyjętego układu odniesienia. Jaką pacę wykonuje ta siła nad cząstką? Jaki jest skutek enegetyczny wykonanej pacy? Rozwiązanie: WAB = F d + Fydy + F dz z F F F y z = 3 = 4y = 0 Wykład 7, 015/016 W AB 0 = 3 d + 3 4ydy Zmalała enegia potencjalna WAB = 0 + y 3 = 18J 0 6
ZADANIE DOMOWE 7.3 (dla ambitnych) Pole sił dane jest wzoem: F = ( y - )ˆi + 3y ˆj Obliczyć całkę kzywoliniową od punktu (0,0) do punktu ( 0,y 0 ) wzdłuż dogi składającej się dwóch postych odcinków od (0,0) do ( 0,0) i ( 0,0) do ( 0,y 0 ). Poównać z wynikiem otzymanym pzy pzyjęciu dwóch innych boków postokąta jako dogi całkowania. Czy siła jest zachowawcza? Wykład 7, 015/016 7
E Pzedmiot: Fizyka ZWIĄZEK POMIĘDZY SIŁĄ A ENERGIĄ POTENCJALNĄ Pzypadek jednowymiaowy p () = F d Uogólnienie na 3D E p ( ) = F o d F de p p p p = = i j k = gad Ep = Ep d F E ˆ E y ˆ E z ˆ Wykład 7, 015/016 Opeato nabla = ˆi + y ˆj + z kˆ 8
Pzykład 3: Enegia potencjalna układu masa-spężyna dana jest wzoem: E () = Spawdzić, stosując poznany wzó: p 1 k F = gad E p czy siła oddziaływania spowadza się do znanej postaci: F( ) = k Wykład 7, 015/016 9
Rozwiązanie: 1 1 Ep () = k = k( + y + z Współzędne opeatoa gadientu: ( + y + z ) k 1 Ep (, y,z) = k = E y E z 1 = k y ( + y + z ) ky p = 1 = k z ( + y + z ) kz p = ) gad E k ˆi ky ˆ p = + j + zatem: kz kˆ F = gad E p = k(ˆi + yˆj + zkˆ ) = k Wykład 7, 015/016 30
POŁOŻENIE RÓWNOWAGI Waunek ównowagi F=0 czyli de p /d=0 Wykład 7, 015/016 31
Równowaga nietwała, E p wykazuje maksimum Równowaga twała, E p wykazuje minimum Równowaga obojętna, enegia potencjalna E p jest stała, niezależna od położenia Wykład 7, 015/016 3
ZADANIE DOMOWE 7.4 Enegia potencjalna cząsteczki dwuatomowej (tzn. układu złożonego z dwóch atomów w odległości, jak H lub O ) jest dana wzoem: E p () = A 1 gdzie A i B są stałymi dodatnimi. Znaleźć odległość ównowagową dla atomów twozących cząsteczkę. Czy jest to ównowaga twała czy nietwała? Wykonać wykes E p () B 6 Wykład 7, 015/016 33
ZWIĄZEK PRACY I ENERGII MECHANICZNEJ W = E k + E p Paca siły zewnętznej Zmiana enegii kinetycznej Zmiana enegii potencjalnej Paca siły zewnętznej wykonanej nad układem powadzi do zmiany enegii mechanicznej W= E mech = E k + E p Wykład 7, 015/016 34
ZASADA ZACHOWANIA ENERGII MECHANICZNEJ W układzie izolowanym, w któym zmiany enegii pochodzą jedynie od sił zachowawczych enegia kinetyczna i potencjalna mogą się zmieniać, lecz ich suma czyli enegia mechaniczna E mech nie może ulegać zmianie. 0 = E k + E p 0 = E k -E k1 + E p -E p1 E k1 +E p1 = E k + E p Wykład 7, 015/016 d dt E k +E p = const (E + E ) 0 k p = 35
ZASADA ZACHOWANIA ENERGII MECHANICZNEJ DLA OSCYLATORA HARMONICZNEGO k E k = m v E p = k Układ masa m-spężyna k d dt (Ek + Ep) = 0 d dt v ( m + k ) = 0 m v dv dt Wykład 7, 015/016 k d + dt = 0 d dt m + k = 0 Równanie ogólne, óżniczkowe oscylatoa hamonicznego 36
Zmiany enegii w układzie wahadło-ziemia E k +E p =const Wykład 7, 015/016 37
ZADANIE DOMOWE 7.5 Z jakiej najmniejszej wysokości h musi się stoczyć klocek aby nie odewał się od tou w najwyższym punkcie pętli kołowej? Wykład 7, 015/016 38
ZWIĄZEK PRACY I ENERGII W = E mech + E tem + E wew Paca siły zewnętznej Pzyost enegii mechanicznej Pzyost enegii temicznej Pzyost wszystkich innych fom enegii wewnętznej Wykład 7, 015/016 39
PODSUMOWANIE Istnieje ścisły związek pomiędzy pacą a enegią O enegii potencjalnej układu można mówić tylko dla sił zachowawczych Zasada zachowania enegii mechanicznej pozwala ozwiązywać zagadnienia, któe są tudne lub niemożliwe do ozwiązania na guncie zasad dynamiki Całkowita enegia jest wielkością stałą. Enegia może być pzekształcana z jednej fomy w inną, ale nie może być wytwazana ani niszczona Wykład 7, 015/016 40
TEST 5P 1. Ciało o masie 1g pousza się po okęgu o pomieniu ównym 0.5 m w płaszczyźnie pionowej ze stałą pędkością liniową m/s. Paca wykonana nad tym ciałem podczas jednego pełnego obotu wynosi : A) 0 B) 1 J C) J D) 4 J E) 16 J. Ciało o masie kg pousza się z pędkością 3 m/s. Siła zewnętzna o watości 4N działa na ciało w kieunku jego uchu i zostaje usunięta po pzebyciu pzez ciało dogi 5m. Paca wykonana pzez tę siłę wynosi: A) 1 J B) 15 J C) 18 J D) 0 J E) 38 J Wykład 7, 015/016 41
3. Sanie ważą 5000 N łącznie z obciążeniem. Sanie są ciągnięte po śniegu pzez psy, któe działają siłą poziomą na sanie. Współczynnik tacia kinetycznego pomiędzy saniami i śniegiem wynosi 0.05. Jaką pacę wykonają psy ciągnące sanie ze stałą pędkością na dodze 1000 m? A).5 10 4 J B).5 10 5 J C) 5.0 10 5 J D).5 10 6 J E) 5.0 10 6 J 4. Pzyczepa kempingowa o ciężaze 6000 N jest ciągnięta po zamazniętym jezioze za pomocą poziomej liny. Współczynnik tacia kinetycznego wynosi 0.05. Jaka paca została wykonana pzez siłę ciągnącą pzyczepę na dodze 1000 m, jeżeli wiadomo, że pędkość pzyczepy wzastała ze stałą szybkością 0.0 m/s? A) -1. 10 6 J D) 4. 10 5 J B) 1.8 10 5 J E) 1. 10 6 J C) 3.0 10 5 J Wykład 7, 015/016 4
5. Człowiek popycha cięża 80 N po góę ówni pochyłej, któa twozy kąt 30 o z poziomem. Siła jaką człowiek działa na ciało jest ównoległa do powiezchni ówni pochyłej a odległość na jaką pzesuwa cięża wynosi 5.0 m. Tacie można zaniedbać. Jeżeli pędkość, z jaką pzesuwany jest cięża jest stała, to paca wykonana pzez człowieka wynosi: A) -00 J B) 61 J C) 140 J D) 00 J E) 60 J 6. Cząstka jest pzemieszczana wzdłuż osi OX (zgodnie z dodatnim zwotem osi) na odległość 5 m pod wpływem siły stałej danej wzoem F = ( 4 N) iˆ + ( N) ˆj (4 N) kˆ Paca wykonana pzez tę siłę wynosi: A) 0J B) 10J C) -0J D) 30J E) nie można jej obliczyć bez znajomości pozostałych sił Wykład 7, 015/016 43
7. Kiedy gumowa linka jest ozciągana do długości, działa siła o watości F=A, pzywacająca ównowagę; A jest wielkością stałą. Paca wykonana pzez osobę ozciągającą linkę od =0 do =L wynosi: A) AL B) A+L C) A+L D) A/L E) AL / 8. Samochód ważący 8000 N pousza się wzdłuż poziomej dogi z pędkością 1 m/s w chwili gdy ozpoczyna hamowanie. Samochód zatzymuje się po 4.0 s. Ile enegii kinetycznej taci samochód w tym czasie? A) 4.8 10 4 J B) 5.9 10 4 J C) 1. 10 5 J D) 5.8 10 5 J E) 4.8 10 6 J Wykład 7, 015/016 44
9. W chwili t=0 ciało o masie kg ma pędkość ( 4 m / s) iˆ (3 m / s) W chwili t=3s jego pędkość wynosi ( m / s) iˆ + (3 m / s) ˆj ˆj Paca wykonana nad ciałem w tym czasie wynosi: A) 4J B) -4J C) -1J D) -40J E) (4J)i+(36J)j 10. Cząstka statuje ze stanu spoczynku w chwili t=0 i pousza wzdłuż osi. Jeżeli siła wypadkowa działająca na cząstkę jest popocjonalna do t, to jej enegia kinetyczna jest popocjonalna do: A) t B) t C) t 4 D) 1/t E) żadna odpowiedź nie jest pawidłowa Wykład 7, 015/016 45
TEST 5A 1. An object moves in a cicle at constant speed. The wok done by the centipetal foce is zeo because: A) the displacement fo each evolution is zeo B) the aveage foce fo each evolution is zeo C) thee is no fiction D) the magnitude of the acceleation is zeo E) the centipetal foce is pependicula to the velocity. Which of the following is NOT a coect unit fo wok: A) eg B) ft lb C) watt D) newton mete E) joule 3. Which of the following goups does NOT contain a scala quantity? A) velocity, foce, powe D) enegy, wok, distance B) displacement, acceleation, foce E) pessue, weight, time C) acceleation, speed, wok Wykład 7, 015/016 46
4. The amount of wok equied to stop a moving object is equal to the: A) velocity of the object B) kinetic enegy of the object C) mass of the object times its acceleation D) mass of the object times its velocity E) squae of the velocity of the object 5. The weight of an object on the moon is one-sith of its weight on the Eath. The atio of the kinetic enegy of a body on the Eath moving with the speed v to that of the same body moving with the speed v on the moon is: A) 6:1 D) 1:6 B) 36:1 E) 1:36 C) 1:1 Wykład 7, 015/016 47
6. In aising an object to a given height by means of an inclined plane as compaed with aising the object vetically, thee is a eduction in: A) wok equied D) foce equied B) distance pushed E) value of the acceleation due to C) fiction gavity 7. Which of the following five units is NOT the same as the othe fou? A) joule B) eg C) watt D) foot pound E) newton mete 8. Which of the following five quantities is NOT an epession fo enegy? Hee m is a mass, g is the acceleation due to gavity, h and d ae distances, F is a foce, v is a speed, a is an acceleation, P is powe, and t is time: A) mgh B) Fd C) ½ mv D) ma E) Pt Wykład 7, 015/016 48