Wykład 3 Ruch drgający Ruch falowy Dr Henryk Jankowski 2010/2011 WIMIR_studia niestacjonarne
Mechanika Analityczna Czasoprzestrzeń zasada składania ruchów Galileo Galilei (1564-1642) - "Dialogi" (Florencja, Leida) Siły działające między ciałami Isaac Newton (1642 1727) "Principia..." (Londyn 1686) grawitacja, prawa ruchu, różniczki 2
Mechanika Analityczna Próba wprowadzenia zasad zachowania Rene Descartes (1596 1650) "Principia philosophie" (Leida, 1685) Christian Huygens (1629-1695) "Rozprawa o ciężkości" (Paryż, 1669) Gottfried Leibniz (1646-1716) "Specimen dynamicum" (Hanower, 1695) Akademia Nauk, Berlin, 1700) 3
Mechanika Analityczna Próba wprowadzenia zasad zachowania Ilość ruchu m v (Kartezjusz, 1644) m v Vis Viva (Leibiniz, 1695) 2 Zasada zachowania "vis viva" w zderzeniach sprężystych (Huygens, 1669) Zachowanie "momentum" (pędu) w zderzeniach niesprężystych ( John Wallis, 1668) 4
Mechanika Analityczna Jean le Rond d'alambert (1717-1783) "Rozprawa o dynamice" (Paryż 1743) "Siła może być wyrażona albo jako pochodna "siły żywej" względem drogi, albo jako pochodna ilości ruchu (pędu) względem czasu" F ( r ) = i E p x j E y p k E z p F d dt ( r ) = m v termin "energia" Thomas Young, 1807 wg Wróblewskiego 5
Teoria drgań - częstość drgań podstawowych struny Brook Taylor (1713) - równanie różniczkowe drgań poprzecznych pręta Daniel I Bernoulli, L. Euler (1734) - analiza prostego oscylatora harmonicznego L. Euler (1739) - sinusoidalne drgania podstawowe - drgania harmoniczne - Daniel I Bernoulli (1755) - zasada superpozycji 6
Ruch wywołany siłą zmienną na przykładzie ruchu drgającego 7
Opis matematyczny ruchu drgającego_1 8
Opis matematyczny ruchu drgającego_2 9
Przebiegi w ruchu drgającym 10
Energia w ruchu drgającym_1 11
Energia w ruchu drgającym_2 12
Przebiegi w ruchu drgającym "pełny zestaw" 13
Ruch drgający Bryła sztywna_1 14
Ruch drgający-bryła sztywna_2 y F θ τ r r F x Moment siły II zasada dynamiki Newtona τ = r F τ = I ε 15
Ruch drgający-bryła sztywna_3 Ruch prostoliniowy przemieszczenie liniowe prędkość liniowa przyspieszenie liniowe masa siła praca energia kinetyczna moc pęd m F W = m a = F dx P = F v p = m v v = dx dt a = Ek = x dv dt 1 mv 2 2 Ruch obrotowy przemieszczenie kątowe prędkość kątowa przyspieszenie kątowe moment bezwładności moment siły = I praca = τ dθ energia kinetyczna moc moment pędu ω = τ ε dθ dt I θ ε = W 2 Ek = P =τ ω p = I ω 1 Iω 2 16 dω dt
Wahadło proste matematyczne_1 17
Wahadło proste_matematyczne_2 obiekt wyidealizowany mgcosθ N m. x=lθ mgsinθ mg θ l przybliżenie małych przemieszczeń sinθ θ F siła zawracająca: F = mg sinθ przemieszczenie wzdłuż łuku x = lθ = mgθ = mg F = kx T = 2π m k x l = mg l x dla wahadła T = 2π l g 18
Wahadło fizyczne_1 19
P oś obrotu C środek masy P θ d Mg C θ Wahadło fizyczne_2 I moment bezwładności względem P M masa ciała Jeżeli Moment zawracający τ = Mg sinθ Przybliżenie małych amplitud sinθ θ τ = Mgdθ κ = Mgd ; τ = κ θ 2 Jednocześnie: d θ τ = I = Iε 2 dt 2 Wtedy: d θ τ κ θ = = 2 dt I I Dla ruchu I T = 2 π = 2π harmonicznego: κ I Mgd 20
Wahadłotorsyjne_1 21
2 d x m 2 dt 2 d x 2 dt = k x = k m x Wahadło torsyjne_2 moment siły skręconego drutu τ τ = κ θ T = 2π m k stała skręcenia (moment kierujący) κ równanie ruchu R θ m P O Q dω τ = I ε = I = dt 2 d θ κ θ = I 2 dt T = 2π I κ I 2 d θ 2 dt 2θ m 22
Ruch harmoniczny tłumiony_1 23
Ruch harmoniczny tłumiony_2 24
Logarytmiczny dekrement tłumienia_3 25
Drgania wymuszone i rezonans_4 26
Ruch harmoniczny tłumiony_5 27
Most Tacoma Był to most wiszący, jego główne przęsło miało 840 m długości przy szerokości jedynie 12 m, co było powodem jego niebywałej wiotkości. Już w trakcie budowy, podczas montażu deskowania dla zabetonowania jezdni, pracujący robotnicy doznawali mdłości wynikających z dużych ugięć mostu. Po oddaniu do eksploatacji, stał się on prawdziwą atrakcją turystyczną, ze względu na "niesamowite wrażenia" towarzyszące przejazdowi przez most, tak iż nazwany został potocznie "galopującą Gertie". Po czterech miesiącach istnienia, rano 7 listopada 1940 r. silny sztorm wiejący od oceanu (56-67 km/h), spowodował wprowadzenie mostu w drgania, odpowiadające ruchowi falowemu. Początkowo (godz. 7:00), był to ruch pomostu w płaszczyźnie pionowej (podnoszenie i opadanie o amplitudzie ok. 90 cm z częstością 36 razy na minutę), później ok. godz. 10:00 rytmiczne wznoszenie i opadanie zamieniło się w dwufalowy ruch skręcający 14 cykli na minutę z wychyleniem do 8,4 m, przy skręceniu dochodzącym do 45 stopni. Ok. 10:30 nastąpiło pierwsze załamanie jednej z płyt pomostu, a ok. 11:00 most rozpadł się ostatecznie. Nie było ofiar w ludziach. 28
Film 29
Liczby zespolone_1 30
Liczby zespolone_2 31
Liczby zespolone_3 32
Liczby zespolone_4 33
Liczby zespolone_5 34
Leonhard Euler Mosty Królewieckie 35
Mechanika Analityczna 36
Mechanika Analityczna 37
Świat Mechaniki Analitycznej Sztokholm Petersburg Królewiec Londyn Hanower Berlin Leida Paryż Frankfurt Bazylea Florencja 38
Ruch falowy 39
Fala sinusoidalna kinematycznie_1 40
Fala sinusoidalna kinematycznie _2 41
Fala sinusoidalna kinematycznie_3 42
Fala sinusoidalna_pokaz 43
Interferencja_1 44
Interferencja_2 45
Interferencja_3 Zasada superpozycji 46
Interferencja_4 47
Ruch falowy_1 Zjawisko - opis matematyczny 48
Ruch falowy_2 Matematyczna istota ruchu falowego 49
Ruch falowy_3 Klasyczne równanie falowe 50
Ruch falowy_4 Fale sinusoidalne 51
Fala płaskapodsumowanie 52