,,, ~ B, β ( β β ( ( Γ( β Γ + f ( Γ ( + ( + β + ( + β Γ + β Γ + Γ + β Γ + + β E Γ Γ β Γ Γ + + β Γ + Γ β + β β β Γ + β Γ + Γ + β Γ + + β E ( Γ Γ β Γ Γ + + β Γ + Γ β β + β Metoda mometów polega a przyrówau mometów empryczych do teoretyczych rozwązau uładu rówań, ze względu a ezae parametry rozładu Perwszy momet zwyły polczoy a podstawe próby to oczywśce średa arytmetycza, drug momet zwyły to średa z wartośc realzacj zmeych losowych podesoych do wadratu Po przyrówau ależy wyzaczyć szacowae metodą mometów parametry (alfa beta rozwązać uład rówań, ze względu a alfa beta + β ( + ( + β + ( + β Z perwszego rówaa mamy: β ( I po podstaweu do drugego otrzymamy: Wtedy oszacowae drugego parametru wyese: ( ( β
,,, ~ Γ, β β + + + β β E e e β Γ + β Γ Γ Γ β Γ + Γ β β Γ + + Γ + E e e + + + β β + β Γ Γ β Γ + Γ β β + Var β β Powyżej zajdują sę wyrażea a wartość oczewaą warację zmeej losowej z rozładu Gamma Przyrówujemy momety teoretycze do mometów empryczych E Var β ˆ β ˆ β β β,,, ~ Poss λ E Var λ ˆ λ ( ˆ λ Zarówo ja mogą być estymatoram parametru λˆ Zazwyczaj średa polczoa a podstawe próby oraz waracja będą róże Rówość dla rozładu Posso a zachodz jedye dla mometów teoretyczych,,, : f λ λ e ~ Γ, λ ( λ L λ λ e λ e λ e λ e λ λ λ l L λ l λ + l λ d l L ˆ λ dλ λ λ
W ogólym przypadu E( f ( f ( E( wobec tego ależy lcząc wartość oczewaą uzysaego estymatora wyzaczyć rozład y ~ Γ(, λ Y Γ(, λ λ λ λ ( E( λ E E Y e dy Y e dy Y Y Γ Γ( λ + + Ostata cała jest rówa jede, pod waruem, że (-> Wyrażee podcałowej jest wtedy fucją gęstośc rozładu Γ(, λ W celu polczea waracj sorzystamy z wzoru: Var E ( E + λ E( λ E E Y e dy ( Y Y Γ + λ λ ( λ Y e dy ( ( Γ( ( ( Przy założeu, że (-> oblczamy aalogcze ja w przypadu wartośc oczewaej λ λ Varλ Eλ ( Eλ ( ( Powyższe wyrażee moża oczywśce uproścć 5 Nech, będą ezależym zmeym losowym z tego samego rozładu o gęstośc f ( e θ dla (, + Wyzaczyć estymator ajwęszej warogodośc θ parametru θ, wyzacz jego wartość oczewaą oraz warację UWAGA: Treść zadaa zameszczoa a stroe zawerała błąd Podaa fucja gęstośc e była fucją gęstośc Należało zameć 6 w maowu a Powyżej treść jest poprawa! ϑ,,, f ( e ~ Γ, E ϑ Var ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ L( ϑ e e e e ϑ ϑ ϑ ϑ l L ( ϑ l lϑ + l ϑ d l L( ϑ + ϑ d ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ
ϑ ϑ E E E ϑ Var Var ( Var ϑ 9 9 9 Przy lczeu wartośc oczewaej waracj, sorzystalśmy z fatu, że ażda ze zmeych ma detyczą wartość oczewaą oraz waracją dodatowo podczas lczea waracj sorzystalśmy z ezależośc zmeych 6,,, ~ U, [ ] ˆ ˆ F t t F P( Y Y P( Y ˆ E F E Y E ( Y ˆ Var F Var Y Var Y VarY 6 6 7 + P( θ ( θ + l( θ l + lθ + l( θ l ( θ ( θ θ ˆ θ θ θ + Zmea losowa ozacza lczbę poraże zaobserwowaych do zajśca -tego sucesu Uzysalśmy sesowy estymator prawdopodobeństwa sucesu: lczba zaobserwowaych sucesów podzeloa przez lczbę dośwadczeń (suma poraże sucesów 8 Należy polczyć wartość oczewaą T T ( Mamy do czyea z rozładem wyładczym czyl rozładem Gamma(, λ Podobe ja w zadau ależy zaleźć rozład ajperw y
ET E( (, EY Y Γ λ + + + λ λy ( + λ ( + ( + EY Y Y e dy Y e dy Γ λ Γ ( + λ Zowu mamy do czyea z przypadem edy całujemy fucję gęstośc rozładu Gamma po całej dzedze a tórej jest ezerowa, stąd cała upraszcza sę do jedy ( + ( + ET λ λ λ λ tatystya T e jest oczywśce eobcążoym estymatorem podaego w treśc wyrażea, poeważ jej wartość oczewaa e jest rówa szacowaemu wyrażeu 9 λ λ, P( e,,! P( e λ λ λ P( e λe Zauważmy róweż, że: λ F( P( + P( F( P( λ F( F( P( e λ W zadau poazalśmy że dystrybuata emprycza jest eobcążoym estymatorem dystrybuaty teoretyczej, tj E( F ( t F( t E( F ( F ( E( F ( E( F ( F( F( P( λe λ Dlatego wyrażee F ( F ( możemy zastosować jao eobcążoy estymator λe λ F( F( ( ( ( * Nech,, 9 będze próbą losową z rozładu 9 8 N ( µ, Nech 9 9 oraz Czy statystya T jest estymatorem eobcążoym µ dla wyrażea? tatysty są ezależe dla modelu ormalego, czyl: E EE E, µ Należy węc wyzaczyć 8 E Wemy, że T ~ χ ~ Γ (, Przeształcając powyższy wzór otrzymujemy: 8 ( T 8 T 5
( ( t (,5 t T Γ( Γ( Γ(,5,5,5 t Γ(,5 ( Γ( ( Γ (,5 t e dt, E E E T t t e dt t e dt zajdowała sę gęstość zmeej losowej o rozładze Γ (,5; co ozacza, ż zapropooway estymator jest obcążoy gdze sorzystalśmy z fatu, ż pod całą Γ(,5,5,5 (,5,5 Γ * Nech L( θ będze fucją cągła, tóra ma perwszą drugą pochodą cągłą dla θ ( a, b ( a, b R; w szczególośc może to być esończoość Poadto załadamy, że lm L( θ lm L( θ są sończoe oraz L( θ > dla ażdego θ ( a, b Poazać, że θ a θ b ˆ θ ( a, b jest masmum dla L( θ, wtedy tylo wtedy, gdy jest masmum dla l L( θ θ jest argumetem masymalzującym wartość fucj warogodośc L( θ Wtedy mus zachodzć: δ L( θ L'( θ δθ δ L( θ L''( θ < δθ l( L( θ ' L'( θ L( θ Dla θ θ mamy: l( L( θ ' L'( θ oczywste, patrz wyżej L( θ L''( θ L( θ L'( θ L'( θ L''( θ L( θ L'( θ l( L( θ '' ( L'( θ ' L( θ L( θ L( θ Dla θ θ mamy: L''( θ L( θ L'( θ L''( θ L( θ L''( θ L( θ L( θ l( L( θ '' <, bo L''( θ < > L( θ L( θ L( θ L( θ Poazalśmy, że pochoda fucj warogodośc zeruje sę zawsze wtedy, edy logarytm tej fucj Druge pochode tych fucj mają ta sam za w puce zerowae sę pochodej Jeżel θ jest argumetem masymalzującym fucję warogodośc to masymalzuje róweż jej logarytm odwrote! * Zmea losowa ma rozład geometryczy z parametrem θ : Pθ ( θ ( θ, dla,,, Oblcz wartość oczewaą zmeej losowej 6
( [( + ( + ( + E θ θ θ θ θ θ [( + ( + ( + θ θ θ θ [ + ( + ( + θ θ θ θ [ + ( θ + Dość łopotlwą sumę z perwszej lj możemy rozbć a sumy o postac zacze ułatwającej sumowae To co apsao w olejych werszach począwszy od drugego zsumowae da w wyu wyrażee w wersza perwszego Poadto, ażde wyrażee w olejych werszach (od drugego to sumy esończoej lośc wyrazów cągu geometryczego o postępe geometryczym rówym θ Każde z wyrażeń róż sę jedye początowym elemetem, od tórego zaczyamy sumowae Załadając, że θ co do wartośc bezwzględej jest mejsze od jedy możemy oreślć wy powyższych sumowań wyorzystując wzór a sumę esończoej lośc wyrazów cągu geometryczego θ θ θ θ θ θ θ θ θ ( θ θ [( + ( + ( + ( ( ( θ[ + ( θ + ( θ + θ( θ θ( θ ( θ ( θ θ θ[ + ( θ + θ( θ θ( θ ( θ ( θ θ oro szuaa suma to suma powyższych werszy to wystarczy zsumować wy sumowaa ażdego z tych werszy Zauważymy, że sumowae wyrazy to zowu oleje wyrazy cągu geometryczego o postępe θ perwszym wyraze θ E ( θ θ ( θ ( θ ( θ θ 7