Podstawy logiki i teorii zbiorów Ćwiczenia Spis treści 1 Zdania logiczne i tautologie 1 2 Zdania logiczne i tautologie c.d. 2 3 Algebra zbiorów 3 4 Różnica symetryczna 4 5 Iloczyn kartezjański 5 6 Kwantyfikatory. 5 7 Relacje 7 8 Relacje porządku i równoważności 8 9 Funkcje 9 10 Działania uogólnione 11
Podstawy logiki i teorii zbiorów Ćwiczenia Zestaw 1. Zdania logiczne i tautologie Zadanie 1.1. Wyznacz wartość logiczną podanego wyrażenia, jeśli wp) = 1, wq) = 0 a) p q e)[p q) = p)] p q) b) p q) f) p q) p q) c) p q) q g)p = q) q p) d) p = q) = p h)p = q = p) Zadanie 1.2. Wyznacz wartość logiczną każdego wyrażenia z poprzedniego zadania przy podstawieniu wp) = 0, wq) = 1. Zadanie 1.3. Wyznacz wartość logiczną wyrażenia, jeśli wp) = 1, wq) = 0, wr) = 1 a) p q) r b) p q r) c) p q) r d) p q) r e) p = q) = r f) p = q = r) g) p = q) r h) p = q) r Zadanie 1.4. Wyznacz wartość logiczną zdania a) 2 < 3) 2 > 3) b) 2 < 3) = 2 > 3) c) 2 < 3) 2 > 3) d) 2 < 3) 2 = 3) e) 2 = 3) 2 > 3) f) 2 = 3) 2 > 3) g) 2 = 3) 2 > 3) h) 2 = 3) = 2 > 3) Zadanie 1.5. Czy podane wyrażenie jest tautologią? Sprawdź za pomocą tabelki. [p q) p)] q [p q) [p r) q] [p q) p q)] q p) p [ p) q] p [ p) q] Zadanie 1.6. Wiedząc, że wp q) = 0 określ wartość logiczną zdania q = p. Zadanie 1.7. Wiedząc, że wp q) = 1 określ wartość logiczną zdania q = p. Zadanie 1.8. Wiedząc, że wq = p) = 0 określ wartość logiczną zdania p q = p). Zadanie 1.9. Wiedząc, że wp q) = r) = 0 określ wartość logiczną wyrażenia q r) p) q = r). Renata Wiertelak 1
Zestaw 2. Zdania logiczne i tautologie c.d. Zadanie 2.1. Wiedząc, że wp q) = 1 określ wartość logiczną wyrażeń p q) p q) r p q) {[r = p q)] [p q) = r)]} = p q r). Zadanie 2.2. Wiedząc, że wp q) = 0 określ wartość logiczną wyrażeń p q) p q) p q) r {[p q) = r] [p q) = r)]} = p q r). Zadanie 2.3. Wiedząc, że wp q) = 1 określ wartość logiczną wyrażeń p q) p q) r p q) [r = p q)] = [p q) p q)]. Zadanie 2.4. Czy podane wyrażenie jest tautologią? Sprawdź bez tabelki. [ p) q] [ q p)) p q)] [p q) r] [r p) r q)] [p s) q r)] [p q) r s)] [p r) q r)] [p q) r] [q p) p q)] [ p) q] [ p) q] [ q p)) p q)] [p q) r s) t u)] [p r t) q s u)] Zadanie 2.5. Określ wartość logiczną zdania i zapisz jego negację: a) Słowacja jest sąsiadem Polski lub Hiszpania jest sąsiadem Polski. b) Jeżeli Sieradz jest stolicą Czech, to Ewa jest matematykiem. c) Pies jest ssakiem wtedy i tylko wtedy, gdy kot jest ssakiem. Zadanie 2.6. Sformułuj negację podanych zdań. a) Jeżeli Zosia ma psa, to Zosia nie ma psa lub Zosia jest alergikiem. b) Jeżeli Piotr ma kota, to Piotr jest informatykiem i Piotr ma chomika. c) Jeżeli Adam ma kota i Adam nie ma kota, to Adam ma rybki. d) Jeżeli Ania ma kota lub Ania jest matematykiem, to wtedy Ania jest informatykiem. Renata Wiertelak 2
Zestaw 3. Algebra zbiorów Zadanie 3.1. Podaj ile różnych elementów ma podany zbiór i wymień je jeśli jest to możliwe). Zakładamy, że a b c a A = {a, {a, b}, {b}, c, {{c}}} B = {a, {a}, {a, {a}}} C = {x N: x 2 25} D = {x Q: x 2 = 16} E = {x R: x 2 + 9 < 0} F = {x R: x 2 + 9 > 0} Zadanie 3.2. Jakie relacje zachodzą między zbiorami A i B? a) A = 3, 5) B = 2, 6) b) A = 0, 1) {2} B = {0, 1, 2} c) A = [1, 2] B = 0, 1) {2} d) A = {x R: x 2 = 16} B = {4} Zadanie 3.3. Oblicz A B, A B, A \ B, B \ A, A, B. a) A = {x N: x 6} B = {x N: x > 2}; b) A = [2, ) B = 1, 6); c) A =, 2) B = [3, ); d) A =, 3] B = 3, 6); e) A = 0, 2) {3} B = [2, 3] {1}; f) A = [2, 3] B = 3, 6); g) A = [1, 2] {3} B = [2, 3] {1}; h) A = [2, 3] B = [3, 6]; Zadanie 3.4. Sprwadź czy dla dowolnych zbiorów prawdziwe są następujące równości: A \ B = A B) \ B A \ B = A \ A B) A B = A \ B) B A B = A \ A \ B) A A B) = B A B C) \ A B) = C A \ C) B = A B A \ B C) = A \ B) \ C Renata Wiertelak 3
Zestaw 4. Różnica symetryczna Zadanie 4.1. Oblicz: a) {1, 2, 3} {3, 4, 5}; b) {1, 2, 3} [1, 3]; c) 2, 5) [6, 8]; d) 0, ) 5, 8]; e) 0, ), 2); f) [2, ) 0, 2]; g) 0, 2), 2); h) 3, ) 0, 3); Zadanie 4.2. Rozwiąż równanie: a) {1, 2} A = {4, 5}; b) A {1, 2, 3} = {3, 4}; c) [1, 3] A = 1, 3); d) A 2, 6] = 0, 4]; e) 5, ) A = 0, 2]; f) A [2, ) = 4, 6); g) 5, ) A =, 5]; h) A [2, ) = 0, 6); Zadanie 4.3. Uprość wyrażenie: a) A \ A B) b) A B) \ A c) A \ B) B d) A \ B) B e) A B) A f) A \ B) \ C g) A \ A B) h) A B) \ A Zadanie 4.4. Jakie relacje inkluzji zachodzą między zbiorami jeśli: a) A \ A B) = A b) A B) \ A = B \ A c) A B) \ C = A d) A B \ C) = e) A B) \ C = f) A B) \ C = A \ C) B \ C) Zadanie 4.5. Podaj przykład zbiorów dla których podana równość zachodzi oraz przykład zbiorów dla których podana równość nie zachodzi: a) A B) \ A = B b) A B) = A c) A B) \ C = d) A B \ C) = e) A B C) \ A B) = C f) A B) \ C = A \ C) B \ C) Renata Wiertelak 4
Zestaw 5. Iloczyn kartezjański Zadanie 5.1. Niech A = [1, 3], B = 2, 3), S = {1, 2, 3}, T = {4, 5}. Wypisz lub narysuj zbiory: a) S T ; b) S T ) A B); c) A B) S T ); d) A B; e) S T ) A B); f) S T ) A \ B); Zestaw 6. Kwantyfikatory. Zadanie 6.1. Wyznacz wartość logiczną podanego wyrażenia i zapisz jego negację. a) x R x 2 = 2x; b) x R x 2 = 2x; c) x R x 2 < 0; d) x R x 2 > 0; e) x N x 2 = 3; f) x N x 2 + 1 > 0; Zadanie 6.2. Wyznacz wartość logiczną podanego wyrażenia i zapisz jego negację. a) x R x = 2 x < 0); b) x R x = 2 x R x < 0; c) x R x = 2 x < 0); d) x R x = 2 x R x < 0; e) x R x 2 > 0 x < 0); f) x R x 2 > 0 x R x < 0; Zadanie 6.3. Wyznacz zmienne wolne i związane podanych funkcji zdaniowych oraz narysyj ich wykresy. Zbiory X, Y oznaczają zakres zmienności zmiennych x i y. a) x 2 1 0, X = R; b) x x, X = Z; c) x x = y, X = Y = R; d) xy 1, X = Y = R; e) x xy = 1, X = Y = R; f) y xy 1, X = Y = R; Zadanie 6.4. Zapisz następujące zdania za pomocą kwantyfikatorów, symboli logicznych i działań arytmetycznych. Następnie określ wartość logiczną podanego wyrażenia oraz zapisz jego negację. 1. Istnieje taka liczba rzeczywista, że jej kwadrat jest równy 2; 2. Dla wszystkich liczb rzeczywistych x mamy, że 2x = x; 3. Dla każdej liczby rzeczywistej z mamy, że z 2 + 2z + 1 = 0; 4. Dla pewnej liczby rzeczywistej z mamy, że z 2 + 2z + 1 = 0; 5. Dla każdej liczby rzeczywistej z mamy, że z 2 + 2z + 1 0; 6. Dla pewnej liczby rzeczywistej z mamy, że z 2 + 2z + 1 0; Renata Wiertelak 5
7. x jest liczbą nieparzystą; 8. Dla każdej liczby rzeczywistej x istnieje liczba rzeczywista y większa od niej; 9. Nie istnieje największa liczba naturalna; 10. Dla każdej liczby naturalnej x istnieje liczba naturalna y taka, że iloczyn tych liczb jest mniejszy niż 5. 11. Istnieje liczba naturalna x taka, że dla każdej liczby naturalnej y suma tych liczb jest większa niż 5. 12. Dla każdej liczby naturalnej x istnieje liczba naturalna y taka, że różnica tych liczb jest niewiększa niż 5. Zadanie 6.5. Wyznacz wartość logiczną podanego wyrażenia i zapisz jego negację. a) n N d) x R nm = 10 b) m N x R\{0} xy = 0 e) y R y R\{0} xy = 1 y R\{0} xy = 1 x R\{0} c) y = y R x R x2 f) y = x R y R x2 g) 4x + 5y = 0 x R y R h) 3x 5y = 0 x R y R i) 2x + 3y = 0 y R x R Zadanie 6.6. Podaj przykład funkcji zdaniowych ϕx), ψx) oraz X dla których podane zdania są fałszywe. ) ϕx) ψx) = ϕx) ψx)) x X x X x X [ ] ϕx) ψx) = [ϕx) ψx)] x X x X x X [ ] [ϕx) ψx)] = ϕx) ψx) x X x X x X ) ϕx) ψx)) = ϕx) ψx) x X x X x X ) ϕx) ψx) = ϕx) ψx)) x X x X x X ) ϕx) ψx) x X x X ϕx) ψx) x X x X ) = x X [ϕx) ψx)] = x X [ϕx) ψx)] Renata Wiertelak 6
Zestaw 7. Relacje Zadanie 7.1. Niech S = {2, 4, 6, 8} oraz T = {1, 3, 5, 7, 9}. Wypisz i narysuj wszystkie pary należące do relacji R S T. 1. x, y) R x + y 10; 2. x, y) R x + y = 11; 3. x, y) R x + y jest nieparzyste; Zadanie 7.2. Niech S = {2, 4, 6, 8}. Wypisz i narysuj wszystkie pary należące do relacji R S S. Następnie zbadaj które własności zwrotność, przeciwzwrotność, symetria, przeciwsymetria, antysymetria, przechodniość) posiada podana relacja? 1. x, y) R x + y 10; 2. x, y) R x + y = 10; 3. x, y) R x + y jest parzyste; Zadanie 7.3. Które własności zwrotność, przeciwzwrotność, symetria, przeciwsymetria, antysymetria, przechodniość) posiada podana relacja? 1. x, y S, xϱy x + y jest nieparzyste, S = {0, 1, 2, 3, 4}; 2. x, y S, xϱy x y = 2, S = {0, 1, 2, 3, 4}; 3. x, y N, xϱy x = y ; 4. x, y N, xϱy x y jest parzyste; 5. x, y R, xϱy x < y ; 6. x, y R, xϱy x y < 1; 7. x, y R, xϱy xy < 0; 8. A, B R, AϱB A B; 9. A, B N, AϱB A \ B jest zbiorem skończonym; 10. x, y-ludzie, xsy x oraz y są tej samej płci; 11. x, y-ludzie, xt y x nie jest niższy niż y; 12. a, b), n, m) N 2, a, b)sn, m) a + m = n + b; 13. a, b), n, m) Z 2, a, b)t n, m) am = nb; Renata Wiertelak 7
Zestaw 8. Relacje porządku i równoważności Zadanie 8.1. Czy podana relacja jest relacją częściowego porządku lub równoważności? 1. x, y N, xϱy x dzieli y; 2. x, y {1, 2, 3, 4, 5}, xϱy x 3 = y 3 ; 3. x, y {0, 1, 2, 3, 4, 5}, xϱy x 2 y 2 0 x 2 y 2 ; 4. x, y { 3, 2, 1, 0, 1, 2}, xϱy x + 1 y + 1 ; 5. a, b), n, m) N 2, a, b)ϱn, m) 1) a+b = 1) m+n ; 6. a, b), n, m) Z 2, a, b)ϱn, m) 1) ab = 1) mn ; 7. a, b), n, m) N 2, a, b)ϱn, m) a n b m; 8. A, B R, AϱB 5 A B) 5 / A B); 9. x, y-ludzie, xry x i y mają tego samego rodzica; 10. x, y-ludzie, xry x i y mają tę samą matkę; 11. a, b), n, m) Z Z \ {0}, a, b)sn, m) am = nb; Zadanie 8.2. Dla podanej relacji równoważności wyznacz jej klasy abstrakcji. 1. x, y N, xϱy x y jest parzyste; 2. x, y {1, 2, 3, 4, 5}, xϱy x 3 = y 3 ; 3. a, b), n, m) N 2, a, b)ϱn, m) 1) a+b = 1) m+n ; 4. a, b), n, m) Z 2, a, b)ϱn, m) 1) ab = 1) mn ; 5. x, y-ludzie, xsy x oraz y są tej samej płci; 6. x, y-ludzie, xry x i y mają tę samą matkę; 7. a, b), n, m) N 2, a, b)rn, m) a + m = n + b; Zadanie 8.3. Dla podanej relacji częściowego porządku wyznacz elementy minimalne oraz maksymalne. 1. x, y N, xϱy x dzieli y; 2. x, y {1, 2, 3, 4, 5}, xϱy x 3) y 3) 0 x 3 y 3 ; 3. x, y {0, 1, 2, 3, 4, 5}, xϱy x 2) y 2) 0 x 2 y 2 ; 4. x, y { 3, 2, 1, 1, 3}, xϱy x + 1 y + 1 ; 5. a, b), n, m) N 2, a, b)ϱn, m) a n b m; Renata Wiertelak 8
Zestaw 9. Funkcje Zadanie 9.1. Czy podana relacja R X Y jest funkcją? Jeśli nie, to czy można tak zmienić zbiory X, Y aby była. 1. x, y) R x = y, R R R; 2. x, y) R x 2 = y 3, R N Z; 3. x, y) R x 3 = y 2, R N Z; 4. x, y) R x = y 2, R R R; 5. x, y) R x 4 = y 3, R N Z; 6. x, y) R x = y 3, R R R; 7. x, y) R x 2 + y 2 = 9, R R R; Zadanie 9.2. Wyznacz dziedzinę i zbiór wartości podanej funkcji a) fx) = 3 x; b) fx) = 4 x2 ; c) fx) = x 2 + 1; d) fx) = 3 + 1 1 2x ; e) fx) = ; f) fx) = x x 1 4 x 2; g) fx) = 3 + 1 x ; h) fx) = 1 x 1 ; i) fx) = 2 x x2 4 ; Zadanie 9.3. Niech S = {1, 2, 3, 4, 5}. Które z podanych funkcja f : S S są różnowartościowe, "na" S? a) fn) = 6 n; b) fn) = max{n, 3}; c) fn) = n; d) fn) = min{2, n}; e) fn) = min{n, 5}; f) fn) = max{5, n}; Zadanie 9.4. Czy podana funkcja f : R R jest różnowartościowa, "na" R? a) fx) = 2x + 3; b) fx) = x 2 4; c) fx) = x + 3 ; d) fx) = x 3 1; e) fx) = x 1) 3 ; f) fx) = 3 x 1; Renata Wiertelak 9
Zadanie 9.5. Czy podana funkcja f : R R jest różnowartościowa, "na" R? a) fx) = 3x 1; b) fx) = 1 x ; c) fx) = x + 2 ; d) fx) = x 2 1; e) fx) = x 1) 2 ; f) fx) = x 2) 2 + 2; Zadanie 9.6. Wyznacz f[0, 1)), f0, 1)), f 1 [0, 1)), f 1 0, 1)). a) fx) = 3x 1; b) fx) = 1 x ; c) fx) = x + 2 ; d) fx) = x 2 1; e) fx) = x 1) 2 ; f) fx) = x 2) 2 + 2; Zadanie 9.7. Zbadaj czy funkcja f : R R określona wzorem fx) = { 2x + 4 dla x < 0 x 2 dla x 0 jest różnowartościowa i "na" R. Wyznacz f 3, 3)), f0, 3)), f 1 0, 4)) oraz f 1 3, 0)). Zadanie 9.8. Zbadaj czy funkcja f : R R określona wzorem fx) = { 1 x dla x < 1 x 1 dla x 1 jest różnowartościowa i "na" R. Wyznacz f 2, 1)), f 2, 1]), f 1 [ 3, 0)) oraz f 1 4, 2)). Zadanie 9.9. Zbadaj czy funkcja f : R R określona wzorem fx) = { 4 x dla x < 2 3 2x dla x 2 jest różnowartościowa i "na" R. Wyznacz f 1 [0, 3]) oraz f[ 3, 0]). Zadanie 9.10. Zbadaj czy funkcja f : R R określona wzorem fx) = { 3x + 1 dla x > 2 x 3 dla x 2 jest różnowartościowa i "na" R. Wyznacz f 1 [0, 3]) oraz f[ 3, 0]). Renata Wiertelak 10
Wstęp do matematyki Ćwiczenia 2015 Zestaw 10. Działania uogólnione Zadanie 10.1. Oblicz sumy i iloczyny uogólnione następujących zbiorów oraz ich dopełnień A n = 1 n + 1, 1 + 1 ] [ 1 B n = n n + 1, 2 1 ) C n = [0, n); n D t = 1) n, 2 1 ] E t = 1 1 n + 2 4n, 3 1 ) F n = [ n, n + 1); n [ ) 1) n G n = {1, 2,..., n} H n = n, 5 I n = n, n + 1]; Zadanie 10.2. Oblicz n N A n, n N A n, n N R \ A n), n N R \ A n). a) A n = {x R: x > 2n}, n Z b) A n = {x R: x n}, n N c) A n = {x R: x + 3 < n}, n N d) A n = e) A n = } {x R: 1 + 1) n x 3 + 1)n, n N n {x R: 1)n n } < x < n, n N f) A t = { x R: 1) n < x < 3 n}, n N g) A n = {x R: n x < n + 1}, n N h) A n = {x R: n x n + 1}, n Z Zadanie 10.3. Wyznacz n N A n, n N A n jeżeli a) n N R \ A n) = [ 3, 0), n N R \ A n) = 2, 1] b) n N R \ A n) = 0, ), n N R \ A n) = [5, ) c) n N R \ A n) = R, n N R \ A n) = R \ N d) n N R \ A n) = R \ N, n N R \ A n) = e) n N R \ A n) = Z, n N R \ A n) = N Renata Wiertelak 11