Elementy rachunku zdań i algebry zbiorów

Transkrypt

1 Rozdział 1. Elementy rachunku zdań i algebry zbiorów 1.1. Zdania Przez α, β będziemy oznaczać zdania. Każdemu zdaniu możemy przyporządkować wartość logiczną 1, gdy jest prawdziwe oraz wartość logiczną 0, gdy jest fałszywe. Oznaczmy wartość logiczną zdania α przez L(α). Przykład1.1.Jeśliαjestzdaniem muchajestowadem,aβzdaniem 2+2= 5,toL(α)=1,L(β)=0. Ze zdań możemy tworzyć zdania złożone przy pomocy następujących znaków, zwanych operacjami logicznymi: α czytamy nieprawda,żeα zaprzeczenie α β... αiβ koniunkcja αβ... αlubβ alternatywa α β... jeśliα,toβ implikacja α β... αwtedyitylkowtedygdyβ równoważność Dla implikacji w języku polskim stosuje się też inne sformułowania:

2 12 1. Elementy rachunku zdań i algebry zbiorów jeżeliα,toβ zαwynikaβ α,więcβ ponieważ α, β β,gdyżα β,boα β, bowiem α oraz nieco archaiczne α pociąga β Również koniunkcję możemy wyrażać w różny sposób. Możemy spójnik i zastąpić spójnikiem oraz. Rolę koniunkcji pełni też zapisanie zdań zakończonych kropkami obok siebie. Oczywiste jest, że tą samą informację przekazują sformułowania: Jest zimno i pada deszcz. Jest zimno oraz pada deszcz. Jest zimno. Pada deszcz. W tabelkach widzimy wartości logiczne zdań złożonych w zależności odwartościlogicznychzdańαiβ. α α α β α β αβ α β α β Przykład 1.2. Niech α oznacza zdanie Warszawa jest stolicą Polski, a β zdanie 2>3.Skonstruujzdaniaα,β,α β,αβ,α β,β α,α βiustalich wartość logiczną.

3 1.1. Zdania 13 Rozwiązanie. α :nieprawda,żewarszawajeststolicąpolski, β : 2 3, α β:warszawajeststolicąpolskii 2>3, αβ:warszawajeststolicąpolskilub 2>3, α β:jeśliwarszawajeststolicąpolski,to 2>3, β α:jeśli 2>3,toWarszawajeststolicąPolski, α β:warszawajeststolicąpolskiwtedyitylkowtedy,gdy 2>3. Oczywiście L(α) = 1, L(β) = 0. Wykorzystując tabelki otrzymujemy: L(α )=0, L(β )=1, L(α β)=0, L(αβ)=1, L(α β)=0, L(β α)=1, L(α β)=0. Jeśli ktoś powie zdanie: Jestem wysoki i gruby, to zastanówmy się kiedy złapiemygonakłamstwie.otóżwtedy,gdyokażesię,żeniejest on albo wysoki albo gruby. Jeśli więc jako α oznaczymy zdanie jestem wysoki, a jako zdanie β, jestem gruby, to intuicja podpowiada nam następującą regułę: (1.1) (α β) α β. Podobne rozumowanie doprowadzi i do drugiej reguły: (1.2) (αβ) α β. Powyższe reguły noszą nazwę praw de Morgana. Oczywiście można je było formalnie wyprowadzić wykorzystując podane tabelki. A oto jak wyglądają inne zaprzeczenia zdań złożonych: (1.3) (α ) α; (1.4) (α β) α β.

4 14 1. Elementy rachunku zdań i algebry zbiorów Warto podać jeszcze jedną bardzo ważną regułę: (1.5) (α β) (β α ). Jest to tak zwana zasada argumentacji nie wprost. Polega ona na następującym toku wnioskowania: Chcemy wykazać jakąś tezę β. Przyjmujemy za α całą dotychczasową wiedzę.przypuszczamy,żezdanieβjestfałszywe,czyli,żeβ jestprawdziwe.następniepokazujemy,żezβ wynikasprzeczność,toznaczyjakiś fałsz w dotychczasowej wiedzy. Ale na mocy prawa de Morgana wynika stąd,żeαjestfałszywe.pokazaliśmywięcβ α,cozzasadyargumentacji nie wprost jest równoważne temu, że z całej dotychczasowej wiedzy wynika β. Reguły logiczne, czyli zdania zawsze prawdziwe nazywa się też tautologiami. Na przykład tautologiami są zdania(1.1) (1.5). Popatrzmy na poniższe zdanie: 1.2. Kwantyfikatory Dlakażdejliczbydodatniejaistniejeliczbaujemnabtaka,żeb 2 =a. W zdaniu tym występują dwa zwroty niezwykle często używane przy okazji różnych zdań w matematyce(i nie tylko w matematyce): dla każdego(elementu jakiegoś zbioru) i istnieje(element jakiegoś zbioru). Zwroty te są tak ważne, że wprowadza się dla nich specjalne oznaczenia zwane kwantyfikatorami. Mają one postać: czytamy dla każdego x ze zbioru A, x A x A czytamy istnieje x ze zbioru A. Stosuje się również inne oznaczenia kwantyfikatorów, a mianowicie zamiast oraz zamiast. Przykład 1.3. Zapiszemy przy pomocy kwantyfikatorów zdanie Wszyscy studenci z grupy D1 zdali egzamin z matematyki.

5 1.2. Kwantyfikatory 15 Oznaczmy przez α(x) zdanie x zdał egzamin z matematyki. Wówczas nasze zdanie zapiszemy tak: α(x). x D1 Kwantyfikatory pozwalają zapisywać zdania w sposób skrótowy. Pomagają też tworzyć szybko zaprzeczenia bardziej skomplikowanych zdań. Zaprzeczenia zdań z użyciem kwantyfikatorów wyglądają bowiem następująco: (1.6) ( ) α(x) (α(x)), x A x A (1.7) ( ) α(x) (α(x)). x A x A Powyższe równoważności też noszą nazwę praw de Morgana. Przykład 1.4. Zapiszmy przy pomocy kwantyfikatorów zdanie(nieprawdziwe!): Każda liczba rzeczywista ma pierwiastek. y 2 =x. x IR y IR A oto uzyskane natychmiast jego zaprzeczenie: y 2 x. x IR y IR Jako ciekawostkę podajmy, że jest to też duże udogodnienie przy pisaniu takich tekstów, jak powyższy, przy pomocy komputera. Otóż nie trzeba przepisywać jeszcze raz zdania będącego zaprzeczeniem; kopiujemy tylko zdanie wyjściowe a następnie zamieniamy kwantyfikatory na przeciwne i znak równości na znak nierówności. ZADANIA 1.1.Niechαbędziezdaniem3 4=11,zaśβzdaniem17< 262.Ustalićwartość logicznązdań:a) α β; b)αβ ; c)β α; d) α β.

6 16 1. Elementy rachunku zdań i algebry zbiorów 1.2. Sprawdzić czy poniższe zdania są tautologiami: a) (α α) α; b) (α β) α β; c) (α β) β ; d) (α β) β α Napisać przy pomocy kwantyfikatorów stwierdzenia: a) każda liczba rzeczywista dodatnia ma pierwiastek drugiego stopnia; b) każda liczba rzeczywista dodatnia ma pierwiastek dowolnego stopnia; c) każde równanie liniowe ma rozwiązanie; d) nie każde równanie kwadratowe ma rozwiązanie. Rozwiązanie. a) b) x>0 x>0 x=y 2. y IR n IN x=y n. y IR 1.4. Napiszać zaprzeczenie następujących zdań: a) (x 2 5) ( x<3 x 3 7 ) ; b) (x<y+3) ( x 2 <y 3 x>y ) ; c) (x=ax=b) ( x<a 2 x>b 2). d) k>n+m, e) f) n IN x IR x>1 m IN n IN y<x k IN x= n+m, 3 m IN (x<y 2 )(x=y m ). m IN 1.3. Zbiory Pojęcie zbioru pojawiło się w matematyce stosunkowo późno po roku Nie będziemy tu zajmować się teorią matematyczną związaną ze zbiorami(tzw. teoria mnogości ), podamy tylko najprostsze operacje na zbiorach i przede wszystkim poznamy sposoby określania zbiorów. Sposoby określania zbiorów:

7 1.3. Zbiory Wypisanie elementów zbioru w nawiasach klamrowych: np.{1, 2, 5} oznaczazbiórzłożonyztrzechliczb1,2i5.takisposóbstosujemynie tylko w przypadku zbiorów skończonych, ale często i dla zbiorów nieskończonych.naprzykladzapis{1,3,5,...}oznaczazbiórzłożonyze wszystkich liczb nieparzystych. 2. Jednoznaczne stwierdzenie, jakim sposobem z pewnego większego zbioru wyróżnia się jego niektóre elementy. Ma to postać: B={x A:α(x)}. Oznaczato,żedozbioruBnależąteelementyxzezbioruA,dlaktórych prawdziwe jest zdanie α(x). { Przykład1.5.Zbiór{x IR:x>0}oznaczazbiórliczbdodatnich,azbiór } n IN: n=3m oznacza zbiór liczb naturalnych podzielnych przez 3. m IN 3. Niektóre ważne zbiory mają swoje tradycyjne oznaczenia jakby imiona własne, np. IR zbiór liczb rzeczywistych, IN zbiór liczb naturalnych,q zbiórliczbwymiernych,ir 2 plaszczyzna, zbiór pusty,[a;b]lub a;b przedziałzkońcamiolewymkońcuaiprawym b,(a; b) analogiczny przedział bez końców. Podstawowe działania na zbiorach to suma mnogościowa(znak ), iloczyn mnogościowy(znak ) i różnica mnogościowa(znak\ lub ). NiechA,BiCoznaczajązbiory. ZbiórA Bskładasięztychelementów,którenależądozbioruA lubdozbiorub. Przykład1.6.NiechA={1,2,3,4},B={2,5}.WówczasA B={1,2,3,4,5}. ZbiórA Bskładasięztychelementów,którenależądozbioruAi dozbiorub. Przykład1.7.NiechA=( 1;4],B=(2;8).WtedyA B=(2;4]. ZbiórA\Bskładasięztychelementów,którenależądozbioruAi nienależądozbiorub.

8 18 1. Elementy rachunku zdań i algebry zbiorów A B Rysunek1.1.SumazbiorówA B A B Rysunek1.2.Iloczynzbiorów:A B Przykład1.8.NiechA=( 2;5),B=[0;6].WówczasA\B=( 2;0),zaś B\A=[5;6]. A B Rysunek1.3.Różnicazbiorów:A\B

9 1.4. Iloczyn kartezjański 19 Ważne są następujące wzory: (1.8) C\(A B)=(C\A) (C\B), (1.9) C\(A B)=(C\A) (C\B). Wzory powyższe są odpowiednikiem praw de Morgana w rachunku zdań. ZADANIA 1.5.NiechA={1,3,9,11},B= ObliczyćA B,A\B. { n IN: k IN n=3k Rozwiązanie. Zbiór B jest to zbiór liczb naturalnych podzielnych przez 3. Zatem część wspólna zbiorówaibjestrówna{3,9},natomiasta\b={1,11}. 1.6.NiechA={1,2,5,8},B={n IN:n 2 <4n}. ObliczyćA B,A B,A\B. 1.7.NiechA={2,5},B={2,3,4},C={1,2}.Wyznaczyćzbiory: a) A B C; b) A (B\C); c) A (B\(A C)); d) B (A C). { } 1.8.NiechA={x IR:x 2 <5},B= n IN: n=2m. Wyznaczyć zbiór A B Obliczyć z ilu elementów składa się zbiór: a) {n IN:n 2 <7}; b) {x IR:x 2 1=3}; c) {n IN:2n 2 5n+2=0}. } m IN 1.10.NiechA={ 2,2,3},B=zbiórliczbwymiernych,C=[1;2). Wyznaczyćzbiory:A B,A B C,(B C) A Iloczyn kartezjański

10 20 1. Elementy rachunku zdań i algebry zbiorów Niech A i B będą dowolnymi zbiorami. Iloczynem kartezjańskim zbiorówaibnazywamyzbióroznaczanya Bzłożonyzpar(a,b),gdzie a A,b B. Przykład1.9.NiechA={1,2},B={3,4}.Wtedy A B={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)}. JeśliAmanelementów,aBmakelementów,toA Bmank elementów. Najczęściej używanym iloczynem kartezjańskim jest IR IR, który utożsamiamyzpłaszczyznadwuwymiarowąoznaczanąir 2.Zatemjeśli AiBsąpodzbioramiIR,toA BmożemytraktowaćjakopodzbiórIR 2. Sytuację tę ilustruje rysunek 1.4. Na osi Ox zaznaczony jest zbiór A będącyprzedziałem[2;6],anaosioyzbiórbbędącyprzedziałem[3;5]. Wówczas zbiór A B jest prostokątem o wierzchołkach(2, 3),(2, 5),(6, 3) i(6,5). y B A B A x Rysunek 1.4. ZADANIA Zaznaczyć na płaszczyźnie iloczyn kartezjański zbiorów: a) A={1,2,3},B=[0;1]; b) A={n IN:1<n<4},B={3,4,5} Zaznaczyć na płaszczyźnie następujące iloczyny kartezjańskie: a) [1;2] [1;3], b) ( 2;2) ( 2;2),

11 1.5. Zbiór liczb rzeczywistych 21 c) [0;1] {0,1}, d) IR (0;1), e) [0; ) [0; ), f) {1,2} IN Jakie z poniżej wymienionych zbiorów można przedstawić jako iloczyn kartezjańskia B,gdzieAiBsąpodzbioramiprostejIR?ZnaleźćzbioryAiB. a) punkt(x 0,y 0 ), b) prostaorównaniuy=4, c) prostaorównaniuy=x, d) kwadratowierzchołkachwpunktach(1,1),(1, 1),( 1,1),( 1, 1) Zbiór liczb rzeczywistych Zbiór liczb rzeczywistych będzie grał kluczową rolę w dalszych rozdziałach. Ma on nie tylko własności zbioru, ale posiada liczne inne własności. Jego elementy, czyli liczby, możemy dodawać, odejmować, mnożyć, dzielić. Możemy je także porównywać, wyznaczać odległość między nimi,ichwartośćbezwzględnąitp.wzwiązkuztymwzbiorzetymmożna tworzyć różne wzory przybierające formę równości lub nierówności. Przypomnijmy kilka ważnych wzorów. Zacznijmy od prostej, ale niezwykle ważnej nierówności zwanej nierównością trójkąta. Niech a, b IR. (1.10) a+b a + b. Będziemy tę nierówność wielokrotnie stosować. Niechn IN.Definiujemyn!(czytamynsilnia)jako n(przyjmujemy dodatkowo 0! = 1). Liczba n! ma sens kombinatoryczny. Oznacza bowiem na ile sposobów możemy uszeregować zbiór n-elementowy. Innym ważnym symbolem jest symbol Newtona ( n k ) (n k).liczbatajest n! równa k! (n k)!.italiczbamasenspraktyczny.mówinamonanaile sposobów ze zbioru n-elementowego możemy wybrać zbiór k-elementowy. Niecha,b IRib IN.DwumianemNewtonanazywamywzór ( ) ( ) ( ) n n n (1.11) (a+b) n = a 0 b n + a 1 b n 1 + a 2 b n

12 22 1. Elementy rachunku zdań i algebry zbiorów ( ) n + a n 1 b 1 + n 1 ( ) n a n b 0. n Do zapisywania sumy składającej się z wielu składników często wygodniejestposługiwaćsięznakiem. Naprzykładzapis oznacza sumę n i 2 i= n 2. Generalnie zapis n a i i=p oznaczasumęliczba p,a p+1,a p+2,...,a n 1,a n. Przyużyciuznaku dwumiannewtonawyglądanastępująco: (a+b) n = n i=0 ( ) n a i b n i. i Przypomnijmy jeszcze następujące wzory znane ze szkoły: ZADANIA a 2 b 2 =(a+b)(a b), a 3 +b 3 =(a+b)(a 2 ab+b 2 ) SprawdzićdwumianNewtonadlan=2in=3;zobaczyćwtensposób,żejest on uogólnieniem znanych ze szkoły wzorów skróconego mnożenia. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n Obliczyć n 1 n Niecha,b>0.Pokazać,żeichśredniaarytmetycznajestniemniejszaod geometrycznej Zapisaćprzypomocyznaku następującesumy: a) n ; b) x+(x 1)+(x 2)+ +(x n);

13 1.5. Zbiór liczb rzeczywistych 23 c) ; d) x+x 2 +x 3 + +x 15 ; e) x+3x 3 +5x 5 +7x 7 + +(2n+1)x 2n Obliczyć: a) 4 i 2 ; b) i=1 5 (j 3 j); c) j=3 6 k=1 1 k.

14